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【学海导航】2013届高三物理一轮复习课件(人教版):第8章 第4节 带电粒子在复合场中的运动


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第4节
带电粒子在复合场中的运动

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考点1:带电粒子在复合场中的直线运动 【例1】如图8- 4所示的虚线区域内,充满垂直于 4纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场.一带 电粒子a(不计重力)以一定的初速度由左边界的O点 射入磁场、电场区域,恰好沿直线由区域右边界的 O′点(图中未标出)穿出.若撤去该区域内的磁场而保 留电场不变,另一个同样的粒子b(不计重力)仍以相 同初速度由O点射入,从区域右边界穿出,则粒子 b( )
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A.穿出位置一定在O′点下方 B.穿出位置一定在O′点上方 C.运动时,在电场中的电势能一定减小 D.在电场中运动时,动能一定减小

图8- 4 44

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切入点:(1) 质点做直线运动的条件;(2) 动能 定 理.

【解析】a粒子要在电场、磁场的复合场区内做直 线运动,则该粒子一定做匀速直线运动,故对粒子 a有:Bqv=Eq,即只要满足E=Bv无论粒子带正电还 是负电,粒子都可以沿直线穿出复合场区,当撤去 磁场只保留电场时,粒子b由于电性不确定,故无 法判断从O′点的上方或下方穿出,故AB错误;粒 子b在穿过电场区的过程中必然受到电场力的作用 而做类平抛的运动,电场力做正功,其电势能减小, 动能增大,故C项正确D项错误.
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答案:C 点评:(1)解决带电粒子在复合场中的直线运动问题, 核心是理解和运用物体做直线运动的条件:合外力 为零(做匀速直线运动)或合外力方向与速度方向相 同(做加速直线运动)、合外力方向与速度方向相反 (做减速直线运动). (2)洛伦磁力总是不做功.

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考点2:带电粒子在复合场中的匀速圆周运动
【例2】(2010?安徽卷)如图8- 5(1)所示,宽度为d的 4竖直狭长区域内(边界为L1 、L2),存在垂直纸面向里 的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场[如图 8- 5(2)所示],电场强度的大小为E0,E>0表示电场 4方向竖直向上.t=0时,一带正电、质量为m的微粒 从左边界上的N1 点以水平速度v射入该区域,沿直线 运动到Q点后,做一次完整的圆周运动,再沿直线运 动到右边界上的N2点.Q为线段N1N2的中点,重力加 速度为g.上述d、E0、m、v、g为已知量.
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(1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小; (2)求电场变化的周期T; (3)改变宽度d,使微粒仍能按上述运动过程通过相 应宽度的区域,求T的最小值.

图8- 5 48

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切入点:受力分析后可推出微粒的直线运动一定是 匀速直线运动.

【解析】1? 微粒做直线运动,则 ? mg ? qE0 ? qvB 微粒做圆周运动,则 mg ? qE0 mg 联立①②得q ? E0 2 E0 B? v ② ③ ④
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? 2 ? 设微粒从N1运动到Q的时间为t1,做圆周运动
的周期为t2,则 d ? vt1 2 v qvB ? m R 2? R ? vt2
2

⑤ ⑥ ⑦

d ?v 联立③④⑤⑥⑦得t1 ? ;t2 ? ⑧ 2v g d ?v 电场变化的周期T ? t1 ? t2 ? ? ⑨ 2v g
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? 3? 若微粒能完成题述的运动过程,要求:
d ? 2R v2 联立③④⑥得:R ? ? 2g 设N1Q段直线运动的最短时间为tmin,由⑤⑩?得 tmin v ? ,因t2不变,T的最小值 2g (2? ? 1)v Tmin ? tmin ? t2 ? 2g
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点评:带电粒子在复合场中做匀速圆周运动,洛 伦兹力恰好符合向心力的要求,所以,只要洛伦 兹力以外的其他力的合力为零,洛伦兹力提供向 心力,就能满足带电粒子在复合场中做匀速圆周 运动的条件.

