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2.2.2 反证法 课件


第二章 推理与证明 2.2.2 反证法

温故迎新
1.直接证明的两种基本证法: 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点:
综合法: 已知条件 ????? 结论 分析法: 结论

?????已知条件

由因导果 执果索因

3、在实际解题时,两种方法如何运用? 通常用

分析法寻求思路, 再由综合法书写过程.

路 边 苦 李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩, 看到路边的李树上结满了果子.小伙 伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在 原地不动.伙伴问他为什么不去摘?

王戎是怎么知
道李子是苦的呢?

他运用了怎样的
推理方法?

王戎回答说:“树在道边而多子, 此必苦李.”小伙伴摘取一个尝 了一下,果然是苦李.

王戎的推理方法是:

假设李子不苦,
则因树在“道”边,李子早就被别
人采摘而没有了,

这与“多李”产生矛盾.
所以假设不成立,李为苦李.

引例
证明:在一个三角形中至少 有一个角不小于60°.
已知:∠A, ∠ B, ∠ C是△ABC的内角. 求证: ∠ A, ∠ B, ∠ C中至少有一个 不小于60°

已知:∠A, ∠ B, ∠ C是△ABC的内角. 求证: ∠ A, ∠ B, ∠ C中至少有一个不小于60° 证明: 假设 ?ABC 的三个内角∠A, ∠ B, ∠ C都小于60°, 所以∠ A < 60°,∠B < 60°, ∠C < 60°

∴ ∠A+∠B+∠C<180°
这与 三角形内角和等于180° 相矛盾.

∴ 假设 不能成立,所求证的结论成立.
先假设结论的反面是正确的,然后通过逻辑推理, 推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾, 说明假设不成立,从而得到原结论正确。

这种证明方法就是-----反证法

一、探究定义
一般地,假设原命题不成立(即在原命题 的条件下,结论不成立),经过正确的推理, 最后得出矛盾。因此说明假设错误,从而证明 了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。

把这种不是直接从原命题的条件逐步 推得命题成立的证明方法称为间接证明
注:反证法是最常见的间接证法。

二、探究反证法的证明过程
否定结论——推出矛盾——肯定结论 即分三个步骤:反设—归谬—存真
反设——假设命题的结论不成立; 归谬——从假设出发,经过一系列正确的推理,得出矛盾;

存真——由矛盾结果,断定反设不成立,从而肯定原结论成立。

归缪矛盾: (1)与已知条件矛盾;

(2)与假设矛盾或自相矛盾;
(3)与已有公理、定理、定义、事实矛盾.

反证法的思维方法:正难则反

三、典例剖析---类型一: 例1: 已知直线a , b 和平面 ? ,如果 a ? ? , b ? ? 且 a // b ,求证: a // ? .
证明:因为a∥b 证明:因为a∥b,所以经过 直线 a , b确定一个平面 ? . 因为 a ? ? ,而 a ? ?
?

a

?

b

P

所以 ? 与 ? 是两个不同的平面. ? ?? ?b . 因为 b ? ? , 且b ? ? ,所以 下面用反证法证明直线 a 与平面 ? 没有 公共点.假设直线 a 与平面 ? 有公共点P, 则 P ? ? ? ? ? b ,即点P是直线a与b的公共 点,这与 a // b 矛盾,所以 a // ? .

三、典例剖析---类型二:
例2.证明: 2, 3, 5 不可能成等差数列 证明: 假设 2, 3, 5 能成等差数列,则 2 3? 2? 5
两边平方得:

化简得:

(2 3) ? ( 2 ? 5) 5 ? 2 10
2

2

两边平方得: 25 ? 40 此式显然不成立,所以假设错误

所以 2, 3, 5 不可能成等差数列

注:否定型命题(命题的结论是“不可能……”,
“不能表示为……”,“不是……”,“不存在……” , “不等于……”,“不具有某种性质”等) 常用反证法

三、典例剖析---类型三:
例3 求证: 2 是无理数。
证:假设 2是有理数,

∴ m = 2n ∴ m = 2n
2 2 2

m 则存在互质的整数m,n使得 2 = , n 2 2
∴m 2 是偶数,从而m必是偶数,故设m = 2k(k∈N?)

从而有4k = 2n ,即n = 2k 这与m,n互质矛盾! ∴n2也是偶数,
所以假设不成立,2是有理数成立。

2

练习: 已知a≠0, 证明:关于x的方程ax=b有且只有一个根。
证明:假设方程有两根 不妨设其中的两根分别为x1,x2且x1 ≠ x 2 则ax1 = b,ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax2 = 0 ∴a(x1 - x2) =0

x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0

∴a = 0

与已知a ≠ 0矛盾,

故假设不成立,结论成立。

注:唯一性命题(命题的结论是“有且只有”,“只 有一个,“唯一存在”等) 常用反证法。

归纳总结:
哪些命题适宜用反证法加以证明? (1)直接证明有困难 (2)否定性命题 (3)唯一性命题 (4)至多,至少型命题

正难则反!

牛顿曾经说过:“反证法是数学家最精当的武器之一”

四、归纳步骤
反证法的一般步骤
分清条件和结论 先假设命题的结论不成立

从假设出发,经过推理
得出矛盾

否定假设
肯定原命题

五、巩固新知:
1、写出用“反证法”证明下列命题的 “假 设”.

(1)互补的两个角不能都大于90°.
假设互补的两个角都大于90°.

(2)△ ABC 中 , 最多有一个钝角 假设△ABC中,至少有两个钝角
(3) “若a2≠ b2,则a ≠ b”
假设a=b


尝试练习
1.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数.

证:

假设这个数是奇数,可以设为2k+1, 则有

k ? Z.

(2k ? 1)2 ? 4k 2 ? 4k ? 1



不是偶数 4k 2 ? 4k ? 1 (k ? Z) 这与原命题条件矛盾. 所以原命题成立

六、全课总结
1、知识小结: 反证法证明的思路:假设命题的结 论不成立→正确的推理,得出矛盾→否定 假设,肯定待证明的命题 2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准 确而全面的找出命题结论的反面。“至 少”的反面是“没有”,“最多”的反 面是“不止”。

准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的, 下面是一些常见的结论的否定形式.
原词语 否定词 原词语 任意的 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个 对任何x, 不成立 否定词

等于
是 都是 大于 小于 对所有x,成立

不等于 不是 不都是 不大于 不小于 存在某个x, 不成立

某个

一个也没有 至少有两个 至多有(n-1)个 至少有(n+1)个 存在某个x, 成立


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