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bvow%glt数列、排列组合、二项式定理、概率统计知识点总结


、 .~ ① 我们‖打〈败〉了敌人。 ②我们‖〔把敌人〕打〈败〉了。
数列及排列组合二项式定理知识点总结 1. 等比数列的定义与性质

定义:

a n +1 = q(q为常数,q ≠ 0),a n = a 1q n ?1 an

等比中项:x、G、y成等比数列 ? G 2 = xy,或G = ± xy

/>?na 1 (q = 1) ? 前n项和:S n = ? a 1 1 ? q n (要注意 ! ) (q ≠ 1) ? ? 1? q

(

)

性质: {a n }是等比数列

(1)若m + n = p + q,则a m ·a n = a p ·a q
( 2 )S n ,S 2 n ? S n ,S 3n ? S 2 n ……仍为等比数列
(3) (n = 1时,a 1 = S1 ,n ≥ 2 时,a n = S n ? S n ?1 ) 2. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗? 例如:(1)求差(商)法

1 1 1 如:{a n }满足 a 1 + 2 a 2 + …… + n a n = 2 n + 5 2 2 2 1 解: n = 1时, a 1 = 2 × 1 + 5,∴a 1 = 14 2 1 1 1 n ≥ 2 时, a 1 + 2 a 2 + …… + n ?1 a n ?1 = 2 n ? 1 + 5 2 2 2 1 < 1 > ? < 2 > 得: n a n = 2 2 ∴a n = 2 n +1

<1>

<2>

?14 ( n = 1) ∴a n = ? n +1 ( n ≥ 2) ?2
[练习]

数列{a n }满足S n + S n +1 =

5 a n +1 ,a 1 = 4 ,求a n 3

(注意到a n +1 = S n +1 ? S n 代入得:

S n +1 =4 Sn

又S1 = 4 ,∴{S n }是等比数列,S n = 4 n

n ≥ 2 时,a n = S n ? S n ?1 = …… = 3· 4 n ?1
(2)叠乘法

例如:数列 {a n }中,a 1 = 3,

a n +1 n = ,求a n an n +1

解:

a2 a a a 1 2 n ?1 1 · 3 …… n = · …… ,∴ n = a1 a2 a n ?1 2 3 n a1 n
3 n

又a 1 = 3,∴a n =

(3)等差型递推公式

由a n ? a n ?1 = f ( n) ,a 1 = a 0 ,求a n ,用迭加法

n ≥ 2 时,a 2 ? a 1 = f (2) ? ? a 3 ? a 2 = f (3) ? ?两边相加,得: …… …… ? a n ? a n ?1 = f ( n ) ? ? a n ? a 1 = f (2) + f (3) + …… + f ( n) ∴a n = a 0 + f (2) + f (3) + …… + f ( n)
[练习]

数列{a n },a 1 = 1,a n = 3 n ?1 + a n ?1 ( n ≥ 2),求a n (a n = 1 n 3 ?1 ) 2

(

)

(4)等比型递推公式

a n = ca n ?1 + d c、d为常数,c ≠ 0,c ≠ 1,d ≠ 0 可转化为等比数列,设a n + x = c(a n ?1 + x)

(

)

? a n = ca n ?1 + (c ? 1)x
令 (c ? 1) x = d,∴x = d c ?1

d ? d ? ∴ ?a n + ,c为公比的等比数列 ?是首项为a 1 + c ? 1? c ?1 ?

∴a n +

d d ? ? n ?1 = ? a1 + ? ·c c ?1 ? c ? 1?

d ? n ?1 d ? ∴a n = ? a 1 + ?c ? ? c ? 1? c ?1
[练习]

数列{a n }满足a 1 = 9 , 3a n +1 + a n = 4 ,求a n

? 4? (a n = 8? ? ? ? 3?
(5)倒数法

n ?1

+ 1)

例如:a 1 = 1,a n +1 = 1 a n +1 =

2a n ,求a n an + 2

由已知得: 1 a n +1

an + 2 1 1 = + 2a n 2 an



?

1 1 = an 2

?1? 1 1 ∴ ? ?为等差数列, = 1,公差为 a1 2 ?a n ?
∴ 1 1 1 = 1 + ( n ? 1)· = ( n + 1) an 2 2
2 n +1

∴a n =

3. 你熟悉求数列前 n 项和的常用方法吗? 例如:(1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。

如:{a n }是公差为d的等差数列,求 ∑

1 k =1 a k a k +1

n

解: 由

1 1 1? 1 1 ? = = ? ? ? (d ≠ 0) a k ·a k +1 a k (a k + d ) d ? a k a k +1 ?

∴∑

n 1 1? 1 1 ? =∑ ? ? ? a k +1 ? k =1 a k a k +1 k =1 d ? a k n

= =
[练习]

? 1 1 ?? 1 1? ? 1 1? 1 ?? ?? ?? ? ? + ? ? ? + …… + ? ? d ?? a 1 a 2 ? ? a 2 a 3 ? ? a n a n +1 ? ? 1? 1 1 ? ? ? ? d ? a 1 a n +1 ?