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题型一:带电粒子在复合场中的一般曲线运动
【例3】如图8 ? 4 ? 6,与水平面成37?倾斜轨道AB,其延 长线在C点与半圆轨道CD (轨道半径R ? 1m)相切,全部 轨道为绝缘材料制成且放在竖直面内.整个空间存在水 平向左的匀强电场,MN的右侧存在垂直纸面向里的匀 强磁场.一个质量为0.4kg的带电小球沿斜面下滑,至B 100 点时速度为vB ? m / s,接着沿直线BC (此处无轨道) 7 匀速运动到达C处进入半圆轨道,进入时无动能损失,
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且刚好到达D点,从D点飞出时磁场消失,不计空 气阻力,g=10m/s2,cos37°=0.8,求: (1)小球带何种电荷. (2)小球离开D点后的运动 轨迹与直线AC的交点距C 点的距离. (3)小球在半圆轨道部分克 服摩擦力所做的功. 图8- 6 4-

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【解析】1? 小球在BC段做匀速直线运动,合力为零, ? 可以确定小球带正电荷

? 2 ? 依题意可知小球在BC间做匀速直线运动.
100 在C点的速度为:vC ? vB ? m/s 7 在BC段其受力如图所示, 设重力和电场力合力为F .

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F ? qvC B 又F ? mg / cos37? ? 5N F 7 解得:qB ? ? vC 20 小球恰好能到达D点,说明在D处N ? 0,
2 vD 在D处由牛顿第二定律可得:BvD q ? F ? m R 7 将qB ? 代入上式并化简得: D ? 7vD ? 100 ? 0 8v 2 20

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? vD ? 4 m / s ? 解得 ? 25 ?vD ? ? 8 m / s (舍去) ? 小球离开D点后做类平抛运动,其加速度为:a ? F / m 1 2 2(2 R) 4mR 由2R ? at 得:t ? ? ? 0.4 2s 2 a F x ? vD t ? 2.26m

? 3? CD段克服摩擦力做功W f

1 2 2 由动能定理可得: W f ? 2FR ? m(vD ? vC ) ? 2 解得:W f ? 27.6J
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点评:带电粒子在复合场中的一般曲线运动问题属 于综合性很强的应用问题,解决这类问题的关键, 一是要正确分析受力情况,特别要注意洛伦兹力的 大小和方向会随速度的大小和方向的变化而变化; 二是要正确分析运动情况,特别要注意洛伦兹力随 速度变化后又要反过来引起运动状态的变化;三是 要正确分析各个力的做功情况,特别要注意洛伦兹 力在任何时候都不做功的特点.

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题型二:应用带电粒子在复合场中运动的仪器 【例4】(2010?北京卷)利用霍尔效应制作的霍尔元件 以及传感器,广泛应用于测量和自动控制等领域.

图8- 7 419

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如图8 ? 4 ? 7 ? a ?,将一金属或半导体薄片垂直置于 磁场B中,在薄片的两个侧面a、b间通以电流I时,另外 两侧c、f 间产生电势差,这一现象称为霍尔效应.其原 因是薄片中的移动电荷受洛伦兹力的作用向一侧偏转和 积累,于是c、f 间建立起电场EH,同时产生霍尔电势差 U H .当电荷所受的电场力与洛伦兹力处处相等时,EH 和 U H 达到稳定值,U H的大小与I 和B以及霍尔元件厚度d 之 IB 间满足关系式U H ? RH ,其中比例系数RH 称为霍尔系 d 数,仅与材料性质有关.
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(1)设半导体薄片的宽度(c、f间距)为l,请写出 UH和EH的关系式;若半导体材料是电子导电的, 请判断图8- 10(a)中c、f哪端的电势高. 4(2)已知半导体薄片内单位体积中导电的电子数 为n,电子的电荷量为e,请导出霍尔系数RH的表 达式.(通过横截面积S的电流I=nevS,其中v是导电 电子定向移动的平均速率).

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(3)图8- 7(b)是霍尔测速仪的示意图,将非磁 4性圆盘固定在转轴上,圆盘的周边等距离地嵌装着 m个永磁体,相邻永磁体的极性相反.霍尔元件置 于被测圆盘的边缘附近.当圆盘匀速转动时,霍尔 元件输出的电压脉冲信号图象如图8- 7(c)所示. 4①若在时间t内,霍尔元件输出的脉冲数目为P, 请导出圆盘转速N的表达式. ②利用霍尔测速仪可以测量汽车行驶的里 程.除此之外,请你展开“智慧的翅膀”,提出另 一个实例或设想.
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【解析】1? U H ? EH l  c端电势高 ? IB ① ? 2 ?由U H ? RH d d d 得:RH ? U H ? EH l ② IB IB 当电场力与洛伦兹力相等时eEH ? evB 得EH ? vB ③

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又I ? nevS ④ d d 1 将③④代入②,得:RH ? vBl ? vl ? IB nevS ne ? 3? ①由于在时间t内,霍尔元件输出的脉冲数目 为P,则:P ? mNt 圆盘转速为N ? P / mt ②提出的实例或设想合理即可

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点评:应用带电粒子在复合场中的运动的仪器 这类问题,虽然物理情境各不相同,但是设计 原理都是一样的,都是利用电场力和洛伦兹力 的作用.所以,运用相关物理规律,分析仪器 的工作原理,明确工作过程,是解决这类问题 的关键.

