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平面向量培优试题


一、选择题 1 . (2013 年高考上海卷(理) )在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余顶点

为终点的向量分别为 a1, a2 , a3 , a4 , a5 ; 以 D 为起点 , 其余顶点为终点的向量分别为

d1, d2 , d3 , d4 , d5 .若 m, M 分别为 (ai ? a j ? ak ) ? (dr ? ds ? dt ) 的最小值、最大值,其中
{i, j, k} ? {1, 2,3, 4,5} , {r , s, t} ? {1, 2,3, 4,5} ,则 m, M 满足
A. m ? 0, M ? 0
【答案】D.

( D. m ? 0, M ? 0



B. m ? 0, M ? 0

C. m ? 0, M ? 0

AB 上一定点,满足 3 . (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理) )设 ?ABC, P 0 是边

P0 B ?

1 AB ,且对于边 AB 上任一点 P ,恒有 PB ? PC ? P0 B ? P0C .则 4
B. ?BAC ? 900 C. AB ? AC D. AC ? BC





A. ?ABC ? 900
【答案】D

4 .( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 福 建 数 学 ( 理 )) 在 四 边 形 ABCD

中, AC ? (1, 2) , BD ? (?4, 2) ,则四边形的面积为 A. 5
【答案】C 5 . (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 (理) ) 在平面直角坐标系中, O 是坐标原点,

( D.10



B. 2 5

C.5







A, B





OA ? OB ? OA OB ? 2,





集 ( )

?P |

O ?? P

??O , A ? ?
B. 2 3

O? 1 ?B , ? , ?? R 所表示的区域的面积是
C. 4 2 D. 4 3

?

A. 2 2
【答案】D

6 .( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 重 庆 数 学 ( 理 )) 在 平 面

上, AB1 ? AB2 , OB1 ? OB2 ? 1 , AP ? AB1 ? AB2 .若 OP ? 是 A. ? 0,

1 ,则 OA 的取值范围 2
( )

? ? ?

5? ? 2 ?

B. ?

? 5 7? ? 2 , 2 ? ? ?

C. ?

? 5 ? , 2 ? ? 2 ? ?

D. ?

? 7 ? , 2 ? ? 2 ? ?

【答案】D 7 . ( 2013 年 高 考 湖 南 卷 ( 理 ) ) 已 知 a, b 是 单 位 向 量 , a b ? 0 . 若 向 量

c 满足
( )

c ? a ? b ? 1, 则 c 的取值范围是

, 2+1? A. ? 2-1, ? ? , 2+1? C. ?1, ? ?
【答案】A

, , 2+2? B. ? 2-1 ? ? , 2+2 ? D. ?1, ? ?

9 . (2013 年高考湖北卷(理) )已知点 A ? ?1,1? . B ?1, 2 ? . C ? ?2, ?1? . D ? 3, 4 ? ,则向量 AB

在 CD 方向上的投影为





A.

3 2 2
[

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

【答案】A

12. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学 (理) ) 已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120 °,

且 AB ? 3 , AC ? 2 ,若 AP ? ? AB ? AC ,且 AP ? BC , 则实数 ? 的值为__________.
【答案】

7 12

14( .2013 年高考北京卷 (理) ) 向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示.若 c=λ a+μ b (λ ,

μ ∈R),则

? =_________. ?

b

a
【答案】4

c

16 . ( 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷) 设 D,E 分别是 ?ABC 的边

AB,BC 上的点 , AD ?

1 2 AB , BE ? BC , 若 DE ? ?1 AB ? ?2 AC ( ?1,?2 为实 2 3

数),则 ?1 ? ?2 的值为__________.
【答案】

1 2

17 . ( 2013 年 高 考 四 川 卷 ( 理 ) ) 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , 对 角 线 AC 与 BD 交 于 点

O , AB ? AD ? ? AO ,则 ? ? _________.
【答案】2 18 . ( 2013 年 高 考 江 西 卷 ( 理 ) )设

e1 , e2 为 单 位 向 量 . 且 e1 , e2 的 夹 角 为

? ,若 3

a ? e1 ? 3e2 , b ? 2e1 ,则向量 a 在 b 方向上的射影为 ___________
【答案】

5 2

19. ( 2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理) ) 在平行四边形 ABCD 中, AD = 1,

