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2016年高考数学三轮复习冲刺之数学数形结合的思想


高考冲刺
【高考展望】

数形结合的思想

在高考题中,数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上,把图象作为工具、载体,以此寻求 解题思路或制定解题方案,真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。 从近三年新课标高考卷来看,涉及数形结合的题目略少,预测今后可能有所加强。因为对数形结合等 思想方法的考查,是对数学知识在更高

层次的抽象和概括能力的考查,是对学生思维品质和数学技能的考 查,是新课标高考明确的一个命题方向。 1.数形结合是把数或数量关系与图形对应起来,借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究 图形的性质,是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化,复杂的问题简单化。 “数缺形时 少直观,形少数时难入微” ,利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。 2.数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位,考纲指出“数学科的命题,在考查基础知识 的基础上,注重对数学思想思想方法的考查,注重对数学能力的考查” ,灵活运用数形结合的思想方法, 可以有效提升思维品质和数学技能。 3. “对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查,考查时要与数学知识相结 合” ,用好数形结合的思想方法,需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示,为用好 数形结合思想打下坚实的知识基础。 4.函数的图象、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等,是 “以形示数” ,而解析几何的方程、 斜率、距离公式,向量的坐标表示则是“以数助形” ,还有导数更是数形结合的产物,这些都为我们提供 了 “数形结合”的知识平台。 5.在数学学习和解题过程中,要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径,制定解题方案,养成数 形结合的习惯,解题先想图,以图助解题。用好数形结合的方法,能起到事半功倍的效果, “数形结合千 般好,数形分离万事休” 。 【知识升华】 纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的 效果,数形结合的重点是研究“以形助数” 。是通过“以形助数” (将所研究的代数问题转化为研究其对应 的几何图形)或“以数助形” (借助数的精确性来阐明形的某种属性) ,把抽象的数学语言与直观的图形结 合起来思考,也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来,是解决问题的一种数学思想方法。它能使抽 象问题具体化,复杂问题简单化,在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。 具体地说,数形结合的基本思路是:根据数的结构特征,构造出与之相应的几何图形,并利用图形的 特性和规律, 解决数的问题; 或将图形信息全部转化成代数信息, 使解决形的问题转化为数量关系的讨论。 选择题,填空题等客观性题型,由于不要求解答过程,就某些题目而言,这给学生创造了灵活运用数 形结合思想,寻找快速思路的空间。但在解答题中,运用数形结合思想时,要注意辅之以严格的逻辑推理, “形”上的直观是不够严密的。

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1.高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面: (1)集合问题中 Venn 图(韦恩图)的运用; (2)数轴及直角坐标系的广泛应用; (3)函数图象的应用; (4)数学概念及数学表达式几何意义的应用; (5)解析几何、立体几何中的数形结合。 2. 数形结合思想解决的问题常有以下几种: (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围; (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围; (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系; (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式; (5)构建立体几何模型研究代数问题; (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题; (7)构建方程模型,求根的个数; (8)研究图形的形状、位置关系、性质等. 3.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则: (1)等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应; (2)双方性原则。既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,仅对代数问题进行几何分 析容易出错; (3)简单性原则。不要为了“数形结合”而数形结合,具体运用时,一要考虑是否可行和是否有利; 二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系,做好转化;三要挖掘隐含条件,准确界定参变量的取值 范围,特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。 4.进行数形结合的信息转换,主要有三个途径: (1)建立坐标系,引入参变数,化静为动,以动求解,如解析几何; (2)构造成转化为熟悉的函数模型,利用函数图象求解; (3)构造成转化为熟悉的几何模型,利用图形特征求解。 5.常见的“以形助数”的方法有: (1)借助于数轴、文氏图,树状图,单位圆; (2)借助于函数图象、区域(如线性规划)、向量本身的几何背景; (3)借助于方程的曲线,由方程代数式,联想其几何背景,并用几何知识解决问题,如点,直线,斜率, 距离,圆及其他曲线,直线和曲线的位置关系等,对解决代数问题都有重要作用,应充分予以重视.。

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【典型例题】 类型一、数轴、韦恩图在集合中的应用 【例 1】设集合 A={x|1<x<4},集合 B ={x| x2 -2x-3≤0}, 则 A∩( CR B )=( A.(1,4) B.(3,4) C..(1,3) D.(1,2)∪(3,4) )

