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2015上海高三数学第三轮复习:高考数学模拟试卷


2015 上海高考数学模拟练习(2015.6.1) 一、填空题(每个 4 分) 1.函数 y ?
lg( 4 ? x ) 的定义域是 x?3

?x x ? 4 且 x ? 3 ?
2

; ;
2

2.函数 f ( x ) ?

x 的反函数为 f ?1 ( x) ,则 f ?1 (2) ? x ?1

3.若集合 A ? ?x | x ? 2? , B ? ?x | x ? a? ,若满足 A B ? {2} ,则实数 a ?
1 3



4.已知幂函数 y ? f ( x) 存在反函数,若其反函数的图像经过点 ( ,9) ,则该幂函数的解析 式 f ( x) ?
x
? 1 2



5.函数 y ? sin x cos( x ?
1 0 ?1

?
4

) ? cos x sin( x ?

?
4

) 的最小正周期 T ? ?



6.行列式 2 1 ?1 ?3

3 中 ?3 的代数余子式的值为___ ? 5 _____; 1

7.某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的 n 值是
8, 则从集合 ?0,1,2,3? 中取所有满足条件的 S0 的值为

____ 0 __; 8.已知 a ,b 是两个不共线的单位向量, 若向量 a ? b 与向量 2k a ? b 垂直,则实数 k ?
1 2



? ? , 方 程 t a nx 9. 如 果 ? ? ?0 , 2 ( ?? ? )
x?

的一个解为 3

?
4

,则 ? 等于

1 13 ? 或 ? 12 12



10. 若 (1 ? 2 x)n ( n ? N* )二项展开式中的各项系数和为 an ,其二项式系数和为 bn ,则
lim
n ??

bn ?1 ? an ? an ?1 ? bn

?

1 3



11.某国际科研合作项目成员由 11 个美国人、 4 个法国人和 5 个中国人组成.现从中随机 选出两位作为成果发布人,则此两人不属于同一个国家的概率为 表示)
119 190

。 (结果用分数

2015 模拟练习第 1 页 共 8 页

x2 y2 P 在双曲线上, ? ? 1 的左、 12.已知双曲线 右焦点分别为 F1 , 且 ?F1 PF2 ? 90? , F2 , 4 12

则点 P 到 x 轴的距离等于

3 ;

13.已知三个球的半径 R1 , R2 , R3 满足 R1 ? 2R2 ? 3R3 ,则它们的体积 V1 , V2 , V3 满足 的等量关系是__ 3 V1 ? 2 ? 3 V2 ? 3 ? 3 V3 __;

? ?2 ? ? | x ? ? | ........x ? 2 ? ? ? 14.已知函数 f ( x) ? ?sin x...........x ? [0, ] ,m 是非零常数, 关于 x 的方程 f ( x) ? m(m ? R) 2 ? ? x 2 ? x........x ? 0 ? ?
有 且 仅 有 三 个 不 同 的 实 数 根 , 若 ?、? 分 别 是 三 个 根 中 的 最 小 根 和 最 大 根 , 则

? ? ? sin( ? ? ) ?
3

1+ 4

5



分析: ? ?

?1 ? 5 3? ; ,? ? 2 2

二、选择题(每个 5 分) 15.已知 a 、 b ? 0 ,则下列不等式中不一定 成立的是(C ... A. ? ≥ 2 C.
2ab ≥ ab a?b a b b a

) .

B. (a ? b) ? ( ? ) ≥ 4 D. a ? b ?
1 ≥2 2 ab

1 a

1 b

16.圆 x2 ? y 2 ? ax ? by ? 0 与直线 ax ? by ? 0(a2 ? b2 ? 0) 的位置关系是(B A.直线与圆相交但不过圆心 C.直线与圆相交且过圆心 B. 相切. D. 相离.

)

17.若 a 、 b 、 c 都是复数,则“ a 2 ? b2 ? c 2 ”是“ a 2 ? b2 ? c 2 ? 0 ” 的( A.充要条件 C.充分而非必要条件 18.若 cos2 ? ? B.既非充分条件又非必要条件 D.必要而非充分条件 )

C

)

( x ? y)2 ,则 x , y 满足的条件是( B 4 xy

A. x ? y 且 x ? 0 C. x ? y 且 x ? 0 , y ? 0

B. x ? y 且 x ? 0 或 x ? ? y 且 x ? 0 D. x ? y 且 x ? 0

三、解答题(12+14+14+16+18=74)
2015 模拟练习第 2 页 共 8 页

19.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 2 , AC ? AA1 ? 4 , ?ABC ? 90? . (1)求三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的表面积 S ; (2)求异面直线 A1 B 与 AC 所成角的大小(结果用反三角函数表示) . 解; (1)在△ ABC 中,因为 AB ? 2 , AC ? 4 ,
?ABC ? 90? ,所以 BC ? 2 3 .????(1 分)
A1 B1 C1

S ?ABC ?