?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点. 若 AD· BE ? 1 , 则 AB 的长为______.
【答案】

1 2 【答案】

A

3.设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c, 则|a+b|=( A. 5 C.2 5 【解析】 ) B. 10 D.10 ∵a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),

由 a⊥c 得 a· c=0,即 2x-4=0,∴x=2. 由 b∥c 得 1×(-4)-2y=0,∴y=-2. ∴a=(2,1),b=(1,-2). ∴a+b=(3,-1),∴|a+b|= 32+?-1?2= 10. 【答案】 B

→ → 4.(2013· 长沙质检)在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB· BC=1,则 BC= ( A. 3 C.2 2 【解析】 B. 7 D. 23 → → ∵AB· BC=1,且 AB=2, )

→ → → 1 ∴1=|AB||BC|cos(π-B),∴|BC|cos B=-2. 在△ABC 中,|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB||BC|cos B, 1 即 9=4+|BC|2-2×2×(-2).∴|BC|= 3. 【答案】 A

5.(2013· 广东高考)设 a 是已知的平面向量且 a≠0.关于向量 a 的分解,有如

下四个命题: ①给定向量 b,总存在向量 c,使 a=b+c; ②给定向量 b 和 c,总存在实数 λ 和 μ,使 a=λb+μ c; ③给定单位向量 b 和正数 μ,总存在单位向量 c 和实数 λ,使 a=λb+μ c; ④给定正数 λ 和 μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c,使 a=λb+μ c. 上述命题中的向量 b,c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数 是 ( A.1 C.3 【解析】 B.2 D.4 显然命题①②是正确的. )

对于③,以 a 的终点作长度为 μ 的圆,这个圆必须和向量 λb 有交点,这个 不一定能满足,③是错的,对于命题④,若 λ=μ=1,|a|>2 时,与|a|=|b+c|≤|b| +|c|=2 矛盾,则④不正确. 【答案】 二、填空题 6.(2013· 课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60° ,c=ta+(1- t)b,若 b· c=0,则 t=________. 【解析】 ∵c=ta+(1-t)b,且〈a,b〉=60° , B

∴c· b=ta· b+(1-t)· b2 =t×1×1×cos 60° +(1-t)×12=0, 1 则 1-2t=0,∴t=2. 【答案】 2

7.(2013· 南京调研)如图 2-3-2 所示,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2, → → → → 点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若AB· AF= 2,则AE· BF的值是________.

图 2-3-2

【解析】

以 A 为坐标原点,AB,AD 所在直线为 x 轴,y 轴建立平面直角

→ → 坐标系,则 A(0,0),B( 2,0),E( 2,1),F(x,2).故AB=( 2,0),AF=(x,2), → → AE=( 2,1),BF=(x- 2,2). → → ∴AB· AF=( 2,0)· (x,2)= 2, 则 2x= 2,∴x=1. → → 因此AE· BF=( 2,1)· (1- 2,2)= 2. 【答案】 2

8.(2013· 浙江高考)设 e1,e2 为单位向量,非零向量 b=xe1+ye2,x,y∈R. π |x| 若 e1,e2 的夹角为6,则|b|的最大值等于________. 【解析】 ? |x|? ?|b|? ? ?
2

根据题意,得 x2 x2 = = ?xe1+ye2?2 ?xe1?2+?ye2?2+2xye1· e2 π = x +y +2xycos 6
2 2



x2

x2 x2+y2+ 3xy = 1 = . 3y ?y 3?2 1 ?y?2 ? + ?+ 1+?x? + x ? ? ?x 2 ? 4 1

y 3 1 1 |x| |x| ? |x|? 因为(x+ 2 )2+4≥4,所以 0<?|b|?2≤4,所以 0<|b|≤2.故|b|的最大值为 2. ? ? 【答案】 三、解答题 9.设过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A,B 两 2

→ → → → 点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称,O 为坐标原点,若BP=2PA,且OQ· AB=1,求 P 点的轨迹方程. 【解】 设 A(x0,0)(x0>0),B(0,y0)(y0>0),

