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2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题10 函数的图象与方程 理(含解析)新人教A版


2016 年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题 10 理(含解析)新人教 A 版
【高频考点解读】

函数的图象与方程

1.在实际情境中,会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数. 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质. 【热点题型】 题型一 识图

? 1? 例 1 (1)函数 f(x)=ln?

x- ?的图象是( ?
x?

)

(2) 函数 y= x 的图象大致是( 3 -1

x3

)

【答案】 (1)B (2)C 【解析】

-1-

【提分秘籍】 (1)识别函数图象应注意以下三点: ①函数的定义域、值域. ②函数的性质(单调性、奇偶性、周期性等). ③函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点等). (2)对于给定函数的图象,要能从象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研 究函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的 关系,常用的方法有: ①定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利 用这一特征分析解决问题. ②定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题. ③函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解 决问题. 【举一反三】 函数 y=1- 1 的图象是( x-1 )

【答案】B

-2-

题型二

作图

例 2、作出下列函数的图象. (1)y=2
x+2

;(2)y=|log2x-1|;(3)y=
x

x+2 . x+3

【解析】 (1)将 y=2 的图象向左平移 2 个单位.图象如图.

【提分秘籍】

-3-

画函数图象的一般方法有: (1)直接法:当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、 双曲线、抛物线的一部分)时,就可根据这些函数或曲线的特征直接作出. (2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到, 可利用图象变换作出. 【举一反三】 作出下列函数的图象. (1)y=|x-2|(x+1);(2)y=|x -2|x|-3|.
2

(2)y=x -2x-3→y=x -2|x|-3→y=|x -2|x|-3|.图象变换如图.

2

2

2

题型三

函数图象及其应用

-4-

1 例 3.函数 y= 的图象与函数 y=2sin π x(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和 1-x 等于( A.2 C.6 【答案】D 【解析】 ) B.4 D.8

【提分秘籍】 1.函数图象是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质,为研究函数的数量关 系提供了“形”的直观性.归纳起来图象的应用命题角度有: (1)确定方程根的个数. (2)求参数的取值范围. (3)求不等式的解集. 2. (1)研究函数性质时一般要借助于函数图象,体现了数形结合思想. (2)有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解决. (3)方程解的问题常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来解决.
-5-

【变式探究】 已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实 数 k 的取值范围是( )

? 1? A.?0, ? ? 2?
C.(1,2) 【答案】B

?1 ? B.? ,1? ?2 ?
D.(2,+∞)

【举一反三】 函数 f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数, 其在[0,4]上的图象如图所示, 那么不等式 <0 的解集为________.

f?x? cos x

? π ? ? π? 【答案】?- ,-1?∪?1, ? 2? ? 2 ? ?
【解析】

? π? 在?0, ?上 y=cos x>0, 2? ?
-6-

在?

?π ,4?上 y=cos x<0. ? ?2 ?

? π ? f?x?<0, 由 f(x)的图象知在?1, ?上 2 ? cos x ?
因为 f(x)为偶函数,y=cos x 也是偶函数, 所以 y= 所以

f?x? 为偶函数, cos x

f?x? ? π ? ? π? <0 的解集为?- ,-1?∪?1, ?. 2? cos x ? 2 ? ?

【高考风向标】 【2015 高考天津,理 7】已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? 2
x?m

? 1 ( m 为实数)为偶
)

函数,记 a ? f (log0.5 3), b ? f ? log2 5? , c ? f ? 2m? ,则 a, b, c 的大小关系为( (A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C) c ? a ? b (D) c ? b ? a 【答案】C 【解析】

a ?a 【2015 高考浙江,理 12】若 a ? log 4 3 ,则 2 ? 2 ?



【答案】

4 3. 3
a a
a ?a

【解析】∵ a ? log4 3 ,∴ 4 ? 3 ? 2 ? 3 ,∴ 2 ? 2
x y

? 3?

1 4 ? 3. 3 3
)

(2014·山东卷)已知实数 x,y 满足 a <a (0<a<1),则下列关系式恒成立的是( A. 1

x2+1 y2+1



1

B. ln(x +1)>ln(y +1) D. x >y
3 3

2

2

C. sin x>sin y 【答案】D

【解析】因为 a <a (0<a<1),所以 x>y,所以 sin x>sin y,ln(x +1)>ln(y +1),
-7-

x

y

2

2

1

x2+1 y2+1



1

都不一定正确,故选 D. 的定义域为( 2 (log2x) -1 1 )

(2014·山东卷)函数 f(x)=

? 1? A.?0, ? ? 2?

