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2015年高三第一轮复习圆锥曲线综合题


2015 年广东各地期末考试试题--------圆锥曲线 1.已知双曲线 x
a
2 2

?

y2 ? 1 的一条渐近线方程为 b2

y?

1 x ,则该双曲线的离心率为 2

A.

5 2

B. 3

>
C. 5

D.2

2.已知 F1、F2 是双曲线 双曲线的离心率是 A. 3 ? 2

x2 y2 点 M 在双曲线上, 若 MF 且 ?MF1 F2 ? 300 . 则 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, 1 ? MF 2 ?0 a 2 b2



) C. 4 ? 2 3
2 2

B. 3 ? 1

D. 3 ? 1
2

3.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点到双曲线

x y ? ? 1 的渐近线的距离为 4 12

A.

3 B. 3 C. 1 2
2

D.

3 6

C 的右支相交于 P , Q 两点,且 4. 已知双曲线 C : x ? y 2 ? 1 的左,右焦点分别为 F 1 , F2 ,过点 F2 的 直线与双曲线
3

点 P 的横坐标为 2 ,则△ PF1Q 的周长为 A.

16 3 3

B. 5 3

C.

14 3 3

D. 4 3

5.已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 8x ? ay ? 5 ? 0 经过抛物线 E: x 2 ? 4 y 的焦点,则抛物线 E 的准线与圆 C 相交所得弦长为 6.已知 F1 , F2 分别是双曲线 C : x ? y ? 1( a, b ? 0 )的左、右焦点,点 P 在 C 上,若 PF 1 ? F 1 F2 ,且 PF 1 ? F 1 F2 ,则 C 2 2
2 2

a

b

的离心率是(

) 2 ?1

B.

5 ?1 2

C. 2 ? 1

D. 5 ? 1

1.已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O ,两个焦点分别为 A(?1,0) 、 B(1,0) ,一个顶点为 H (2,0) . (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)对于 x 轴上的点 P(t ,0) ,椭圆 E 上存在点 M ,使得 MP ? MH ,求 t 的取值范围.

1.解: (1)由题意可得, c ? 1 , a ? 2 ,∴ b ? 3 . ∴所求的椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)设 M ( x0 , y0 ) (x0 ? ?2) ,则

x0 2 y0 2 ? ? 1 . ① 且 MP ? (t ? x0 ,? y0 ) , MH ? (2 ? x0 ,? y0 ) , 4 3
2

由 MP ? MH 可得 MP ? MH ? 0 ,即 ∴ (t ? x0 )(2 ? x0 ) ? y0 ? 0 . 由①、②消去 y0 整理得 t (2 ? x 0 ) ? ? ∴t ? ?



1 2 x 0 ? 2 x 0 ? 3 . ∵ x0 ? 2 , 4

1 1 3 (2 ? x0 ) ? 1 ? x0 ? . ∵ ? 2 ? x0 ? 2 , ∴ ? 2 ? t ? ?1 . ∴ t 的取值范围为 (?2,?1) . 4 4 2

2. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 已 知 三 点 O(0,0), A(?1,1), B(1,1) , 曲 线 C 上 任 意 一 点 M ( x, y ) 满 足 :

1 | MA ? MB |? 4 ? OM ? (OA ? OB ) .(1)求曲线 C 的方程; 2 (2)设点 P 是曲线 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与曲线相交于 M , N 两点,若直 线 PM , PN 的斜率都存在,
并记为 k PM , k PN . 试探究 k PM ? k PN 的值是否与点 P 及直线 L 有关,并证明你的结论.

2.解:(1)由题意可得, MA ? MB ? (?1 ? x,1 ? y) ? (1 ? x,1 ? y) ? (?2x,2 ? 2 y) , 所以 | MA ? MB |? 又4?

(?2 x) 2 ? (2 ? 2 y ) 2 ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 8 y ? 4 ,

x2 y2 1 1 ? 1. OM ? (OA ? OB ) ? 4 ? ( x, y ) ? (0,2) ? 4 ? y ,所以 4 x 2 ? 4 y 2 ? 8 y ? 4 ? 4 ? y ,即 ? 2 2 3 4

(2)因为过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M , N 关于坐标原点对称, 所以可设 P( x, y), M ( x0 , y0 ), N (? x0 ,? y0 ) . 因为 P, M , N 在椭圆上,所以有
2 y 2 ? y0 4 ?? . 2 2 3 x ? x0

x2 y2 ? ? 1 , ………① 3 4
又 k PM ?

x2 0 3

?

y2 0 4

? 1 , ………② ①-②得
所以 k PM ? k PN ?

