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第19讲:高频考点分析之数列探讨


【备战 2013 高考数学专题讲座】 第 19 讲:高频考点分析之数列探讨
江苏泰州锦元数学工作室 编辑
1~2 讲,我们对客观性试题解法进行了探讨,3~8 讲,对数学思想方法进行了探讨,9~12 讲对数 学解题方法进行了探讨,从第 13 讲开始我们对高频考点进行探讨。 数列是高考数学的必考内容,全考查的比重不小,等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前 n

项和公式的应用是必考内容,数列与函数和导数、三角函数、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热 点和难点。 从解题思想方法的规律着眼,高考数学中主要有:① 方程思想的应用,利用公式列方程(组);② 函 数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题;③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用等。 从题型的角度,高考中数列问题主要有以下几种: 1. 等差、等比数列的相关知识; 2. 裂项求和法的运用: 3. 逐商求积法的运用: 4. 错位相减法的运用: 5. 周期(循环)数列(扩展)的运用: 6. 数列特征方程的应用; 7. 数列与函数(方程)的综合应用; 8. 数列与三角函数的综合应用。 结合 2012 年全国各地高考的实例,我们从以上八方面探讨数列问题的求解。

一、等差、等比数列的相关知识:包括等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前 n 项和公
式或可直接转化为等差、等比数列的数列。

典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
, 例 1. (2012 年全国大纲卷文 5 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 Sn ? 2an?1 则 Sn =【
A. 2
n?1



B. ( )

3 2

n?1

C. ( )

2 3

n?1

D.

1 2 n?1

【答案】B。 【考点】数列的通项公式和求和公式的应用。

, 【解析】∵ a1 ? 1 Sn ? 2an?1 ,∴ S1 ? 2a2 ,即 2a2 ? 1 a2 ? 。 ,
又∵ Sn ? 2an?1 ,∴ Sn?1 ? 2an ? n ? 2? 。∴ Sn ? Sn?1 ? 2an?1 ? 2an ,即 an ? 2an?1 ? 2an 。 ∴

1 2

an ?1 3 3 ? 。∴当 n ? 2 时, ?an ? 是公比为 的等比数列。 an 2 2
n ?1 n ?1 n ?1

1 1?3? ? ? ? 2 2? 2? ∴ Sn =a1 ? 3 1? 2

?3? =1 ? 1 ? ? ? ?2?

? 3? =? ? ? 2?

。故选 B。

例 2. (2012 年全国课标卷理 5 分) 已知 ?an 为等比 数列,a4 ? a7 ? 2 ,a5a6 ? ?8 , a1 ? a ?【 则 1 0

?



( A) 7
【答案】 D 。 【考点】等比 数列。

( B) 5

(C ) ??

( D) ??

【解析】∵ ?an 为等比 数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? a4a7 ? ?8 ,∴ a4 ? 4, a7 ? ?2 或 a4 ? ?2, a7 ? 4 。 由 a4 ? 4, a7 ? ?2 得 a1 ? ?8, a10 ? 1,即 a1 ? a10 ? ?7 ; 由 a4 ? ?2, a7 ? 4 得 a1 ? 1, a10 ? ?8 ,即 a1 ? a10 ? ?7 。故选 D 。 例 3. (2012 年北京市文 5 分)已知 ? n ? 为等比数列,下面结论中正确的是【 a A. a1 ? a 3 ? 2a 2 【答案】B。 【考点】等比数列的基本概念,均值不等式。 【解析】本题易用排除法求解:设等比数列 ? n ? 的公比为 q ,则 a A,当 a1 < 0,q < 0 时, a1 < 0,a 2 > 0,a 3 < 0 ,此时 a1 ? a 3 < 2a 2 ,选项错误。 B. 根据均值不等式,有 a12 ? a 32 ? 2a1a 3 =2a 22 ,选项正确。 C. 当 q= ? 1 时,a1=a3,但 a1=a2


?



B. a12 ? a32 ? 2a 22

C.若 a1=a3,则 a1=a2

D.若 a3>a1,则 a4>a2

选项错误。

D. 当 q < 0 时, a1 > a 3 ? a1q < a 3q ? a 2 < a 4 ,选项错误。 故选 B。 则 a3 a11 =16, a5 ?【

例 4. (2012 年安徽省文 5 分) 公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数, 且



( A) 1
【答案】 【考点】等比数列。

( B) 2

(C ) ?