∵P(x,y)与 Q 关于 y 轴对称,∴Q(-x,y), → → 由BP=2PA,即(x,y-y0)=2(x0-x,-y), 3 ? ?x0= x 2 (x,y>0). 可得? ? ?y0=3y → → 3 又OQ=(-x,y),AB=(-x0,y0)=(-2x,3y). → → ∵OQ· AB=1, 3 ∴2x2+3y2=1(x>0,y>0). 3 ∴点 P 的轨迹方程为2x2+3y2=1(x>0,y>0). 3 3 x x π 10.已知向量 a=(cos 2x,sin 2x),b=(cos 2,-sin 2),且 x∈[0,2].求: (1)a· b 及|a+b|; 3 (2)若 f(x)=a· b-2λ|a+b|的最小值为-2,求正实数 λ 的值. 【解】 3 x 3 x (1)a· b=cos 2x· cos 2-sin 2xsin 2=cos 2x.

3 x 3 x ∵a+b=(cos 2x+cos 2,sin 2x-sin 2), 3 x 3 x ∴|a+b|2=(cos 2x+cos 2)2+(sin 2x-sin 2)2 3 x 3 x =2+2(cos 2xcos 2-sin 2xsin 2) =2+2cos 2x=4cos2x. π ∵x∈[0,2],∴cos x≥0, 因此|a+b|=2cos x. (2)由(1)知 f(x)=cos 2x-4λcos x=2cos2x-4λcos x-1,

∴f(x)=2(cos x-λ)2-1-2λ2,cos x∈[0,1]. ①若 0<λ≤1,则当 cos x=λ 时, 3 f(x)有最小值-1-2λ2=-2, 1 解得 λ=2. ②若 λ>1,则当 cos x=1 时, 3 f(x)有最小值 1-4λ=-2, 5 解得 λ=8与 λ>1 矛盾. 1 综合①②知,λ=2为所求. 11.(2013· 济南模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 A 2 5 → → 满足 cos 2 = 5 ,AB· AC=3. (1)求△ABC 的面积; (2)若 c=1,求 a,sin B 的值. 【解】 A 2 5 3 (1)∵cos A=2cos2 2 -1=2×( 5 )2-1=5,

→ → → → 3 而AB· AC=|AB|· |AC|· cos A=5bc=3, ∴bc=5. 4 又 A∈(0,π),∴sin A=5, 1 1 4 ∴△ABC 的面积 S△ABC=2bcsin A=2×5×5=2. (2)由(1)知 bc=5,而 c=1,∴b=5. 3 ∴a2=b2+c2-2bccos A=52+12-2×1×5×5=20,∴a=2 5. a b 又sin A=sin B, ∴sin B= b· sin A 5 4 2 5 = × = 5 . a 2 5 5

2. 【江西九江市都昌一中 湖口中学 彭泽一中 瑞昌一中 修水一中 永修一中 德安一中

2014 届高三七校联考】设非零向量 a, b, c ,满足

a?b?c



a ? b ? c ,则

sin?a, b? =
A. ?

1 2

B.

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

3. 【江西九江市都昌一中 湖口中学 彭泽一中 瑞昌一中 修水一中 永修一中 德安一中 2014 届高三七校联考】 (12 分) 斜三棱柱 OAB ? CA1 B1 , 其中向量 OA ? a, OB ? b, OC ? c , 三个向量之间的夹角均为

? 1 ,点 M , N 分别在 CA1 , BA1 上且 CM ? MA1 , BN ? NA1 , 2 3

OA ? 2, OB ? 2, OC =4,如右图
(Ⅰ)把向量 AM 用向量 a, c 表示出来,并求 AM ; (Ⅱ)把向量 ON 用 a, b, c 表示; (Ⅲ)求 AM 与 ON 所成角的余弦值。

是他在空间中找; (Ⅲ) 求 AM 与 ON 所成角的余弦值, 利用 cos? AM , ON ? ? 分别求出 AM ? ON , ON 即可.