y ? y0 y ? y0 , k PN ? , x ? x0 x ? x0

2 y ? y0 y ? y0 y 2 ? y0 4 ? ? 2 ?? , 2 x ? x0 x ? x0 3 x ? x0

故 k PM ? k PN 的值与点 P 的位置无关,与直线 L 也无关. 4.已知 ?ABC 的两顶点 B(1, 0) 和 C (?1, 0) ,两边 AB、AC 所在直线的斜率之积是 ?2 , (1)求顶点 A 的轨迹 Q ; (2)若直线 l 与轨迹 Q 只有一个公共点,且公共点在第一象限,试求直线 l 与两坐标轴围 成的三角形的面积的最小值,并求此时直线 l 的方程.

4.解: (1)设点 A( x, y ) ,则由题可知:

y y y2 ? ?2 ? x ? ?1? , 化简可得: x 2 ? ? 1 ? x ? ?1? , x ?1 x ?1 2

所以点 A 的轨迹 Q 是以 ? 0, ?1? 和 ? 0,1? 为焦点,长轴长为 2 2 的椭圆(除 B、C 两点). (2)设直线 l 方程为 y ? kx ? b ,则 k ? 0, b ? 0 , 则直线 l 与两轴的交点分别为 ? ?

? b ? , 0 ? 、 ? 0, b ? . ? k ?
? 0即 b 2 ? k 2 ? 2 , ,

? y ? kx ? b 2 2 k b x b? 2? 2 ? 0 (*) ? ? ? 4k 2 b 2 ? 4 k2 ? 2 由? , 得 k ?2x ?2 ? 2 y2 ?1 ?x ? ? 2

?

?

?

??

b2 ? ?2

所以三角形面积 S ?

1 ? b? k 2 ? 2 ?k ? 1 ? ?k ? 1 ? ??? ??b ? ? ? ?? ? ? 2 ??? ? ? 2 2 ? k? ?2k 2 ? k? 2 ? k?

当且仅当

?k ? 1 ? ? ? ? ? ,即 k ? ? 2 时,直线 l 与两坐标轴围成的三角形面积取得最小值 2 . 2 ? k?
2

此时 b ? k ? 2 ? 4 , b ? 2 ,经检验知:符合题意. ∴直线 l 的方程为 y ? ? 2 x ? 2 时,三角形面积的最小值为 2 .
2

5.已知椭圆 C1 的一个焦点为 (0,? 3) ,且图象经过点 ( , 3 ) .开口向上的抛物线 C 2 的焦点到准线的距离为 2 , C1 的 中心和 C2 的顶点均为坐标原点 O .(1)求 C1 、 C 2 的标准方程; (2) A、B 为抛物线 C 2 上的两点,分别过 A、B 作抛 物线 C 2 的切线,两条切线交于点 Q ,若点 Q 恰好在其准线上.①直线 AB 是否过定点?若是,求出定点坐标,若不是, 说明理由;②指出点 Q 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.

1 2

y2 x2 2 5.解: (1)由题意,可设椭圆 C1 的方程为 2 ? 2 ? 1 ,抛物线 C 2 的方程为 x ? 2 py . a b

? 2a ?

1 1 1 7 ? ? 12 ? ? ? 4 ,? a ? 2 . 又 c ? 3 ,?b ? a 2 ? c 2 ? 1 , 4 4 2 2
y2 ? x 2 ? 1 . ? 抛物线 C 2 的焦点到准线的距离为 2 ,? p ? 2 ,? 抛物线 C 2 的方程为 x 2 ? 4 y . 4

? 椭圆 C1 的方程为

x x 1 2 1 / (2)①解:设 A( x1 , 1 ) , B ( x 2 , 2 ) .由 x 2 ? 4 y 得: y ? x ,? y ? x , 4 2 4 4

2

2

? 过点 A 的切线 AQ 的方程为 y ?

x12 x1 x x2 ? ( x ? x1 ) ,即 y ? 1 x ? 1 . 4 2 2 4 2 x x x x2 同理过点 B 的切线 BQ 的方程为 y ? 2 ? 2 ( x ? x2 ) ,即 y ? 2 x ? 2 . 2 4 4 2

于是得交点 Q (

x1 ? x2 x1 x2 , ) . ? 点 Q 恰好在准线 y ? ?1 上,? x1 x2 ? ?4 . 又 k AB 2 4

x1 x ? 2 4 = x1 ? x2 , ? 4 4 x1 ? x2

2

2

所以直线 AB 的方程为 y ?

x ? x2 xx x ?x x12 x1 ? x2 ? ( x ? x 1 ) ,化简得 y ? 1 x ? 1 2 ,即 y ? 1 2 x ? 1 , 4 4 4 4 4

所以直线 AB 过定点 (0,1) . ②? Q (

x1 ? x2 x ?x x2 x ?x x 2 , ?1) ,? QA ? ( 1 2 , 1 ? 1) , QB ? ( 2 1 , 2 ? 1) , 2 4 2 4 2
( x1 ? x2 ) 2 x2 x2 x2 x2 x x ? ( 1 ? 1)( 2 ? 1) ? 1 2 ? 1 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 . 4 4 4 16 2

所以 QA ? QB ? ?