( D) ?

【解析】∵等比数列{ an } 的公比为 2,且

a3 a11 =16,∴

a7 4 2 ? 2 a7 ? 16 ,即 a7 ? 16 。 4 2

又∵等比数列{ an }各项都是正数,∴ a7 ? 4 。∴ 22 ? a5 ? 4 。∴ a5 ? 1 。故选 A 。 例 5. (2012 年福建省理 5 分) 等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为【 A.1 【答案】B。 【考点】等差数列的通项。
?a1+a1+4d=10, ? 【解析】设等差数列{an}的公差为 d ,根据已知条件得:? ? ?a1+3d=7, ?2a1+4d=10, ? 即? ? ?a1+3d=7,



B.2

C.3

D.4

解得

2d=4,所以 d=2。故选 B。 例 6. (2012 年辽宁省理 5 分)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=【 (A)58 【答案】B。 【考点】等差数列的通项公式、性质及其前 n 项和公式。 【解析】在等差数列中,∵ a1 ? a11 ? a4 ? a8 ? 16 ,∴ s11 ? (B)88 (C)143 (D)176 】

11? ( a1 ? a11 ) ? 88 。故选 B。 2


例 7. (2012 年辽宁省文 5 分)在等差数列{an}中,已知 a4 ? a8 =16 ,则 a2 ? a10 =【 (A) 12 【答案】B。 【考点】等差数列的通项公式。 (B) 16 (C) 20 (D)24

【解析】∵ a4 ? a8 ? (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 7d ) ? 2a1 ? 10d , a2 ? a10 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 9d ) ? 2a1 ? 10d , ∴ a2 ? a10 ? a4 ? a8 ? 16 。故选 B。 例 8. (2012 年重庆市理 5 分)在等差数列 {an } 中, a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 {an } 的前 5 项和 S5 =【 A.7 【答案】B。 【考点】等差数列的性质。 B.15 C.20 D.25 】

【分析】利用等差数列的性质,可得 a2 +a4 ? a1 +a5 ? 6 ,再利用等差数列的求和公式,即可得到结论: ∵等差数列 {an } 中, a2 ? 1, a4 ? 5 ,∴ a2 +a4 ? a1 +a5 ? 6 , ∴ S5 =

5 ? a1 +a5 ? 5 ? 6 = =15 。故选 B。 2 2


例 9. (2012 年全国课标卷文 5 分)等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q= 【答案】 ?2 。 【考点】等比数列。 【解析】∵等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn,∴ S2 =a1 ? a1q,S3 =a1 ? a1q ? a1q2 。 又∵S3+3S2=0,∴ a1 ? a1q ? a1q2 ? 3? a1 ? a1q ? =0 ,即 q2 ? 4q ? 4=0 ,解得 q= ? 2 。

例 10. (2012 年北京市理 5 分)已知 ?a n ? 为等差数列, Sn 为其前 n 项和。若 a1 = , S2 ? a 3 ,则 a 2 = ▲ ; Sn = ▲

1 2

【答案】1; n 2 ? n 。 【考点】等差数列 【解析】设等差数列的公差为 d ,根据等差数列通项公式和已知 a1 = , S2 ? a 3 得

1 4

1 4

1 2

1 ? ?a 2 =1 ?a 2 = 2 ? d ? ? ?? 1 。 ? ? 1 ? a =a ? d ?d= 2 ? 2 2 ?2 ? a ? a ? ? n ? 1? d 1 1 ? n= n 2 ? n 。 ∴ Sn = 1 1 2 4 4
例 11. (2012 年广东省理 5 分) .已知递增的等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,a3 ? a22 ? 4 , an ? 则 【答案】 2n - 1 。 【考点】等差数列。
2 【解析】设递增的等差数列 ?an ? 的公差为 d ( d > 0 ) ,由 a3 ? a22 ? 4 得 1+ 2d = (1+ d ) - 4 ,





解得 d =

2 ,舍去负值, d = 2 。

∴ an = 2n - 1 。 例 12. (2012 年广东省文 5 分)若等比数列 {an } 满足 a 2 a 4 ?

