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第3讲 万有引力定律及应用


第 3 讲 万有引力定律及应用
★考情直播 1.考纲要求
考纲内容 能力要求 考向定位 万有引力定律是广东高考的 必考内容,也是全国高考命题的一 个热点内容。考生要熟练掌握该定 律的内容,还要知道其主要应用, 要求能够结合该定律与牛顿第二 定律估算天体质量、密度、计算天 体间的距离(卫星高度)、以及分 析卫星运动轨道等相关问题。 要理解环绕速度实际上是卫 星在天体表面做匀速圆周运动时 的线速度。 由于高考计算题量减少,故本 节命题应当会以选择题为主,难 度较以前会有所降低。

1. 掌握万有引力定律的内 容,并能够用万有引力定 律求解相关问题。 1. 万有引力定 2.理解第一宇宙速的意 律及其应用 义。 2.环绕速度 3. 了解第二宇宙速度和第 3. 第二宇宙速 三宇宙速度 度和第三宇宙 速度

2.考点整合 考点 1 万有引力定律基本公式的理解 1.万有引力定律: (1)内容:宇宙间的一切物体都是相互吸引的,两个物体间的引力大小, 跟它们的 成 正比,跟它们 成反比.

(2)公式:

, G 为万有引力常量,G=6.67×10-11N.m2/kg2. 间的相互作用.当两个物体间的距离

(3)适用条件:公式适用于 物体本身的大小时,物体可视为质点.

2.物体在地球表面所受的重力与万有引力的关系:若不考虑地球自转, 物体在地球表面运行时有 ,

[例 1] 如图所示,在一个半径为 R、质量为 M 的均匀球体中,紧贴球的边 缘挖去一个半径为 R/2 的球形空穴后,对位于球心和空穴中心连线上、与球心 相距 d 的质点 m 的引力是多大? [解析]把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点 的引力之和.其中完整的均质球体对球外质 点 m 的引力这个引力可以看成是 F ? G Mm :m 2
d

挖去球穴后的剩余部分对质点的引力 F1 与 半径为 R/2 的小球对质点的引力 F2 之和, 即 F=F1+F2
/


3






3



R/2
? 3 1 M 8 .











M/



4 ?R? 4 ?R? M M ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? 3 3 ?2? 3 ? 2 ? R 4?

则 F2 ? G

M /m

?d ? R / 2?2

?G

Mm 8?d ? R / 2?2

所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点 m 的引力

F1 ? F ? F2 ? G

Mm d
2

?G

8?d ? R / 2 ?

Mm

2

? GMm

7d 2 ? 8dR ? 2 R 2

8d 2 ?d ? R / 2?2 .

【答案】 GMm 考点 2

7d 2 ? 8dR ? 2 R 2 8d 2 ?d ? R / 2?2

与天体有关的估算问题

在估算有关天体的一些物理量时应紧扣两个关键:①掌握一串公

式:

,以及质量公式

. 运动,其向心力由

②掌握一个模型:将天体或卫星的运动看成 提供.

[例 2] (2009 湛师附中)中国首个月球探测计划“嫦娥工程”预计在 2017 年送机器人上月球,实地采样送回地球,为载人登月及月球基地选址做准备。设 想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行,飞船上备有以下实验仪器:A. 计时表一只,B.弹簧秤一把,C.已知质量为 m 的物体一个,D.天平一只(附砝码 一盒)。在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月做匀速圆周运动,宇航员测量出 飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行 N 圈所用时间为 t,飞船的登月舱在月球上 着陆后,遥控机器人利用所携带的仪器又进行第二次测量,科学家利用上述两次 测量数据便可计算出月球的半径和质量。若已知万有引力常量为 G,则: (1)简述机器人是如何通过第二次测量物体在月球所受的重力 F。 (2)试利用测量数据(用符号表示)球月球的半径和质量。 [解析] (1)利用弹簧秤测量物体 m 的重力 F (2)在月球近地表面有, G Mm ? m( 2? ) 2 R , T ? 2
R T

t N

在月球表面有, G Mm ? F 2
R

则有

R?

FT

2 2

m4?

,M
FT 2 m4?

?