B.(2,+∞)

? 1? ? 1? C. ?0, ?∪(2,+∞) D. ?0, ?∪[2,+∞) 2 ? ? ? 2?
【答案】C

? ? ? ?x>0, ? 【解析】根据题意得, 解得? 1 故选 C. 2 ? ?(log2) -1>0, ?x>2或x< .
x>0,

?

2

(2014·福建卷)若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图像如图 1?1 所示,则下列函数图像 正确的是( )

图 1?1

A

B

C 【答案】B 【解析】

D

(2014·广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e ,则 ln a1+ln a2+?
-8-

5

+ln a20=________. 【答案】50 【解析】本题考查了等比数列以及对数的运算性质.∵{an}为等比数列,且 a10a11+a9a12 =2e , ∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e ,∴a10a11=e , ∴ln a1+ln a2+?+ln a20=ln(a1a2?a20)= ln(a10a11) =ln(e ) =ln e =50. 1 1 (2014·辽宁卷)已知 a=2- ,b=log2 , 3 3
10 5 10 50 5 5 5

c=log ,则(

11 23

)

A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 【答案】C

1 2 (2014·天津卷)函数 f(x)=log (x -4)的单调递增区间为( 2 A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(2,+∞) D.(-∞,-2) 【答案】D 【解析】要使 f(x)单调递增,需有?
?x -4>0, ? ? ?x<0,
2

)

解得 x<-2.
a

(2014·浙江卷)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=x (x>0),g(x)=logax 的图像可能 是( )

A

B

-9-

C 【答案】D

D

【解析】 只有选项 D 符合, 此时 0<a<1, 幂函数 f(x)在(0, +∞)上为增函数, 且当 x∈(0, 1)时,f(x)的图像在直线 y=x 的上方,对数函数 g(x)在(0,+∞)上为减函数,故选 D. (2014·重庆卷)函数 f(x)=log2 x·log 1 【答案】- 4 【解析】
2

(2x)的最小值为________.

(2013·安徽卷)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为 x 的解集为( )

1 ? x ?)x<-1 或 x>2,则 f(10 )>0 ?

A.{x|x<-1 或 x>-lg 2} B.{x|-1<x<-lg 2} C.{x|x>-lg 2} D.{x|x<-lg 2} 【答案】D 1 x 1 【解析】根据已知可得不等式 f(x)>0 的解是-1<x< ,故-1<10 < ,解得 x<-lg 2. 2 2 (2013·山东卷)定义“正对数”:ln ①若 a>0,b>0,则 ln (a )=bln a; ②若 a>0,b>0,则 ln (ab)=ln a+ln b;
+?a? + + ③若 a>0,b>0,则 ln ? ?≥ln a-ln b; ?b? + + + + b + +

x=?

? ?0,0<x<1,

?ln x,x≥1. ?

现有四个命题:

④若 a>0,b>0,则 ln (a+b)≤ln a+ln b+ln 2.
- 10 -







其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号) 【答案】①③④ 【解析】 ①中,当 a ≥1 时,∵b>0,∴a≥1,ln (a )=ln a =bln a=bln a;当 0<a <1 时,∵b>0, ∴0<a<1,ln (a )=bln a=0,∴①正确; ②中,当 0<ab<1,且 a>1 时,左边=ln (ab)=0,右边=ln a+ln b=ln a+0=ln a>0, ∴②不成立; a a + + ③中,当 ≤1,即 a≤b 时,左边=0,右边=ln a-ln b≤0,左边≥右边成立;当 >1 b b a 时,左边=ln =ln a-ln b>0,若 a>b>1 时,右边=ln a-ln b,左边≥右边成立;若 0<b<a<1 b a 时,右边=0, 左边≥右边成立;若 a>1>b>0,左边=ln =ln a-ln b>ln a,右边=ln a, b 左边≥右边成立,∴③正确; ④中,若 0<a+b<1,左边=ln 右边;若 a+b≥1,ln
+ + + + + + b + b + b b + b

(a+b)=0,右边=ln+a+ln+b+ln
a+b 2=ln(a+b)-ln 2=ln , 2

2=ln 2>0,左边≤

(a+b)-ln

a+b a+b a+b a+b 又∵ ≤a 或 ≤b,a,b 至少有 1 个大于 1,∴ln ≤ln a 或 ln ≤ln b,即 2 2 2 2 有 ln


(a+b)-ln

a+b + + 2=ln(a+b)-ln 2=ln ≤ln a+ln b,∴④正确. 2 )

