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2014年浙江省数学竞赛模拟卷一


2014年浙江省高中数学竞赛模拟卷一
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. A、充分不必要条件
2

1、 “ ? ? 1 ”是“数列 an ? n2 ? 2?n?n ? N *? 为递增数列”的( B、必要不充分条件 C、充要条件 B. {x |1 ? x ? 2}
3

) D、

都不是 ) D. {x | x ? 2}
)

2.若集合 M ? {x | x ? 4, x ? R} , N ? {x |1 ? x ? 3, x ? R} ,则 N ? (CR M ) ? ( A. {x | ?2 ? x ? 1} C. {x | ?2 ? x ? 2}

3.函数 f ( x) ? sin 2 x ? 4 sin x cos x( x ? R) 的最小正周期为(
A.

? 8

B.

? 4

C.

? 2

D. ?

4.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果为 填入的条件是( A. i ? 5 ) B. i ? 6 C. i ? 5

5 ,则判断框中应 6
D. i ? 6

5.已知, x ? 1, y ? 1 ,且

A、最小值 e 6.如图,水平放置的棱长为 2 的正四面体 A-BCD 中,若以△ABC 为视角正面,则其正视 图的面积是( )

1 1 ln x, , ln y 成等比数列,则 xy 有( ) 4 4 B、最小值 e C、最大值 e D、最大值 e

2 6 3 k 7.设函数 f ?x? ? ?x ? 1? cos x ,则(
A. 3 B.

C. 2 )

D. 2 2

A.当 k ? 2013 时, f ?x ? 在 x ? 1 处取得极小值 B.当 k ? 2013 时, f ?x ? 在 x ? 1 处取得极大值 C.当 k ? 2014 时, f ?x ? 在 x ? 1 处取得极小值

D.当 k ? 2014 时, f ?x ? 在 x ? 1 处取得极大值 8.若沿三角形三条边的中位线折起能拼成一个三棱锥,则( ) A.一定是等边三角形 B.一定是锐角三角形 C.可以是直角三角形 D.可以是钝角三角形

x2 y 2 a2 2 2 a ? 0 b ? 0 c ? 0 x ? y ? ? ? 1 F ( ? c , 0) ( , )的左焦点 ( ) ,作圆 4 a 2 b2 ??? ? 1 ??? ? ??? ? 的切线 ,切点为 E ,直线 EF 交双曲线右支于点 P ,若 OE ? (OF ? OP ) ,则此双曲线的 2
9.过双曲线 离心率为( A. 10 ) B.

10 10 C. 2 D. 5 2 1 ? 10.现若有函数 f ? x ? ? a sin x ? b cos 3x ? sin 3 x 在 x ? 处取得极大值,则 b 的范围为 3 3 1 1 3 3 A. b ? 3 B. b ? C. ? b ? D.b ? ( ) 2 2 2 2
二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 7 分, 共 49 分. 11.已知 sin(

?

12.记数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2?an ? 1? ,则 a2 ? ____________.

4

? x) ?

3 ,则 sin 2 x 的值为 5


.

1

13.已知 A, B 是圆 C ( C 为圆心)上的两点, | AB |? 2 ,则 AB ? AC =

??? ?

??? ? ??? ?

.

14.已知函数 f ( x) ?| 1 ? 3 sin 2 x | ,若 f (2 x ? a) ? f (2 x ? a) 恒成立,则实数 a 的最小正 值为 .

?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 15.若实数 x 、 y ,满足 ? y ? 0 ,则 z ? 的取值范围是 x ? 1 D ?4 x ? 3 y ? 12 ?
16.如图,在四边形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,DB=2,DC=1, A E BC= 5 ,AB=AD= 2 ,将△ABD 沿直线 BD 折起,使二面角 A-BD-C 为 60°。 B 则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 .

. C

y2 ? 1(0 ? m ? 1) 的左顶点为 A , m M 是椭圆 C 上异于点 A 的任意一点,点 P 与点 A 关于点 M 对称.若椭圆 C 上存在点 M ,使得 OP ? OM ,则 m 的取值范围是_________.
17.设如图,椭圆 C : x ?
2

三、解答题:本大题共 3 小题,每小题 17 分, 共 51 分。 18.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线(倾斜角为锐角)交抛物线于点 M、N,交 其准线于点 E(点 M 位于 x 轴上方,点 N 位于 x 轴下方) 。若|NE|=2|NF|,且|MF|=4。 (1)求抛物线的方程; (2)若动△ABC 内接于该抛物线,且△ABC 的重心恰好是抛物线的焦点,求△ABC 的面积 的最大值。

19.设数列 ?an ? 满足 Sn ? n ? an ,数列 ?bn ?满足 bn ? ?2 ? n??an ? 1? ,且对任意的正整数 n, 都有 bn ?

t ? t 2 ,求实数 t 的取值范围。 4

20.设 f ?x ? ?

(1)若函数 f ?x ? 在 ?0,??? 上为单调函数,求实数 a 的取值范围; (2)设 a ? 0 , ①证明:函数 F ? x ? ? f ? x ? ?

x x?a 。

x 有三个零点; 2

②若存在实数 t ?? a ? ,当 x ? ?0, t ? 时,函数 f ?x ? 的值域为 ?0, ? ,求实 2 数 a 的取值范围。

? t? ? ?

2

答案: ABCBA BCBDA
2

7 ? ?3 ? 2? 3? 2 ? ;4;2; ; ? ,11? ; ; ? 0, ?。 ? 25 2 ?2 ? 4 ? 4 ?

18、 (1)y =4x。 (提示:结合定义用相似比来处理) (2)设 A、B、C 三点的坐标,利用重心,得到 A、B 两点坐标间的关系,用直线 AB 与抛物 线相交,考察△ABF 的最大值即可。

1 1 1 ?1? 19、 an ? 1 ? ? ? , bn ? b3 ? 。 t ? 或 t ? 。 8 4 2 ? 2? 20、 (1) a ? 0 ; (2) 0 ? a ? 3 。

n

3


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