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高三数学假期作业一及详解答案


高三数学暑假作业(一) 一.选择(每题 5 分,共计 60 分)

张雪

2014-7-5

S m?1 ? ?2 , S m ? 0 , S m?1 ? 3 ,则 m ? (

) D. 6

2 1.(2010·山东高考文科·T1)已知全集 U ? R ,集合 M ? x x

? 4 ? 0 ,则 CU M =(

?

?

)

A. 3

B. 4

C. 5

(A)

? x ?2 ? x ? 2?

(B)

? x ?2 ? x ? 2?

8.(2013·天津高考理科·T3)阅读下边的程序框图,运行相应

(C) x x ? ?2或x ? 2

?

?

(D) x x ? ?2或x ? 2

?

?
)

的程序,若输入 x 的值为 1,则输出 S 的值为 A.64 B.73 C.512 D.585

(

)

2.(2013·新课标Ⅱ高考理科·T8)设 a=log36,b=log510,c=log714,则 ( A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c

9.(2013·重庆高考文科·T4)设 P 是圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 上的动点, Q 是 直线 x ? ?3 上的动点,则 PQ 的最小值为 A. 6 B.4 C. 3 ( ) D. 2

3.(2013·湖北高考理科·T3)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳 一次,设命题 p 是“甲降落在指定范围” ,q 是“乙降落在指定范围” , 则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A.(﹁p)∨(﹁q) )

10. (2012·重庆高考理科·T6)设 x, y ? R ,向量 a ? ( x,1) , b ? (1, y) , c ? (2,?4) 且 a ? c , b // c ,则 a ? b ? ( (A) 5 (B) 10 ) (C) 2 5 (D)10

B. p∨(﹁q) C. (﹁p)∧(﹁q) D.p∨q )

4.(2013·北京高考文科·T2)设 a,b,c∈R,且 a>b,则( A.ac>bc B. ?
1 a 1 b

C.a2>b2

D.a3>b3

5.(2013·湖南高考文科·T4)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1

? x ? y ? 2, ? 11.(2013·福建高考文科·T6)若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 1, 则 z=2x+y ? y ? 0, ?

的最大值和最小值分别为 A.4 和 3 B.4 和 2

(

) C.3 和 2 D.2 和 0

6. (2013· 湖南高考理科· T5) 函数 f ? x ? ? 2ln x 的图象与函数 g ? x? ? x2 ? 4x ? 5 的图象的交点个数为( A.3 B.2 ) C.1 D.0

12.(2012·湖北高考理科·T8)如图,在圆心角为直角的 扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆。在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( (A) 1 ?
1

) (D)
1 ?

7.(2013·新课标Ⅰ高考理科·T7)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若

2 ?

(B) ?

1 2

1 ?

(C)

2 ?

二.填空(每题 5 分,共计 20 分) 13. (2013· 浙江高考理科· T6) 已知 ? ? R , sin ? ? 2cos ? ?
10 a 2 t , 则n 2

? ? ____.

14.(2013·江西高考理科·T2)函数 y ? x ln(1 ? x) 的定义域为______. 15.(2012·陕西高考理科·T8)两人进行乒乓球比赛,先赢 3 局者获胜, 决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不 同情形)共有______种 16.(2012·大纲版全国卷高考文科·T16)已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E、F 分别为 BB1 , CC1 的中点,那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值 为______. 三.解答题(17 题 10 分, 其余每题 12 分)
B C 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 17. (2012· 重庆高考文科· T13) 设 ?A

19.(2013·新课标Ⅰ高考理科·T14)若数列 {an } 的前 n 项和 S n ? a n ? , 求 {an } 的通项公式 an

2 3

1 3

且 a ? 1, b ? 2, cos C ? ,求 sin B 的值 20.(2012·陕西高考理科·T20) 某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立, 且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间(分) 18.(2012·四川高考文科·T18)已知函数 f ( x) ? cos 2 ? sin cos ? .
3 2 (1)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域; (2)若 f (? ) ? ,求 sin 2? 的值. 10
2

1 4

1 0.1

2 0.4

3 0.3

4 0.1

5 0.1

x 2

x 2

x 2

1 2





从第一个顾客开始办理业务时计时. (Ⅰ)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率.

(Ⅱ) X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数 学期望.

22.(2013·辽宁高考理科·T18)如图, AB 是圆的直径, PA 垂直圆所在 的平面, C 是圆上的点。
(?) 求证:平面 PAC ? 平面 PBC ; (?? ) 若 AB ? 2, AC ? 1, PA ? 1, 求二面角 C ? PB ? A 的余弦值。

x2 y2 21(2012·湖南高考理科·T5)已知双曲线 C: 2 - 2 =1 的焦距为 10 , b a

点 P (2,1)在 C 的渐近线上,求 C 的方程.

3

答案详解
1.【规范解答】选 C.因为集合 M=

? U M= ? x x ? ?2或x ? 2? ,故选 C. ?x ? 2 ? x ? 2? ,全集 U=R ,所以C

2.【解析】选 D.由题意知:a=log36=1+log32= 1 ?

