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安徽省屯溪一中2013-2014学年高二上学期期中考试 数学理试题 Word版含答案


屯溪一中高二第一学期期中考试数学试卷
一、选择题 :(本大题共 12 小题 ,每小题 5 分,共 60 分)
1.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, B1C 和 C1D 与底面 A1B1C1D1 所成的角分别为 60°和 45°, 则异面直线 B1C 和 C1D 所成的角的余弦值为 ( )
2 6 A.

B.

6 3

C.

6 4

D.

3 6

2.设 b、c 表示两条直线,?、?表示两个平面,下列命题中真命题是 A.若 b ? ??,c∥?,则 b∥c B.若 b ? ?,b∥c,则 c∥? C.若 c∥?,c⊥?,则?⊥? D.若 c∥?,?⊥?,则 c⊥? 3.对于平面 ? 和共面的直线 m , n ,下列命题中真命题是 A.若 m ⊥ ? , m ⊥ n ,则 n ∥? B.若 m ∥ ? , n ∥? ,则 m ∥ n C.若 m ? ? , n ∥? ,则 m ∥ n D.若 m , n 与 ? 所成的角相等,则 m ∥ n 4.已知直线 m 、 n ,平面 ? 、 ? ,给出下列命题: ①若 m ? ? , n ? ? ,且 m ? n ,则 ? ? ? ③若 m ? ? , n // ? ,且 m ? n ,则 ? ? ? 其中正确的命题是 A..①③ B. ②④ C. ③④ D. ①④ ②若 m // ? , n // ? ,且 m // n ,则 ? // ? ④若 m ? ? , n // ? ,且 m // n ,则 ? ? ?

5.已知 ? —l—β 是大小确定的一个二面角,若 a、b 是空间两条直线,则能使 a、b 所成角的为定值的一 个条件是 A.a// ? 且 b//β B.a// ? 且 b⊥β C.a⊥ ? 且 b//β D.a⊥ ? 且 b⊥β

6.设 A、B、C、D 是空间不共面的四点,且满足 AB ? AC ? 0, AB ? AD ? 0, AC ? AD ? 0 则△BCD 是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定 ( )

5? 7..若二面角 ? ? l ? ? 为 6 ,直线 m ? ? ,直线 n ? ? ,则直线 m 与 n 所成的角取值范围是 (0, ) 2 A.

(

)

?

[ , ] B. 6 2

? ?

[ , ] C. 3 2

? ?

[ , ] D. 6 3

? ?

8.已知六棱锥 P ? ABCDEF 的底面是正六边形, PA ? 平面ABC, PA ? 2 AB ,则下列结论正确的是 A. PB ? AD C. 直线 BC ∥平面 PAE 9.正方体 ABCD— B. 二面角 P—BD—A 为 60° D. 直线PD与平面ABC所成的角为45
?

A1 B1 C1 D1 的棱上到异面直线 AB,C C1 的距离相等的点的个数为( )
-1-

A.2

B.3

C. 4

D. 5 侧

10.如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各条棱长都相等,M 是 棱 CC1 的中点,则异面直线 AB1和BM 所成的角的大小 是 ( ) B.45° C. 60° D.

A.30°

90°

11.某几何体的三视图如图所示,当 a+b 取 最大值时,这个几何体的体积为 ( )

A.

1 6

1 B. 3
o

2 C. 3

1 D. 2

12.已知二面角α -l-β 为 60

,动点 P、Q 分别在面α 、β 内,P 到β 的距离为 3 ,Q 到α 的距离为 2 3 ,

则 P、Q 两点之间距离的最小值为( ) (A) (B)2 (C) 2 3 (D)4

二. 填空题(本大题共 5 小题 ,每小题 4 分,共 20 分) 13.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点, B1MN 是直角,则 ? C1MN = 若 ∠

. 底面半

14.圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的 径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 .

15.已知点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 上, ∠PDA=60?. 则 DP 与 CC1 所成角的大小是

.

P 在直线 BC1 上运动时,三棱锥 A ? D1PC 的 16.如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,则下列四个命题: ①
体积不变;② P 在直线 BC1 上运动时,直线 AP 与平面 ACD1 所成角的大小不变;③ P 在直线 BC1 上运动时, 二面角 P ? AD1 ? C 的大小不变; ④M 是平面 A1B1C1D1 上到点 D 和 C1 距离相等的点, 则 M 点的轨迹是过 D1 点的直线. 其中真命题的编号是 17.给出下面四个命题: ①过平面外一点,作与该平面成 ? 角的直线一定有无穷多条 ②一条直线与两个相交平面都平行,则它必与这两个平面的交线平行
-2-

(写出所有真命题的编号).