【思路点拨】先求出集合 B,再利用数轴画图求解。 【答案】B; 【解析】B ={x| x2 -2x-3≤0}= {x | ?1 ? x ? 3} ,A∩( CR B )={x|1<x< 4} ? {x | x ? ?1, 或x ? 3} = {x | 3 ? x ? 4} 。故选 B. 【总结升华】不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行,解题时注意验证区间端点是否符合题 意。 举一反三: 【变式 1】设全集 U ? M ? N ? {1, 2,3, 4,5}, M ? CU N ? {2, 4}, 则 N ? ( A. {1, 2,3} 【答案】B; 【解析】画出韦恩图,可知 N ? {1,3,5} 。 B. {1,3,5} C. {1, 4,5} D. {2,3, 4} )

【变式 2】 设平面点集 A ? ?( x, y) ( y ? x)( y ? ) ? 0? , B ? ( x, y) ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 , 则 A? B

? ?

1 x

? ?

?

?

所表示的平面图形的面积为( (A)



3 ? 4

(B) ?

3 5

(C)

4 ? 7

(D)

? 2

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【答案】D;

?y ? x ? 0 ?y ? x ? 0 1 ? ? 【解析】由 ( y ? x)( y ? ) ? 0 可知 ? 或者 ? ,在同一坐标系中做出平面区域如图, 1 1 x y ? ? 0 y ? ? 0 ? ? x x ? ?
由图象可知 A ? B 的区域为阴影部分,根据对称性可知,两部分阴影面积之和为圆面积的一半,所以面积 为

? ,选 D. 2
类型二、利用数形结合思想解决函数问题 【例 2】已知 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 5 , x ?[t , t ? 1] ,若 f ( x ) 的最小值记为 h(t ) ,写出 h(t ) 的表达式。 【思路点拨】 依据函数 f ( x) ? x2 ? 3x ? 5 的对称轴与区间的位置关系,结合函数图象确定 f ( x ) 在

x ?[t , t ? 1] 上的增减情况,进而可以明确在何处取最小值。
【解析】由于 f ( x) ? x ? 3 x ? 5 ? ( x ? ) ?
2 2

3 2

29 , 4

所以抛物线 f ( x ) 的对称轴为 x ? ? ①当 ?

3 ,开口向上, 2

3 3 ? t ,即 t ? ? 时, f ( x) 在[t,t+1]上单调递增(如图①所示) , 2 2

∴当 x=t 时, f ( x ) 最小,即 f ( x)min ? f (t ) ? t 2 ? 3t ? 5 。

3 5 3 3 3 ? t ? 1 ,即 ? ? t ? ? 时, f ( x) 在 [t , ? ] 上递减,在 [ ? , t ? 1] 上递增(如图②) 。 2 2 2 2 2 3 3 29 ∴当 x ? ? 时, f ( x ) 最小,即 f ( x) min ? f ( ? ) ? ? 。 2 2 4 3 5 ③当 t ? 1 ? ? ,即 t ? ? 时, f ( x ) 在[t,t+1]上单调递减(如图③) 。 2 2
②当 t ? ? ∴当 x=t+1 时, f ( x ) 最小,即 f ( x)min ? f (t ?1) ? t 2 ? 5t ?1 ,

图① 综合①②③得

图②

图③

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5 ?2 ?t ? 5t ? 1 (t ? ? 2 ) ? 5 3 ? 29 h(t ) ? ?? (? ? t ? ? ) 。 2 2 ? 4 3 ?2 ?t ? 3t ? 5 (t ? ? 2 ) ?
【总结升华】通过二次函数的图象确定解题思路,直观、清晰,体现了数形结合的优越性。应特别注 意,对于二次函数在闭区间上的最值问题,应抓住对称轴与所给区间的相对位置关系进行讨论解决。首先 确定其对称轴与区间的位置关系,结合函数图象确定在闭区间上的增减情况,然后再确定在何处取最值。 举一反三: 【变式 1】已知函数 f ( x) ? ? x2 ? 2ax ? 1 ? a 在 0≤x≤1 时有最大值 2,求 a 的值。 【解析】∵ f ( x) ? ?( x ? a)2 ? a2 ? a ? 1 , ∴抛物线 y ? f ( x) 的开口向下,对称轴是 x ? a ,如图所示:

(1)

(2)

(3)

(1)当 a<0 时,如图(1)所示, 当 x=0 时,y 有最大值,即 ymax ? f (0) ? 1 ? a 。 ∴1―a=2。即 a=―1,适合 a<0。 (2)当 0≤a≤1 时,如图(2)所示, 当 x=a 时,y 有最大值,即 ymax ? f (a) ? a2 ? a ? 1。 ∴a2―a+1=2,解得 a ?