? QA ? QB ,即点 Q 在以线段 AB 为直径的圆上.

x2 y 2 6.如图,设 F1 、 F2 分别是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点, a b
B 为短轴上一个端点,且 ?F1BF2 是边长为 2 的等边三角形.(1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)若椭圆 C 上关于原点对称的两点 M 、 N ,点 P( x0 , y0 ) 使得直线 PM 与直线

B

y

F1 O

F2

x

(第 6 题图)

PN 的斜率之积为 ?

b2 ,证明:点 P 在椭圆 C 上. a2

2 2 2 6.解: (1)由图可知: c ?| OF2 |? 1 , 2a ? BF 1 ? BF 2 ? 2 ? 2 ? 4 ,所以 a ? 2 , 所以 b ? a ? c ? 3 ,

所以椭圆 C 的标准方程是

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

证明: (2)设 M ( x1 , y1 ) , N (? x1 ,? y1 ) ( x0 ? ? x1 ) , 所以 k PM ?

y0 ? y1 y ? y1 , k PN ? 0 . x0 ? x1 x0 ? x1

由直线 PM 与直线 PN 的斜率之积为 ?

b2 y0 ? y1 y0 ? y1 y02 ? y12 b2 ,得 . k ? k ? ? ? ? ? PM PN a2 x0 ? x1 x0 ? x1 x0 2 ? x12 a2
y0 ? (b 2 ?
2

由点 M , N 在椭圆上,得 y1 ? b ?
2

2

b 2 x , 所以, 2 1 a

2

b2 2 x1 ) b2 a2 ? ? , 2 2 a2 x0 ? x1
2 2

即 y0

2

2 2 x y b2 2 b2 2 b2 2 ? b ? 2 x1 ? 2 x1 ? 2 x0 ,整理得 x02 ? y02 ? 1 . 所以点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 上. a b a a a a b

2

7.((江门理))在平面直角坐标系 xOy 中,点 A、B 的坐标分别是 ( 0 , ? 3 ) 、 ( 0 , 3 ) ,直线 AM、BM 相交于点 M, 且它们的斜率之积是 ? 求直线 l 的方程.

1 .⑴求点 M 的轨迹 L 方程;⑵若直线 l 经过点 P( 4 , 1 ) ,与轨迹 L 有且仅有一个公共点, 2

7.(江门理)解:⑴设 M( x , y )是轨迹上任意一点, k AM ?

y?3 y ?3 , k BM ? x x x2 y2 y ?3 y ?3 1 ? ? 1 ,其中 x ? 0 依题意, k AM ? k BM ? 整理化简得轨迹方程为 ? ?? 18 9 x x 2 ⑵显然所求直线 l 存在斜率,设 l : y ? 1 ? k ( x ? 4) ? 3 ?1 ①当直线 l 经过 A 点时, k ? ? 1 ……8 分,代入 y ? 1 ? k ( x ? 4) 得 y ? x ? 3 ; 0?4 3 ?1 1 1 ②当直线 l 经过 B 点时, k ? ? ? ……10 分,代入 y ? 1 ? k ( x ? 4) 得 y ? ? x ? 3 0?4 2 2 2 2 ?x y ?1 ? ? ③当点 P 为切点时,由 ? 18 得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 4k (4k ? 1) x ? (32k 2 ? 16k ? 16) ? 0 9 ? y ? 1 ? k ( x ? 4) ?

解 ? ? [?4k (4k ? 1)] 2 ? 4(2k 2 ? 1)(32k 2 ? 16k ? 16) ? k 2 ? 4k ? 4 ? 0 得 k ? ?2 1 代入 y ? 1 ? k ( x ? 4) 得 y ? ?2 x ? 9 ,综上所述,直线 l 的方程为 y ? ? x ? 3 或 y ? x ? 3 或 y ? ?2 x ? 9 (注: 2 ①②③三种情况独立给分)

8(江门文)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的焦点为 F1 (?4 , 0) 、 F2 (4 , 0) ,且经过点 P(3 , 1 ) . ⑴求椭圆 C 的标准方程;⑵若点 M 在椭圆 C 上,且 OM ?