AM ? ON AM ? ON

,

5. 【江西省 2014 届新课程高三第三次适应性测试】设向量 记 f ( x) ? a ? b , 函数 y ? f ( x) 的周期是 ( a ? ( 3sin x,cos x), b ? (cos x,cos x) , A. ? B. 2? C. 3? D. 4? )

【答案】A

【解析】

二.能力题组
1. 【陕西宝鸡市金台区2014届高三会考试题】 (本小题满分12分)在 ?ABC 中, a , b ,

c 分别是角 A , B , C 的对边,向量
m ? (b, 2a ? c) , n ? (cos B,cos C) ,且 m // n .
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 f ( x) ? cos(? x ? 间 [0,

?
2

B ) ? sin ? x(? ? 0) ,且 f ( x) 的最小正周期为 ? ,求 f ( x) 在区 2

] 上的最大值和最小值.

试题解析: (Ⅰ)由 m // n ,得 b cosC ? (2a ? c ) cos B, ? b cos C ? c cos B ? 2a cos B , --1 分 由正弦定理,得 sin B cos C ? sin C cos B ? 2 sin A cos B ---------3 分

sin( B ? C ) ? 2 sin A cos B,? cos B ?

1 ? .? B ? ---------6 分 2 3

2. 【2013---2014 学年第一学期赣州市十二县(市)期中联考】 (本小题满分 12 分)已知 向量 m ? ( 3 sin 2x ? 2,cos x) , n ? (1, 2cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n , x ? R . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期与最大值; (Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 f ( A) ? 4, b ? 1, ?ABC 的面积为

3 ,求 a 的值. 2

3. 【2013---2014 学年第一学期赣州市十二县(市)期中联考】如图,平行四边形 ABCD 中,

AB ? 2, AD ? 1, ?A ? 60 ,点 M 在 AB 边上,且 AM ?

1 AB, 则 DM ? DB 等于 ( 3



A. ?

3 2

B.

3 2

C. ?1

D.1

【答案】D 【解析】 试题分析:∵ AM ?

1 1 AB , AB ? 2, AD ? 1, ?A ? 60 , ∴ A M ? A B,∴ 3 3 1 DM ? DB ? ( DA ? AM ) ? ( DA ? AB ) ? ( DA ? AB ) ? ( DA ? AB ) 3

? DA ?

2

2 4 1 4 1 AB ? DA ? AB ? 1 ? ? 1? 2 ? cos120? ? ? 4 ? 1 ,故选 D. 3 3 3 3

考点:向量在几何中的应用,平面向量数量积的运算. 4. 【江西九江市都昌一中 湖口中学 彭泽一中 瑞昌一中 修水一中 永修一中 德安一中 2014 届高三七校联考】 (12 分) 已知向量 m ? (sin x,?1), n ? (cos x, ) ,f ( x) ? (m ? n) ? m. (Ⅰ)当 x ? ?0,

3 2

? ?? 时,求函数 f ( x) 的值域; ? 2? ? 2 ( a ? 1 ? a ) ,当 a ? R 时恒成立,求 x 的取值范围。 4

(Ⅱ)不等式 f ( x) ≤

(Ⅱ)不等式 f ( x) ≤

2 ( a ? 1 ? a ) ,当 a ? R 时恒成立,求 x 的取值范围,只需求出 4

2 2 ( a ? 1 ? a ) 的最小值,只要求出 f ( x) 小于或等于 ( a ? 1 ? a ) 的最小值的 x 的取 4 4
值范围即可. 试题解析: (Ⅰ) m ? n ? (sin x ? cos x, ) ,所以

1 2

a, b, c 5. 【江西抚州一中 2013-2014 学年高三年级第四次同步考试】 若 G 是 ?ABC 的重心,
分别是角 A, B, C 的对边,若 aGA ? bGB ? A、 90 B、 60

3 cGC ? 0 ,则角 A ? ( 3
D、 30



C、 45

考点:余弦定理,向量在几何中的应用. 6. 【江西省 2014 届新课程高三第三次适应性测试】在等比数列 {an } 中, a7 是 a8 , a9 的等

差中项,公比 q 满足如下条件: ?OAB ( O 为原点)中, OA ? (1,1) , OB ? (2, q) , ? A 为锐角,则公比 q 等于( A.1 B.-1 C.-2 ) D. ?