1? 5 。 2

∵0≤a≤1,∴ a ?

1? 5 不合题意。 2

(3)当 a>1 时,如图(3)所示。 当 x=1 时,y 有最大值,即 ymax ? f (1) ? a 。∴a=2。 综合(1) (2) (3)可知,a 的值是―1 或 2 【变式 2】已知函数 f ( x) ? x | x ? 2 | 。
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(Ⅰ)写出 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设 a ? 0 ,求 f ( x ) 在[0,a]上的最大值。
2 ? ? x ? 2 x ( x ? 2) 【解析】 f ( x) ? ? 2 ? ?? x ? 2 x ( x ? 2)

如图:

(1) f ( x ) 的单调增区间: (??,1] , [2, ??) ;单调减区间: (1,2) (2)当 a≤1 时, f ( x)max ? f (a) ? a | a ? 2 |? 2a ? a 2 当 1 ? a ? 1 ? 2 时, f ( x)max ? 1 当 a ? 1 ? 2 , f ( x)max ? f (a) ? a2 ? 2a 。 【例 3】 设函数 f ( x) ?

1 , g ( x) ? ax 2 ? bx(a, b ? R, a ? 0) ,若 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 图象有且仅有 x


两个不同的公共点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则下列判断正确的是( A.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 C. 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0

B. 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 D. 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0

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【思路点拨】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,然后分 a ? 0 , a ? 0 两种情况讨论。 【答案】B; 【解析】 当 a ? 0 时, 要想满足条件, 则有如图, 做出点 A 关于原点的对称点 C,则 C 点坐标为 (? x1,? y1 ) , 由图象知 ? x1 ? x2 ,? y1 ? y2 , 即 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 ,同理当 a ? 0 时,则有 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 , 故答案选 B. 另法: 则方程 F ( x) ? 0 与 f ( x) ? g ( x) 同解, 故其有且仅有两个不同零点 x1 , x2 .由 F ?( x) ? 0 F ( x) ? x3 ? bx2 ? 1 ,

2 2 2 得 x ? 0 或 x ? b . 这样,必须且只须 F (0) ? 0 或 F ( b) ? 0 ,因为 F (0) ? 1 ,故必有 F ( b) ? 0 由此得 3 3 3 b? 33 2 3 22) ,比较系数得 ? x1 3 4 ? 1 ,故 2 . 不妨设 x1 ? x2 ,则 x2 ? b ? 3 2 . 所以 F ( x) ? ( x ? x 1 )( x? 2 3
1 1 x ?x 13 1 2 . x1 ? x2 ? 3 2 ? 0 ,由此知 y1 ? y2 ? ? ? 1 2 ? 0 ,故答案为 B. x x2 x1 x2 2 2 1

x1 ? ?

【总结升华】数学中考查创新思维,要求必须要有良好的数学素养,考查新定义函数的理解、解绝对 值不等式,中档题,借形言数。 举一反三: 【变式 1】已知 f ( x) ? ax2 ? 2bx ? 4c ( a, b, c ? R ) (1)若 a ? c ? 0 , f ( x ) 在 [?2, 2] 上的最大值为 (2)当 b ? 4 , c ?

2 1 b ,最小值为 ? ,求证: | |? 2 ; 3 a 2

3 时,对于给定的负数 a ,有一个最大的正数 M(a ) ,使得 x∈[0, M(a ) ]时,都有 4

|f(x)|≤5,问 a 为何值时,M(a)最大?并求出这个最大值。 【解析】 (1)若 a=0,则 c=0,∴f(x)=2bx 当-2≤x≤2 时,f(x)的最大值与最小值一定互为相反数,与题意不符合,∴a≠0; 若 a≠0,假设 |

b |? 2 , a b 的左外侧或右外侧, a

∴区间[-2,2]在对称轴 x ? ?

∴f(x)在[-2,2]上是单调函数,

2 ? f ( x) max ? 4 | b |? ? ? 3 ?? (这是不可能的) ? f ( x) ? ?4 | b |? ? 1 min ? ? 2
b ?| | ? 2 a
(2) 当 b ? 4 , c ?

3 4 2 16 2 时, f ( x) ? ax ? 8 x ? 3 ? a ? (x ? ) ? 3 ? , 4 a a

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∵ a ? 0 ,所以 f(x) max ? 3 ?