1 1 , b ? log5 10 ? 1 ? log5 2 ? 1 ? log 2 3 log 2 5

可行域的三个端点为

?1,0? , ? 2,0? , ?1,1? ,分别代入可得 z

min=2×1+0=2,zmax=2×2+0=4.

c=log714=1+log7 2=1 ?

1 , 因为 log23<log25<log27,所以 a>b>c,故选 D. log 2 7

12. 【解析】选 A. 设 OA=2, 则扇形 OAB 的面积为π .阴影部分的面积为:

3. 【解析】选 A. 因为 p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则﹁p 是“没有降落在指定范围”, ﹁q 是“乙没有降落在指定范围”,所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 (?p ) ∨(?q ) . 4. 【解析】选 D.y=x3 在(-∞,+∞)上为增函数,所以 a3>b3. 5. 【解析】选 B, 因为

1 1 1 1 ? ?2 ( ? ? ) ? 2 ? ? ? [? ? ( ? ? ) ? 2] ? ? ? 2 ,由 pP? 可知结果 4 2 4 2 ?

f (?1) ? ? f (1), g (?1) ? g (1) ,代入条件等式再相加,得 g (1) ? 3

? 10 ? 10 ?sin ? ? ? ?sin ? ? 2cos ? ? ? 10 13.【解析】由 ? 2 ,解得 ? ? cos ? ? 3 10 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ? ? 10 ?

? 3 10 ?sin ? ? ? 10 或? ? cos ? ? 10 ? 10 ?
2 3 3 ?? 2 4 ? 1? 1? ? ? ? ? 3? ?

6. 【解析】选 B.在同一坐标系中作出 f(x)=2 ㏑ x 和 g(x)=x2-4x+5 的图象就看出有两交点 7. 【解析】选 C.由已知得, am

? S m ? S m?1 ? 2 , am?1 ? S m?1 ? S m ? 3 ,因为数列 {an } 为等差数列,所以
m(a1 ? a m ) ? 0 ,所以 m(a1 ? 2) ? 0 ,因为 m ? 0 ,所以 a1 ? ?2 , 2

2 tan ? 1 1 ? 所以 tan ? ? ? 或 tan ? ? 3 ,当 tan ? ? ? 时, tan 2? ? 3 3 1 ? tan 2 ?
2 tan ? 6 3 ? ?? 2 2 1 ? tan ? 1 ? 3 4

d ? am?1 ? am ? 1,又因为 S m ?
又 am

当 tan ?

? 3 时, tan 2? ?

? a1 ? (m ? 1)d ? 2 ,解得 m ? 5 .

14. 【解析】要使函数有意义,则 ?

8.【解析】选 B.因为输入的 x 的值为 1,第一次循环 S=1,x=2;第二次循环 S=9,x=4;第三次循环 S=73,此时满足输出条 件,故输出,则输出 S 的值为 73 9. 【解析】 选 B. 为 2 ,所以

?x ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 .故函数的定义域为[0,1). ?1 ? x ? 0
3 C5 ? 10

15. 【解析】20.一方赢,则只需要在 5 局中赢 3 局即可,有 16.【解析】方法一:连结 DF , EF ,则 异面直线 AE 与 D1F 所成角为 ?DFD 1

种情形,所以共有 10 ? 2 ? 20 种情形.

PQ 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.圆心 (3,?1) 到直线 x ? ?3 的距离为 6 ,半径

ADFE

为平行四边形,则

AE

∥ DF ,

PQ 的最小值为 6 ? 2 ? 4 .
解 析 】 选 B. 由

10.



a?c

,

b // c





?2 ?x ? 4 ? ? y ??4 ? 2



0 0



,

设正方体的棱长为 1.

,

?x ? 2 , a ? b ? (2,1) ? (1,?2) ? (3,?1) , a ? b ? 32 ? (?1) 2 ? 10 ? y ? ? 2 , ?
11. 【解析】选 B.可行域如图所示, 4

5 5 ? ?1 3 4 4 则 cos?DFD ? 1 ? 5 5 5 2? ? 2 2

19.【解析】由 S1

?

2 1 2 1 2 2 a1 ? ? a1 ,解得 a1 ? 1 ,又 S n ? a n ? ,所以 Sn ? Sn ?1 ? an ? an ?1 ? an , 3 3 3 3 3 3
2 的等比数列.故数列的通项公式 an ? (?2) n?1



an ? ?2 an?1

,所以数列 {an } 是首项为 1,公比为 ?