1 ? AB ? BC ? 2 3 .??????(1 分) 2

A B

所以 S ? 2S ?ABC ? S侧 ? 2S ?ABC ? ( AB ? BC ? AC) ? AA1

C

? 4 3 ? (2 ? 2 3 ? 4) ? 4 ? 24 ? 12 3 .????(3 分)
(2)连结 BC1 ,因为 AC ∥ A1C1 ,所以 ?BA1C1 就是异面直线 A1 B 与 AC 所成的角(或其 补角) .????(1 分) 在△ A1 BC1 中, A1 B ? 2 5 , BC1 ? 2 7 , A1C1 ? 4 ,????(1 分) 由余弦定理, cos?BA1C1 ? 所以 ?BA1C1 ? arccos

A1 B 2 ? A1C1 ? BC1 5 ,????(3 分) ? 2 ? A1 B ? A1C1 10

2

2

5 .????(1 分) 10 5 .??(1 分) 10

即异面直线 A1 B 与 AC 所成角的大小为 arccos

20.已知函数 f ( x) ? 2 3sin x ? cos x ? cos2 x ? sin 2 x ? 1 ( x ? R ) (1)求函数 y ? f ( x) 的单调递增区间; (2)若 x ?[?
5? ? , ] ,求 f ( x) 的取值范围. 12 3
? 6

解: (1)由题设 f ( x) ? 3sin 2x ? cos2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1, 由 2k ? ? ≤ 2x ? ≤ 2k ? ?
? 2 ? 6 ? ? ? ,解得 k ? ? ≤ x ≤ k ? ? , 2 3 6
? ? ??

(2 分)

故函数 y ? f ( x) 的单调递增区间为 ? k ? ? , k ? ? ? ( k ? Z ) . 3 6? ? (2)由 ?
5? ? 2? ? ?? ≤ x ≤ ,可得 ? ≤ 2 x ? ≤ . (7 分) 12 3 3 6 6 ? 6

(6 分)

考察函数 y ? sin x ,易知 -1≤ sin(2 x ? ) ≤1 , (10 分) 于是 -3 ≤ 2sin(2x ? ) ? 1≤1 .
? 6

故 y ? f ( x) 的取值范围为 [ ?3,1] .
2015 模拟练习第 3 页 共 8 页

21.已知函数 f ( x) ?

x2 ? a (a ? R) . x ?1

(1)用定义证明:当 a ? 3 时,函数 y ? f ( x) 在 ?1, ?? ? 上是增函数; (2)若函数 y ? f ( x) 在 ?1, 2? 上有最小值 ?1 ,求实数 a 的值. 解; (1)当 a ? 3 时, f ( x) ?
x2 ? 3 x ?1

任取 x1, x2 ??1, ??? , x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
? ( x1 ? x2 )( x1 ? x1 ? x1 x2 ? 3) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

x12 ? 3 x2 2 ? 3 ? x1 ? 1 x2 ? 1

因为 1 ? x1 ? x2 ,所以 x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0, x1 ? x2 ? 0

x1x2 ? 1, x1 ? x2 ? x1x2 ? 3 ? 0
所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,所以 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上为增函数。 (2)解法一、根据题意
x2 ? a ? ?1, x ? ?1, 2? 恒成立。且等号成立。 x ?1
2

1? 3 ? 所以 a ? ? x ? x ? 1 ? ? ? x ? ? ? 2? 4 ?
2

由于 f ( x) 在 ?1, 2? 上单调递减,所以 (?x2 ? x ?1)max ? ?3, x ??1,2? 所以 a ? ?3 ;
x2 ? a 1? 3 ? ? ?1, x ? ?1, 2? 等号成立时, a ? ? x2 ? x ? 1 ? ? ? x ? ? ? 当等式 x ?1 2? 4 ?
2

所以 a ? ?3 , 故 a ? ?3 解法二、 f ( x) ? x ? 1 ?
g (t ) ? t ?