16 , a

(图 1) (1)当 f(x)max ? 5 即 3 ?
2

(图 2)

16 4 ? 5 , ?8 ? a ? 0 时(如图 1) ,则 0 ? M(a ) ? ? a a

所以 M(a ) 是方程 ax ? 8 x ? 3 ? 5 的较小根,即

M(a) ?

- 8 ? 64 ? 8a 2 2 1 ? ? ? 2a 16 ? 2a ? 4 4 2
16 4 ? 5 , a ? ?8 时(如图 2) ,则 M(a ) ? ? ? 0 a a

(2) 当 f(x)max ? 5 即 3 ?
2

所以 M(a ) 是方程 ax ? 8x ? 3 ? ?5 的较大根,即

M(a) ?

- 8 - 64 - 32a 4 4 5 ?1 (当且仅当 a ? ?8 时,等号成立) , ? ? ? 2a 2 4 ? 2a ? 2 20 ? 2

由于

5 ?1 1 ? , 2 2 5 ?1 2

因此当且仅当 a ? ?8 时, M(a ) 取最大值

【变式 2】设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数为 f , ( x) ,且函数 y ? (1 ? x) f ' ( x) 的图像如题(8)图 所示,则下列结论中一定成立的是( )

(A)函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) (B)函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) (C)函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) (D)函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2) 【答案】D; 【解析】 由图象可知当 x ? ?2 时,y ? (1 ? x) f ' ( x) ? 0 , 所以此时 f ' ( x) ? 0 , 函数递增.当 ? 2 ? x ? 1

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时, y ? (1 ? x) f ' ( x) ? 0 ,所以此时 f ' ( x) ? 0 ,函数递减.当 1 ? x ? 2 时, y ? (1 ? x) f ' ( x) ? 0 ,所以 此时 f ' ( x) ? 0 ,函数递减.当 x ? 2 时, y ? (1 ? x) f ' ( x) ? 0 ,所以此时 f ' ( x) ? 0 ,函数递增.所以函数

f ( x) 有极大值 f (?2) ,极小值 f (2) ,选 D.
类型二:利用数形结合思想解决方程中的参数问题 【例 4】若关于 x 的方程 2 x ? 1 ? x ? m 有两个不同的实数根,求实数 m 的取值范围。 【思路点拨】将方程的左右两边分别看作两个函数,画出函数的图象,借助图象间的关系后求解,可 简化运算。 【解析】画出 f ( x) ? 2x ?1 和 g ( x) ? x ? m 的图象, 当直线 y ? x ? m 过点 (?

1 1 , 0) ,即 m ? 时,两图象有两个交点。 2 2

又由当曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 相切时,二者只有一个交点, 设切点 ( x0 , y0 ) ,则 f ?( x0 ) ? 1,即

1 ? 1 ,解得切点 (0,1) , 2 x0 ? 1

又直线 y ? x ? m 过切点 (0,1) ,得 m ? 1 , ∴当

1 ? m ? 1 时,两函数图象有两个交点,即方程有两个不等实根。 2

误区警示:作图时,图形的相对位置关系不准确,易造成结果错误。 【总结升华】 1.解决这类问题时要准确画出函数图象,注意函数的定义域。 2.用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先把 方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图) ,然后作出两个函数 的图象,由图求解。 3.在运用数形结合思想分析问题和解决问题时,需做到以下四点: ①要准确理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征; ②要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化; ③要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗漏; ④精心联想“数”与“形” ,使一些较难解决的代数问题几何化,几何问题代数化,便于问题求解。
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举一反三: 【变式】若关于 x 的方程 x ?
2

3 x ? k 在(-1,1)内有 1 个实根,则 k 的取值范围是 2



【解析】把方程左、右两侧看作两个函数,利用函数图象公共点的个数来确定方程根的个数。 设y?x ?
2

3 3 9 9 3 9 x ? x 2 ? x ? ? ? ( x ? ) 2 ? (x∈-1,1) 2 2 16 16 4 16

( ?1,

5 2

)

(1, ?

1 2

)

x y=k

x?

3 4

如图:当 k ? ?

9 1 5 3 2 或 ? ? k ? 时,关于 x 的方程 x ? x ? k 在(-1,1)内有 1 个实根。 16 2 2 2

2 【例 5】若方程 lg ? x ? 3x ? m ? lg?3 ? x ? 在 x ? 0,3 内有唯一解,求实数 m 的取值范围。

?

?

?

?