③对确定的两异面直线,过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行 ④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等 其中正确的命题序号为 三.解答题(本大题共 5 小题,总分 70 分) 18. (本题满分 13 分) 一个棱柱的直观图和三视图(主视图和俯视图是正方形,左视图是等腰直角三角形)如图所示,其中 M、N 分别是 AB、AC 的中点,G 是 DF 上的一动点. (Ⅰ)求证: GN ? AC; (Ⅱ)当 FG=GD 时,证明 AG //平面 FMC.
a 主视图 左视图
F E

.

G

a a

D

俯视图
A M

C N B

19. (本题满分 13 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90? , AP ? BP ? AB , PC ? AC .
P

(Ⅰ)求证: PC ? AB ; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的正弦值。 ;
A C 20. (本题满分 15 分) 如图,已知,在空间四边形 ABCD 中, BC ? AC, AD ? BD , B

E 是 AB 的中点.
(1)求证:平面 CDE ⊥平面 ABC ; (2)若 AB ? DC ? 3, BC ? 5, BD ? 4 ,求几何体 ABCD 的体积; (3) 若 G 为△ ADC 的重心, 试在线段 AB 上找一点 F , 使得 GF CDE . ∥ 平 面

21. (本题满分 14 分) 如图, 在五面体 ABCDEF 中, FA ? 平面 ABCD, AD//BC//FE, M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE=

AB ? AD,

1 AD 2

(I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (II) 证明平面 AMD ? 平面 CDE;

-3-

22. (本题满分 15 分) 如图,正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面 直 , △ 互相垂

ABE



















AB ? AE, FA ? FE

(I)求证: EF ? 平面BCE ; (II) 设线段 CD 的中点为 P , 在直线 AE 上是否存在一点 M , 使 得

P M ? 平面

M 的位置,并证明你的 ?若存在,请指出点 B C E

结论;

若不存在,请说明理由; (III)求二面角 F ? BD ? A 的正切值。

屯溪一中高二第一学期期中考试数学试卷参考答案 一、选择题 :(本大题共 12 小题 ,每小题 5 分,共 60 分) 1.C 2.C 3.C 4.D 5.D 6.C 7.C 8.D 9.C 10.D 17. ② ④ 11.D 12.C 二. 填空题(本大题共 5 小题 ,每小题 4 分,共 20 分) 13. 90? 14. 4cm. 15. 45° 16. ①③④

三.解答题(本大题共小题,总分 70 分) 18.一个棱柱的直观图和三视图(主视图和俯视图是正方形,左视图是等腰直角三角形)如图 F E 所示,其中 M、N 分别是 AB、AC 的中点,G 是 DF 上的一动点. (Ⅰ)求证: GN ? AC; (Ⅱ)当 FG=GD 时,证明 AG //平面 FMC. (Ⅲ)求三棱锥 F ? MCE 的体积;
a
D N C

主视图

左视图

G

a a

俯视图

A

M

B

解 (Ⅰ) 由三视图可知面 ABCD , CDFE 是边长为的正方形。 因为 FD ? CD, FD ? AD , 所以,
FD ? 面 ABCD FD ? AC ,连结 DN , AC ? DN , 所以, AC ? 面 GND , GN ? 面 GND

所以
F Q G D N C E

GN ? AC (Ⅲ)连结 DE 交 FC 于 Q ,连结 QG

1 因为 G, Q, M 分别是 FD, FC , AB 的中点,所以 GQ // CD , 2 1 AM // CD , 所以 , AM // GQ , AMGQ 是 平 行四 边 形 2
-4-

A

M

B

AG ∥ QM , AG 面 FMC , MQ ? 面 FMC

所以, AG //平面 FMC. 19.如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,AC ? BC ? 2 ,?ACB ? 90? ,AP ? BP ? AB ,PC ? AC . (Ⅰ)
P

求证: PC ? AB ; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小; A (Ⅰ)证明 取 AB 中点 D ,连结 PD,CD . ? AP ? BP ,? PD ? AB .? AC ? BC ,? CD ? AB .
? PD ? CD ? D ,? AB ? 平面 PCD .? PC ? 平面 PCD ,
? PC ? AB .