1 2 ,则 a1a3 a5 ? 2





【答案】

1 。 4
1 1 。∴ a1a32 a5 = 。 4 2

【考点】等比数列的性质。 【解析】∵ {an } 是等比数列,∴ a1a5 ? a2 a4 ? a3 ?
2

例 13. (2012 年江西省理 5 分) 设数列 {an },{bn } 都是等差数列, a1 ? b1 ? 7 ,a3 ? b3 ? 21 , a5 ? b5 ? 若 则 ▲ 。

【答案】35。 【考点】等差中项的性质,整体代换的数学思想。 【解析】∵数列 {an },{bn } 都是等差数列,∴数列 ?an ? bn ? 也是等差数列。 ∴由等差中项的性质,得 ? a5 ? b5 ? ? ? a1 ? b1 ? ? 2 ? a3 ? b3 ? ,即 ? a5 ? b5 ? ? 7 ? 2 ? 21 , 解得 a5 ? b5 ? 35 。 例 14. (2012 年江西省文 5 分)等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,公比不为 1。若 a1 ? 1 ,且对任意的 n ? N 都有 an+2+an+1 ? 2an ? 0 ,则 S5 = 【答案】11 【考点】数列递推式,数列的求和。 【解析】设等比数列 ?an ? 的公比为 q 。 ∵ an+2+an+1 ? 2an ? 0 ,∴ an q2 ? an q ? 2an ? 0 即 q2 ? q ? 2 ? 0 。 解得 q =-2,或 q =1(舍去) 。
5 1? ?1 ? ? ?2 ? ? ? ? ? 11 。 ∴ S5 = 1? 2





例 15. (2012 年浙江省理 4 分)设公比为 q(q ? 0) 的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .若 S2 ? 3a2 ? 2 ,

S4 ? 3a4 ? 2 ,则 q ?
【答案】
3 。 2





【考点】等比数列的性质,待定系数法。 【解析】用待定系数法将 S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 两个式子全部转化成用 a1 ,q 表示的式子:

? a1 ? a1q ? 3a1q ? 2 , ? 2 3 3 ? a1 ? a1q ? a1q ? a1q ? 3a1q ? 2

两式作差得: a1q 2 ? a1q3 ? 3a1q(q 2 ? 1) ,即: 2q 2 ? q ? 3 ? 0 ,解之得: q ?

3 或 q ? ?1 (舍去)。 2

2 例 16. (2012 年辽宁省理 5 分)已知等比数列{an}为递增数列,且 a5 ? a10 , 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,则数

列{an}的通项公式 an = 【答案】 2 。
n





【考点】等比数列的通项公式。 【解析】设等比数列{an}的公比为 q 。
2 ∵ a5 ? a10 ,∴ (a1q4 )2 ? a1q9 。∴ a1 ? q , an ? q n 。

又∵ 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,∴ 2an (1 ? q2 ) ? 5an q 。∴ 2(1 ? q ) ? 5q 。
2

解得 q ? 2 或 q ?

1 。 2 1 。 2

又∵等比数列{an}为递增数列,∴舍去 q ? ∴ an ? 2n 。

例 17. (2012 年辽宁省文 5 分)已知等比数列{an}为递增数列.若 a1 ? 0 ,且 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,则数列 {an}的公比 q = 【答案】2。 【考点】等比数列的通项公式。 【解析】∵ 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,∴ 2an (1 ? q2 ) ? 5an q ,即 2(1 ? q ) ? 5q ,解得 q ? 2 或 q ?
2



.

1 。 2

∵数列为递增数列,且 a1 ? 0 ,∴ q ? 1 。∴ q ? 2 。 例 18.(2012 年重庆市文 5 分)首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S4 ? 【答案】5。 【考点】等比数列的前 n 项和。 ▲

1 ? 24 ? 15 。 【分析】把已知的条件直接代入等比数列的前 n 项和公式,运算求得结果: S4 ? 1? 2
例 19. (2012 年山东省文 12 分)已知等差数列 {a n } 的前 5 项和为 105,且 a 20 =a 5 . (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式;

