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江苏省淮安市涟水中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学试卷


2014-2015 学年江苏省淮安市涟水中学高二(上)期 末数学试卷

一、填空题: (本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案写在答题纸的指定区域内) 1.命题:“?x∈(0,+∞) ,x +x+1>0”的否定是__________. 2.直线 的倾斜角是__________.
2

3.曲线 y=2x﹣lnx

在点(1,2)处的切线方程是__________. 4.直线 l1x+2y﹣4=0 与 l2:mx+(2﹣m)y﹣1=0 平行,则实数 m=__________. 5.已知圆柱的底面半径为 1,体积为 2π,则这个圆柱的表面积是__________.

6.以双曲线

的左焦点为焦点的抛物线标准方程是__________.

7.如图,在边长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 AB 上一点,M 是棱 D1C1 上

一点,则三棱锥 M﹣DEC 的体积是__________. 8.下列有关命题的说法中,正确的是__________(填所有正确答案的序号) . 2 2 ①命题“若 x ﹣1=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x ﹣1≠0”; ②已知命题 p:x=1 且 y=1,命题 q:x+y=2,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件. ③命题 p: + =1 表示椭圆为真命题,则实数 m 的取值范围是 1<m<4.

9.设双曲线 曲线的渐近线方程为__________.

的实轴长为 2,焦点到渐近线的距离为

,则双

10.设 α,β,γ 为两两不重合的平面,l,m,n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β;

②若 α∥β,l?α,则 l∥β; ③若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ④若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β 其中命题正确的是__________. (填序号) 11.在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P 为圆 o:x +y +2x=0 上的任意一点,点 Q(2a,a+3) (a∈R) ,则线段 PQ 长度的最小值为__________. 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知射线 OA:x﹣y=0(x≥0) ,OB:x+2y=0(x≥0) ,过点 P (2, 0) 作直线分别交射线 OA、 OB 于点 E、 F, 若 , 则直线 EF 的斜率为__________.
2 2

13.在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 是椭圆

+

=1(a>b>0)上的点,以 M 为圆心的

圆与 x 轴相切于椭圆的焦点 F,圆 M 与 y 轴相交于 P,Q 两点.若△ PQM 是锐角三角形, 则该椭圆离心率的取值范围是__________. 14.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=x+b 是曲线 y=alnx 的切线,则当 a>0 时,实数 b 的最小值是__________.

二、 解答题 (本大题共 6 小题, 计 90 分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内) 15. (14 分)已知函数 f(x)=﹣ x +x +3x+a(a∈R) . (1)求函数 f(x)的单调增区间; (2)若函数 f(x)在区间[﹣4,4]上的最大值为 26,求 a 的值. 16. (14 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,平面 PAD⊥平面 ABCD. (1)求证:AB⊥PD; (2)若 M 为 PC 的中点,求证:PA∥平面 BDM.
3 2

17.已知点 P(2,0) ,圆 C 的圆心在直线 x﹣y﹣5=0 上且与 y 轴切于点 M(0,﹣2) , (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的弦长为 4 ,求直线 l 的方程;

(3)设直线 ax﹣y+1=0 与圆 C 交于 A,B 两点,过点 P(2,0)的直线 l2 垂直平分弦 AB, 这样的实数 a 是否存在,若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 18. 经销商用一辆 J 型卡车将某种水果从果园运送 (满载) 到相距 400km 的水果批发市场. 据 测算,J 型卡车满载行驶时,每 100km 所消耗的燃油量 u(单位:L)与速度 v(单位:km/h)

的关系近似地满足 u=

除燃油费外,人工工资、车损等其他费用平均

每小时 300 元.已知燃油价格为每升(L)7.5 元. (1)设运送这车水果的费用为 y(元) (不计返程费用) ,将 y 表示成速度 v 的函数关系式; (2)卡车该以怎样的速度行驶,才能使运送这车水果的费用最少?

19. (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 E:

的左右焦点

分别为 F1、F2,上下顶点分别为 M,N,若椭圆的离心率为

,短轴长为 2.