【思路点拨】将方程的左右两边分别看作两个函数,画出函数的图象,借助图象间的关系后求解。 【解析】 (1)原方程可化为 ?? x ? 2? ? 1 ? m?0 ? x ? 3?
2

设 y1 ? ?? x ? 2? ? 1 ?0 ? x ? 3?,y2 ? m
2

在同一坐标系中画出它们的图象(如图) 。由原方程在(0,3)内有唯一解,知 y1 与y 2 的图象只 有一个公共点,可见 m 的取值范围是 ?1 ? m ? 0 或 m ? 1。

举一反三: 【变式 1 高清课程数形结合的思想 ID:403936】 若不等式 logax>sin 2x (a>0, a≠1)对任意 x∈ (0, 则 a 的取值范围为____________. 【解析】记 y1=logax,y2=sin 2x,原不等式相当于 y1>y2, 作出两个函数的图象,如图所示,

?
4

) 都成立,

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知当 y1=logax 过点 A ( 所以当

?
4

,1) 时,a=

? , 4

? ? <a<1 时,x∈ (0, ) 都有 y1>y2. 4 4

【变式 2】若 0<θ <2π ,且方程 2sin(? ? 个实根的和。 【解析】将原方程 2sin(? ?

?
3

) ? m 有两个不同的实数根,求实数 m 的取值范围及这两

?

) ? m 转化为三角函数 y1 ? 2sin( x ? ) 的图象与直线 y2 ? m 有两个不 3 3

?

同的交点时,求 a 的范围及α +β 的值。 设 y1 ? 2sin( x ?

?
3

) , y2 ? m ,在同一坐标中作出这两个函数的图象

由图可知,当 ?2 ? m ? 3 或 3 ? m ? 2 时,y1 与 y2 的图象有两个不同交点, 即对应方程 2sin(? ?

?
3

) ? m 有两个不同的实数根,

若 3 ? m ? 2 ,设原方程的一个根为 x1 ? ∴ x1 ? x2 ?

?
6

? ? ,则另一个根为 x2 ?

?
6

?? .

?
3

.

若 ?2 ? m ? 3 ,设原方程的一个根为 x1 ? ∴ x1 ? x2 ?

7? . 3

7? 7? ? ? ,则另一个根为 x2 ? ?? , 6 6

所以这两个实根的和为

? 7 或 ?. 3 3

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且由对称性可知,这两个实根的和为

? 7 或 ?。 3 3

类型三:依据式子的结构,赋予式子恰当的几何意义,数形结合解答 【例 6】求函数 f (? ) ?

3 sin ? ? 3 的最大值和最小值 2 cos ? ? 4

【思路点拨】 f (? ) 可变形为

3 sin ? ? (?1) ,故 f (? ) 可看作是两点 A(cos ? ,sin ? ) 和 B(?2, ?1) 的 ? 2 cos? ? (?2)

连线斜率的

3 倍,只需求出 K AB 范围即可;也可以利用三角函数的有界性,反解求解。 2

方法一:数形结合

A(cos ? ,sin ? ) 可看作是单位圆 x2 ? y 2 ? 1上的动点, B(?2, ?1) 为圆外一点,如图,
y

A2
O

x

B

A1

由图可知: k AB ?[kBA1 , kBA2 ] ,显然 KBA1 ? 0 , 设直线 BA2 的方程: y ? 1 ? k ( x ? 2) ,

?

| k ? 0 ? 0 ? 2k ? 1| k 2 ?1
4 3

? d ? 1 ,解得 k BA2 ? k ?

4 , 3

∴ k AB ? [0, ]

? f (? ) ? [0,2]
方法二:令 f (? ) ? y ?

3 sin ? ? 3 2 cos ? ? 4

? 3 sin ? ? 3 ? 2 y cos? ? 4 y ,? 3 sin ? ? 2 y cos? ? 4 y ? 3
? 3 2 ? (?2 y ) 2 sin(? ? ? ) ? 4 y ? 3 ,?| 4 y ? 3 |? 3 2 ? (?2 y ) 2

?16 y 2 ? 24 y ? 9 ? 9 ? 4 y 2 ,? 0 ? y ? 2即f (? ) ? [0,2]
【总结升华】一些代数式所表示的几何意义往往是解题的关键,故要熟练掌握一些代数式的几何意义:
2 2 (1) ( x ? a ) ? ( y ? b) 表示动点(x,y)与定点(a,b)两点间的距离;

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(2)

y?b 表示动点(x,y)与定点(a,b)两点连线的斜率; x?a

(3)求 ax+by 的最值,就是求直线 ax+by=t 在 y 轴上的截距的最值。 举一反三: 【变式 1】已知圆 C:(x+2)2+y2=1,P(x,y)为圆 C 上任一点。
2 2 (1)求 x ? y 的最大、最小值;