F 3T 4 16Gm3? 4

【答案】(1)略(2) R ?

2

,M

?

F 3T 4 16Gm3? 4

[规律总结]万有引力定律在天文上的典型应用就是计算天体的质量、密 度、半径,此时要紧口两个关键:一是紧扣一个物理模型:就是将天体(或卫

星) 的运动看成是匀速圆周运动; 二是紧扣一个物体做圆周运动的动力学特征, 即天体(或卫星)的向心力由万有引力提供. 考点 3. 描述天体运动的物理量之间的关系、 卫星变轨问题 1.描述天体运动的物理量主要有 道半径 2.行星和卫星的运动可近似视为 星作匀速圆周运动的 . ,而万有引力提供行星、卫 、 、 、 与轨

3.根据万有引力定律及向心力公式,可推导出线速度.角速度.周期随 高度变化的关系,具体关系如下: ①由 ②由 ③由 得v ? 得? ? 得T ?
GM r

,r 越大,v 越小; ,r 越大,ω 越小; ,r 越大,T 越大.

GM r3

4? 2 r 3 GM

[例 3] (2009 深圳外国语学校) “嫦娥一号”探月卫星以圆形轨道绕月 飞行,卫星将获取的信息以微波信号发回地球,假设卫星绕月的轨道平面与地 月连心线共面,各已知物理量如表中所示: 地 地球 质量 月球质 量 球 半 径 月 球 半 径 月球表面 重力加速度 月球绕地轨 道半径 卫星绕月轨 道半径

M

m



R1

g1

r

r1

(1)嫦娥一号在奔月过程中受地球和月球引力相等时离月球面的高度为 多少? (2)嫦娥一号绕月球一周所用的时间为多少? [解析](1)设卫星质量 m′,由万有引力定律得: 卫星受地球和月球引力相等有: G Mm ? ? G mm ? 2 2
L1

L2

又因为:L1+L2=r 由上各式解得 S ?
r m M ? m

, 卫星到月球表面的距离为:S=L2-R1
? R1

(2)由月球对卫星的万有引力提供向心力得: G mm? ? m?? 2? ? ? ? 2
r1
? T ?

2

r1

在月球表面有: G mm2? ? m ?g1
R1

解得绕月球一周所用的时间为: 【答案】(1) S ?
r m M ? m

T?

2?r1 R1 g 1 2?r1 R1 g 1

r1 g 1

? R1 (2) T ?

r1 g 1

[例 4] (2008 山西太原)我国研制的“嫦娥一号”卫星于 2007 年 10 月 24 日 18 时由长征三甲运载火箭发射升空,星箭分离后 在远地点做了一次变轨,进入到 16 小时轨道,然后分 别在 16 小时、24 小时(停泊轨道)、48 小时轨道(调 相轨道)轨道近地点,各进行了一次变轨,其中在调相 轨道近地点变轨后, “嫦娥一号”卫星进入地月转移轨 道正式奔月,下列说法中正确的是( )

A.“嫦娥一号”由 24 小时轨道变为 48 小时轨道

时应让其发动机在 A 点点火向后喷气 B.“嫦娥一号”由 24 小时轨道变为 48 小时轨道时应让其发动机在 B 点 点火向后喷气 C.“嫦娥一号”沿 24 小时轨道在 B 点的速度大于沿 24 小时轨道在 A 点 的速度 D.“嫦娥一号”沿 48 小时轨道在 B 点的加速度大于沿 24 小时轨道在 B 点的加速度 [解析] “嫦娥一号”由由 24 小时轨道变为 48 小时轨道应做离心运动,

此时要增大速度,若选在 A 点点火,这样会使卫星进入另一个与 A 点相切的椭 圆轨道,而不会进入预定的与 B 点相切的 48 小时轨道,因此要在 B 点点火,A 错 B 对;“嫦娥一号”沿 24 小时椭圆轨道运动时,B 点相当于近地点而 A 点相 当于远地点,根据机械能守恒可知 C 选项正确。根据公式 GMm/R2=ma 可知“嫦 娥一号”沿 48 小时轨道在 B 点的加速度等于沿 24 小时轨道在 B 点的加速度, 故 D 错。 【答案】B、C [规律总结] 在处理变轨问题时,一定要分清圆周轨道与椭圆轨道,弄清 楚轨道切点上速度的关系,再根据机械能的变化分析卫星的运动情况。 考点 4 万有引力与重力的关系、“黄金代换”关系