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若直线 MF2 与椭圆交于另一点 E,求△ MF1E 的面积; 2 2 (3)Q(m,n)是单位圆 x +y =1 上任一点,设 P,A,B 是椭圆 E 上异于顶点的三点且满 足 =m +n ,求证:直线 OA 与 OB 的斜率之积为定值.
2

20. (16 分)已知函数 f(x)=alnx+x (a 为实常数) . (1)若函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数,求 a 的取值范围; (2)求函数 f(x)在[1,e]上的最小值; (3)若存在 x∈[1,e],使得 f(x)≤(a+2)x 成立,求实数 a 的取值范围.

2014-2015 学年江苏省淮安市涟水中学高二(上)期末数 学试卷
一、填空题: (本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案写在答题纸的指定区域内) 2 2 1.命题:“?x∈(0,+∞) ,x +x+1>0”的否定是?x∈(0,+∞) ,x +x+1≤0. 考点:全称命题;命题的否定. 专题:阅读型. 分析:利用全称命题的否定是特称命题,直接写出命题的否定即可. 解答: 解:因为全称命题的否定是特称命题,

所以命题:“?x∈(0,+∞) ,x +x+1>0”的否定是:?x∈(0,+∞) ,x +x+1≤0. 2 故答案为:?x∈(0,+∞) ,x +x+1≤0. 点评:本题考查命题的否定的应用.全称命题与特称命题互为否定关系,考查基本知识的应 用. 2.直线 的倾斜角是 30°.

2

2

考点:直线的倾斜角. 专题:计算题. 分析:将直线方程化为斜截式,利用直线 线的倾斜角. 解答: 解:直线方程可化为: ∴直线 的倾斜角的正切值为 的倾斜角的正切值为斜率,可求直

∴直线 的倾斜角为 30° 故答案为:30° 点评:本题以直线为载体,考查直线的斜率与倾斜角的关系,解题的关键是求出直线 的斜率即倾斜角的正切值. 3.曲线 y=2x﹣lnx 在点(1,2)处的切线方程是 x﹣y+1=0. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题. 分析:求出曲线的导函数,把 x=1 代入即可得到切线的斜率,然后根据(1,2)和斜率写 出切线的方程即可. 解答: 解:由函数 y=2x﹣lnx 知 y′=2﹣ ,把 x=1 代入 y′得到切线的斜率 k=2﹣ =1 则切线方程为:y﹣2=(x﹣1) ,即 x﹣y+1=0. 故答案为:x﹣y+1=0 点评:考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率,从而利用切点和斜率写出切线的方程.

4.直线 l1x+2y﹣4=0 与 l2:mx+(2﹣m)y﹣1=0 平行,则实数 m= .

考点:直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题:直线与圆. 分析:由直线的平行关系可得 1×(2﹣m)﹣2m=0,解之可得. 解答: 解:因为直线 l1x+2y﹣4=0 与 l2:mx+(2﹣m)y﹣1=0 平行, 所以 1×(2﹣m)﹣2m=0,解得 m= 故答案为: 点评:本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系,属基础题.

5.已知圆柱的底面半径为 1,体积为 2π,则这个圆柱的表面积是 6π. 考点:旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题:空间位置关系与距离. 分析:根据已知,求出圆柱的母线长,代入圆柱的表面积公式,可得答案. 解答: 解:∵圆柱的底面半径为 1, 故圆柱的底面面积为 π, 又由圆柱的体积为 2π, 故圆柱的母线(高)为 2, 故圆柱的表面积 S=π×1×(1+2)=6π, 故答案为:6π. 点评: 本题考查的知识点是旋转体, 熟练掌握圆柱的体积公式和表面积公式, 是解答的关键.

6.以双曲线

的左焦点为焦点的抛物线标准方程是 y =﹣12x.