(2)求

y?2 的最大、最小值; x ?1

(3)求 x―2y 的最大、最小值。 【解析】联想所求代数式的几何意义,再画出草图,结合图象求解。
2 2 (1) x ? y 表示点(x,y)与原点的距离,

由题意知 P(x,y)在圆 C 上,又 C(―2,0) ,半径 r=1。 ∴|OC|=2。

x 2 ? y 2 的最大值为 2+r=2+1=3, x 2 ? y 2 的最小值为 2―r=2―1=1。

y?2 表示点(x,y)与定点(1,2)两点连线的斜率, x ?1 y?2 ? k ,过 Q 点作圆 C 的两条切线,如图: 设 Q(1,2) , x ?1
(2)



y?2 ? k 整理得 kx―y+2―k=0。 x ?1

∴d ?

| ?2k ? 2 ? k | k 2 ?1

? 1 ,解得 k ?

3? 3 , 4

所以

y?2 3? 3 3? 3 的最大值为 ,最小值为 。 x ?1 4 4

(3)令 x―2y=u,则可视为一组平行线系, 当直线与圆 C 有公共点时,可求得 u 的范围, 最值必在直线与圆 C 相切时取得。这时 d ?

| ?2 ? u | ? 1, 5
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∴ u ? ?2 ? 5 。 ∴x―2y 的最大值为 ?2 ? 5 ,最小值为 ?2 ? 5 。 【变式 2】求函数 y ? 【解析】 y ?

x2 ? 2 x ? 2 ? x2 ? 6x ? 13 的最小值。

x2 ? 2 x ? 2 ? x2 ? 6x ? 13 ? ( x ? 1) 2 ? (0 ? 1) 2 ? ( x ? 3) 2 ? (0 ? 2) 2

则 y 看作点 P(x,0)到点 A(1,1)与 B(3,2)距离之和 y ·B(3,2) ·A(1,1) 0 P ·A'(1,-1) x

如图,点 A(1,1)关于 x 轴的对称点 A' (1,-1) , 则 | A ' B | 即为 P 到 A,B 距离之和的最小值,∴ ymin ?| A ' B |? 13

? x ? 2y ? 2 ? 【例 7】已知变量 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 ,则目标函数 z ? 3x ? y 的取值范围是( ? 4 x ? y ? ?1 ?
(A) [ ?

)

3 , 6] 2

(B) [ ?

3 , ?1] 2

(C) [?1,6]

(D) [ ?6, ]

3 2

【思路点拨】利用约束条件画出目标函数可行域,寻找目标函数几何意义求解。 【答案】A; 【解析】做出不等式所表示的区域如图,由 z ? 3x ? y 得 y ? 3x ? z ,平移直线 y ? 3x ,由图象可知

当直线经过点 E (2,0) 时, 直线 y ? 3x ? z 的截距最小, 此时 z 最大为 z ? 3x ? y ? 6 , 当直线经过 C 点时,

1 ? ?4 x ? y ? ?1 3 3 ?x ? 直线截距最大,此时 z 最小,由 ? ,解得 ? 2 ,此时 z ? 3x ? y ? ? 3 ? ? ,所以 2 2 ?2 x ? y ? 4 ? ?y ? 3
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3 z ? 3x ? y 的取值范围是 [ ? ,6] ,选 A. 2
【总结升华】线性规划是借助平面区域表示直线、不等式等代数表达式,最终借助图形的性质解决问 题。 举一反三: 【变式】若方程 x +(1+a)x+1+a+b=0 的两根分别为椭圆、双曲线的离心率,则 A. ?2 ?
2

b ? ?1 a

B.

b b ? ?2 或 ? ?1 a a

C. ?2 ?

b 1 ?? a 2

b 的取值范围是( a b 1 b D. ? ? 或 ? ?2 a 2 a



【解析】如图 y

1

x

由题知方程的根,一个在(0,1)之间,一个在(1,2)之间, 则?

? f (0) ? 0 ?1 ? a ? b ? 0 ,即 ? ?2a ? b ? 3 ? 0 ? f (1) ? 0
b 可看作可行域内的点与原点 O(0,0)连线的斜率 a

下面利用线性规划的知识,则 b (-2,1) 0 a

a+b+1=0 2a+b+3=0 则 ?2 ?

b 1 ?? a 2

,选 C。

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