1.万有引力与重力的关系 地面上的物体由于受到地球的引力, 这个力就是地球对物体的万有引力. 物

体所受到的万有引力将产生两个效果:一个是 起转动时所需要的 以认为两者相等,即:

,另一个是物体随地球一

.在一般情况下,由于重力与万有引力相差不大,所 ,这个关系式也称之为黄金代换公式.

2.重力加速度与距离地面高度的关系 若不考虑地球自转, 在地球表面处有 mg ? G

Mm R2

, 即地球表面处的重力加

速度

g ?G

M R2
;在距地表高度为 h 的高空处,万有引力引起的重力加速度
Mm ( R ? h) 2

为 g',由牛顿第二定律可得: mg ? ? G 可见重力加速度随高度增加而

即:



,这一结论对其它星球也适用.

[例 5] (2009 广州大学附中)我国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分 三个阶段实施,大约用十年左右时间完成,这极大地提高了同学们对月球的关 注程度.以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题,请你解答: (1)若已知地球半径为 R,地球表面的重力加速度为 g,月球绕地球运动 的周期为 T,且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动。试求出月球绕 地球运动的轨道半径。 (2)若某位宇航员随登月飞船登陆月球后,在月球某水平表面上方 h 高处 以速度 v0 水平抛出一个小球,小球落回到月球表面的水平距离为 s。已知月球 半径为 R 月,万有引力常量为 G。试求出月球的质量 M 月。 [解析] (1)假设地球质量为 M, 有 GMm/R2=mg

设月球绕地球运动的轨道半径为 r,

有 GM 月 m/r2=m 月 r(2π /T)2

由以上各式可得:

r?3

gR2T 2 4? 2

(2)设物体下落到月面的时间为t,有h=g月t2/2 ,s= v0t 可得:g月=2h v02/s2, 根据万有引力定律,mg月=G M月m /R月2,解得M月=2h R月2 v02/Gs2

【答案】(1)

r?

3

gR2T 2 4?
2

(2)M 月=2h R 月 2 v02/Gs2

[规律总结] 处理中心天体质量未知的问题,必然要用到黄金代换公式

G

Mm R
2

? mg 。通过这一公式,我们可以将中心天体的质量用其表面重力加速

度表示出来,即 GM=gR2。 考点 5 三种宇宙速度 时的速度,

1.第一宇宙速度(环绕速度):即卫星绕地球表面做 此时重力提供向心力,由 mg ? m
v2 Mm ?G 2 得 R R

v?

GM ? Rg ? 7.9 ? 103 km / s 。这是人造地球卫星的最小 R
速度。
2

速度,

也是人造地球卫星环绕地球运行的最

2.第二宇宙速度(脱离速度):V2= 引力束缚的最小发射速度。

V1=11.2 km/s,使物体挣脱

3.第三宇宙速度(逃逸速度):V3=16.7km/s,使物体挣脱

引力束

缚的最小发射速度。
[例 6] 我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥 1 号”。 设该卫星

的轨道是圆形的,且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的 1/81,月 球的半径约为地球半径的 1/4,地球上的第一宇宙速度约为 7.9km/s,则该探 月卫星绕月运行的速率约为( A. 0.4 km/s [解析] ) C. 11 km/s D. 36 km/s

B. 1.8 km/s

设地球质量为 M、半径为 R,第一宇宙速度为 V,月球质量为 m、

半径为 r,第一宇宙速度为 v,则根据第一宇宙速度的定义,对任一物体 m ? , 有G

Mm ? R2

V2 mm ? v2 ? m? ? G 2 ?m R ,而 r ,由两以上两式并代入数据可得 r

v ? 1.8km / s
【答案】 B [规律总结] 第一宇宙速度亦即环绕速度,在高考中也频繁出现,往往是 要求其它星体的第一宇宙速度,这就要求大家弄清该速度的本质意义:即卫星 围绕星球表面做匀速圆周运动时的速度。 ★ 高考重点热点题型探究 热点 1 动问题 [真题 1] (2008 年广 东高考)图 7 是“嫦娥一导 卫星、天体运