2

考点:双曲线的简单性质;双曲线的标准方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线的方程与三个参数的关系求出双曲线的左焦点坐标, 根据抛物线的方程与 其焦点坐标的关系求出抛物线的方程. 解答: 解:在
2

中,

c =4+5=9 ∴c=3. ∴双曲线的左焦点为(﹣3,0) ∵双曲线的左焦点是抛物线的焦点, 2 ∴抛物线的标准方程是 y =﹣12x. 2 故答案为:y =﹣12x. 2 2 2 点评:双曲线的方程中的三个参数的关系为 a +b =c ;抛物线的方程与焦点坐标的关系是抛 物线的一次项的系数等于焦点非 0 坐标的 4 倍. 7.如图,在边长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 AB 上一点,M 是棱 D1C1 上

一点,则三棱锥 M﹣DEC 的体积是 a .

3

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积.

专题:计算题;转化思想. 分析:本题中的 M,E 两点分别是两个线段上的动点,但动中有静,从题设条件与图形可以 得出,点 M 到底面的距离是定值,三角形 DEC 的面积是定值,故三棱锥 M﹣DEC 的体积 易求 解答: 解:由题意及图,三棱锥 M﹣DEC 的高是正方体的棱长为 a,三棱锥的底面三角 形一边 DC=a,又点 E 到 DC 的距离是 a,故三角形 DEC 的面积是 a 由公式,三棱锥 M﹣DEC 的体积是 = a 故答案为 a
3 3 2

点评:本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积,解答本题关键是熟练掌握棱柱的几何性质,且由 此性质得出所研究三棱锥的几何性质,依据公式求出它的体积. 8.下列有关命题的说法中,正确的是①(填所有正确答案的序号) . 2 2 ①命题“若 x ﹣1=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x ﹣1≠0”; ②已知命题 p:x=1 且 y=1,命题 q:x+y=2,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件. ③命题 p: + =1 表示椭圆为真命题,则实数 m 的取值范围是 1<m<4.

考点:命题的真假判断与应用. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程;简易逻辑. 分析:由命题:若 p 则 q 的逆否命题为若¬q 则¬p,即可判断①;运用充分必要条件的定 义,即可判断②; 由椭圆方程的特点,求得 m 的范围,即可判断③. 解答: 解:对于①,命题“若 x ﹣1=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x ﹣1≠0”, 故①正确; 对于②,由命题 p 显然可推得命题 q 成立,反之推不出, 则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件.故②错误; 对于③,命题 p: + =1 表示椭圆,
2 2

即有 m﹣1>0,m﹣4>0,且 m﹣1≠m﹣4, 可得 m>4,故③错. 故答案为:①. 点评:本题考查命题的真假判断,主要考查四种命题和充分必要条件的判断,同时考查椭圆 方程的应用,属于基础题和易错题.

9.设双曲线 曲线的渐近线方程为 .

的实轴长为 2,焦点到渐近线的距离为

,则双

考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:由题意可得 a=1,再由焦点到渐近线的距离为

可得 b 值,进而可得渐近线方程.

解答: 解:由题意可得 a=1,焦点为(c,0)到渐近线 y= 即 bx±ay=0 的距离 d= ∴渐近线方程为:y=± 故答案为: 点评:本题考查双曲线的渐近线方程,属基础题. 10.设 α,β,γ 为两两不重合的平面,l,m,n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β; ②若 α∥β,l?α,则 l∥β; ③若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ④若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β 其中命题正确的是②④. (填序号) 考点:空间中直线与平面之间的位置关系. 专题:综合题;推理和证明. 分析:①若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β,研究与 同一平面垂直的两个平面之间的关系,面面平 行的条件判断; ②若 α∥β,l?α,则,利用平面与平面平行的性质,可得 l∥β; ③若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,m,n 不一定相交,则 α∥β 不正确; ④由面面垂直的判定定理可由 l∥β 得出 α⊥β. 解答: 解:①若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β,此命题不正确,因为垂直于同一平面的两个平面 可能平行、相交,不能确定两平面之间是平行关系,故不正确; ②若 α∥β,l?α,则,利用平面与平面平行的性质,可得 l∥β,正确; ③若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,m,n 不一定相交,则 α∥β 不正确; ④由题意 l⊥α,当 l∥β 时,必存在 β 内的直线 l′,使 l∥l′,可得 l′⊥α,由面面垂直的判定 定理可得 α⊥β,正确. 故答案为:②④. 点评: 本题考查平面的基本性质及推论, 解题的关键是有着较强的空间感知能力及对空间中 线面,面面,线线位置关系的理解与掌握,此类题是训练空间想像能力的题,属于基本能力 训练题. 11.在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P 为圆 o:x +y +2x=0 上的任意一点,点 Q(2a,a+3) (a∈R) ,则线段 PQ 长度的最小值为 ﹣1. 考点:圆的一般方程. 专题:直线与圆. 分析:把圆的方程化为标准形式,由条件求得点 Q(2a,a+3)到圆心(﹣1,0)的距离 d 的最小值,将 d 的最小值减去圆的半径,即为所求. 2 2 2 2 解答: 解:圆 o:x +y +2x=0,即 (x+1) +y =1,表示以(﹣1,0)为圆心、半径等于 1 的圆.
2 2