1 PF1 ? ? PF2 ,求 ? 的值. 2

8(江门文)解:⑴(方法一)依题意,设椭圆 C 的标准方程为

x2 a2

?

y2 b2

?1(a ? b ? 0 )

2a ?| PF1 | ? | PF2 | ? (3 ? 4) 2 ? 12 ? (3 ? 4) 2 ? 12 ? 6 2 ,∴ a ? 3 2 c ? 4 ,∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2

椭圆 C 的标准方程为

x2 y2 ? ?1 18 2
x2 a
2

(方法二)依题意,设椭圆 C 的标准方程为 ∵ c ? 4 ,∴ a 2 ? b 2 ? c 2 ? b 2 ? 16 ,

?

y2 b2

?1(a ? b ? 0 )

9 1 y2 x2 ? 2 ?1 ? ? 1 ∵点 P(3 , 1 ) 在椭圆 C 上,∴ 2 2 2 b ? 16 b b ? 16 b b 4 ? 6b 2 ? 16 ? 0 ……5 分,解得 b 2 ? 2 或 b 2 ? ?8 (负值舍去)

a 2 ? b 2 ? 16 ? 18 ,椭圆 C 的标准方程为

x2 y2 ? ?1 18 2

1 1 2? ? 7 2? ? 1 2? ? 7 2? ? 1 PF1 ? ? PF2 ? (?7 , ? 1) ? ? (1 , ? 1) ? ( , ? ) 点 M 的坐标为 M ( , ? ) 2 2 2 2 2 2 1 2? ? 7 2 1 2? ? 1 2 1 7 ∵点 M 在椭圆 C 上,∴ ? ( ) ? (? ) ? 1 即 20?2 ? 4? ? 7 ? 0 ,解得 ? ? 或 ? ? ? 18 2 2 2 2 10
⑵ OM ?

x2 y 2 3 9. ( (广州文) )已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且经过点 ? 0,1? .圆 C1 : x2 ? y 2 ? a2 ? b2 . a b 2
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m ? k ? 0? 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M ,且 l 与圆 C1 相交于 A, B 两点,问 AM ? BM ? 0 是否成立?请说明理由.

9. (广州文) (1)解:∵ 椭圆 C : x ? y ? 1 过点 ? 0,1? , ∴ b ? 1 .∵ 2 2
2 2

2

a

b

c 3 2 ? , a ? b2 ? c 2 , a 2

∴ a ? 4 . ∴椭圆 C 的方程为
2

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)解法 1:由(1)知,圆 C1 的方程为 x2 ? y 2 ? 5 ,其圆心为原点 O . ∵直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M ,

? y ? kx ? m, ? 2 2 2 ∴方程组 ? x 2 (*) 有且只有一组解.由(*)得 ?1 ? 4k ? x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?4
从而 ? ? ? 8km ? ? 4 1 ? 4k
2

?

2

?? 4m

2

? 4 ? ? 0 ,化简得 m2 ? 1 ? 4k 2 .①

xM ? ?

4k 2 m m 8km 4km y ? kx ? m ? ? ? m ? , . ? ? M M 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ?1 ? 4k 2 ?

∴ 点 M 的坐标为 ? ?

m ? ? 4km . 由于 k ? 0 ,结合①式知 m ? 0 , , 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4 k ?

m 2 1 ∴ kOM ? k ? 1 ? 4k ? k ? ? ? ?1 . 4km 4 ? 2 1 ? 4k
∴ AM ? BM ? 0 不成立.

∴ OM 与 AB 不垂直.

∴ 点 M 不是线段 AB 的中点.

解法 2:由(1)知,圆 C1 的方程为 x2 ? y 2 ? 5 ,其圆心为原点 O .∵直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M ,

? y ? kx ? m, ? 2 2 2 ∴方程组 ? x 2 (*) 有且只有一组解.由(*)得 ?1 ? 4k ? x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?4
从而 ? ? ? 8km ? ? 4 1 ? 4k
2

?

2

?? 4m

2

? 4 ? ? 0 ,化简得 m2 ? 1 ? 4k 2 .① xM ? ?

8km 4km , ?? 2 1 ? 4k 2 2 ?1 ? 4k ?

由于 k ? 0 ,结合①式知 m ? 0 ,

设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 N ? xN , yN ? , ∴ xN ?

由?

? y ? kx ? m, 2 2 2 消去 y ,得 ?1 ? k ? x ? 2kmx ? m ? 5 ? 0 . 2 2 ? x ? y ? 5,

x1 ? x2 km ?? . 2 1? k 2

若 xN ? xM ,得 ?

km 4km ?? ,化简得 3 ? 0 ,矛盾. ∴ 点 N 与点 M 不重合. 2 1? k 1 ? 4k 2
∴ AM ? BM ? 0 不成立.