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1.如图8- 8是质谱仪的工作原理示意图.带电粒子 4被加速电场加速后,进入速度选择器.速度选择 器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为 B和E.平板S上有可让粒子通过 的狭缝P和记录粒子位置的胶 片A1A2.平板S下方有强度为B0 的匀强磁场.下列表述正确的 是( )
图8- 8 427

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A.质谱仪是分析同位素的重要工具 B.速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外 C.能通过狭缝P的带电粒子的速率等于E/B D.粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P,粒子的 比荷越小
答案:ABC

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【解析】由加速电场可见粒子所受电场力向下,即粒 子带正电,在速度选择器中,电场力水平向右,洛伦 兹力水平向左,因此速度选择器中磁场方向垂直纸面 向外,B正确;经过速度选择器时满足qE ? qvB,可知 能通过的狭缝P的带电粒子的速度等于E / B,带电粒子 mv 进入磁场做匀速圆周运动则有R ? ,可见当v相同时, qB m R ? ,所以可以用来区分同位素,且R越大,比荷就 q 越小,D错误.
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2.医生做某些特殊手术时,利用电磁血流计来监测 通过动脉的血流速度.电磁血流计由一对电极a和 b以及磁极N和S构成,磁极间的磁场是均匀 的.使用时,两电极a、b均与血管壁接触,两触 点的连线、磁场方向和血流速度方向两两垂直, 如图8- 9所示.由于血液中的正负离子随血流一 4起在磁场中运动,电极a、b之间会有微小电势 差.在达到平衡时,血管内部的电场可看做是匀 强电场,血液中的离子所受的电场力和磁场力的
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合力为零.在某次监测中,两触点的距离为3.0mm, 血管壁的厚度可忽略,两触点间的电势差为160μV, 磁感应强度的大小为0.040T.则血流速度的近似值和 A 电极a、b的正负为( ) A.1.3m/s,a正、b负 B.2.7m/s,a正、b负 C.1.3m/s,a负、b正 D.2.7m/s,a负、b正 图8- 9 431

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【解析】依据左手定则,正离子在磁场中受到洛伦 兹力作用向上偏,负离子在磁场中受到洛伦兹力作 用向下偏,因此电极a为正极、b为负极;当稳定时, 血液中的离子所受的电场力和洛伦兹力的合力为零 E U 160 ?10?6 qE ? qvB,可得v ? ? ? m/s ? ?3 B Bd 0.04 ? 3 ?10 1.3m / s.

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3.(2011?北京)利用电场和磁场,可以将比荷不同的 离子分开,这种方法在化学分析和原子核技术等领 域 有 重 要 的 应 用 . 如 图 8- 10 所 示 的 矩 形 区 域 4ACDG(AC边足够长)中存在垂直于纸面的匀强磁场, A处有一狭缝.离子源 产生的离子,经静电场加速 后穿过狭缝沿垂直于GA边且 垂于磁场的方向射入磁场, 运动到GA边,被相应的收集 4器收集,整个装置内部为真空. 图8- 10
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已知被加速度的两种正离子的质量分别是m1和 m2(m1>m2),电荷量均为q.加速电场的电势差为U, 离子进入电场时的初速度可以忽略,不计重力,也 不考虑离子间的相互作用. (1)求质量为m1的离子进入磁场时的速率v1. (2)当磁感应强度的大小为B时,求两种离子在 GA边落点的间距s.

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(3)在前面的讨论中忽略了狭缝宽度的影响,实 际装置中狭缝具有一定宽度.若狭缝过宽,可能使 两束离子在GA边上的落点区域交叠,导致两种离 子无法完全分离. 设磁感应强度大小可调,GA边长为定值L,狭 缝宽度为d,狭缝右边缘在A处;离子可以从狭缝各 处射入磁场,入射方向仍垂直于GA边且垂直于磁 场.为保证上述两种离子能落在GA边上并被完全 分离,求狭缝的最大宽度.
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【解析】1? 加速电场对离子m1做的功 ? W ? qU 由动能定理 1 2 m1v1 ? qU 2 2qU 得v1 ? ① m1

