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二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像及性质


二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像及性质 1. 二次函数 y=ax2, y=a(x-h)2, y=a(x-h)2+k, y=ax2+bx+c(各式中, a≠0) 的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下 表: 解析式 y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k (h, k) x=h y=ax2+bx+c

顶点坐标(0,

0) (h, 0) 对称轴 x=0 x=h

(-b/2a , (4ac-b?)/4a) x= -b/2a

当 h>0时, y=a(x-h)2的图象可由抛物线 y=ax2向右平行移动 h 个单 位得到, 当 h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到. 当 h>0,k>0时,将抛物线 y=ax2向右平行移动 h 个单位,再向上移 动 k 个单位,就可以得到 y=a(x-h)2+k 的图象; 当 h>0,k<0时,将抛物线 y=ax2向右平行移动 h 个单位,再向下移 动|k|个单位可得到 y=a(x-h)2+k 的图象; 当 h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动 k 个单位可得到 y=a(x-h)2+k 的图象; 当 h<0,k<0时, 将抛物线向左平行移动|h|个单位, 再向下移动|k| 个单位可得到 y=a(x-h)2+k 的图象; 因此,研究抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般 式化为 y=a(x-h)2+k 的形式, 可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这 给画图象提供了方便.

2.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象:当 a>0时,开口向上,当 a<0时 开 口 向 下 , 对 称 轴 是 直 线 x= - b/2a , 顶 点 坐 标 是 ( -b/2a , (4ac-b?)/4a) . 3.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0),若 a>0,当 x≤- b/2a 时,y 随 x 的增 大而减小;当 x≥- b/2a 时,y 随 x 的增大而增大.若 a<0,当 x≤ - b/2a 时,y 随 x 的增大而增大;当 x≥- b/2a 时,y 随 x 的增大 而减小. 4.抛物线 y=ax2+bx+c 的图象与坐标轴的交点: (1)图象与 y 轴一定相交,交点坐标为(0,c); (2)当△=b2-4ac>0,图象与 x 轴交于两点 A(x1,0)和 B(x2,0),其 中的 x1,x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根.这两点间的距 离 AB=|x2-x1| 当△=0.图象与 x 轴只有一个交点; 当△<0.图象与 x 轴没有交点.当 a>0时,图象落在 x 轴的上方, x 为任何实数时,都有 y>0;当 a<0时,图象落在 x 轴的下方,x 为任 何实数时,都有 y<0. 5.抛物线 y=ax2+bx+c 的最值:如果 a>0(a<0),则当 x=-b/2a ,y 最小(大)值=(4ac-b?)/4a 顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最 值的取值. 6.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知 x、y 的三对对

应值时,可设解析式为一般形式:y=ax2+bx+c(a≠0). (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时, 可设解析式为 顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0). (3)当题给条件为已知图象与 x 轴的两个交点坐标时, 可设解析式为 两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).


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