∴ 点 M 不是线段 AB 的中点.

10. (广州理) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ,且经过点 ? 0,1? .圆 C1 : x2 ? y 2 ? a2 ? b2 . ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 2 a b 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m ? k ? 0? 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M ,且 l 与圆 C1 相交于 A, B 两 点,问 AM ? BM ? 0 是否成立?请说明理由.

10. (广州理) (1)解:∵ 椭圆 C :

x2 y 2 c 3 2 ? 2 ? 1 过点 ? 0,1? , ∴ b2 ? 1 . ∵ ? , a ? b2 ? c 2 ,∴ a 2 ? 4 . 2 a b a 2

∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)解法 1:由(1)知,圆 C1 的方程为 x2 ? y 2 ? 5 ,其圆心为原点 O .∵直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M ,

? y ? kx ? m, ? 2 2 2 ∴方程组 ? x 2 (*) 有且只有一组解.由(*)得 ?1 ? 4k ? x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?4
从而 ? ? ? 8km ? ? 4 1 ? 4k
2

?

2

?? 4m

2

? 4 ? ? 0 ,化简得 m2 ? 1 ? 4k 2 .①

xM ? ?

8km 4km , 4k 2 m m . ∴ 点 M 的坐标为 ? ? 4km , m ? ? y ? kx ? m ? ? ? m ? ? 2 2 M M 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 ? 4k ? 1 ? 4k 1 ? 4 k 2 ?1 ? 4k 2 ?

? ?. ?

m 2 1 由于 k ? 0 ,结合①式知 m ? 0 , ∴ kOM ? k ? 1 ? 4k ? k ? ? ? ?1 . 4km 4 ? 1 ? 4k 2
∴ OM 与 AB 不垂直.∴ 点 M 不是线段 AB 的中点.
2 2

∴ AM ? BM ? 0 不成立.

解法 2:由(1)知,圆 C1 的方程为 x ? y ? 5 ,其圆心为原点 O . ∵直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M ,

? y ? kx ? m, ? 2 2 2 ∴方程组 ? x 2 (*) 有且只有一组解.由(*)得 ?1 ? 4k ? x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?4
从而 ? ? ? 8km ? ? 4 1 ? 4k
2

?

2

?? 4m

2

? 4 ? ? 0 ,化简得 m2 ? 1 ? 4k 2 .①

xM ? ?

8km 4km , 由 于 k ? 0 , 结 合 ① 式 知 m ? 0 , 设 A x , y , B x , y , 线 段 AB 的 中 点 为 ? 1 1? ? 2 2 ? ?? 2 1 ? 4k 2 2 ?1 ? 4k ?
由?

N ? xN , yN ? ,

? y ? kx ? m, 2 2 2 消去 y ,得 ?1 ? k ? x ? 2kmx ? m ? 5 ? 0 . 2 2 x ? y ? 5, ?

∴ xN ?

x1 ? x2 km ?? . 2 1? k 2

若 xN ? xM ,得 ?

km 4km ?? ,化简得 3 ? 0 ,矛盾. ∴ 点 N 与点 M 不重合. 2 1? k 1 ? 4k 2
∴ AM ? BM ? 0 不成立.

∴ 点 M 不是线段 AB 的中点.

C 经过点 P(4 2, 2 7) . 11. (揭阳理)已知双曲线 C 的焦点分别为 F 1 (?2 2,0), F 2 (2 2,0) ,且双曲线
(1)求双曲线 C 的方程; (2)设 O 为坐标原点,若点 A 在双曲线 C 上,点 B 在直线 x ?

2 上,且 OA ? OB ? 0 ,是否存在以点 O 为圆心的

定圆恒与直线 AB 相切?若存在,求出该圆的方程,若不存在,请说明理由.

11.( 揭阳理)解:(1)解法一:依题意知双曲线 C 的焦点在 x 轴,设其方程为

x2 y 2 ? ? 1.(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

∵点 P(4 2, 2 7) 在双曲线 C 上,∴ 2a ?| PF 1 | ? | PF 2 | ?

