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第4讲功和能


专题四
一、 典例精析

功和能 学案

题型 1.(功能关系的应用)从地面竖直上抛一个质量为 m 的小球,小球上升的最大高度为 H。设上升过程 中空气阻力为 F 恒定。则对于小球上升的整个过程,下列说法错误的是( A. 小球动能减少了 mgH B. 小球机械能减少了 FH C. 小球重力势能增加了 mgH D. 小球加速度大于重

力加速度 g 解析:由动能定理可知,小球动能的减小量等于小球克服重力和阻力 F 做的功。为(mg+F)H,A 错误; 小球机械能的减小等于克服阻力 F 做的功,为 FH,B 正确;小球重力势能的增加等于小球小球克服重力做 的功,为 mgH,C 正确;小球的加速度 a ? )

mg ? F ? g ,D 正确 m

规律总结:功是能量转化的量度,有以下几个功能关系需要理解并牢记 ?重力做功与路径无关,重力的功等于重力势能的变化 ?滑动摩擦力(或空气阻力)做的功与路径有关,并且等于转化成的内能 ?合力做功等于动能的变化 ?重力(或弹力)以外的其他力做的功等于机械能的变化

题型 2.(功率及机车启动问题)

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审题指导:1.在汽车匀加速启动时,匀加速运动刚结束时有两大特点 ?牵引力仍是匀加速运动时的牵引力,即 F ? Ff ? ma 仍满足 ? P ? P额 ? Fv 2.注意匀加速运动的末速度并不是整个运动过程的最大速度

题型 3.(动能定理的应用)如图所示,竖直平面内的轨道 ABCD 由水平轨道 AB 与光滑的四分之一圆弧轨 道 CD 组成,AB 恰与圆弧 CD 在 C 点相切,轨道固定在水平面上。一个质量为 m 的小物块(可视为质点) 从轨道的 A 端以初动能 E 冲上水平轨道 AB,沿着轨道运动,由 DC 弧滑下后停在水平轨道 AB 的中点。已 知水平轨道 AB 长为 L。求: (1)小物块与水平轨道的动摩擦因数 ? (2)为了保证小物块不从轨道的 D 端离开轨道,圆弧轨道的半径 R 至少是多大? (3)若圆弧轨道的半径 R 取第(2)问计算出的最小值,增大小物块的初动能,使得小物块冲上轨道后可 以达到最大高度是 1.5R 处,试求物块的初动能并分析物块能否停在水平轨道上。如果能,将停在何处?如 果不能,将以多大速度离开水平轨道?

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解析: (1)小物块最终停在 AB 的中点,在这个过程中,由动能定理得

? ?mg( L ? 0.5L) ? ? E


??

2E 3m g L

(2)若小物块刚好到达 D 处,速度为零,同理,有 ? ?mgL? mgR? ? E 解得 CD 圆弧半径至少为

R?

E 3m g

(3)设物块以初动能 E′冲上轨道,可以达到的最大高度是 1.5R,由动能定理得

? ?mgL? 1.5mgR? ? E ?
解得 E ? ?

7E 6 E 2E ,由于 E C ? ?mgL ? ,故物块将停在轨道上。 2 3

物块滑回 C 点时的动能为 EC ? 1.5mgR ? 设到 A 点的距离为 x,有 解得

? ?mg( L ? x) ? ?EC

x?

1 L 4

即物块最终停在水平滑道 AB 上,距 A 点

1 L 处。 4

规律总结:应用动能定理要比动力学方法方便、简洁。只有应用动力学方法可以求解的匀变速直线运动问 题,一般应用动能定理都可以求解。尽管动能定理是应用动力学方法推导出来的,但它解决问题的范围更 广泛。