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? 2 ?由牛顿第二定律和洛伦兹力公式
mv 2 mv qvB ? ,R ? R qB 利用①式得离子在磁场中的轨道半径分别为 2m1U 2m2U R1 ? ,R2 ? 2 2 qB qB 两种离子在GA上落点的间距 8U s ? 2R1 ? 2R2 ? ( m1 ? m2 ) ③ 2 qB
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(3)质量为m1 的离子,在GA边上的落点都在 其入射点左侧2R1处,由于狭缝的宽度为d,因此 落点区域的宽度也是d,同理,质量为m2 的离子 在GA边上落点区域的宽度也是d. 为保证两种离子能完全分离,两个区域应无交叠, 条件为 2(R1-R2)>d④ 利用②式,代入④式得

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m2 2R1 (1 ? )?d m1 R1的最大值满足 2R1m ? L ? d m2 得 ? L ? d ? (1 ? )?d m1 求得最大值d m ? m1 ? m2 2 m1 ? m2 L

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4.(南京市2011届第三次联考)设空间存在竖直向下的 匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场,如图8- 11所 4示.已知一离子在电场力和洛伦兹力的作用下,从 静止开始自A点沿曲线ACB运动,到达B点时速度为 零,C点是运动的最低点,忽略重力,以下说法中正 确的是( ABC ) A.此离子必带正电荷 B.A点和B点位于同一高度 C.离子在C点时速度最大 4D.离子到达B点后,将沿原曲线返回A点 图8- 11
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【解析】忽略重力作用,离子开始时向下做加速运 动,说明离子受到竖直向下的电场力作用,所以该 离子带正电,A正确.离子有速度后就受到洛伦兹 力作用,洛伦兹力方向始终垂直于速度方向,它改 变离子的运动方向,离子从A点沿曲线ACB运动, 洛伦兹力不做功.电场力做功与路径无关而与起点 和终点有关,由动能定理可知,离子在C点的动能 达到最大,之后运动到B点时速度为零,然后又开 始重复前一次运动.正确选项为A、B、C.
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5.(2011年海南五校)如图8- 12所示,匀强磁场的方向 4竖直向下.磁场中有光滑的水平桌面,在桌面上平放 着内壁光滑、底部有带电小球的试管.试管在水平拉 力F作用下向右匀速运动,带电小球能从管口处飞 出.关于带电小球及其在离开试管前的运动,下列说 法中正确的是( AC ) A.小球带正电 B.洛伦兹力对小球做正功 C.小球运动的轨迹是一条 抛物线 图8- 12 4D.维持试管匀速运动的拉力F应保持恒定
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【解析】小球能从管口离开,说明其带正电;洛伦 兹力不做功;沿拉力F的方向小球受力平衡,匀速 运动,管口方向:F 洛 =qvB为恒力,其运动为类平 抛运动,对试管和小球整体,在拉力F的方向上, 应有F=qv′B(v′为球沿试管方向的速度),v′均匀增大, 则F均匀增大.

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6.(2010安庆二模)如图8- 13所示,在平面直角坐标系 4xOy内,第Ⅰ象限的等腰直角三角形MNP区域内存在 垂直于坐标平面向外的匀强磁场,y<0的区域内存在 着沿y轴正方向的匀强电场.一质量为m、电荷量为q 的带电粒子从电场中Q(-2h,-h)点以速度v0水平向右射 出,经坐标原点O处射入第Ⅰ象限,最后以垂直于PN 的方向射出磁场.已知MN平 行于x轴,N点的坐标为(2h,2h), 不计粒子的重力,求: (1)电场强度的大小E; (2)磁感应强度的大小B. 图8- 13 444

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【解析】1? 粒子在电场中运动过程中,由平抛运动规 ? 律及牛顿运动定律得 mv 1 2 2h ? v0t  h ? at  qE ? ma   得E ? 2 2qh
2 0

? 2 ? 粒子到达O点时,沿 ? y方向的分速度
qE 2h v y ? at ? ? ? v0 m v0 速度与x正方向的夹角a满足 vy tan? ? ? 45? vx
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所以粒子从MP的中点垂直于MP进入磁场,垂 直于NP射出磁场,故粒子在磁场中圆轨迹的圆心 即为P点粒子的运动轨迹如图所示,由几何知识可 得:

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轨道半径R ? 2h,粒子在磁场中的速度v ? 2v0 v2 由圆周运动知识:qvB ? m R mv0 联立解得:B ? qh

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