=b=



点 Q(2a,a+3)到圆心(﹣1,0)的距离 d= = = , ﹣1,

故当 a=﹣1 时,d 取得最小值为

,故线段 PQ 长度的最小值为

故答案为: . 点评:本题主要考查圆的一般方程,直线和圆的位置关系,二次函数的性质,求出点 Q 到 圆心的距离 d 的最小值,是解题的关键,属于中档题. 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知射线 OA:x﹣y=0(x≥0) ,OB:x+2y=0(x≥0) ,过点 P(2,0)作直线分别交射线 OA、OB 于点 E、F,若 ,则直线 EF 的斜率为﹣2.

考点:直线的斜率. 专题:计算题;直线与圆. 分析:由题意设 E(a,a) ,B(﹣2b,b) ,则 由 ,解得 a= ,b=﹣ ,由此能求出直线 EF 的斜率. , ,

解答: 解:∵射线 OA:x﹣y=0(x≥0) ,OB:x+2y=0(x≥0) ,过点 P(2,0)作直线分 别交射线 OA、OB 于点 E、F, ∴如图,设 E(a,a) ,B(﹣2b,b) , 则 ∵ ∴ , , , ,

∴a= ,b=﹣ , ∴E( ) ,

∴直线 EF 的斜率 k=

=﹣2.

故答案为:﹣2.

点评:本题考查直线的斜率的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

13.在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 是椭圆

+

=1(a>b>0)上的点,以 M 为圆心的

圆与 x 轴相切于椭圆的焦点 F,圆 M 与 y 轴相交于 P,Q 两点.若△ PQM 是锐角三角形, 则该椭圆离心率的取值范围是( ,1) .

考点:椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析:如图所示.把 x=c 代入椭圆方程可得: ,解得 M .过点 M 作

MD⊥y 轴,垂足为 D.由于△ PQM 是锐角三角形,可得∠QMD=∠PMD cos∠QMD= = > = ,化简整理即可得出.

.因此

解答: 解:如图所示. 把 x=c 代入椭圆方程可得: ,解得 y= .

∴M



过点 M 作 MD⊥y 轴,垂足为 D. ∵△PQM 是锐角三角形, ∴∠QMD=∠PMD ∴cos∠QMD= = . > = ,

化为



∴ 解得 e> 又 e<1,

>0, .

∴该椭圆离心率的取值范围是( 故答案为: ( ,1) .

,1) .

点评:本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的性质、锐角三角形的性质、三角函数的单 调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 14.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=x+b 是曲线 y=alnx 的切线,则当 a>0 时,实数 b 的最小值是﹣1. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;导数的概念及应用. 分析:设出曲线上的一个切点为(x,y) ,利用导数的几何意义求切线的坐标,可得 b=alna ﹣a,再求导,求最值即可. 解答: 解:设出曲线上的一个切点为(x,y) , 由 y=alnx,得 y′= , ∵直线 y=x+b 是曲线 y=alnx 的切线, ∴y′= =1, ∴x=a, ∴切点为(a,alna) , 代入 y=x+b,可得 b=alna﹣a, ∴b′=lna+1﹣a=0,可得 a=1, ∴函数 b=alna﹣a 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴a=1 时,b 取得最小值﹣1. 故答案为:﹣1. 点评:本题主要考查导数的几何意义的应用,利用导数的运算求出切线斜率,根据切线斜率 和导数之间的关系建立方程进行求解是解决本题的关键,考查学生的运算能力.