1 2

一.基础题组 1.
【江西省七校 2014 届高三上学期第一次联考】设 x, y ? R ,向量 a ? ( x , 1) , )

b ? (1 , y) , c ? (2 , ?4) ,且 a ? c , b // c ,则 | a ? b |? (
A. 5 B. 10 C. 2 5

D.10

2. 【江西省稳派名校学术联盟 2014 届高三 12 月调研考试】在平面直角坐标系中,O 是原
点, OA ? (1,0), P 是平面内的动点,若 | OP ? OA | = | OP ? OA | ,则 P 点的轨迹方程是 ___________。

3. 【陕西工大附中第一次适应性训练】 若向量 a , 且 a ? (a ? b) , b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 ,
则 a 与 b 的夹角为( A. ) C.

? 2

B.

2? 3

3? 4

D.

5? 6

[学科网]

4. 【江西师大附中高三年级数学期中考试卷】已知向量 a = (sin q , - 2) 与 b = (1, cosq ) 互相垂
直,其中 q ? (0,

?
2

) ,则 cosq = _____ .

5.

【江西省赣州市四所重点中学(赣州一中、平川中学、瑞金中学、赣州三中)2013-2014
2 2

学年度第一学期期末联考高三数学试题】设 O 为坐标原点,C 为圆(x-2) +y =3 的圆心, 且圆上有一点 M(x, y)满足

OM · CM =0,则 =

y x



6.【江西省赣州市四所重点中学(赣州一中、平川中学、瑞金中学、赣州三中)2013-2014
学年度第一学期期末联考高三数学试题】已知向量 a, b 的夹角为 60°,且|a|=2, |b|=1, 则向量 a 与向量 a+2b 的夹角等于( A.150° B.90° ) C.60° D.30°

7. 【江西师大附中高三年级数学期中考试卷】已知 a
求(1) a 与b 的夹角;(2) a + b 的值 . 【答案】 (1)

? 4, b ? 3, (2a ? 3b) ? (2 a ? b) ? 61

2? ; (2) 13 3

二.能力题组 1.
【江西师大附中高三年级数学期中考试卷】如图所示, P 为 ? AOB 所在平面上一点,且 )

P 在线段 AB 的垂直平分线上,若 OA ? 3, OB ? 2 ,则 OP ? (OA ? OB) 的值为(

A.5

B.3

C.

5 2

D.

3 2

2.

【江西宜春市二高 2014 届高三第五次数学月考】已知向量 a ? (sin ? x, 2cos ? x) ,

b ? (cos ? x, ?
周期为

2 3 cos ? x) (? ? 0) ,函数 f ( x) ? a( 3b ? a) ?1,且函数 f ( x) 的最小正 3

? 。 2

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)设 ?ABC 的三边 a、b、c 满足: b ? ac ,且边 b 所对的角为 x ,若方程 f ( x) ? k
2

有两个不同的实数解,求实数 k 的取值范围。

利用余弦定理 cos x ?

? a 2 ? c 2 ? b2 2ac ? ac 1 ? ? , 可求出 0 ? x ? , 方程 f ( x) ? k 有两 3 2ac 2ac 2
?
6 )? 1 ? k 有两个不同的实数解时,结合三角函数图 2

个不同的实数解,即 f ( x) ? sin(4 x ?

像可得 k 的范围.

→ → 3. 【江西宜春市二高 2014 届高三第五次数学月考】设 P、Q 为△ABC 内的两点,且AP = AB 5 1→ → 2→ 1→ + AC, AQ= AB+ AC, 则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为____ 5 3 4

2

如图, 平面四边形 ABCD 中, AB=13, AC=10, 4. 【江西省七校 2014 届高三上学期第一次联考】

AD=5, cos ?DAC ? (Ⅰ) cos ?BAD ;

3 , AB ? AC ? 120. 5

(Ⅱ)设 AC ? xAB ? yAD ,求 x、y 的值。

2 ? ? AC ? AB ? xAB ? y AD ? AB (Ⅱ)由 AC ? x ? AB ? y ? AD得 : ? ……….8分 2 ? ? AC ? AD ? xAB ? AD ? y AD

?120 ? 169 x ? 16 y ?? ?30 ? 16 x ? 25 y

………………………………………………..10分

解得: x ?

40 63

y?

50 . ………………………………………… 12 分 63

考点:平面向量数量及运算.


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