B P C D A P E A C B C

B

(Ⅱ)解 ? AC ? BC , AP ? BP , ?△ APC ≌△BPC . 又 PC ? AC ,? PC ? BC .又 ?ACB ? 90? ,即 AC ? BC ,

, CE 且 AC ? PC ? C , ? BC ? 平 面 PAC . 取 AP 中 点 E . 连 结 B E . ? AB ? BP ,
? BE ? AP .? EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影,? CE ? AP .??BEC 是二面角 B ? AP ? C 的 平面角.

在 △BCE 中, ?BCE ? 90? , BC ? 2 , BE ?
B ? AP ? C 的大小的正弦值为

BC 6 3 .? 二面角 ? AB ? 6 ,? sin ?BEC ? BE 3 2

20.如图,已知,在空间四边形 ABCD 中, BC ? AC, AD ? BD ,
E 是 AB 的中点. (1)求证:平面 CDE ⊥平面 ABC ; (2)若 AB ? DC ? 3, BC ? 5, BD ? 4 ,求

几何体 ABCD 的体积; (3)若 G 为△ ADC 的重心,试在线段 AB 上找一点 F ,使得 GF ∥平 面 CDE . (1) 证明:∵BC=AC,E 为 AB 的中点,∴AB⊥CE. 又∵AD=BD,E 为 AB 的中点∴AB⊥DE. ∵ DE ? CE ? E ∴AB⊥平面 DCE∵AB ? 平面 ABC,∴平面 CDE⊥平面 ABC. (2) ∵在△BDC 中, DC=3, BC=5, BD=4, ∴CD⊥BD, 在△ADC 中, DC=3, AD=BD=4,AC=BC=5,∴CD⊥AD, ∵ AD ? BD ? D ∴CD⊥平面 ABD.所以线段 CD 的长是三棱锥 C-ABD 的 高。又在△ADB 中,DE= 16 ?

9 55 1 1 55 3 55 ?3 ? ∴VC-ABD= ? ? 3 ? (3)在 AB 上取一点 F, ? 3 2 2 4 4 2

使 AF=2FE,则可得 GF∥平面 CDE 取 DC 的中点 H,连 AH、EH∵G 为△ADC 的重心,∴G 在 AH 上,且 AG=2GH,连 FG,则 FG∥EH 又∵FG ? 平面 CDE, EH ? 平面 CDE,∴GF∥平面 CDE 21.如图, 在五面体 ABCDEF 中, FA ? 平面 ABCD, AD//BC//FE, 1 AB ? AD,M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE= AD 2
-5-

(I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (II) 证明平面 AMD ? 平面 CDE; 21.方法一: (Ⅰ)解:由题设知,BF//CE,所以∠CED(或其补角) 为异面直线 BF 与 DE 所
// AP,所以 FA // EP,同理 AB // PC。又 FA 成的角。设 P 为 AD 的中点,连结 EP,PC。因为 FE ? ? ?

⊥平面 ABCD,所以 EP⊥平面 ABCD。而 PC,AD 都在平面 ABCD 内,故 EP⊥PC,EP⊥AD。由 AB⊥AD,可 得 PC⊥AD 设 FA=a,则 EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= 2a , 故∠CED=60°。所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60°
DM ? CE.连结MP,则MP ? CE. (II)证明:因为 DC ? DE且M为CE的中点,所以
又MP ? DM ? M,故CE ? 平面AMD.而CE ? 平面CDE,所以平面 AMD ? 平面CDE.

. 方 法 二 : 如 图 所 示 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 点 A 为 坐 标 原 点 。 设 AB ? 1, 依题意得
?1 1? B?1, 0, 0?, C ?1, 1, 0?, D?0, 2, 0?, E ?0, 1, 1?, F?0, 0, 1?, M? , 1, ?. ? 2 2?

(I) 解: BF ? ?? 1 , 0, 1?, DE ? ?0, ?1 , 1?,

于是 cos BF, DE ?

BF ? DE BF DE

?

0 ? 0 ?1

1 ? . 2? 2 2

所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 600 .
?1 1? (II)证明:由AM ? ? , 1, ?, CE ? ?? 1 , 0, 1?,AD ? ?0, 2, 0?,可得CE ? AM ? 0 , ?2 2?

CE ? AD ? 0.因此,CE ? AM,CE ? AD.又AM ? AD ? A,故CE ? 平面AMD.
而CE ? 平面CDE,所以平面 AMD ? 平面CDE.

