当前位置:首页 >> 数学 >>

2011年广州市高二数学学业水平测试题(附答案)


秘密★启用前

2011 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试

数 学
本试卷共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项:

1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在 答题卡指定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的

答案标号涂黑; 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4. 本次考试不允许使用计算器. 5. 考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合 A ? ?1,2? , B ? ??1,0,1? , 则 A B 等于 ( A . ?1? B. ) D. ?

??1,0, 2?

C.

??1,0,1, 2?

2. cos120? 的值是( A. ?

) B. ?
1 2

3 2

C.

1 2

D.

3 2

3. 不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是( A. C.

) B. D.

? ?3,1? ? ??, ?1? ?3, ???

? ?1, 3?
? ??, ?3? ?1, ???

数学学业水平测试 第 1 页 (共 12 页)

4. 已知直线 l1 : 2x ? y ? 2 ? 0, l2 : ax ? 4 y ? 1 ? 0 , 若 l1 // l2 , 则 a 的值为( A. 8 B. 2 C.
? 1 2



D. ?2

5. 函数 y ? sin 2 x 是(

) B. 最小正周期为 2? 的奇函数 D. 最小正周期为 ? 的奇函数 )
9

A . 最小正周期为 2? 的偶函数 C. 最小正周期为 ? 的偶函数

6. 在等比数列 ?an ? 中, 若 a3a6 ? 9, a2 a4 a5 ? 27 , 则 a2 的值为( A. 2 B.
3

C. 4

D.

? y ? 1, ? 7. 如果实数 x 、 y 满足条件 ? 2 x ? y ? 1 ? 0, 则 2 x ? y 的最大值为( ? x ? y ? 1 ? 0. ?



A. 1 C. 2

5 3 D. 3

B.

4

4

8. 已知某几何体的三视图如图 1 所示, 其中俯视图 是腰长为 2 的等腰梯形, 则该几何体的体积为( ) A. 4 3 C. 12 3 B. D.

4 正视图 4

3

侧视图

8 3
24 3

俯视图 图1

9. 已知向量 a ? ?1, n ? , b ? ? n, 1? , 其中 n ? ?1 , 则下列 结论中正确的是 ( A. C. ) B. D.

? a ? b? // ? a ? b?
? a ? b? ? ? a ? b?

? a ? b? // b ? a ? b? ? b

数学学业水平测试 第 2 页 (共 12 页)

10. 已知函数 f ? x ? ? 2 x ? x 2 ? 1 , 则对任意实数 x1 、 x2 ,且 0 ? x1 ? x2 ? 2 , 都有 A. x1 f ? x2 ? ? x2 f ? x1 ? C. x1 f ? x1 ? ? x2 f ? x2 ? B. D.

x1 f ? x2 ? ? x2 f ? x1 ? x1 f ? x1 ? ? x2 f ? x2 ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 函数 y ? ln ? 2x ?1? 的定义域是 .

12. 在 空 间 直 角 坐 标 系 O x y z中 , 点 ?1, ? 2, 3? 关 于 原 点 O 的 对 称 点 的 坐 标 为 . 13. 某公司生产 A 、 B 、 C 三种不同型号的轿车,产量之比依次为 2 : 3 : 4 ,为了 检验该公司的产品质量,用分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本,样本中 A 种型号的轿车比 B 种型号的轿车少 8 辆,那么 n ? . 14. 已知函数 y ? a1? x (a ? 0 且 a ? 1) 的图象恒过点 A . 若点 A 在直线 mx ? ny ?1 ? 0 ? mn ? 0?
1 2 ? 的最小值为 . m n 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤和

上, 则

推证过程. 15. (本小题满分 12 分) 编号为 A1 , A2 , A3 , 运动员编号 得分

, A12 的 12 名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下:

A1
5

A2
10

A3
12

A4
16

A5
8

A6
21

A7
27

A8
15

A9
6

A10
22

A11
18

A12
29

(1)完成如下的频率分布表: 得分区间 频数 频率 1 3 ?0,10? 4

?10,20?
?20,30?
合计
12

1.00

数学学业水平测试 第 3 页 (共 12 页)

(2)从得分在区间 ?10, 20? 内的运动员中随机抽取 2 人 , 求这 2 人得分之和大于 25 的概率.

