当前位置:首页 >> 数学 >>

高一数学笔记


第一章集合
1 一般地,研究对象统称为元素(element) ,一些元素组成的总体叫集合(set) , 也简称集。 2 元素与集合的关系; (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于(belong to)A,记作 a∈A (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于(not belong to)A,记作 a ? A(或 a A) (举例) ? 3 常用

数集及其记法 非负整数集(或自然数集) ,记作 N 正整数集,记作 N*或 N+; 整数集,记作 Z 有理数集,记作 Q 4 任何一个集合是它本身的子集 5 真子集的概念:若集合 A ? B ,存在元素 x ? B且x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真 子集(proper subset) 。记作:A B(或 B A) 6 空集的概念 不含有任何元素的集合称为空集(empty set) ,记作: ? 规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 7 集合基本运算的一些结论: A∩B ? A,A∩B ? B,A∩A=A,A∩ ? = ? ,A∩B=B∩A A ? A∪B,B ? A∪B,A∪A=A,A∪ ? =A,A∪B=B∪A (CUA)∪A=U, UA)∩A= ? (C 若 A∩B=A,则 A ? B,反之也成立 若 A∪B=B,则 A ? B,反之也成立 若 x∈(A∩B) ,则 x∈A 且 x∈B 若 x∈(A∪B) ,则 x∈A,或 x∈B 2 A ? B ,且 B ? C ,则 A ? C : A? A ○

第二章函数
§1.2.2 函数的表示法
1.函数的概念: 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个 数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(function) . 记作: y=f(x),x∈A. 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域(domain) ;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域(range) . 2 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 3 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中 的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B

为从集合 A 到集合 B 的一个映射(mapping) . 记作“f:A ? B”说明: (1)这两个集合有先后顺序,A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截 不同的.其中 f 表示具体的对应法则,可以用汉字叙述 补充:复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称 为 f、g 的复合函数。

1.3.1 函数的单调性
1.增函数 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function) . 思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义. (学生活动) 注意: 1 ○ 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2 ○ 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) . 2.函数的单调性定义 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间: 3.判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 2 ○ 作差 f(x1)-f(x2); 3 ○ 变形(通常是因式分解和配方) ; 4 ○ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 5 ○ 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) .

§1.3.2 函数的奇偶性
1.偶函数(even function) (偶函数的图象关于 y 轴对称) ; 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函 数. 仿照偶函数的定义给出奇函数的定义 2.奇函数(odd function) (奇函数的图象关于原点对称) 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇 函数. 注意:3 作出相应结论: f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) =0, 若 ○ 则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,f(x) 是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条

件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非 奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判 定 .

§1.3.1 函数的最大(小)值
(一)函数最大(小)值定义 1.最大值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0) = M 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(Maximum Value) . 思考: 仿照函数最大值的定义, 给出函数 y=f(x)的最小值(Minimum Value) 的定义. (学 生活动) 注意: 1 ○ 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; 2 ○ 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x) ≤M(f(x)≥M) . 2.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法 1 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2 ○ 利用图象求函数的最大(小)值 3 ○ 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b);

§2.1.1 指数
(一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念 一般地, 如果 x ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 th root) 其中 n >1, n ∈ N . (n , 且
n
*

当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数.此时, a 的

n 次方根用符号 n a 表示.
式子 n a 叫做根式(radical) ,这里 n 叫做根指数(radical exponent) a 叫做被开方数 , (radicand) . 当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号- n a 表示.正的 n 次方根与负的 n 次方根可 以合并成± n a ( a >0) .

由此可得:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 . 思考: (课本 P58 探究问题) a = a 一定成立吗?. (学生活动) 结论:当 n 是奇数时, a
n
n n n n

?a

当 n 是偶数时, a ?| a |? ?
n

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)

.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定:
m

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
a
? m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

.有理指数幂的运算性质 (1) a · a ? a
r r r ?s

(a ? 0, r , s ? Q) ; (a ? 0, r , s ? Q) ;

(2) (a ) ? a
r s r

rs

(3) (ab) ? a a
r

s

(a ? 0, b ? 0, r ? Q) .