奔月”示意图,卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨,进入地月转移轨道, 最终被月球引力捕获,成为绕月卫星,并开展对月球的探测,下列说法正确的 是( ) A.发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度 B.在绕月圆轨道上,卫星周期与卫星质量有关 C.卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比 D.在绕月圆轨道上,卫星受地球的引力大于受月球的引力 [解析] “嫦娥一号”只是摆脱地球吸引,但并未飞离太阳系,则其发射 速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度,A 错。根据 G
Mm卫 R
2

? m卫 (

2? 2 ) R可 T

知绕月周期与卫星质量无关,B 错。根据万有引力定律可知 C 正确。卫星在摆 脱地球引力后才能达到绕月圆轨道,故该轨道上,卫星受月球引力远大于地球 引力,D 错。 【答案】 C [名师指引] 卫星以及与航天知识相关的科技热点,在高考中频繁出现。 这类问题,考查的内容相当广泛,泛及卫星运动的周期、轨道半径、发射及运 动速度、发射过程中的变轨问题等。这几年航天事业在我国的高速发展,这块 知识对考生的考查尤为重要。因此要求同学们对万有引力定律及相关知识全面 掌握,并在平时关注相关热点问题。

vA 6 【答案】⑴ v ? 2 B

TA 2 6 ⑵T ? 9 B

M0 ⑶ M ? 95

[新题导练]1. (2009 北京崇文区)2008 年 9 月我国成功发射神舟七号载 人航天飞船。 如图所示为神舟七号绕地球飞行时的电视直播画面, 图中数据显 示,飞船距地面的高度约为地球半径的
1 。已知地球半径为 R,地面附近的重 20

力加速度为 g,设飞船、大西洋星绕地球均做匀速圆周运动。

(1)估算神舟七号飞船在轨运行的加速度大小; (2)已知大西洋星距地面的高度约为地球半径的 6 倍,估算大西洋星的速率。 热点 2 黄金代换公式的应用

[真题 2] (2007 上海高考)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小 球,经过时间 t 小球落回原处;若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同 一小球,需经过时间 5t 小球落回原处。(取地球表面重力加速度 g=10 m/s2, 空气阻力不计) ⑴求该星球表面附近的重力加速度 g/;⑵已知该星球的半径与地球半径 之比为 R 星:R 地=1:4,求该星球的质量与地球质量之比 M 星:M 地。

[解析]⑴小球在地球上做竖直上抛运动, t ? 有 抛运动,有 5t ?

2v 0 g

。 小球在星球上做竖直上

2v 0 1 g ? ? g ? 2m / s 2 。 g ? ,故 5

⑵地(星)球表面物体所受重力大小近似于万有引力,即 G

Mm R
2

? mg ,得

gR 2 2 2 M ? ,可解得:M 星:M 地=1?1 :5?4 =1:80 G
【答案】 1:80 [名师指引] 星球表面的重力加速度,是联系物体运动与应用“黄金代换” 公式的桥梁,因此,要重视对重力加速度的求解的应用。 [新题导练]2.(2009 江苏泰兴)我国月球探测计划“嫦娥工程”将分三 个阶段实施,大约用十年左右时间完成,这极大的提高了同学们对月球的关注 程度。以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题,现请你解答: (1)若已知地球半径为 R,地球表面的重力加速度为 g,月球绕地球运动的周 期为 T,且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动。试求出月球绕地球 运动的轨道半径。 (2)若某位宇航员随登月飞船登陆月球后,在月球表面某处以速度 v0 竖直向 上抛出一个小球,经过时间 t,小球落回到抛出点。已知月球半径为 R 月,万有 引力常量为 G。试求出月球的质量 M 月。 热点 3 环绕速度(第一宇宙速度)

[真题 3] (2007 天津高考)我国绕月探测工程的预先研究和工程实施已取 得重要进展。设地球、月球的质量分别为 m1、m2,半径分别为 R1、R2,人造地 球卫星的第一宇宙速度为 v,对应的环绕周期为 T,则环绕月球表面附近圆轨