(Ⅱ)对任意 m ? N* ,将数列 {a n } 中不大于 7 2m 的项的个数记为 b m .求数列 {bm } 的前 m 项和 Sm .
?5a ? 10d ? 105 ?a ? 7 【答案】解:(Ⅰ)由已知得: ? 1 ,解得 ? 1 。 ?d ? 7 ?a1 ? 9d ? 2(a1 ? 4d)

∴通项公式为 a n ? 7 ? (n ? 1) ? 7 ? 7n 。 (II)由 a n ? 7n ? 72m ,得 n ? 72m ?1 ,即 bm =72m?1 ∵

b m+1 7 2m ?1 = = 49 ,∴ {bm } 是公比为 49 的等 比数列。 b m 7 2m ?1
7(1 ? 49m ) 7 ? (49m ? 1) 。 1 ? 49 48

∴ Sm ?

【考点】等差数列和等 比数列的性质。 【解析】 (Ⅰ)根据已知条件不求出 a 1 和 d 即可求出数列 ?a n ? 的通项公式。 (Ⅱ)由(Ⅰ)和题设得不等式 a n ? 7n ? 72m ,解出后根据条件得到 {bm } 是公比为 49 的等 比数列, 再求和 Sm 。 例 20. (2012 年湖北省理 12 分)已知等差数列 ?an ? 前三项的和为-3,前三项的积为 8. (Ⅰ)求等差数列 ?an ? 的通项公式; (II)若 a2 ,a3 ,a1 成等比数列,求数列 an 的前 n 项的和。 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 【答案】解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,
?3a1 ? 3d ? ?3, ? a ? 2, ?a ? ?4, 由题意得 ? 解得 ? 1 或? 1 ? d ? ?3, ?d ? 3. ?a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8.

? ?

∴由等差数列通项公式可得 an ? 2 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 5 ,或 an ? ?4 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 7 。 ∴等差数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 。 (Ⅱ)当 an ? ?3n ? 5 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条件。
??3n ? 7, n ? 1, 2, ∴ | an |?| 3n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 3.

记数列 {| an |} 的前 n 项和为 S n , 当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时, Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ??? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ? ? ? (3n ? 7)

?5?

(n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 。 2 2 2

当 n ? 2 时,满足此式。

n ? 1, ?4, ? 综上, Sn ? ? 3 2 11 ? 2 n ? 2 n ? 10, n ? 1. ?
【考点】等差等比数列的通项公式,和前 n 项和公式及基本运算。 【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,根据等差数列 ?an ? 前三项的和为-3,前三项的积为 8 列方程 组求解即可。 (II)对(Ⅰ)的结果验证符合 a2 ,a3 ,a1 成等比数列的数列,应用等差数列前 n 项和公式分 n ? 1 ,

n ? 2 , n ? 3 分别求解即可。
例 21. (2012 年湖南省理 12 分)已知数列{an}的各项均为正数,记 A(n)=a1+a2+……+an,B(n) =a2+a3+……+an+1,C(n)=a3+a4+……+an+2,n=1,2,…… [来^&源:中教网@~%] (Ⅰ)若 a1=1,a2=5,且对任意 n∈N﹡,三个数 A(n) ,B(n) ,C(n)组成等差数列,求数列{ an }的 通项公式. (Ⅱ)证明:数列{ an }是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N ,三个数 A(n) ,B(n) ,C (n)组成公比为 q 的等比数列. 【答案】解: (Ⅰ)∵对任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 是等差数列, ∴ B(n) ? A(n) ? C (n) ? B(n) ,即 an?1 ? a1 ? an?2 ? a2 , an?2 ? an?1 ? a2 ? a1 。 ∵a1=1,a2=5,∴ an?2 ? an?1 ? a2 ? a1 ? 5 ?1 ? 4 。 ∴数列 ?an ? 是首项为1,公差为4的等差数列,即 an ? 1 ? (n ?1) ? 4 ? 4n ? 3 。 (Ⅱ) (1)必要性:若数列 ?an ? 是公比为q的等比数列,则对任意 n ? N ,有 an?1 ? an q 。
? ? ?