22.如图, 正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂 直,△ ABE 是等腰直角三角形, AB ? AE, FA ? FE, ?AEF ? 45? (I)求证: EF ? 平面BCE ; (II)设线段 CD 的中点为 P ,在直线 AE 上是否存在一点 M ,使得

PM ? 平面BCE ?若存在,请指出点 M 的位置,并证明你的结论;若
不存在,请说明理由; (III)求二面角 F ? BD ? A 的大小。 解法一: (Ⅰ)因为平面 ABEF ⊥平面 ABCD , BC ? 平面
ABCD , 平面 ABEF ? 平面 ABCD ? AB , 所以 BC ⊥平面
ABEF 所以 BC ⊥ EF . 因为 ?ABE 为等腰直角三角形,
-6-

AB ? AE , 所以 ?AEB ? 45? 又因为 ?AEF ? 45? , 所以 ?FEB ? 45? ? 45? ? 90? , 即 EF ⊥ BE ? B ,

所以 EF ⊥平面 BCE 。 (Ⅱ)存在点 M ,当 M 为线段 AE 的中点时,PM∥平面 BCE 取 BE 的中点 N,连接 AN,MN, 1 则 MN∥= AB ∥=PC,所以 PMNC 为平行四边形,所以 PM∥CN, 因为 CN 在平面 BCE 内, 2 PM 不在平面 BCE 内, 所以 PM∥平面 BCE (Ⅲ)由 EA⊥AB,平面 ABEF⊥平面 ABCD,易知,EA⊥平面 ABCD,作 FG⊥AB,交 BA 的延长线 于 G,则 FG∥EA。从而,FG⊥平面 ABCD,作 GH⊥BD 于 G,连结 FH,则由三垂线定理知,BD ⊥FH,因此,∠AEF 为二面角 F-BD-A 的平面角,因为 FA=FE, ∠AEF=45°,所以∠AFE=90°, ∠ FAG=45 ° . 设 AB=1, 则 AE=1,AF=
1 2 .FG=AF · sinFAG= 在 Rt △ FGH 中 , ∠ 2 2

GBH=45°,BG=AB+AG=1+

1 3 3 FG 2 3 2 = ,GH=BG·sinGBH= · = 在 Rt△FGH 中,tanFHG= = 2 2 2 GH 2 4

2 2 故二面角 F-BD-A 的正切值为 3 3 。
解法二: (Ⅰ)因为△ ABE 为等腰直角三角形 ,AB=AE,所以 AE⊥AB. 又因为平面 ABEF ⊥平面 ABCD,AE ? 平 面 ABEF, 平 面 ABEF ∩平面 ABCD=AB, 所以 AE ⊥平面 ABCD. 所以 AE ⊥ AD. 因 此,AD,AB,AE 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系 A-xyz.设 AB=1,则 AE=1, B(0,1,0) ,D (1, 0, 0 ) E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ). 1 1 因 为 FA=FE, ∠ AEF = 45 ° , 所 以 ∠ AFE= 90 ° . 从 而 , F (0, ? , ) . 所 以 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 1 1 EF ? (0, ? , ) , BE ? (0, ?1,1) , BC ? (1,0,0) . EF ? BE ? 0 ? ? ? 0 , EF ? BC ? 0 .所以 EF⊥BE, 2 2 2 2 EF⊥BC.因为 BE ? 平面 BCE,BC∩BE=B ,所以 EF⊥平面 BCE. (Ⅱ)存在点 M,当 M 为 AE 中点时,PM ∥平面 BCE. ???? ? ???? ? ??? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 M (0,0, ),P ( 1, ,0 ).从而 PM = (?1, ? , ) ,于是 PM · EF = (?1, ? , ) · (0, ? , ? ) =0, 2 2 2 2 2 2 2 2 所以 PM⊥FE,又 EF⊥平面 BCE,直线 PM 不在平面 BCE 内, 故 PMM∥平面 BCE. ?? ?? (Ⅲ)设平面 BDF 的一个法向量为 n1 ,并设 n1 =(x,y,z).

uuu v BD ? (, 1 ? 1, 0) ,

uv uuu v ? ?n1 gBD ? 0 v ? uv uuu n g BF ?0 ? ? 1

uuu v 3 1 BF ? (0, ? ,) 2 2

?x ? y ? 0 ? 1 即 ? 3 ? y ? z?0 ? ? 2 2

?? ? ?? ? 取 y=1,则 x=1,z=3。从而 n1 ? 。取平面 ABD 的一个法向量为 n2 ? 。 (, 11, 3) (0,0,1)
uv uu v u u v uu v n1 gn 2 3 3 11 cos(n1 , n 2 ) ? uv uu ? 。故二面角 F—BD—A 的余弦值为 v ? 11 11g 1 n1 n 2

-7-

故其正切值为

2 3 。

-8-


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