20. 【解析】设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分布列如下:

方法二:建立如图所示的空间直角坐标系

Y
P

1 0.1

2 0.4

3 0.3

4 0.1

5 0.1

设正方体棱长为 1,则 A(1,0,0) , E (1,1,

1 1 ) , D(0,0,1) , F (0,1, ) 2 2

(Ⅰ)A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务” ,则事件 A 对应三种情形: ①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟;②第一个顾客办理业务 所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均 为 2 分钟.所以

1 1 ? AE ? (0,1, ) D1F ? (0,1,? ) 2 2
3 3 COS ? AE, D1F ?? 4 ? 5 5 4

P( A) ? P(Y ? 1) P(Y ? 3) ? P(Y ? 3) P(Y ? 1) ? P(Y ? 2) P(Y ? 2)

? 0.1? 0.3 ? 0.3? 0.1? 0.4? 0.4 ? 0.22 .
2

17.【解析】由余弦定理知 c

? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 2 ?1? 2 ?
2

1 ? 4 ,解得 c ? 2 , 4

(Ⅱ)方法一:X 所有可能的取值为 0,1,2.

X ? 0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,
所以

所以 b

15 ?1? ? c , sin B ? sin C ? 1 ? ? ? ? . 4 ?4?
x x x 1 ? sin cos ? 2 2 2 2 1 1 1 ? ( 1 ? cosx ) ? sinx ? 2 2 2
2

P( X ? 0) ? P(Y ? 2) ? 0.5



18. 【解析】 (1)f(x)= cos

X ? 1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过 1 分钟,或第一个顾
客办理业务所需的时间为 2 分钟, 所以

P( X ? 1) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? P(Y ? 2)

?

2 ? , cos(x ? ) 2 4

? 0.1? 0.9 ? 0.4 ? 0.49 ;
X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟, 所以

? 2 2? , ?. 所以 f(x)的最小正周期为 2 ? ,值域为 ? ? 2 2 ? ?
(2)由(1)知,f( ? )=

P( X ? 2) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? 0.1? 0.1 ? 0.01

,

? 3 2 ? 3 2 (? ? )? , cos(? ? ) ? , 所以 cos 4 5 2 4 10

所以 X 的分布列为 X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

18 7 ? ?cos ( 2 ?? ) ? 1 ? 2cos(? ? ) ? 1? ? 所以 sin 2? ? ?cos ( ? 2?) . 2 4 4 25 25
2

?

?

?

∴ 5

EX ? 0? 0.5 ?1? 0.49 ? 2? 0.01 ? 0.51.

方法二:X 所有可能的取值为 0,1,2.

X ? 0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,
所以

P( X ? 0) ? P(Y ? 2) ? 0.5



X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟, 所以 所以

P( X ? 2) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? 0.1? 0.1 ? 0.01
P( X ? 1) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 2) ? 0.49




在直角三角形 ABC 中, AB 又 PA ? 1, 所以

? 2, AC ? 1, 所以 BC ? 3,

A(0,1,0), B( 3,0,0), P(0,1,1). 故 CB ? ( 3,0,0), CP ? (0,1,1).

所以 X 的分布列为 X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

设平面 PBC 的法向量为 n1

? ( x1, y1, z1 )

则?

?n1 ? CB ? 0, ?



EX ? 0? 0.5 ?1? 0.49 ? 2? 0.01 ? 0.51.

? ?( x , y , z ) ? ( 3, 0, 0) ? 0, ? x1 ? 0, ?? 1 1 1 ?? ( x , y , z ) ? (0,1,1) ? 0. n ? CP ? 0. ? ? y1 ? z1 ? 0. ? ? 1 1 1 ? 1

不妨令

y1 ? 1 ,则 z1 ? ?1. 故 n1 ? (0,1, ?1).

b x 21.【解析】由焦距为 10,知 2c=10,c=5.将 P(2,1)代入 y= a



设平面 PAB 的法向量为 n2

? ( x2 , y2 , z2 ) , ? (1, 3,0)
? (0,1, ?1) ? (1, 3, 0) 0 ?1 ?1 1 ? 3 ? 0
2 2 2 2 2 2

a=2b.

x2 y2 = 1 a 2 + b 2 = c 2 , 5b 2 = 25, b 2 = 5, a 2 = 4b 2 = 20 ,所以方程为 20 5 .
AB 是圆的直径,得 AC ? BC ; ? 平面 ABC ;又 BC ? 平面 ABC ,得 PA ? BC ;

由?

? ?n1 ? AB ? 0, ? ?n1 ? AP ? 0.

同理可得 n2

22.【解析】 (? ) 由

于是 cos ? n1 , n2

??

n1 ? n2 n1 n2

?

6 . 4

由 PA 垂直于圆所在的平面,得 PA 又 PA 所以 BC

AC ? A, PA ? 平面PAC, AC ? 平面PAC
? 平面PAC ,又因为 BC ? 平面PBC
? 平面 PBC ;

结合图形和题意,二面角 C ? PB ?

A 的余弦值为

6 . 4

据面面垂直判定定理,平面 PAC

(?? ) 过点 C 作 CM



AP ,由 (?) 知 CM ? 平面 ABC .

如图所示,以点 C 为坐标原点,分别以直线 CB, CA, CM 为 x, y , z 轴,建立空间直角坐标系。

6


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