(2013·新课标全国卷Ⅱ] 设 a=log36,b=log510,c=log714,则( A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 【答案】D

(2013·浙江卷)已知 x,y 为正实数,则( A.2 C.2
lg x+lg y

)

=2 =2

lg x

+2 +2

lg y

B.2 D.2

lg(x+y)

=2

lg x

·2

lg y

lg x·lg y

lg x

lg y

lg(xy)

=2

lg x

·2

lg y

【答案】D 【解析】∵lg(xy)=lg x+lg y,∴2
lg(xy)

=2

lg x+lg y

=2 2 ,故选择 D.

lgx lgy

- 11 -

【高考押题】 1 1.函数 y=lg 的大致图象为( |x+1| )

【答案】D 【解析】因为 y=lg 1 1 是单调递减的偶函数,关于 y 轴对称,则 y=lg 的图象是 |x| |x+1|

1 由 y=lg 的图象向左平移一个单位长度得到的.故选 D. |x| 2. 已知图①是函数 y=f(x)的图象,则图②中的图象对应的函数可能是( )

A. y=f(|x|) C. y=f(-|x|) 【答案】C 【解析】

B. y=|f(x)| D. y=-f(-|x|)

?1?x -x 3.要得到函数 y=8·2 的图象,只需将函数 y=? ? 的图象( ?2?
A. 向右平移 3 个单位 C. 向右平移 8 个单位 【答案】A 【解析】y=8·2 =2
-x -x+3

)

B. 向左平移 3 个单位 D. 向左平移 8 个单位

=2

-(x-3)



y=( )x=2-x,
1 x -x 把函数 y=( ) 的图象向右平移 3 个单位即得函数 y=8·2 的图象,故选 A. 2 4.函数 y=2 -x 的图象大致是(
x
2

1 2

)

- 12 -

【答案】A 1 x 2 x 2 【解析】因为当 x=2 或 4 时,2 -x =0,所以排除 B、C;当 x=-2 时,2 -x = -4<0, 4 故排除 D,所以选 A. 5. 函数 y=x+a 与 y=logax 的图象可能是( )

【答案】C 【解析】当 a>1 时和当 0<a<1 时分类讨论. 6. 在函数 y=|x|(x∈[-1,1])的图象上有一点 P(t,|t|),此函数与 x 轴、直线 x=-1 及 x=t 围成图形(如图阴影部分)的面积为 S,则 S 与 t 的函数关系图象可表示为( )

【答案】B

7. 设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数,如图表示该函数在区间(-2,1]上的图
- 13 -

象,则 f(2011)+f(2012)=________.

【答案】3 【解析】由于 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数,所以 f(2011)+f(2012)=

f(670×3+ 1) + f(671×3- 1)= f(1)+ f( -1),而由图象可知 f(1)= 1, f(- 1)= 2,所以 f(2011)+f(2012)=1+2=3.
1 |1-x| 8.若函数 y=( ) +m 的图象与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是________. 2 【答案】-1≤m<0 1 |1-x| 1 |1-x| 【解析】首先作出 y=( ) 的图象(如右图所示),欲使 y=( ) +m 的 2 2

图象与 x 轴有交点,则-1≤m<0.

ax+b,x≤0 ? ? 9.函数 f(x)=? 1 logc?x+ ?,x>0 ? 9 ?

的图象如图所示,则 a+b+c=________.

13 【答案】 3

- 14 -

10. 若直线 y=2a 与函数 y=|a -1|(a>0 且 a≠1)的图象有两个公共点,求 a 的取值范 围. 解:当 0<a<1 时,y=|a -1|的图象如图(1).
x

x

1 由已知得 0<2a<1,∴0<a< ; 2 当 a>1 时,y=|a -1|的图象,如图(2),由已知得 0<2a<1,此时无解.
x

1 综上可知 a 的范围是(0, ). 2 1 2 11.已知不等式 x -logax<0,当 x∈(0, )时恒成立,求实数 a 的取值范围. 2

- 15 -

1 ∴实数 a 的取值范围是[ ,1). 16 12.已知函数 f(x)=|x -4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合 M={m|使方程 f(x)=mx 有四个不相等的实根}.
2

- 16 -

- 17 -


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