1? a ? 2 ,令 t ? 1 ? x ,则 t ?? 2,3? x ?1

1? a 1? a ? 2, t ? ? 2,3? g (t ) ? t ? ? 2, t ? ? 2,3? t t

① 1 ? a ? 0 ? a ? ?1 时,根据反比例函数与正比例函数的性质,
g (t ) ? t ? 1? a ? 2, t ? ? 2,3? 为增函数 t

所以 g (2) ? ?1 ,即: a ? ?3 ② 1 ? a ? 0 ? a ? ?1 ,由于 t ? 2,
1? a ? 0 ,所以 g (t ) ? 0, t ??2,3? ,即 a 不存在。 t
2015 模拟练习第 4 页 共 8 页

x y 22.已知曲线 C1: ? ? 1(a ? b ? 0) 所围成的封闭图形的面积为 4 5 ,曲线 C1 的内切圆 a b

半径为

2 5 .记 C2 为以曲线 C1 与坐标轴的交点为顶点的椭圆. 3

(Ⅰ)求椭圆 C2 的标准方程; (Ⅱ)设 AB 是过椭圆 C2 中心的任意弦,l 是线段 AB 的垂直平分线. M 是 l 上异于椭圆 中心的点. (1) 若M , 当点 A 在椭圆 C2 上运动时, 求点 M 的轨迹方程; O ? ?O A ( O 为坐标原点) (2)若 M 是 l 与椭圆 C2 的交点,求 △ AMB 的面积的最小值.

?2ab ? 4 5, ? 解: (Ⅰ)由题意得 ? ab 2 5 ? . ? 2 2 3 ? a ?b
又 a ? b ? 0 ,解得 a 2 ? 5 , b2 ? 4 . 因此所求椭圆的标准方程为
x2 y 2 ? ? 1. 5 4

(Ⅱ) (1)假设 AB 所在的直线斜率存在且不为零,设 AB 所在直线方程为 y ? kx(k ? 0) ,

A( xA,y A ) .
? x2 y 2 20 20k 2 ? 1, 2 ? ? 2 x ? y ? 解方程组 ? 5 得 , , 4 A A 2 2 4 ? 5 k 4 ? 5 k ? y ? kx, ?
2 2 ? yA ? 所以 OA ? xA 2

20 20k 2 20(1 ? k 2 ) ? ? . 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2

设 M ( x,y) ,由题意知 MO ? ? OA (? ? 0) , 所以 MO ? ? 2 OA ,即 x 2 ? y 2 ? ? 2 因为 l 是 AB 的垂直平分线,
1 x 所以直线 l 的方程为 y ? ? x ,即 k ? ? , k y
2 2

20(1 ? k 2 ) , 4 ? 5k 2

? x2 ? 20 ?1 ? 2 ? 2 2 y ? 2 20( x ? y ) 因此 x 2 ? y 2 ? ? 2 ? , ? ? x2 4 y 2 ? 5x2 4?5 2 y
又 x2 ? y 2 ? 0 ,所以 5x2 ? 4 y 2 ? 20? 2 ,故
x2 y 2 ? ? ?2 . 4 5

2015 模拟练习第 5 页 共 8 页

又当 k ? 0 或不存在时,上式仍然成立. 综上所述, M 的轨迹方程为
x2 y 2 ? ? ? 2 (? ? 0) . 4 5
2 A

20 20k 2 2 (2)当 k 存在且 k ? 0 时,由(1)得 x ? , yA ? , 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2

? x2 y 2 ? ? 1, ? 20 20k 2 ?5 4 2 2 ? 由? 解得 xM ? , yM , 2 5 ? 4k 2 5 ? 4k ? y ? ? 1 x, ? k ?
2 2 ? yA ? 所以 OA ? xA 2

20(1 ? k 2 ) 80(1 ? k 2 ) 20(1 ? k 2 ) 2 2 2 AB ? 4 OA ? OM ? , , . 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2 5 ? 4k 2
1 2 AB OM 4
2

2 解法一:由于 S△ AMB ?

1 80(1 ? k 2 ) 20(1 ? k 2 ) 400(1 ? k 2 )2 ? ? ? ? 4 4 ? 5k 2 5 ? 4k 2 (4 ? 5k 2 )(5 ? 4k 2 )



400(1 ? k 2 ) 2 ? 4 ? 5k 2 ? 5 ? 4 k 2 ? ? ? 2 ? ?
2

?

1600(1 ? k 2 )2 ? 40 ? ?? ? , 81(1 ? k 2 )2 ? 9 ?

2

当且仅当 4 ? 5k 2 ? 5 ? 4k 2 时等号成立,即 k ? ?1 时等号成立,此时 △ AMB 面积的最小值 是 S△ AMB ?
40 . 9

1 40 当 k ? 0 , S△ AMB ? ? 2 5 ? 2 ? 2 5 ? . 2 9
1 40 当 k 不存在时, S△ AMB ? ? 5 ? 4 ? 2 5 ? . 2 9

综上所述, △ AMB 的面积的最小值为 解法二: 因为
1 OA
2

40 . 9

?

1 OM
2

?

1 1 4 ? 5k 2 ? 5 ? 4k 2 9 ? , ? ? 20(1 ? k 2 ) 20(1 ? k 2 ) 20(1 ? k 2 ) 20 4 ? 5k 2 5 ? 4k 2



1 OA
2

?