16.(本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 已 知 1 a ? 3 , b ? 2 , c oA s? . 3 (1)求 sin B 的值; (2)求 c 的值.

数学学业水平测试 第 4 页 (共 12 页)

17.(本小题满分 14 分) 如图 2,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? 5, BC ? 4, AC ? 3 ,点 D 是线段 PB 的 中点,平面 PAC ? 平面 ABC . (1)在线段 AB 上是否存在点 E , 使得 DE // 平面 PAC ? 若存在, 指出点 E 的 位置, 并加以证明;若不存在, 请说明理由; P (2)求证: PA ? BC .

·
C
A
图2

D

B

18. (本小题满分 14 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? a3 ? 10 , S4 ? 24 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 Tn ?
1 1 ? ? S1 S2 ?
3 1 ,求证: Tn ? . 4 Sn

数学学业水平测试 第 5 页 (共 12 页)

19. (本小题满分 14 分) 已知圆 C 的圆心坐标为 ?1, 2 ? , 直线 l : x ? y ? 1 ? 0 与圆 C 相交于 M 、 N 两点,

MN ? 2 .(1)求圆 C 的方程;
(2)若 t ? 1 , 过点 A ? t ,0? 作圆 C 的切线, 切点为 B ,记 d1 ? AB , 点 A 到直线 l 的距离为 d2 , 求

d1 ? 1 的取值范围. d2

20. (本小题满分 14 分) 1 已知 ? a ? 1 , 若函数 f ? x ? ? ax2 ? 2x 在 ?1, 3? 上的最大值为 M ? a ? ,最小值 3 为 N ? a ? , 令 g ? a ? ? M ? a ? ? N ? a ? .(1)求 g ? a ? 的表达式; (2)若关于 a 的方程 g ? a ? ? t ? 0 有解, 求实数 t 的取值范围.

数学学业水平测试 第 6 页 (共 12 页)

2011 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分, 满分 50 分. 题 号 答 案 1 A 2 B 3 B 4 A 5 D 6 B 7 D 8 C 9 C 10 A

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 4 小题,每小题 5 分, 满分 20 分.
?1 ? 11. ? , ?? ? ?2 ?

12.

? ?1, 2, ?3?

13.

72

14. 3 ? 2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤和推 证过程. 15.本小题主要考查统计与概率等基础知识,考查数据处理能力.满分 12 分. (1) 解 : 频率分布 表: 得分区间 频数 频率 1 3 ?0,10? 4 5 5 ?10,20? 12 1 4 ?20,30? 3 1.00 12 合计 ………4 分 (2)解: 得分在区间 ?10,20? 内的运动员的编号为 A2 , A3 , A4 , A8 , A11 .从中随机抽取
2 人,所有可能的抽取结果有:

? A2 , A3? , ? A2 , A4 ? , ? A2 , A8 ? , ? A2 , A11? , ? A3 , A4 ? , ? A3 , A8 ? , ? A3 , A11? , ? A4 , A8 ? , ? A4 , A11? , ? A8 , A11? ,
共 10 种. ………7 分 “从得分在区间 ?10,20? 内的运动员中随机抽取 2 人,这 2 人得分之和大于 25 ”(记 为事件 B )的所有可能结果有:
数学学业水平测试 第 7 页 (共 12 页)

? A2 , A4 ? , ? A2 , A11? , ? A3 , A4 ? , ? A3 , A8 ? , ? A3 , A11? , ? A4 , A8 ? ,
? A4 , A11? , ? A8 , A11? ,共 8 种.
所以 P ? B ? ?
8 ? 0.8 . 10

……10 分

答: 从得分在区间 ?10,20? 内的运动员中随机抽取 2 人, 这 2 人得分之和大于 25 的概率为
0.8 .