题型 4.(综合问题)滑板运动是一项陆地上的“冲浪运动”,滑板运动员可在不同的滑坡上滑行,做出各 种动作给人以美的享受。 如图甲所示, abcdef 为同一竖直平面上依次平滑连接的滑行轨道, 其中 ab 段水平, H=3m,bc 段和 cd 段均为斜直轨道,倾角θ =37?,de 段是一半径 R=2.5m 的四分之一圆弧轨道,o 点为圆 心,其正上方的 d 点为圆弧的最高点,滑板及运动员总质量 m=60kg,运动员滑经 d 点时轨道对滑板支持力 用 Nd 表示,忽略摩擦阻力和空气阻力,取 g=10m/s2,sin37?=0.6, cos37?=0.8 除下述问(3)中运动员做缓冲动作以外,均可把滑板及运动员视为质点。 (1)运动员从 bc 段紧靠 b 处无初速滑下,求 Nd 的大小; (2)运动员逐渐减小从 bc 上无初速下滑时距水平地面的高度 h, 请在图乙的坐标图上作出 Nd-h 图象(只根 据作出的图象评分,不要求写出计算过程和作图依据);

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(3)运动员改为从 b 点以υ 0=4m/s 的速度水平滑出,落在 bc 上时通过短暂的缓冲动作使他只保留沿斜面 方向的速度继续滑行,则他是否会从 d 点滑离轨 过计算得出结论 道?请通

解析:解: (1)从开 始滑下至 d 点, 由机 械能守恒定律得

mg ( H ? R) ?

1 m? 2 2

①(1 分)

m? 2 m g ? Nd ? R
由①②得: N d ? mg (3 ?

②(1 分)

2H ) ? 360 N R



(1 分)

(2)所求的 N d ? h 图象如图所示(3 分) (图线两个端点画对各得 1 分,图线为直线 (3)当以 ? 0 ? 4m / s 从 b 点水平滑出时,运动 动落在 Q 点,如图所示 设 Bq= s1 ,则 得 1 分) 员做平抛运

s1 sin 37 0 ?

1 2 gt 2

④(1 分) ⑤(1 分)

s1 cos370 ? ?0t
由④⑤得

2? 0 tan370 t? ? 0.6s ⑥(1 分) g
y ? gt ? 6m / s
⑦(1 分) 第 4 页 共 18 页

在 Q 点缓冲后

?Q ? ? y sin 370 ? ?0 cos370 ? 6.8m / s ⑧(1 分)
从Q ? d
2 mg ( H ? 1 2 gt ) ? mgR ?

1 1 2 2 m? d ? m? Q 2 2
`2 m? d R

⑨(1 分)

运动员恰从 d 点滑离轨道应满足: m g ? 由⑨⑩得
`2 2 ?d ? ?d ? 4.76 ` 即 ?d ? ?d

⑩(1 分)

⑩(1 分)

可见滑板运动员不会从圆弧最高点 d 滑离轨道。(1 分)

题型 5.(功能关系在电场中的应用)如图所示匀强电场 E 的区域内,在 O 点处放置一点电荷 +Q, a、b、c、

d、e、f 为以 O 点为球心的球面上的点,aecf 平面与电场 bedf 平面与电场垂直,则下列说法中正确的是
A.b、d 两点的电场强度相同 B.a 点的电势等于 f 点的电势 C.点电荷+q 在球面上任意两点之间移动时,电场力一定 D.将点电荷+q 在球面上任意两点之间移动,从球面上 a 到 c 点的电势能变化量一定最大 解析:由于点电荷+Q 在 b、d 两点的场强方向分别向上和 a· +Q · o · e · d f · · c ·

平行,

b

做功 E 点移动

向下,

b、d 两点的场强大小相同,方向不同,A 错;a 点和 f 点位于+Q 形成电场的等势面上,但若把一电荷从 a 点移动到 f 点,电场 E 要对电荷做功,B 错;当点电荷+q 在 bedf 面上任意两点间移动时,电场力不做功, C 错;球面上相距最远的点(沿场强 E 的方向)是 ac,电场 E 对其做功最大,电势能的变化量最大。 规律总结:1.在等势面上移动电荷是,电场力不做功。 2.电场力做功与路径无关,W=qU 3.电场力做的功等于电势能的变化量。

题型 6.(功能关系在电磁感应中的应用)两根足够长的光滑导轨竖直放置,间距为 L ,底端接阻值为 R 的 电阻。将质量为 m 的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端,金属 接触良好,导轨所在平面与磁感应强度为 B 的匀强磁场垂直,如 电阻 R 外其余电阻不计。现将金属棒从弹簧原长位置由静止释 第 5 页 共 18 页 棒和导轨 图所示。除 放.则

