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2012年全国高中数学联赛试题(2)


2012 年全国高中数学联赛试题(A 卷) 一、 填空题: (本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在题中
的横线上)
1.设 P 是函数 y ? x ?

2 ( x ? 0) 的图像上任意一点,过点 P 分别向直线 y ? x 和 y 轴作垂 x
.

线,垂足分别为 A、B,则 PA?

PB 的值是

b c 且满足 a cos B ? b cos A ? 2. 设Δ ABC 的内角 A、 C 的对边分别为 a 、 、 , B、
的值是 .

3 a A n t c, 则 5 a B n t
.

3.设 x 、 y 、 z ∈[0,1],则 M ?

x? y ?

y?z ?

z ? x 的最大值是

4.抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F,准线为 l ,A、B 是抛物线上的两个动点,且满 足∠AFB=

MN ? .设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N,则 的最大值是 AB 3

.

5.设同底的两个正三棱锥 P-ABC 和 Q-ABC 内接于同一个球,若正三棱锥 P-ABC 的侧面与底 面所成的角为 45?,则正三棱锥 Q-ABC 的侧面与底面所成角的正切值是 . 6.设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ,若对任意的 x ? [a, a ? 2] , 不等式 f ( x ? a) ? 2 f ( x) 恒成立,则实数 a 的取值范围是 7.满足 . .

1 ? 1 ? sin ? 的所有正整数 n 的和是 4 n 3

8.某情报站有 A、B、C、D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从 上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种. 设第一周使用 A 种密码, 那么第 7 周也使 用 A 种密码的概率是 .(用最简分数表示)

二、解答题: (本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、推理过程
或演算步骤)
9. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x ?

1 3 1 cos 2 x ? a ? ? , a ? R 且 a ? 0 . 2 a 2

(1) 若对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围; (2) 若 a ? 2 ,且存在 x ? R ,使得 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

1

10. (本小题满分 20 分) 已 知 数 列 { an } 的 各 项 均 为 非 零 实 数 , 且 对 于 任 意 的 正 整 数 n , 都 有
3 3 3 (a1 ? a2 ? ? ? an ) 3 ? a1 ? a2 ? ? ? an .

(1) 当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成的数列 a1 , a2 , a3 ; (2) 是否存在满足条件的无穷数列{ an },使得 a2013 ? ?2012?若存在,求出这样的无 穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由.

11. (本小题满分 20 分) 如图,在平面直角坐标系 XOY 中,菱形 ABCD 的边长为 4,且 OB ? OD ? 6 . (1) 求证: OA ? OC 为定值; (2) 当点 A 在半圆 M: ( x ? 2) ? y ? 4 (2 ? x ? 4) 上运动时,求点 C 的轨迹.
2 2

2

2012 年全国高中数学联合竞赛(二)
一、单项选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)
2 1、设集合 S ? x | x ? 5 x ? 6 ? 0 , T ? x | x ? 2 |? 3 ,则 S ? T =(

?

?

?

?



A、 {x | ?5 ? x ? ?1}

B、 {x | ?5 ? x ? 5} C、 {x | ?1 ? x ? 1}

D 、 {x |1 ? x ? 5} )

2、正方体 ABCD ? A B1C1D1 中 BC1 与截面 BB1D1D 所成的角是( 1 A、

? 6

B、

? 4

C、

? 3

D、

? 2

3、已知 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 , g ( x) ? kx ? 1 , 则“ | k |? 2 ”是“ f ( x) ? g ( x) 在 R 上恒成立”的( )

A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、设正三角形 ?1 的面积为 S1 ,作 ?1 的内切圆,再作内切圆的内接正三角形,设为 ? 2 , 面积为 S2 ,如此下去作一系列的正三角形 ?3 , ?4 ,? ,其面积相应为 S3 , S4 ,? , 设 S1 ? 1 , Tn ? S1 ? S2 ? ? ? Sn ,则 lim Tn =(
n ???



A 、

6 5

B 、

4 3

C、

3 2

D 、2

5、设抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,顶点为 O , M 是抛物线上的动点,则 大值为( A 、 )

| MO | 的最 | MF |

3 3

B 、

2 3 3

C、

4 3

D 、 3

6、 设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形, 在此容器内注入水, 并放入半径为 r 的 一个实心球,此时球与容器壁及水面恰好都相切,则取出球后水面高为( ) A、 r B、 2 r C、 3 12r D、 3 15r

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7、如图,正方形 ABCD 的边长为 3, E 为 DC 的 中 点 , AE 与 BD 相 交 于 F , 则 F D? D E 值 的 是
2

A F

D E

? ? ?? ? ? ??

. 8 、 (x ? x ? )

B

C

1 x

6

的 展 开 式 中 的 常 数 项



. (用具体数字作答)
3

9、设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 Sn ?

(an ? 1) 2 ,则 S20 的值为 4
. .



10、不超过 2012 的只有三个正因数的正整数个数为

11、已知锐角 A, B 满足 tan( A ? B) ? 2 tan A ,则 tan B 的最大值是 12、从 1,2,3,4,5 组成的数字不重复的五位数中,任取一个五位数 abcde , 满足条件“ a ? b ? c ? d ? e ”的概率是 . 三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13、设函数 f ( x) ? sin x ? 3cos x ? 1 , (I)求函数 f ( x ) 在 [0,

?
2

] 上的最大值与最小值; b cos c 的值. a

(II)若实数 a, b, c 使得 af ( x) ? bf ( x ? c) ? 1 对任意 x ? R 恒成立,求

14、已知 a, b, c ? R ? ,满足 abc(a ? b ? c) ? 1 , (I)求 S ? (a ? c)(b ? c) 的最小值; (II)当 S 取最小值时,求 c 的最大值.

B 15、 直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 1的左支交于 A 、 两点, 直线 l 经过点 (?2, 0) 和 AB
2 2

的中点,求直线 l 在 y 轴的截距 b 的取值范围.

16、设函数 f n ( x) ? xn (1 ? x)2 在 [ ,1] 上的最大值为 an ( n ? 1, 2,3,? ) . (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)求证:对任何正整数 n(n ? 2) ,都有 an ?

1 2

1 成立; (n ? 2)2
7 成立. 16

(III)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求证:对任意正整数 n ,都有 S n ?
4


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