………12 分

16. 本小题主要考查解三角形、 三角恒等变换等基础知识, 考查运算求解能力. 满 分 12 分. 1 (1)解:∵ 0 ? A ? ? , cos A ? , 3 ∴ sin A ? 1 ? cos 2 A ?
a b 2 2 ? .……2 分 由正弦定理得: , ……4 分 sin A sin B 3

∴ sin B ?

b sin A ? a

2?

2 2 3 ?4 2. 3 9

………6 分

1 (2)解:∵ a ? 3, b ? 2, cos A ? , 3



b2 ? c2 ? a 2 1 22 ? c 2 ? 32 1 ? ,解得 c ? 3 . ? .………8 分 ∴ 2 ? 2c 3 2bc 3

………12 分

17.本小题主要考查直线与平面的位置关系的基础知识,考查空间想象能力、 推理论证能力和运算求解能力.满分 14 分. ( 1 )解:在线段 AB 上存在点 E , 使得 DE // 平面 PAC , 点 E 是线段 AB 的中 点. …2 分 P 下面证明 DE // 平面 PAC : 取线段 AB 的中点 E , 连接 DE , ………3 分 D ∵点 D 是线段 PB 的中点, ∴ DE 是△ PAB 的中位线. ………4 分 C ∴ DE // PA . ………6 分 ∵ PA ? 平面 PAC , DE ? 平面 PAC , E A ∴ DE // 平面 PAC . ………8 分
数学学业水平测试 第 8 页 (共 12 页)

B

(2)证明:∵ AB ? 5, BC ? 4, AC ? 3 , ∴ AB2 ? BC 2 ? AC 2 . ∴ AC ? BC . ∵平面 PAC ? 平面 ABC ,且平面 PAC ∴ BC ? 平面 PAC . ∵ PA ? 平面 PAC , ∴ PA ? BC . ………10 分 平面 ABC ? AC , BC ? 平面 ABC , ………12 分 ………14 分

18.本小题主要考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识,考查运算求解 能力和推理论证能力.满分 14 分. (1)解:设等差数列 ?an ? 的公差为 d , ∵ a1 ? a3 ? 10 , S4 ? 24 ,
?2a1 ? 2d ? 10, ? ∴? 4?3 4a1 ? d ? 24. ? ? 2

………2 分

解得 a1 ? 3 , d ? 2 .…4 分∴ an ? 3 ? 2 ? ? n ?1? ? 2n ?1. (2)证明:由(1)得 Sn ? ∴ Tn ?
1 1 ? ? S1 S2 ?

……6 分 ……8 分

n ? a1 ? an ? n ? 3 ? 2n ? 1? ? ? n ? n ? 2? , 2 2

1 1 1 1 ? ? ? ? S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5

?

1 n ? n ? 2?

?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ?? 3 ? ? 2 4 ? ? 3 5 ?

1 ? ?1 1 ?? ? 1 ?? ? ??? ? ?? …10 分 ? n ?1 n ? 1 ? ? n n ? 2 ??
…12 分

1? 1 1 1 ? 3 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ? 4 2 ? n ?1 n ? 2 ?
? 3 . 4

………14 分

数学学业水平测试 第 9 页 (共 12 页)

19.本小题主要考查直线与圆的方程、不等式等基础知识,考查运算求解能力 及推理论证 能力.满分 14 分. (1)解: 设圆 C 的半径为 r ,圆 C 的圆心 ?1, 2 ? 到直线 l 的距离 d ? ∵ MN ? 2 , ∴ 2 r 2 ? d 2 ? 2 . …3 分 ∴ 2 r2 ?
2

1 ? 2 ?1 12 ? 12

? 2.