A.释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度 g B.金属棒向下运动时,流过电阻 R 的电流方向为 a→b C.金属棒的速度为 v 时.所受的安培力大小为 F = D.电阻 R 上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少 解析:在释放的瞬间,速度为零,不受安培力的作用,只受到重力,A 对。由右手定则可得,电流的方向 从 b 到 a, B 错。 当速度为 v 时, 产生的电动势为 E ? Blv , 受到的安培力为 F ? BIL , 计算可得 F ? 对。在运动的过程中,是弹簧的弹性势能、重力势能和内能的转化,D 错。

B 2 L2v ,C R

题型 7.(功能关系在混合场内的应用)如图所示,MN 是一固定在水平地面上足够长的绝缘平板(左侧 有挡板) ,整个空间有平行于平板向右、场强为 E=2N/C 的匀强电场,在板上 C 点的左侧有一个垂直于纸 面向外、磁感应强度为 B=1T 的匀强磁场,一个质量为 m=4×10 3kg、带负电的小物块,带电量 q=10 2C, 从 C 点由静止开始向左先做加速运动再做匀速运动 . 当物体碰到左端挡板后被弹回,若在碰撞瞬间将电 场改为竖直向下,大小不变 . 小物块返回时在磁场中恰做匀速运动,已知平板 MC 部分的长度为 L=5m, 物块与平板间的动摩擦因数为 μ =0.2,求: (1)小物块向左运动过程中克服摩擦力做的功 Wf; (2)小物块与左端挡板碰撞过程损失的机械能△ E; (3)小物块从与 左挡板碰后到最终静止所用时间 t; (4)整个过程中由于摩擦产生的热量 Q. 解析:设小物块向左匀速运动时的速度大小为 v1,由平衡条件有
- -

qE ? ? (mg ? qv1 B) ? 0



设小物块在向左运动过程中克服摩擦力做的功为 W,由动能定理有

qEL ? W ?

1 2 mv1 ? 0 2



由①②式解得

W ? qEL ?

m(qE ? ?mg) 2 ? 0.023J 2? 2 q 2 B 2



(2)设小物块返回时在磁场中匀速运动的速度大小为 v2,与右端挡板碰撞过程损失机构能为 ? E ,则 有 Bqv2 ? mg ? qE ④ ⑤ 第 6 页 共 18 页

?E ?

1 2 1 2 mv1 ? mv 2 2 2

由③⑤⑥式解得

?E ?

mq2 E 2 (1 ? ? 2 ) ? 2?m 2 gqE(? ? 1) ? 0.064J 2? 2 B 2 q 2
L BqL ? ? 2.5s v2 m g ? qE



(3)小物块由 M 到 C 匀速运动,时间为 t1 ?



小物块由 C 到静止匀减速运动, 时间为 t 2 ?

? (mg ? qE) ? ma代入数得a ? 1m / s 2 ⑧


v2 m v2 ? ? 2s a ? (m g ? qE)

11 ○

总时间为 t=t1+t2=4.5s

(4)对全过程,由能量守恒定律有

Q ? qEL ? ?E
(或 Q ? W f ? 由⑤⑧式解得

12 ○

1 2 mv 2 ) 2

Q ? qEL ? ?E ? 0.036J

13 ○

评分标准:①式 2 分,其余各 1 分,共 14 分

二、

专题突破

针对典型精析的例题题型,训练以下习题 1. 如图,一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的 O 点,另一端系一小球.给小球一足够大的初速度,使小球 在斜面上做圆周运动.在此过程中, A.小球的机械能守恒 B.重力对小球不做功 C.绳的张力对小球不做功 D.在任何一段时间内,小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少 点拨:此题属于功能关系的应用。由于摩擦力做功,机械能不守恒,任一时间内小球克服摩擦力所做的功 总是等于小球机械能的减少。转动过程重力做功,绳的张力总与运动方向垂直,不做功。此题选 C。 O