1 OM
2



40 2 , OA OM ≥ , 9 OA OM

当且仅当 4 ? 5k 2 ? 5 ? 4k 2 时等号成立,即 k ? ?1 时等号成立, 此时 △ AMB 面积的最小值是 S△ AMB ?
40 . 9

2015 模拟练习第 6 页 共 8 页

1 40 当 k ? 0 , S△ AMB ? ? 2 5 ? 2 ? 2 5 ? . 2 9 1 40 当 k 不存在时, S△ AMB ? ? 5 ? 4 ? 2 5 ? . 2 9

综上所述, △ AMB 的面积的最小值为

40 . 9

23.已知 a ? b ,且 a 2 ? a ? 6 ? 0 , b2 ? b ? 6 ? 0 ,数列 ?an ? 、 ?bn ? 满足 a1 ? 1 , a2 ? ?6a ,

an?1 ? 6an ? 9an?1 (n ? 2, n ? N * ) , bn ? an?1 ? ban (n ? N * ) .
(1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2) 已知数列 ?cn ? 满足 cn ?
an (n ? N * ) , 试建立数列 ?cn ? 的递推公式(要求不含 an或bn ), n 3

并求数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ; ( 3 ) 若 ?cn ? 满足 c1 ? 1 , c2 ? 5 , cn?2 ? 5cn?1 ? 6cn (n ? N * ) ,试用数学归纳法证明 :
cn ? acn ?1 ? an (n ? 2,n ? N * ). 3n ? 2

解:(1)∵ a ? b, a2 ? a ? 6 ? 0, b2 ? b ? 6 ? 0 , ∴ a ? ?2, b ? 3 , a2 ? 12 ∵ an?1 ? 6an ? 9an?1 (n ? 2, n ? N * ) , bn ? an?1 ? ban (n ? N * ) , ∴ bn?1 ? an?2 ? 3an?1 ? 6an?1 ? 9an ? 3an?1 ? 3(an?1 ? 3an ) ? 3bn (n ? N * ) . 又 b1 ? a2 ? 3a1 ? 9 , ∴数列 ?bn ? 是公比为 3,首项为 9 的等比数列,且 bn ? 3n?1 , n ? N ? . (2) bn ? 3n?1 (n ? N * ) . 于是,有 an?1 ? 3an ? 3n?1 (n ? N * ) ,即
an ?1 an ? n ? 1(n ? N * ) . n ?1 3 3

a1 1 ? an ? 因此,数列 ? n ? 是首项为 (? ) ,公差为 1 的等差数列. 3 3 ?3 ?

1 ? an 1 ?c1 ? 故 n ? ? (n ? 1) ?1 ,数列 ?cn ? 的递推公式是 ? (n ? N * ) . 3 3 3 ? ?cn ?1 ? cn ? 1
且 an ? (3n ? 2) ? 3n?1 (n ? N * ) . 因此, Sn ? a1 ? a2 ?

? an ? 1? 4 ? 3 ? 7 ? 32 ?
? (3n ? 2) ? 3n ,

? (3n ? 2) ? 3n?1 ,

3Sn ? 1? 3 ? 4 ? 32 ? 7 ? 33 ?

2015 模拟练习第 7 页 共 8 页

将上述两个等式相减,得 ?2Sn ? 1 ? 32 ? 33 ?
7 7 可化简为 2Sn ? n ? 3n ?1 ? ? 3n ? . 2 2

? 3n ? (3n ? 2) ? 3n ,

所以 Sn ?

1 7 7 n ? 3n ?1 ? ? 3n ? (n ? N * ) . 2 4 4 an (n ? 2, n ? N * ) 3n ? 2

(3)用数学归纳法证明: cn ? acn ?1 ?

(i)当 n ? 2 时,左边 cn ? acn?1 ? c2 ? 2c1 ? 3 , 右边

an (3 ? 2 ? 2) ? 32?1 ? ? 3, 3n ? 2 (3 ? 2 ? 2)

即左边=右边,所以当 n ? 2 时结论成立. (ii)假设当 n ? k (k ? 2, k ? N * ) 时,结论成立,即 ck ? ack ?1 ? 当 n ? k ? 1 时,左边 ? ck ?1 ? ack ? 5ck ? 6ck ?1 ? 2ck
ak . 3k ? 2

? 3(ck ? 2ck ?1 ) ? 3 ?
右边 ?

ak ? 3k , 3k ? 2

ak ?1 (3(k ? 1) ? 2) ? 3k ? ? 3k . 3(k ? 1) ? 2 3(k ? 1) ? 2

即左边=右边,因此,当 n ? k ? 1 时,结论也成立. 根据(i)、(ii)可以断定, cn ? acn ?1 ?
an 对 n ? 2 的正整数都成立. 3n ? 2

2015 模拟练习第 8 页 共 8 页


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