§2.1.2 指数函数及其性质
(一)指数函数的概念 一般地,函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数(exponential function) ,其中 x 是自
x

变量,函数的定义域为 R. 2 .你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗? 图象特征 函数性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1

0 ? a ?1
非奇非偶函数

向 x、y 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右看, 图象逐渐上升 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 自左向右看, 图象逐渐下降 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1

函数的定义域为 R 函数的值域为 R+

a0 ? 1
增函数 减函数

x ? 0, a x ? 1

x ? 0, a x ? 1

在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 图象上升趋势是越 来越陡

在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1 图象上升趋势是越 来越缓

x ? 0, a x ? 1
函数值开始增长较 慢,到了某一值后 增长速度极快;

x ? 0, a x ? 1
函数值开始减小极 快,到了某一值后 减小速度较慢;

课题:§2.2.1 对数
1.对数的概念 一般地,如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数(Logarithm) , . .. 记作:

x ? log a N

a — 底数, N — 真数, log a N — 对数式
1 说明:○ 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 对数的性质

(1)负数和零没有对数; (2)1 的对数是零: log a 1 ? 0 ; (3)底数的对数是 1: log a a ? 1 ; (4)对数恒等式: a (5) log a a ? n .
n

log a N

?N;

:§2.2.2 对数函数(一)
(一)对数函数的概念 1.定义:函数 y ? log a x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数(logarithmic function) 其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) . 注意:1 对数函数的定义与指数函数类似, ○ 都是形式定义, 注意辨别. y ? 2 log 2 x , 如:

y ? log 5

x 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. 5

2 ○ 对数 指数 对数 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 ○ log a ( M · N ) ? log a M + log a N ;

M ? log a M - log a N ; N n 3 ○ log a M ? n log a M (n ? R) .
2 ○ log a 注意:换底公式

log a b ?

log c b log c a

( a ? 0 ,且 a ? 1 ;c ? 0 ,且 c ? 1 ;b ? 0 ) .

利用换底公式推导下面的结论 (1) log a m b n ?

1 n (2) log a b ? . log a b ; log b a m

函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) .

2 ○ 类比指数函数图象和性质的研究,研究对数函数的性质并填写如下表

图象特征

函数性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1

0 ? a ?1
非奇非偶函数 函数的值域为 R

函数图象都在 y 轴右侧 图象关于原点和 y 轴不对称 向 y 轴正负方向无限延伸 函数图象都过定点(1,1) 自左向右看, 图象逐渐上升 第一象限的图象 纵坐标都大于 0 第二象限的图象 纵坐标都小于 0 自左向右看, 图象逐渐下降 第一象限的图象 纵坐标都大于 0 第二象限的图象 纵坐标都小于 0

函数的定义域为(0,+∞)

1? ? 1
增函数 减函数

x ? 1, log a x ? 0
0 ? x ? 1, log a x ? 0

0 ? x ? 1, log a x ? 0
x ? 1, log a x ? 0


相关文章:
高一数学笔记
高一数学笔记_数学_高中教育_教育专区。第一章集合 1 一般地,研究对象统称为元素(element) ,一些元素组成的总体叫集合(set) , 也简称集。 2 元素与集合的关系...
高中数学笔记总结【高一至高三,很全】
高中数学笔记总结【高一至高三,很全】。高中数学知识点高中数学第一章-集合 高中数学第一章 集合§01. 集合与简易逻辑 知识要点知识结构: 一、知识结构: 本章知...
高中数学知识笔记大全
高中数学知识笔记大全_高三理化生_理化生_高中教育_教育专区。高三数学知识点大全关注www.zuowen84.com 有更多更好的资料分享,助你提升学习成绩 高中数学常用公式及...
高中数学笔记
所以变量分离的 a>lnx+ .( a>( lnx+ )min g,(x)>0.所以 *+ * *+ g(x)的最小值为 g(1); 8 高中数学笔记(3) ---三角函数 基本概念: 1、 ...
高中数学笔记总结【高一至高三_很全】
高中数学笔记总结【高一至高三_很全】_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学知识点高中数学第一章-集合§01. 集合与简易逻辑 知识要点一、知识结构: 本章...
人教版数学必修一笔记
人教版数学必修一笔记_高一数学_数学_高中教育_教育专区。配套视频教程下载地址: http://pan.baidu.com/share/link?shareid=124037&uk=3204528639 第一章 集合与...
高一数学上备课笔记
高一数学上备课笔记_高一数学_数学_高中教育_教育专区。备课材料 第一章 集合 第一讲 集合及其子集【知识要点】 1.集合的概念【析】 (1) 集合是一个不定义的...
高中数学课堂笔记--必修1
高中数学课堂笔记--必修1_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学课堂笔记--必修1 第一章 集合与函数概念第一节 集合 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2...
高中数学笔记精华版--使用版
高中数学笔记精华版--使用版。本笔记主要是高中数学的一些易错点和特殊结论高中数学第一章-集合 高中数学第一章 集合考试内容: 考试内容: 集合、子集、补集、交集...
史上最全高中数学笔记
史上最全高中数学笔记_数学_高中教育_教育专区。最全高中数学笔记 第一章:易错点大全 第一节:解题前任务 1 做题先看是否有小括号。 2 解题凡有两组解,设法...
更多相关标签:
高一数学笔记加例题 | 高一数学 | 高中数学学霸笔记 | 高一数学家教 | 数学高一练习册 | 高中数学 下载 | 学霸高一数学笔记 | 高一数学必修1 |