求和:1 +

1 1 1 + + …… + 1+ 2 1+ 2 + 3 1 + 2 + 3 + …… + n

(a n = …… = ……,S n = 2 ?
(2)错位相减法:

1 ) n +1

若 {a n }为等差数列,{b n }为等比数列,求数列 {a n b n }(差比数列)前n项 和,可由S n ? qS n 求S n ,其中q为{b n }的公比。 如:S n = 1 + 2 x + 3x 2 + 4 x 3 + …… + nx n ?1 <1> <2>

x·S n = x + 2 x 2 + 3x 3 + 4 x 4 + …… + ( n ? 1)x n ?1 + nx n < 1 > ? < 2 > :(1 ? x)S n = 1 + x + x 2 + …… + x n ?1 ? nx n

x ≠ 1时,S n

(1 ? x ) ? nx =
n

n

(1 ? x)2

1? x
n(n + 1) 2

x = 1时,S n = 1 + 2 + 3 + …… + n =

(3)倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。

S n = a 1 + a 2 + …… + a n ?1 + a n ? ? ?相加 S n = a n + a n ?1 + …… + a 2 + a 1 ? ? 2S n = (a 1 + a n ) + (a 2 + a n ?1 ) + …… + (a 1 + a n )……
[练习]

x2 ? 1? ? 1? ? 1? 已知f ( x) = ,则f (1) + f (2) + f ? ? + f (3) + f ? ? + f (4) + f ? ? = 2 ? 2? ? 3? ? 4? 1+ x
? 1? ? ? ? x?
2

x ? 1? (由f ( x) + f ? ? = + ? x? 1 + x2

2

? 1? 1+ ? ? ? x?

2

=

x2 1 + =1 2 1+ x 1 + x2

? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ∴原式 = f (1) + ? f (2) + f ? ? ? + ? f (3) + f ? ? ? + ? f (4) + f ? ? ? ? 2? ? ? ? 3? ? ? ? 4? ? ?
= 1 1 +1+1+1 = 3 ) 2 2

4. 你知道储蓄、贷款问题吗? △零存整取储蓄(单利)本利和计算模型: 若每期存入本金 p 元,每期利率为 r,n 期后,本利和为:

n( n + 1) ? ? S n = p(1 + r ) + p(1 + 2 r ) + …… + p(1 + nr ) = p ?n + r ? ……等差问题 2 ? ?
△若按复利, 如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型 (按揭贷款——分期等额归 还本息的借款种类) 若贷款(向银行借款)p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年) 后为第一次还款日,如此下去,第 n 次还清。如果每期利率为 r(按复利),那么每期应还 x 元,满足

p(1 + r ) n = x(1 + r )

n ?1

+ x(1 + r )

n?2

+ …… + x(1 + r ) + x

?1 ? (1 + r ) n ? (1 + r ) n ? 1 = x? ?=x r ? 1 ? (1 + r ) ? ? ?

∴x =

(1 + r ) n ? 1

pr (1 + r )

n

p——贷款数,r——利率,n——还款期数 5. 解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。

(1)分类计数原理:N = m1 + m 2 + …… + m n (m i 为各类办法中的方法数) 分步计数原理:N = m1 ·m 2 ……m n (m i 为各步骤中的方法数)
(2)排列:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序 顺序排成一 顺序

列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,所有排列的个数记为A m . n

A m = n( n ? 1)( n ? 2)……( n ? m + 1) = n

n! ( m ≤ n) (n ? m)!

规定:0! = 1
(3)组合:从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从 n 个不

同元素中取出m个元素的一个组合,所有组合个数记为C m . n

Cm = n

A m n( n ? 1)……( n ? m + 1) n! n = = m m! m!( n ? m)! Am

规定:C 0 = 1 n

( 4 )组合数性质:
C m = C n ? m ,C m + C m?1 = C m+1 ,C 0 + C1 + …… + C n = 2 n n n n n n n n n
6. 解排列与组合问题的规律是: 相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少问 题间接法;相同元素分组可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出结果。 如:学号为 1,2,3,4 的四名学生的考试成绩

x i ∈ 89 , 90, 91, 92 , 93 , (i = 1, 2 , 3, 4) 且满足x 1 < x 2 ≤ x 3 < x 4 ,
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是( A. 24 B. 15 解析:可分成两类: C. 12 D. 10 )

{

}

(1)中间两个分数不相等,

4 有C 5 = 5(种)

(2)中间两个分数相等

x1 < x 2 = x 3 < x 4
相同两数分别取 90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有 3,4,3 种,∴有 10 种。 ∴共有 5+10=15(种)情况 7. 二项式定理

(a + b) n = C 0 a n + C1 a n ?1 b + C 2 a n ? 2 b 2 + … + C rn a n ? r b r + … + C n b n n n n n

二项展开式的通项公式:Tr +1 = C rn a n ? r b r ( r = 0,1……n)
C rn 为二项式系数(区别于该项的系数)
性质:

(1)对称性:C rn = C n ? r r = 0,1, 2 ,……,n n
n ( 2 )系数和:C 0 + C1 + … + C n = 2 n n n

(

)

C1 + C 3 + C 5 + … = C 0 + C 2 + C 4 + … = 2 n ?1 n n n n n n

(3)最值:n 为偶数时,n+1 为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第

?n ? 2 ? + 1? 项,二项式系数为C n ;n为奇数时, ( n + 1) 为偶数,中间两项的二项式 ?2 ?
系数最大即第 n +1 n +1 项及第 + 1项,其二项式系数为C n 2 = C n 2 2 2
11
n ?1 n +1

n

如:在二项式( x ? 1) 的展开式中,系数最小的项系数为
表示)

(用数字

(∵n=11
∴共有12 项,中间两项系数的绝对值最大,且为第 12 = 6或第 7 项 2

r 由C11 x 11? r ( ?1) r ,∴取r = 5即第 6项系数为负值为最小: 6 5 ? C11 = ? C 11 = ?426

又如:(1 ? 2 x)

2004

= a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + …… + a 2004 x 2004 ( x ∈ R ),则 (用数字作答)

(a 0 + a 1 ) + (a 0 + a 2 ) + (a 0 + a 3 ) + …… + (a 0 + a 2004 ) =
(令x = 0,得:a 0 = 1 令x = 1,得:a 0 + a 2 + …… + a 2004 = 1

∴原式 = 2003a 0 + a 0 + a 1 + …… + a 2004 = 2003 × 1 + 1 = 2004 )
8. 你对随机事件之间的关系熟悉吗?

(

)

(1)必然事件?,P(?) = 1,不可能事件φ,P(φ) = 0

( 2 )包含关系:A ? B,“A发生必导致B发生”称B包含A。

A

B

( 3)事件的和(并):A + B或A ∪ B“A与B至少有一个发生”叫做A与B
的和(并)。

( 4 )事件的积(交):A·B或A ∩ B“A与B同时发生”叫做A与B的积。

(5)互斥事件(互不相容事件):“A 与 B 不能同时发生”叫做 A、B 互斥。

A·B = φ

(6)对立事件(互逆事件):

“A不发生”叫做A发生的对立(逆)事件,A
A ∪ A = ?,A ∩ A = φ

(7)独立事件:A 发生与否对 B 发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立 事件。

A与B独立,A与B ,A与B,A与 B 也相互独立。
9. 对某一事件概率的求法: 分清所求的是:(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法,即

P (A ) =

A包含的等可能结果 m = 一次试验的等可能结果的总数 n

( 2 )若A、B互斥,则P(A + B) = P(A ) + P( B)

( 3)若A、B相互独立,则P A·B = P(A )·P( B) ( 4 )P ( A ) = 1 ? P ( A )

(

)

(5)如果在一次试验中 A 发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生

k次的概率:Pn ( k ) = C k p k (1 ? p) n

n?k

如:设 10 件产品中有 4 件次品,6 件正品,求下列事件的概率。 (1)从中任取 2 件都是次品;

? C2 2? ? P1 = 24 = ? C10 15? ?
(2)从中任取 5 件恰有 2 件次品;

? C 2 C 3 10 ? ? P2 = 4 5 6 = ? 21? C10 ?
(3)从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品; 解析: 解析:有放回地抽取 3 次(每次抽 1 件),∴n=103 而至少有 2 件次品为“恰有 2 次品”和“三件都是次品”

∴ m = C 2 · 4 2 61 + 4 3 3 C 2 ·4 2 ·6 + 4 3 44 ∴P3 = 3 = 3 125 10
(4)从中依次取 5 件恰有 2 件次品。 解析: 解析:∵一件一件抽取(有顺序)
5 2 ∴n = A 10 ,m = C 2 A 5 A 3 4 6 2 C 2 A 5 A 3 10 4 6 ∴P4 = = 5 21 A 10

分清(1)、(2)是组合问题,(3)是可重复排列问题,(4)是无重复排列问题。 10. 抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时, 它的特征是从总体中逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,它的主要特征是均衡成 若干部分,每部分只取一个;分层抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要用于总体中有明 显差异,它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等,体现了抽样的客观性和平等性。 11. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率,用样本的期望(平均值)和方 差去估计总体的期望和方差。 要熟悉样本频率直方图的作法:

(1)算数据极差( x max ? x min );
(2)决定组距和组数; (3)决定分点; (4)列频率分布表; (5)画频率直方图。

其中,频率 = 小长方形的面积 = 组距×

频率 组距

1 x 1 + x 2 + …… + x n n 1 2 2 2 样本方差:S 2 = ( x 1 ? x ) + (x 2 ? x ) + …… + ( x n ? x ) n 样本平均值:x =

(

)

[

]

如:从 10 名女生与 5 名男生中选 6 名学生参加比赛,如果按性别分层随机抽样,则组 成此参赛队的概率为____________。
4 2 C10 C 5 ( ) 6 C 15


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