? 2?
2

2

? 2 .…4 分

解得 r ? 3 .…5 分

∴ 所求的圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 3 .
2 2

………6 分

(2) 解:∵圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 3 的圆心 C ?1, 2 ? ,半径 r ? 3 , ∴ d1 ? AB ?

AC ? r 2 ?

2

? t ? 1? ? ? 0 ? 2 ?
2

2

?

? 3?
.

2

?

? t ? 1?
…9 分

2

? 1 . ……8 分

又点 A ? t ,0? 到直线 l 的距离 d2 ?

t ? 0 ?1 12 ? 12

?

t ?1 2

d ?1 ∴ 1 ? d2


? t ? 1?

2

?1 ?1

t ?1 2

? 2

? t ? 1?

2

?1 ?1

t ?1

. ……10 分

? t ? 1?

2

? 1 ? m ,则 t ? 1 ? m 2 ? 1 ,

………11 分

∵ t ? 1 ,∴ m ? 1 . ∴

d1 ? 1 ? 2 d2

m ?1 m ?1
2

? 2

m ?1 2 . ? 2 1? m ?1 m ?1

……12 分

∵ m ? 1 , ∴ m ? 1 ? 2 .∴ 0 ? ∴ 0 ? 1? ∴0 ?
2 ? 1. m ?1

2 ? 1. m ?1

………13 分

2 1?

2 ? 2. m ?1



d1 ? 1 的取值范围是 0, 2 . ………14 分 d2

?

?

数学学业水平测试 第 10 页 (共 12 页)

20.本小题主要考查二次函数的最值、方程等基础知识,考查运算求解能力, 以及分类讨论的数学思想方法.满分 14 分.

1? 1 ? (1) 解: f ? x ? ? ax2 ? 2x ? a ? x ? ? ? . a? a ?


2

……1 分

1 1 ? a ? 1, ∴1 ? ? 3 . 3 a 1 1 1 ① 当 1 ? ? 2 ,即 ? a ? 1 时, 则 x ? 3 时, 函数 f ? x ? 取得最大值; x ? 时, 函数 a 2 a

f ? x ? 取得最小值.
1 ?1? ∴ M ? a ? ? f ?3? ? 9a ? 6 , N ? a ? ? f ? ? ? ? . a ?a?

∴ g ? a ? ? M ? a ? ? N ? a ? ? 9a ? ② 当2 ?

1 ?6. a

……3 分

1 1 1 1 ? 3 ,即 ? a ? 时, 则 x ? 1 时, 函数 f ? x ? 取得最大值; x ? 时, 函 a 3 2 a

数 f ? x ? 取得最小值.
1 ?1? ∴ M ? a ? ? f ?1? ? a ? 2 , N ? a ? ? f ? ? ? ? . a ?a?

∴ g ? a? ? M ? a? ? N ? a? ? a ?

1 ?2. a

………5 分

1 1 1 ? a ? ? 2, ?a? , ? ? a 3 2 综上,得 g ? a ? ? ? ?9a ? 1 ? 6, 1 ? a ? 1. ? a 2 ?

………6 分

?1 1 ? (2)解:任取 a1 , a2 ? ? , ? ,且 a1 ? a2 , ?3 2 ?

? ? ? ? ? a ? a ?? a a ? 1? 1 1 .……7 分 g ? a1 ? ? g ? a2 ? ? ? a1 ? ? 2 ? ? ? a2 ? ? 2 ? ? 1 2 1 2 a1a2 a1 a2 ? ? ? ?
?1 1 ? ∵ a1 , a2 ? ? , ? ,且 a1 ? a2 , ?3 2 ?

∴ a1 ? a2 ? 0, a1a2 ? 0, a1a2 ?1 ? 0 .
数学学业水平测试 第 11 页 (共 12 页)



? a1 ? a2 ?? a1a2 ? 1?
a1a2

? 0 ,即 g ? a1 ? ? g ? a2 ? ? 0 .

∴ g ? a1 ? ? g ? a2 ? .