(6 2) 2 ? (2 7) 2 ? (2 2) 2 ? (2 7) 2 ? 4

2 2 2 ∴ a ? 2 又 c ? 2 2 ,∴ b ? c ? a ? 4 ,∴所求双曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 4

x2 y 2 解法二:依题意知双曲线 C 的焦点在 x 轴,设其方程为 2 ? 2 ? 1.(a ? 0, b ? 0) ∵点 P(4 2, 2 7) 在双曲线 C 上, a b


32 28 ? ? 1 , 又 b2 ? 8 ? a 2 , ②代入①去分母整理得: a 4 ? 68a 2 ? 32 ? 8 ? 0 ,又 a ? c ,解得 a 2 ? 4, b2 ? 4 a 2 b2

∴所求双曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 4

(2) 设点 A,B 的坐标分别为 ( x0 , y0 ) , ( 2, t ) ,其中 x0 ? 2 或 x0 ? ?2 . 当 y0 ? t 时,直线 AB 的方程为

y ?t ?

y0 ? t x0 ? 2

( x ? 2) ,即 ( y0 ? t ) x ? ( x0 ? 2) y ? tx0 ? 2 y0 ? 0

若存在以点 O 为圆心的定圆与 AB 相切,则点 O 到直线 AB 的距离必为定值,

设圆心 O 到直线 AB 的距离为 d ,则 d ?

| tx0 ? 2 y0 | ( y0 ? t )2 ? ( x0 ? 2) 2

. ∵ OA ? OB ? 0 , ∴ 2x0 ? ty0 ? 0 ,

∵ y0 ? 0 ∴ t ? ?

2 x0 2 2 , 又 x0 ? y0 ?4, y0
2 2 2 y0 ?2 y0 ?2 y0 ?2 2 2 | | 2 2 | | 2 2| | = y0 y0 y0 ? ?2
4 2 2 y0 ? 8 y0 ?8 2 2 y0



|? d? ( y0 ?

2 2 x0 ? 2 y0 | y0

2 x0 2 2 2 ) ? x0 ? 2 2 x0 ?2 y0

?

2 2( y0 ? 2) 2 2 y0

2|

2 y0 ?2 | y0

此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相切,

t2 4 2 当 y0 ? t 时, x0 ? ? ,代入双曲线 C 的方程并整理得 t ? 2t ? 8 ? 0 ,即 (t 2 ? 4)(t 2 ? 2) ? 0 ,解得 t ? ?2 , 2
此时直线 AB: y ? ?2 .也与圆 x ? y ? 4 也相切. 综上得存在定圆 x ? y ? 4 与直线 AB 相切.
2 2 2 2

2 2 2 12.(深圳理)已知椭圆 E : x 2 ? y2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,过左焦点倾斜角为 45 ? 的直线被椭圆截得的弦长为 2 a b

4 2 . (1)求椭圆 E 的方程; (2)若动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点,过点 M ?1, 0? 作 l 的垂线垂足为 Q ,求 3
点 Q 的轨迹方程.

a 2 ? b2 2 2 2 2 12.(深圳理)解: (1)因为椭圆 E 的离心率为 ,所以 ,解得 a ? 2b , ? 2 a 2 2 2 x y 故椭圆 E 的方程可设为 2 ? 2 ? 1 ,则椭圆 E 的右焦点坐标为 ? b, 0 ? , 过右焦点倾斜角为 45 ? 的直线方程为 2b b ? x2 y2 ? ? 1, ? 2 l ? : y ? x ? b . 设直线 l ? 与椭圆 E 的交点记为 A, B ,由 ? 2b 2 b 2 消去 y ,得 3x ? 4bx ? 0 , ? y ? x ? b, ? x2 4b 4 2b 4 2 2 ? y 2 ? 1. 解得 x1 ? 0, x2 ? , 因为 AB ? 1 ? 1 x1 ? x2 ? , 解得 b ? 1 . 故椭圆 E 的方程为 ? 3 2 3 3 (2) (法一) (i)当切线 l 的斜率存在且不为 0 时,设 l 的方程为 y ? kx ? m ,

? y ? kx ? m ? 2 2 2 联立直线 l 和椭圆 E 的方程,得 ? x 2 , 消去 y 并整理,得 ? 2k ? 1? x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?2 因为直线 l 和椭圆 E 有且仅有一个交点,?? ? 16k 2 m2 ? 4 ? 2k 2 ? 1?? 2m2 ? 2 ? ? 0 , 化简并整理,得 m2 ? 2k 2 ? 1 .
因为直线 MQ 与 l 垂直,所以直线 MQ 的方程为: y ? ?

1 ? x ? 1? , k

1 ? km ? x ? , 2 ? ? 1 ? k 解得 ? ?y ? k ? m , ? 1? k 2 ? (1 ? km)2 ? (k ? m)2 k 2 m2 ? k 2 ? m2 ? 1 (k 2 ? 1)(m2 ? 1) m2 ? 1 2 2 ,把 m2 ? 2k 2 ? 1 代入上式得 ?x ? y ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 (1 ? k ) (1 ? k ) (1 ? k ) 1? k 2 2 ① x ?y ?2. (ii)当切线 l 的斜率为 0 时,此时 Q(1,1) ,符合①式.