2. 如图是汽车牵引力 F 和车速倒数
3

1 F/N 的关系图像, 若汽 3 6×10 v
2×10
3

车 质 量 最 大 车

为 2×10 kg,由静止开始沿平直公路行驶,阻力恒定, 速为 30m/s,则在车速为 15m/s 时汽车发动机功率为

O 第 7 页 共 18 页

1 30

1 -1 /s·m v

__________W;该汽车作匀加速运动的时间为________s. 点拨:功率及机场启动问题。 由图知 Ff ? 2 ?103 N , P ? FV ? Ff V ? 6 ?104 W。 当 v=15m/s 时, F=4×10 N<6×10 N,因此仍处在额定功
3 4

率阶段,匀加速运动末速度 v ? F=6×10 N,解之得 t=5s.
3

6 ? 104 ? 10m / s ,又 v=at, F ? Ff ? ma , 6 ? 103

3. 据 2008 年 2 月 18 日北京新闻报导:北京地铁 10 号线进行运行试验。为节约能源,一车站站台建得高 些,车辆进站时要上坡将动能转换为重力势能,出站时要下坡将重力势能换为动能,如图所示。已知坡长 为 x,坡高为 h,重力加速度为 g,车辆的质量为 m,进站车辆到达坡下 A 处时的速度为 v0,此时切断电动 机的电源。 (1)车辆在上坡过程中,若只受重力和轨道的支持力,求车辆“冲”到站台上的速度多大? (2)实际上车辆上坡时,还受到其它阻力作用,要使车辆能“冲”上站台,车辆克服其它阻力做的功最大 为多少? h A 点拨:动能定理的应用。 (1)车辆上坡过程,机械能守恒,设车辆“冲”坡站台的速度为 v,则有:

0?

1 2 1 2 mv 0 ? mgh ? mv 2 (6 分) ,解得: v ? v0 ? 2 gh (2 分) 2 2 1 2 mv 0 (6 分) 2

(2)车辆上坡过程,受到最大阻力功,冲到站台上的速度应为零,设最大阻力功为 Wf,由动能定理有:

? (mgh ? W f ) ? 0 ?
解得: W f ?

1 2 mv 0 ? mgh (2 分) 2

4.如图所示,在距水平地面高为 0.4m 处,水平固定一根长直光滑杆,在杆上 P 点固定一定滑轮,滑轮可绕 水平轴无摩擦转动,在 P 点的右边,杆上套有一质量 m=2kg 小球 A。半径 R=0.3m 的光滑半圆形细轨道, 竖直地固定在地面上,其圆心 O 在 P 点的正下方,在轨道上套有一质量也为 m=2kg 的小球 B。用一条不可 伸长的柔软细绳,通过定滑轮将两小球连接起来。杆和半圆形轨道在同一竖直面内,两小球均可看作质点, 且不计滑轮大小的影响,g 取 10m/s2。现给小球 A 一个水平向右的恒力 F=55N。求: 第 8 页 共 18 页

(1)把小球 B 从地面拉到 P 点正下方 C 点过程中,力 F 做的功; (2)小球 B 运动到 C 处时的速度大小; (3)小球 B 被拉到离地多高时与小球 A 速度大小相等。
F P A

点拨:综合问题

B

O

(1)小球 B 运动到 P 点正下方过程中的位移为

x A ? 0.42 ? 0.32 ? 0.1 ? 0.4 (m) (2 分)
得:WF=FxA=22J(2 分)

(2)由动能定理得

WF ? mgR ?

1 2 mv 2

代入数据得:v=4m/s(4 分) ?当绳与圆环相切时两球的速度相等。

hB ? R cos ? ? R ?

R =0.225m(4 分) H

三、

学法导航

复习指导:①回归课本夯实基础,仔细看书把书本中的知识点掌握到位 ②练习为主提升技能,做各种类型的习题,在做题中强化知识 ③整理归纳举一反三,对易错知识点、易错题反复巩固 ④恒定加速度启动问题: 解决问题的关键是明确研究的问题是处在哪个阶段上。以及匀加速过程的最大速度 v1 和全程的最大速度

vm 的区别和求解方法。
?求 v1 :由 F ? f ? m a,可求: v1 ?