?1 1 ? ∴函数 g ? a ? 在 ? , ? 上单调递减. ?3 2 ? ?1 ? 任取 a3 , a4 ? ? ,1? ,且 a3 ? a4 , ?2 ?

………8 分

? ? ? ? ? a ? a4 ?? 9a3 a4 ? 1? .……9 分 1 1 g ? a3 ? ? g ? a4 ? ? ? 9a3 ? ? 6 ? ? ? 9a4 ? ? 6 ? ? 3 a3 a4 a3 a4 ? ? ? ?
?1 ? ∵ a3 , a4 ? ? ,1? ,且 a3 ? a4 , ?2 ?

∴ a3 ? a4 ? 0, a3 a4 ? 0,9a3 a4 ? 1 ? 0 . ∴

? a3 ? a4 ?? 9a3 a4 ? 1?
a3 a4

? 0 ,即 g ? a3 ? ? g ? a4 ? ? 0 .

∴ g ? a3 ? ? g ? a4 ? .
?1 ? ∴函数 g ? a ? 在 ? ,1? 上单调递增. ?2 ?

…10 分

当a ?

1 ?1? 1 时, g ? a ? 取得最小值,其值为 g ? ? ? , 2 ?2? 2

……11 分

?1? 4 又 g ? ? ? , g ?1? ? 4 . ?3? 3 ?1 ? ∴函数 g ? a ? 的值域为 ? , 4 ? . ?2 ?

………12 分

∵关于 a 的方程 g ? a ? ? t ? 0 有解等价于 t ? g ? a ? 有解, ∴实数 t 的取值范围为函数 g ? a ? 的值域.
?1 ? ∴实数 t 的取值范围为 ? , 4 ? . ?2 ?

………13 分

………14 分

数学学业水平测试 第 12 页 (共 12 页)


相关文章:
2011年广州市高二数学学业水平测试题(附答案)
2011年广州市高二数学学业水平测试题(附答案)_数学_高中教育_教育专区。秘密★启用前 2011 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试 数学 本试卷共 4 页. 满分 ...
2011年广州市高二数学学业水平测试题(附答案)
2011年广州市高二数学学业水平测试题(附答案)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2011年广州市高二数学学业水平测试题,内含答案。是高二、高三学生复习、备考的优秀...
2010年广州市高二数学学业水平测试答案
2010 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试 数学试题参考答案及评分标准一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分...
2014学年度广州市高二学业水平测试(数学)含答案
2014学年度广州市高二学业水平测试(数学)含答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2014 年广州市高中二年级学生学业水平测试?数学一、选择题:本大题共 10 小题,...
2013年广州市高二数学学业水平测试题
2013年广州市高二数学学业水平测试题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2013 学年广州市高二年级学生学业水平 数学测试本试卷分选择题和非选择题两部分, 共 4 页...
2012学年广州市高二学业水平测试数学试题+答案
数学学业水平测试答案 第 5 页共 10 页 2012 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试 数学试题参考答案及评分标准一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算...
2011学年度广东省广州市高中二年级学生学业水平测试数学试卷
2011年度广东省广州市高中二年级学生学业水平测试数学试卷_数学_高中教育_教育专区...3 . ???12 分 17.本小题主要考查直线与平面的位置关系的基础知识,考查...
2011广州高二英语水平测试试题及答案
2011 年广州市高二学业水平考试 英 语 第一节 完形填空(共 15 小题,每小题 2 分,满分 30 分) 阅读下面短文,掌握其大意,然后从 16~30 各题所给的 A、...
精品:2009年广州市高二数学学业水平测试题(附答案)
精品:2009年广州市高二数学学业水平测试题(附答案)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2009年广州市高二数学学业水平测试题(附答案)2009...
更多相关标签:
高二学业水平测试题 | 日语n5测试题附答案 | 高二数学期末测试题 | 地理学业水平测试题 | 河南省学业水平测试题 | 历史学业水平测试题 | 高二数学椭圆测试题 | 高二物理磁场测试题 |