1 ? ? y ? ? ? x ? 1? , 联立 ? k ? ? y ? kx ? m,

(iii)当切线 l 的斜率不存在时,此时 Q( 2, 0) 或 (? 2,0) ,符合①式. 综上所述,点 Q 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 2 . (法二) :设点 Q 的坐标为 Q( x0 , y0 ) , (i)当切线 l 的斜率存在且不为 0 时,设 l 的方程为 y ? kx ? m ,同解法一,得 2k 2 ? m2 ? 1 ? 0 , 因为直线 MQ 与 l 垂直,所以直线 MQ 的方程为: y ? ? ①

1 ? x ? 1? , k

1 ? ? y ? ? ? x ? 1? , 联立 ? k ? ? y ? kx ? m,

②代入①并整理,有 y0 4 ? 2 x0 2 ? 2 x0 ? 1 y0 2 ? x0 2 ? 2 x0 ? 1 x0 2 ? 2 ? 0 ,
2 2 即 y0 ? x0 ? 2

?

?? y

2 0

? x0 2 ? 2 x0 ? 1? ? 0 ,

?

1 ? x0 ? ?k ? y , ? 0 解得 ? ② 2 2 ? m ? x0 ? x0 ? y0 , ? y0 ?

?

?

??
2

?

2 2 2 由点 Q 与点 M 不重合, ? y0 ? x0 ? 2 x0 ? 1 ? y0 ? ? x0 ? 1? ? 0 ,? x02 ? y02 ? 2 ? 0 , ③

(ii)当切线 l 的斜率为 0 时,此时 Q(1,1) ,符合③式. (iii)当切线 l 的斜率不存在时,此时 Q( 2, 0) 或 (? 2,0) ,符合③式. 综上所述,点 Q 的轨迹方程为 x ? y ? 2 .
2 2

(法三) :设点 Q 的坐标为 Q( x0 , y0 ) , (i)当切线 l 的斜率存在且不为 0 时,设 l 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,整理,得 l 的方程为 y ? kx ? kx0 ? y0 ,

? y ? kx ? kx0 ? y0 ? 联立直线 l 和椭圆 E 的方程,得 ? x 2 , 消去 y 并整理, 2 ? ? y ?1 ?2 2 2 2 得 ? 2k ? 1? x ? 4k ? y0 ? kx0 ? x ? 2 ? y0 ? kx0 ? ? 2 ? 0 ,
2 2 ?? ? 16k 2 ? y0 ? kx0 ? ? 8 ? 2k 2 ? 1? ?? y0 ? kx0 ? ? 1? ? 0 , ? ? 2 2 2 化简并整理,得 ? y0 ? x0 ? 2kx0 y0 ? 2k ? 1 ? 0 , ① 1 ? x0 因为 MQ 与直线 l 垂直,有 k ? , ② y0

因为直线 l 和椭圆 E 有且仅有一个交点,

4 2 2 2 2 ②代入①并整理,有 y0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 1 y0 ? x0 ? 2 x0 ? 1 x0 ? 2 ? 0 , 2 2 即 y0 ? x0 ? 2

?

?? y

2 0

? x0 2 ? 2 x0 ? 1? ? 0 ,

?

?

?

??

?

2 2 2 x0 ? 1 ? y02 点 Q 与点 M 不重合, ? y0 ? x0 ?

??

x0 1 ??
2

0 ? ,

? x02 ? y02 ? 2 ? 0 , ③
(ii)当切线 l 的斜率为 0 时,此时 Q(1,1) ,符合③式. (iii)当切线 l 的斜率不存在时,此时 Q( 2, 0) 或 (? 2,0) ,符合③式. 综上所述,点 Q 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 2 . 【说明】本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系,弦长问题,考查学生运算 能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查数形结合、化归与转化思想.

13.如图 5,A,B 分别是椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点,F 为其右焦点,2 是|AF|与|FB|的等差中 a2 b2

项, 3 是|AF|与|FB|的等比中项。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P 是椭圆 C 上异于 A,B 的动点,直线 l 过点 A 且垂直于 x 轴,若过 F 作直线 FQ 垂直于 AP,并交直线 l 于点 Q。证明:Q,P,B 三点共线。

14.(佛山文)已知点 M ? 2,1? , N ? ?2,1? ,直线 MP , NP 相交于点 P ,且直线 MP 的斜率减直线 NP 的斜率的差为 1 .设 点 P 的轨迹为曲线 E .(Ⅰ) 求 E 的方程; (Ⅱ) 已知点 A ? 0,1? ,点 C 是曲线 E 上异于原点的任意一点,若以 A 为圆心,线段 AC 为半径的圆交 y 轴负半轴于 点 B ,试判断直线 BC 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论.