P F
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?求 vm : v m ?

P f

⑤动能定理的应用 ?动能定理的适用对象:涉及单个物体(或可看成单个物体的物体系)的受力和位移问题,或求解变力做 功的问题。 ?动能定理的解题的基本思路: ⅰ选取研究对象,明确它的运动过程 ⅱ分析研究对象的受力情况和各力做功情况,然后求各个外力做功的代数和 ⅲ明确物体在过程始末状态的动能 E K1、E K 2 。 ⅳ列出动能定理的方程 W合 ? EK 2 ? EK1 ,及其它必要的解题方程,进行求解。 ⑥机械能守恒定律的应用 ?机械能是否守恒的判断: ⅰ用做功来判断,看重力(或弹簧弹力)以外的其它力做功代数和是否为零 ⅱ用能量转化来判断,看是否有机械能转化为其它形式的能 ⅲ对绳子突然绷紧,物体间碰撞等问题,机械能一般不守恒,除非题目中有特别说明或暗示 ?机械能守恒定律解题的基本思路: ㈠选取研究对象---物体系。 ㈡根据研究对象所经历的物理过程,进行受力、做功分析,判断机械能是否守恒。 ㈢恰当地选取参考平面,确定研究对象在过程的初末状态时的机械能。 ㈣根据机械能守恒定律列方程,进行求解。 ⑦功能关系在电学中的应用的题目,一般过程复杂且涉及多种不同性质的力,因此,通过审题,抓住受力 分析和运动过程的分析是关键,然后根据不同的运动过程各力做功的特点来选择规律求解。

1. 如图 3-1,小物块位于光滑斜面上,斜面位于光滑水平地面上,在小物块沿斜面下滑的过程中,斜面对
小物块的作用力 A.垂直于接触面,做功为零 B.垂直于接触面,做功不为零 [ ]

第 10 页 共 18 页

C.不垂直于接触面,做功为零 D.不垂直于接触面,做功不为零 【错解】斜面对小物块的作用力是支持力,应与斜面垂直,因为支持力总与接触面垂直,所以支持力不做 功。故 A 选项正确。 【错解原因】斜面固定时,物体沿斜面下滑时,支持力做功为零。受此题影响,有些人不加思索选 A。这 反映出对力做功的本质不太理解,没有从求功的根本方法来思考,是形成错解的原因。 【分析解答】根据功的定义 W=F·scosθ 为了求斜面对小物块的支持力所做的功,应找到小物块的位移。 由于地面光滑,物块与斜面体构成的系统在水平方向不受外力,在水平方向系统动量守恒。初状态系统水 平方向动量为零,当物块有水平向左的动量时,斜面体必有水平向右的动量。由于 m<M,则斜面体水平位 移小于物块水平位移。 根据图 3-2 上关系可以确定支持力与物块位移夹角大于 90°, 则斜面对物块做负功。 应选 B。

【评析】求解功的问题一般来说有两条思路。一是可以从定义出发。二是可以用功能关系。如本题物块从 斜面上滑下来时,减少的重力势能转化为物块的动能和斜面的动能,物块的机械能减少了,说明有外力对 它做功。所以支持力做功。

2. 以 20m/s 的初速度,从地面竖直向上势出一物体,它上升的最大高度是 18m。如果物体在运动过程中所
受阻力的大小不变,则物体在离地面多高处,物体的动能与重力势能相等。(g=10m/s ) 【错解】以物体为研究对象,画出运动草图 3-3,设物体上升到 h 高处动能与重力势能相等
2

此过程中,重力阻力做功,据动能定量有

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物体上升的最大高度为 H

由式①,②,③解得 h=9.5m

【错解原因】初看似乎任何问题都没有,仔细审题,问物全体离地面多高处,物体动能与重力势相等一般 人首先是将问题变形为上升过程中什么位置动能与重力势能相等。而实际下落过程也有一处动能与重力势 能相等。 【分析解答】上升过程中的解同错解。 设物体下落过程中经过距地面 h′处动能等于重力势能,运动草图如 3-4。