道飞行的探测器的速度和周期分别为(



m 2 R1 v A. m R , 1 2

3 m1 R2 3 m 2 R1

T

m1 R2 v B. m R , 2 1
m1 R2 D. m R v , 2 1

3 m 2 R1 3 m1 R2

T

m 2 R1 3 m 2 R1 v T C. m R , 3 m1 R2 1 2

3 m1 R2 3 m 2 R1

T

[解析] 第一宇宙速度是物体围绕星球表面作匀速圆周运动的速度,根据 万有引力定律及向心力公式,质量为 m 绕地球表面做圆周运动的物体有

G

m1 m R12
m2 m
2 R2

v2 2? ?m ? m( ) 2 R1 ,而质量为 m 绕月球表面做圆周运动的物体有 R1 T
v2 2? ?m ? m( ) 2 R2 ,由以上两式相比可知 A 选项正确。 R2 T

G

【答案】A [名师指引] 解题的关键是准确理解第一宇宙速度的意 义,即物体围绕星球表面作匀速圆周运动的速度,此时物体 的重力近似等于万有引力,并提供圆周运动的向心力。 [新题导练]3.(2009 广州调研)航天宇航员在月球表面 完成了如下实验:如图所示,在月球表面固定一竖直光滑圆 形轨道,在轨道内的最低点,放一可视为质点的小球,当给小球水平初速度 v0 时,小球刚好能在竖直面内做完整的圆周运动。已知圆形轨道半径为 r,月球 的半径为 R 。若在月球表面上发射一颗环月卫星,求最小发射速度。

热点 4

与万有引力定律相关的信息题

[真题 4](2008 全国高考 II)我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于 圆形轨道绕月飞行。为了获得月 球表面全貌的信息,让卫星轨道 平面缓慢变化。卫星将获得的信 息持续用微波信号发回地球。设 地球和月球的质量分别为 M 和 m, 地球和月球的半径分别为 R 和 R1,月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道 半径分别为 r 和 r1,月球绕地球转动的周期为 T。假定在卫星绕月运行的一个 周期内卫星轨道平面与地月连心线共面,求在该周期内卫星发射的微波信号因 月球遮挡而不能到达地球的时间(用 M、m、R、R1、r、r1 和 T 表示,忽略月球 绕地球转动对遮挡时间的影响)。 [解析] 如图所示:设 O 和 O ? 分别表示地球和月球的中心.在卫星轨道平 面上,A 是地月连心线 OO ? 与地月球表面的公切线 ACD 的交点,D、C 和 B 分别 是该公切线与地球表面、月球表面和卫星轨道的交点.过 A 点在另一侧作地月 球面的公切线, 交卫星轨道于 E 点. 卫星在圆弧 BE 上运动时发出的信号被遮挡. 设探月卫星的质量为 m0 ,万有引力常量为 G ,根据万有引力定律有:

Mm ? 2? ? G 2 ? m? ? r T ? r ?
2



? 2? Mm G 2 0 ? m0 ? ?T r1 ? 1

? ? r ? ②,②式中,T1 表示探 ?

2

月卫星绕月球转动的周期.

M ? r1 ? ? T1 ? ? ? ? ? ? 由以上两式可得: T m ? r ? ????③ ? ?
设卫星的微波信号被遮挡的时间为 t,则由于卫星绕月球做匀速圆周运 动,

2

3

t ? ?? 应有: T ? ? ④, 式中 ? ? ?CO ?A , ? ? ?CO ?B . 1
由几何关系得: r cos? ? R ? R1 ⑤ , 由③④⑤⑥得: t ? ? 【答案】 t ?

r1 cos ? ? R1 ⑥

T

Mr3 ? R ? R1 R ? 1 ? arccos ? arccos 1 ? ⑦ r r1 ? mr 3 ? ? ?
? R ? R1 R ? ? arccos ? arccos 1 ? ? r r1 ? ? ?

T

?

Mr3 1 mr 3

[名师指引] 解题的关键是要准确理解题中信息的含义, 并找到信息与万有 引力定律之间的结合点。


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