14.( 佛山 文 ) 【 解 析 ( Ⅰ ) 设 P ? x, y ? , 依题意得 y ? 1 ? y ? 1 ? 1 , 化简得 x2 ? 4 y ( x ? ?2 ), 所以曲线 E 的方程为
x?2 x?2

x ? 4 y ( x ? ?2 ).
2

(Ⅱ) 结论:直线 BC 与曲线 E 相切.
2 2 ? ? y0 ? 1? , 证法一:设 C ? x0 , y0 ? ,则 x0 ? 4 y0 ,圆 A 的方程为 x 2 ? ? y ? 1? ? x0 2 2
2 令 x ? 0 ,则, ? y ? 1? ? x0 ? ? y0 ? 1? ? ? y0 ? 1? , 2 2 2

因为 y0 ? 0, y ? 0 ,所以 y ? ? y0 ,点 B 的坐标为 ? 0, ? y0 ? , 直线 BC 的斜率为 k ?

2 y0 2 y0 2y ,直线 BC 的方程为 y ? y0 ? x ,即 y ? 0 x ? y0 , x0 x0 x0

代入 x2 ? 4 y 得 x 2 ? 4 ?

2 2 ? ? 64 y0 ? 4 x0 ? 4 x0 y0 ? 16 y0 ? 4 y0 ? x0 ? ? 0 ,所以,直线 BC 与曲线 E 相切. 2 2 ? ? y0 ? 1? , 证法二:设 C ? x0 , y0 ? ,则 x0 ? 4 y0 ,圆 A 的方程为 x 2 ? ? y ? 1? ? x0 2 2 2 令 x ? 0 ,则, ? y ? 1? ? x0 ? ? y0 ? 1? ? ? y0 ? 1? , 2 2 2

? 2 y0 ? x ? y0 ? ,即 x0 x2 ? 8 y0 x ? 4x0 y0 ? 0 , ? x0 ?

因为 y0 ? 0, y ? 0 ,所以 y ? ? y0 ,点 B 的坐标为 ? 0, ? y0 ? , 直线 BC 的斜率为 k ?

2 y0 , x0
1 2 2 ? x0 4 ? 1 x , 所以 k ? k , 0 1 x0 2

2 y0 1 2 1 1 2 ? 由 x ? 4 y 得 y ? x 得 y? ? x ,过点 C 的切线的斜率为 k1 ? x0 , 而 k ? 4 2 2 x0
所以直线 BC 与曲线 x ? 4 y 过点 C 的切线重合,即直线 BC 与曲线 E 相切.
2

?c 3 ? ? 2 2 ?a x2 y 2 ?a ? 8 15.解: (1)设椭圆 C 的方程为: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) .由题意得: ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ? ? 2 a b ? ?4 ?b ? 2 1 ? 2 ? 2 ?1 b ? ?a
∴ 椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 8 2
1 x?m 2

(2)由直线 l // OM ,可设 l : y ?

将式子代入椭圆 C 得: x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?2m, 由题意可得 △ ? (2m)2 ? 4(2m2 ? 4) ? 0 故 S ?OAB ?

x1 x2 ? 2m 2 ? 4
于是 m ? (?2,2) 且 m ? 0

m2 ? 4 ? m2 1 1 m x1 ? x2 ? m ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? m 4 ? m 2 ? m 2 (4 ? m 2 ) ? ?2 2 2 2

2 2 当且仅当 m ? 4 ? m 即 m ? ? 2 时, ?OAB 面积的最大值为 2 .

(3)设直线 MA 、 MB 的斜率分别为 k 1 、 k 2 ,则 k1 ?

y1 ? 1 x1 ? 2

k2 ?

y2 ? 1 x2 ? 2

1 1 x1 ? m ? 1 x2 ? m ? 1 2 2 ? 下面只需证明: k1 ? k 2 ? 0 ,事实上, k1 ? k 2 ? x1 ? 2 x2 ? 2

? 1 ? m(

x1 ? x2 ? 4 1 1 ? 2m ? 4 ? ) ? 1? m ? ? 1? m ? ?0 2 x1 ? 2 x2 ? 2 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 2m ? 4 ? 2(?2m) ? 4

故直线 MA 、 MB 与 x 轴围成一个等腰三角形.


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