据动能定理

解得 h′=8.5m 【评析】在此较复杂问题中,应注意不要出现漏解。比较好的方法就是逐段分析法。 第 12 页 共 18 页

3. 如图 3-6,质量为 M 的木块放在光滑水平面上,现有一质量为 m 的子弹以速度 v0 射入木块中。设子弹 在木块中所受阻力不变,大小为 f,且子弹未射穿木块。若子弹射入木块的深度为 D,则木块向前移动距离 是多少?系统损失的机械能是多少? 【错解】 (1) 以木块和子弹组成的系统为研究对象。系统沿水平方向不受外力,所以沿水平方向动量守恒。 设子弹和木块共同速度为 v。据动量守恒有 mv0=(M+m)v 解得 v=mv0 子弹射入木块过程中,摩擦力对子弹做负功

(2)系统损失的机械能 即为子弹损失的功能

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【错解原因】错解①中错误原因是对摩擦力对子弹做功的位移确定错误。子弹对地的位移并不是 D,而 D 打入深度是相对位移。而求解功中的位移都要用对地位移。错解②的错误是对这一物理过程中能量的转换 不清楚。子弹打入木块过程中,子弹动能减少并不等于系统机械能减少量。因为子弹减少的功能有一部分 转移为木块的动能,有一部转化为焦耳热。 【分析解答】以子弹、木块组成系统为研究对象。画出运算草图,如图 3—7。系统水平方向不受外力,故 水平方向动量守恒。据动量守恒定律有 mv0=(M+m)v(设 v0 方向为正)

子弹打入木块到与木块有相同速度过程中摩擦力做功:

由运动草图可 S 木=S 子-D



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【评析】子弹和木块相互作用过程中,子弹的速度由 V0 减为 V,同时木块的速度由 0 增加到 V。对于这样 的一个过程,因为其间的相互作用力为恒力,所以我们可以从牛顿运动定律(即 f 使子弹和木块产生加速 度,使它们速度发生变化)、能量观点、或动量观点三条不同的思路进行研究和分析。类似这样的问题都 可以采用同样的思路。一般都要首先画好运动草图。例:如图 3-8 在光滑水平面上静止的长木板上,有一 粗糙的小木块以 v0 沿木板滑行。情况与题中极其相似,只不过作用位置不同,但相互作用的物理过程完全 一样。 参考练习:如图 3-9 一质量为 M、长为 l 的长方形木板 B 放在光滑的水平地面上,在其右端放一质量为 m 的小木块 A,m<M。现以地面为参考系,给 A 和 B 以大小相同,方向相反的初速度,使 A 开始向左运动,B 开始向右运动,但最后 A 刚好没有滑离 B 板。求小木块 A 向左运动到达最远处(对地)离出发点的距离。

提示:注意分析物理过程。情景如图 3-10。其中隐含条件 A 刚好没离 B 板,停在 B 板的左端,意为此时 A, B 无相对运动。A,B 作用力大小相等,但加速度不同,由于 A 的加速度大,首先减为零,然后加速达到与 B 同速。 第 15 页 共 18 页

4. 如图 3-13,质量分别为 m 和 2m 的两个小球 A 和 B,中间用轻质杆相连,在杆的中点 O 处有一固定转动 轴,把杆置于水平位置后释放,在 B 球顺时针摆动到最低位置的过程中( )

A.B 球的重力势能减少,动能增加,B 球和地球组成的系统机械能守恒 B.A 球的重力势能增加,动能也增加,A 球和地球组成的系统机械能不守恒。 C.A 球、B 球和地球组成的系统机械能守恒 D.A 球、B 球和地球组成的系统机械不守恒 【错解】B 球下摆过程中受重力、杆的拉力作用。拉力不做功,只有重力做功,所以 B 球重力势能减少, 动能增加,机械能守恒,A 正确。 同样道理 A 球机械能守恒,B 错误,因为 A,B 系统外力只有重力做功,系统机械能守恒。故 C 选项正确。 【错解原因】 B 球摆到最低位置过程中,重力势能减少动能确实增加,但不能由此确定机械能守恒。错解 中认为杆施的力沿杆方向,这是造成错解的直接原因。杆施力的方向并不总指向沿杆的方向,本题中就是 如此。杆对 A,B 球既有沿杆的法向力,也有与杆垂直的切向力。所以杆对 A,B 球施的力都做功,A 球、B 球的机械能都不守恒。但 A+B 整体机械能守恒。 【分析解答】B 球从水平位置下摆到最低点过程中,受重力和杆的作用力,杆的作用力方向待定。下摆过 程中重力势能减少动能增加,但机械能是否守恒不确定。A 球在 B 下摆过程中,重力势能增加,动能增加, 机械能增加。由于 A+B 系统只有重力做功,系统机械能守恒,A 球机械能增加,B 球机械能定减少。所以 B, C 选项正确。