二、 解答题 (本大题共 6 小题, 计 90 分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内) 15. (14 分)已知函数 f(x)=﹣ x +x +3x+a(a∈R) . (1)求函数 f(x)的单调增区间; (2)若函数 f(x)在区间[﹣4,4]上的最大值为 26,求 a 的值. 考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:计算题;导数的综合应用. 分析: (1)求出导数,令导数大于 0,解不等式即可得到所求增区间; (2)求得 f(x)在区间[﹣4,4]内的单调区间,求得极值,以及端点处的函数值,可得最 大值,解方程可得 a 的值. 解答: 解: (1)
2 3 2



则 f′(x)=﹣x +2x+3, 2 令 f′(x)>0,即﹣x +2x+3>0,解得﹣1<x<3, 所以函数 f(x)的单调减区间为(﹣1,3) . (2)由函数在区间[﹣4,4]内的列表可知: x ﹣4 (﹣4,﹣1) ﹣1 (﹣1,3) 3 (3,4) 4 f′(x) ﹣ 0 + 0 ﹣ f(x) 递减 极小值 递增 极大值 递减 函数 f(x)在(﹣4,﹣1)和(3,4)上分别是减函数,在(﹣1,3)上是增函数. 又因为 ,所以 f(﹣4)>f(3) ,

所以 f(﹣4)是 f(x)在[﹣4,4]上的最大值, 所以 ,即 .

点评:本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查运算能力,属于基础题. 16. (14 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,平面 PAD⊥平面 ABCD. (1)求证:AB⊥PD; (2)若 M 为 PC 的中点,求证:PA∥平面 BDM.

考点:直线与平面平行的判定;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题:空间位置关系与距离.

分析: (1)根据面面垂直,得线面垂直,再证明线线垂直; (2)在平面 BDM 内找与 PA 平行的直线即可. 解答: 证明: (1)∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 又底面 ABCD 为矩形, ∴AB⊥AD ∴AB⊥平面 PAD, 又 PD?平面 PAD, ∴AB⊥PD; (2)AC 与 BD 的交点 E,连结 ME, ∵底面 ABCD 为矩形, ∴E 为 AC 的中点, 又 M 是 AC 的中点, ∴ME∥PA, 又 PA?平面 BDM,ME?平面 BDM, ∴PA∥平面 BDM. 点评:本题主要考查线面垂直的判定与性质,线面平行的判定与性质. 17.已知点 P(2,0) ,圆 C 的圆心在直线 x﹣y﹣5=0 上且与 y 轴切于点 M(0,﹣2) , (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的弦长为 4 ,求直线 l 的方程; (3)设直线 ax﹣y+1=0 与圆 C 交于 A,B 两点,过点 P(2,0)的直线 l2 垂直平分弦 AB, 这样的实数 a 是否存在,若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 考点:直线和圆的方程的应用. 专题:直线与圆. 分析: (1)设圆心坐标为 C(a,b) ,由已知 ,由此能求出圆的方程. , 故弦心距 d=1,

(2) 设直线 l 的斜率为 k (k 存在) 则方程为 y﹣0=k (x﹣2) . 由弦长为 由此利用点到直线距离公式求出

,从而求出直线方程,当 l 的斜率不存在时,l 的方

程为 x=2 也满足条件. (3)把直线 ax﹣y+1=0 代入圆 C 的方程,由△ >0,得 a<0,从而能求出不存在实数 a, 使得过点 P(2,0)的直线 l2 垂直平分弦 AB. 解答: 解: (1)∵圆 C 的圆心在直线 x﹣y﹣5=0 上且与 y 轴切于点 M(0,﹣2) , ∴设圆心坐标为 C(a,b) ,则 ,

解得 a=3,b=﹣2,∴圆心 C(3,﹣2) ,半径 r=|MC|= 故圆的方程为(x﹣3) +(y+2) =9 2 2 即 x +y ﹣6x+4y+4=0… (2)∵点 P(2,0) ,直线 l 过点 P, ∴设直线 l 的斜率为 k(k 存在)则方程为 y﹣0=k(x﹣2) .
2 2

=3,

又圆 C 的圆心为(3,﹣2) ,半径 r=3, 由弦长为 ,故弦心距 d=1… 由 ,解得 .