由 an ? 0 知, A(n), B(n), C (n) 均大于0,于是

B(n) a2 ? a3 ? ... ? an?1 q(a1 ? a2 ? ... ? an ) ? ? ? q, A(n) a1 ? a2 ? ... ? an a1 ? a2 ? ... ? an C (n) a3 ? a4 ? ... ? an?2 q(a2 ? a3 ? ... ? an?1) ? ? ?q, B(n) a2 ? a3 ? ... ? an?1 a2 ? a3 ? ... ? an?1



B (n) C (n) = =q 。 A( n ) B ( n )

∴三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列。 (2)充分性:若对于任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列, 则 B(n) ? qA(n), C (n) ? qB(n) 。 ∴ C(n) ? B(n) ? q ? B(n) ? A(n)?, 得 an?2 ? a2 ? q(an?1 ? a1 ), 即 an?2 ? qan?1 ? a2 ? a1 。 由 n ? 1 有 B(1) ? qA(1), 即 a2 ? qa1 ,从而 an?2 ? qan?1 ? 0 。 ∵ an ? 0 ,∴
?

an ? 2 a2 ? ?q。 an ?1 a1

∴数列 ?an ? 是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列。 综上所述,数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n∈N﹡, 三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列。 【考点】等差数列、等比数列的定义、性质,充要条件的证明。 【解析】 (Ⅰ)由等差数列定义可得。 (Ⅱ)从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易得证。 例 22. (2012 年湖南省文 13 分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2000 万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司 要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底企业 上缴资金后的剩余资金为 an 万元. (Ⅰ)用 d 表示 a1,a2,并写出 an ?1 与 an 的关系式; (Ⅱ)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示). 【答案】解: (Ⅰ)由题意得 a1 ? 2000(1 ? 50%) ? d ? 3000 ? d , a2 ? a1 (1 ? 50%) ? d ?

3 a1 ? d , 2

an ?1 ? an (1 ? 50%) ? d ?

3 an ? d 。 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ?

3 3 3 3 3 an ?1 ? d ? ( ) 2 an ? 2 ? d ? d ? ( an ? 2 ? d ) ? d ?? 2 2 2 2 2

3 3 ? 3 3 ? ? ( )n?1 a1 ? d ?1 ? ? ( )2 ? ? ? ( ) n?2 ? 。 2 2 ? 2 2 ?
整理得

3 3 ? 3 ? an ? ( )n?1 (3000 ? d ) ? 2d ?( )n?1 ? 1? ? ( ) n ?1 (3000 ? 3d ) ? 2d 。 2 2 ? 2 ?

由题意, an ? 4000 ,∴ ( )

3 2

n ?1

(3000 ? 3d ) ? 2d ? 4000 ,

? 3 n ? ?( 2 ) ? 2? ?1000 1000(3n ? 2n?1 ) ? 解得 d ? ? 。 ? 3 n 3n ? 2n ( ) ?1 2
∴该企业每年上缴资金 d 的值为缴 金为 4000 元。 【考点】递推数列问题在实际问题中的应用。 【解析】 (Ⅰ)建立数学模型,得出 an ?1 与 an 的关系式 an ?1 ? (Ⅱ)把(Ⅰ)中的 an ?1 ?

1000(3n ? 2n ?1 ) 时,经过 m(m ? 3) 年企业的剩余资 3n ? 2n

3 an ? d 。 2

3 an ? d 迭代,即可以解决。 2

例 23. (2012 年重庆市文 13 分)已知 {an } 为 等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12, (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式(6 分) ; (Ⅱ)记 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ?2 成 等比数列,求正整数 k 的值(7 分) 。 【答案】解: (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d , 由题意知 ?

? 2a1 ? 2d ? 8 ,解得 a1 ? 2, d ? 2 。 ?2a1 ? 4d ? 12

∴ an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n 。 ( Ⅱ)由(Ⅰ)可得 S n ?

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) , 2 2
2 k
2

∵ a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,∴ a

? a1Sk ?2 ,
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2 即 (2k ) ? 2(k ? 2)(k ? 3) ,即 k ? 5k ? 6 ? 0 。

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去)。 ∴k ? 6。 【考点】等比数列的性质,等差数列的通项和前 n 项和公式。 【分析】 (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差等于 d ,则由 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12, 可得关于 a1 和 d 的二元一次 方程组,解出即可求得数列 {an } 的通项公式。 ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 可 得 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn ? n(1 ? n) , 再 由 a1 , ak , Sk ?2 成 等 比 数 列 , 得

a2k ? a1Sk ?2 a 即可求得正整数 k 的值。
例 24. (2012 年陕西省文 12 分)已知等比数列 ?an ? 的公比为 q ? ? (I)若 a3 ?