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【评析】有些问题中杆施力是沿杆方向的,但不能由此定结论,只要杆施力就沿杆方向。本题中 A、B 球绕 O 点转动,杆施力有切向力,也有法向力。其中法向力不做功。如图 3-14 所示,杆对 B 球施的力对 B 球的 做负功。杆对 A 球做功为正值。A 球机械能增加,B 球机械能减少。

四、

专题综合

1.(场强的类比思想+势能+机械能守恒)如图所示,桌面上有许多大小不同的塑料球,它们的密度均为 ? , 有水平向左恒定的风作用在球上,使它们做匀加速运动(摩擦不计)。已知风对球的作用力与球的最大横 截面积成正比,即 F=kS,k 为一常量。 (1)对塑料球来说,空间存在一个风力场,请定义风力场强度 出其表达式
P 风 风向

并写

(2)在该风力场中风力对球做功与路径无关,因此可引入风力势能和风力势的概念。若以栅栏 P 为风力 势能参考平面,写出风力势能 EP 和风力势 U 的表达式 (3)写出风力场中机械能守恒定律的表达式(小球半径用 r 表示;第一状态速度为 v1,和 P 的距离为 x1;第二状态速度为 v2,和 P 的距离为 x2) 解: (1)风力场强度:风对小球作用力与小球最大横截面积之比,方向与风力相同。2 分 即

E?

F ?k S

2分 3分

(2)距 P 为 x 处, E p ? Fx ? kSx

U?

Ep S

? kx

3分

(3) kSx1 ?

1 1 2 2 m?1 ? kSx 2 ? m?2 2 2

2分

第 17 页 共 18 页

m ? ?V ?

4 ?? r 3 3 kx1 ?

1分

由以上两式得

2 2 ?r?12 ? kx 2 ? ?r?2 2 3 3

1分

2. (圆周运动+受力分析+功能关系)某游乐场中有一种叫“空中飞椅”的游乐设施,其基本装置是将绳子 上端固定在转盘的边缘上,绳子下端连接座椅,人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看 成是一个质点,则可简化为如图所示的物理模型。其中 P 为处于水平面内的转盘,可绕竖直转轴 转动,设绳长 l=10m,质点的质量 m=60kg,转盘静止时质点与
P O

OO′

转轴之间的 起做匀速圆
l

距离 d=4m。转盘逐渐加速转动,经过一段时间后质点与转盘一 周运动,此时绳与竖直方向的夹角θ =370。 (不计空气阻力及绳 可伸长,sin370=0.6,cos370=0.8,g=10m/s2)求: (1)质点与转盘一起做匀速圆周运动时转盘的角速度及绳子 (2)质点从静止到做匀速圆周运动的过程中,绳子对质点做 解: (1)如图所示,对质点受力分析可得:
O/ d

重,绳子不

的拉力; 的功。

mg tan ? ? m? 2 D ①2 分
绳中的拉力 T=mg/cosθ =750N②2 分 根据几何关系可得: D ? d ? l sin ? 代入数据得: ? ?

3 rad/s③2 分 2

(2)转盘从静止启动到转速稳定这一过程,绳子对质点做的功等于质点机械能的增加量:

W?

1 2 mv ? mgh ④3 分 2
h ? l ? l cos ? ? 2 m, v ? ? D ? 5 3 m/s
代入数据解得 W=3450J⑤3 分

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