所以直线方程为

,即 3x+4y﹣6=0.…

当 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=2,经验证 x=2 也满足条件. 故 l 的方程为 3x+4y﹣6=0 或 x=2… (3)把直线 ax﹣y+1=0,即 y=ax+1.代入圆 C 的方程, 2 2 消去 y,整理得(a +1)x +6(a﹣1)x+9=0. 由于直线 ax﹣y﹣1=0 交圆 C 于 A,B 两点, 故△ =36(a﹣1) ﹣36(a +1)>0,即﹣2a>0,解得 a<0.… 设符合条件的实数 a 存在, 由于 l2 垂直平分弦 AB,故圆心 C(3,﹣2)必在 l2 上. 所以 l2 的斜率 kPC=﹣2,而 由于 , ,所以 .
2 2

故不存在实数 a,使得过点 P(2,0)的直线 l2 垂直平分弦 AB.… 点评: 本题考查圆的方程和直线方程的求法, 考查满足条件的实数 a 是否存在的判断与求法, 是中档题,解题时要注意圆的性质和直线方程的合理运用. 18. 经销商用一辆 J 型卡车将某种水果从果园运送 (满载) 到相距 400km 的水果批发市场. 据 测算,J 型卡车满载行驶时,每 100km 所消耗的燃油量 u(单位:L)与速度 v(单位:km/h)

的关系近似地满足 u=

除燃油费外,人工工资、车损等其他费用平均

每小时 300 元.已知燃油价格为每升(L)7.5 元. (1)设运送这车水果的费用为 y(元) (不计返程费用) ,将 y 表示成速度 v 的函数关系式; (2)卡车该以怎样的速度行驶,才能使运送这车水果的费用最少? 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;分段函数的应用;函数模型的选择与应用. 专题:综合题. 分析: (1)由题意,当 0<v≤50 时,y= = (2)当 0<v≤50 时, = ,当 v>50 时,

,由此能将 y 表示成速度 v 的函数关系式. 是单调减函数,故 v=50 时,y 取得最小值

,当 v>50 时,

,由导数求得当 v=100

时,y 取得最小值

+600=2400,由于 3150>2400,知当卡车以

100km/h 的速度行驶时,运送这车水果的费用最少. 解答: 解: (1)由题意,当 0<v≤50 时, y= =30? = 当 v>50 时, = = , ,





(2)当 0<v≤50 时, 是单调减函数, 故 v=50 时,y 取得最小值 当 v>50 时, , ,



=

=0,

得 v=100. 当 50<v<100 时,y′<0, 函数 单调递增, +600=2400,

∴当 v=100 时,y 取得最小值

由于 3150>2400, 所以,当 v=100 时,y 取得最小值. 答:当卡车以 100km/h 的速度行驶时,运送这车水果的费用最少. 点评: 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用, 考查运算求解能力, 推理论证能力; 考查化归与转化思想.综合性强,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是高考的重 点.解题时要认真审题,仔细解答.

19. (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 E:

的左右焦点

分别为 F1、F2,上下顶点分别为 M,N,若椭圆的离心率为 (1)求椭圆 E 的方程;

,短轴长为 2.

(2)若直线 MF2 与椭圆交于另一点 E,求△ MF1E 的面积; 2 2 (3)Q(m,n)是单位圆 x +y =1 上任一点,设 P,A,B 是椭圆 E 上异于顶点的三点且满 足 =m +n ,求证:直线 OA 与 OB 的斜率之积为定值.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆的离心率为 方程; (2)求出直线 MF2 与椭圆交于另一点 E 的坐标,即可求△ MF1E 的面积; (3)设 P(x,y) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,把点 A,B 代入椭圆方程可,利用 Q(m,n) 是单位圆 x +y =1 上任一点可得 m +n =1,由
2 2 2 2 2

,短轴长为 2,建立方程,求出 a,b,即可求椭圆 E 的

=m
2

+n

,得到 P 的坐标,因 P 在椭圆

上,代入整理得( 结论.

)m +(

)n +2(

)mn=1,即可证明

解答: (1)解:因为椭圆的离心率为 所以 = 所以 a= ,2b=2, ,b=1, ;

,短轴长为 2,

所以椭圆 E 的方程为

(2)解:直线 ME 的方程为 y=﹣x+1,代入 所以 x=0 或 , x= 时,y=﹣ , 所以△ MF1E 的面积为 = ;

,可得 3x ﹣4x=0,

2

(3)证明:设 P(x,y) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则
2 2

③,

④,

又 m +n =1⑤,



=m

+n

,故 x=mx1+nx2,y=my1+ny2,
2 2

因 P 在椭圆上,代入整理得(

)m +(

)n +2( =0.

)mn=1.

将③④⑤代入上式,并注意点 Q(m,n)的任意性,得: 所以,kOAkOB=﹣ 为定值.

点评:本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量运算、斜 率的计算公式、三角形的面积计算公式等基础知识,需要较强运算能力、推理论证以及分析 问题、解决问题的能力,考查数形结合、化归与转化思想. 20. (16 分)已知函数 f(x)=alnx+x (a 为实常数) . (1)若函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数,求 a 的取值范围; (2)求函数 f(x)在[1,e]上的最小值; (3)若存在 x∈[1,e],使得 f(x)≤(a+2)x 成立,求实数 a 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)求得函数的导数,由题意可得 x>1 时,导数 f′(x)≥0 恒成立,由恒成立思想即 可得到所求 a 的范围; (2)求出导数,对 a 讨论,当 a≥﹣2 时,当﹣2e <a<﹣2 时,当 a≤﹣2e 时,判断导数符 号,得到单调性,可得最小值; (3)由题意可得 (x∈[1,e]) ,由于导数判断右边函数的单调性,即可得到最
2 2 2

小值,进而得到 a 的范围. 2 解答: 解. (1)∵f(x)=x +alnx, ∴ 由题意 x∈(1,+∞) , 即 2x +a≥0 对 x∈(1,+∞)恒成立, 故 a≥﹣2; (2) ,当 x∈[1,e],2x +a∈[a+2,a+2e ],
2 2 2

, 恒成立,

①若 a≥﹣2,f'(x)在[1,e]上非负(仅当 a=﹣2,x=1 时,f'(x)=0) , 故函数 f(x)在[1,e]上是增函数,此时[f(x)]min=f(1)=1. ②若﹣2e <a<﹣2,当 当
2

时,f'(x)=0;

时,f'(x)<0,此时 f(x)是减函数;

当 故[f(x)]min=
2

时,f'(x)>0,此时 f(x)是增函数. = .
2

③若 a≤﹣2e ,f'(x)在[1,e]上非正(仅当 a=﹣2e ,x=e 时,f'(x)=0) , 2 故函数 f(x)在[1,e]上是减函数,此时[f(x)]min=f(e)=a+e . 综上可知,当 a≥﹣2 时,f(x)的最小值为 1; 当﹣2e <a<﹣2 时,f(x)的最小值为
2 2 2



当 a≤﹣2e 时,f(x)的最小值为 a+e ; 2 (3)不等式 f(x)≤(a+2)x,可化为 a(x﹣lnx)≥x ﹣2x. ∵x∈[1,e],∴lnx≤1≤x 且等号不能同时取, ∴lnx<x,即 x﹣lnx>0, 因而 (x∈[1,e]) ,



(x∈[1,e]) ,又



当 x∈[1,e]时,x﹣1≥0,lnx≤1,x+2﹣2lnx>0, 从而 g'(x)≥0(仅当 x=1 时取等号) ,即 g(x)在[1,e]上为增函数, 故 g(x)的最小值为 g(1)=﹣1, 则 a 的取值范围是[﹣1,+∞) . 点评:本题考查导数的运用:求单调性和最值,同时考查不等式恒成立问题的解法,注意运 用参数分离和构造函数,求得单调性,求得最值,考查运算能力,属于中档题.


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