1 . 2

1 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和; 4

(Ⅱ)证明:对任意 k ? N ? , ak , ak +2 , ak +1 成等差数列 【答案】解: (1)由通项公式可得 a3 ? a1 (? ) ?
2

1 2

1 ,得 a1 ? 1 。 4

1 ? ? 1? ?1 ? (? ) n ? 2 ? (? 1 )n?1 2 ? ? 2 ∴由等比数列求和公式得数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 。 ? 1 3 1 ? (? ) 2
(Ⅱ)证明:∵ k ? N ? , ∴ 2ak ?2 ? (ak ? ak ?1 ) ? 2a1qk ?1 ? (a1qk ?1 ? a1qk )

1 1 ? a1q k ?1 (2q 2 ? q ? 1) ? a1q k ?1 (2(? ) 2 ? ( ? ) ? 1) ? 0 , 2 2
即 2ak ?2 =ak ? ak ?1 。 ∴对任意 k ? N ? , ak , ak +2 , ak +1 成等差数列。 【考点】等比数列的概念、通项公式、求和公式及其性质,等差数列的确定。 【解析】 (I)由 a3 ?

1 1 ,以及 q ? ? 可得 a1 ? 1 ,代入等比数列的前 n 项和公式,运算求得结果。 4 2

(Ⅱ)对任意 k ? N ? ,化简 2ak ?2 ? (ak ? ak ?1 ) 可得 2ak ?2 ? (ak ? ak ?1 ) =0,故 ak , ak +2 , ak+1 成等差 数列。 例 25.(2012 年陕西省理 12 分)设 ?an ? 的公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,且 a5 , a3 , a4 成等差

数列. (1)求数列 ?an ? 的公比; (2)证明:对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列.

【答案】解: (1)设数列 ?an ? 的公比为 q ( q ? 0, q ? 1 ) , 由 a5 , a3 , a4 成等差数列,得 2a3 ? a5 ? a4 ,即 2a1q2 ? a1q4 ? a1q3 。 由 a1 ? 0, q ? 0 得 q2 ? q ? 2 ? 0 ,解得 q1 ? ?2, ∵ ?an ? 的公比不为 1,∴ q2 ? 1 舍去。 ∴ q ? ?2 。

q2 ? 1。

2a1 (1 ? q k ) (2)证明:∵对任意 k ? N ? , 2Sk ? , 1? q Sk ? 2 ? Sk ?1 ? a1 (1 ? q k ? 2 ) a1 (1 ? q k ?1 ) a1 (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) , ? ? 1? q 1? q 1? q 2a1 (1 ? q k ) a1 (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) ? 1? q 1? q

∴ 2Sk ? ( Sk ? 2 ? Sk ?1 ) ?

?

a1 a qk [2(1 ? q k ) ? (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) ? 1 (q 2 ? q ? 2) ? 0 1? q 1? q

∴对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列。

【考点】等差等比数列的概念、通项公式、求和公式及其性质。 【解析】 (1)设数列 ?an ? 的公比为 q ( q ? 0, q ? 1 ) ,利用 a5 , a3 , a4 成等差数列结合通项公式,可得

2a1q2 ? a1q4 ? a1q3 ,由此即可求得数列 ?an ? 的公比。
(2)对任意 k ? N ? ,可证得 2Sk ? (Sk ?2 ? Sk ?1 ) ? 0 ,从而得证。 另解:对任意 k ? N ? ,

Sk ?2 ? Sk ?1 ? 2Sk ? (Sk ?2 ? Sk ) ? (Sk ?1 ? Sk ) ? ak ?1 ? ak ?2 ? ak ?1 ? 2ak ?1 ? ak ?1 ? (?2) ? 0
所以,对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列。

a 例 26. (2012 年江苏省 16 分) 已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: n ?1 ?
?? b ? b ? ? 1 ? n , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? an ?? an ? ?
2

a n ? bn a n ? bn
2 2

n , ? N *,

( 1)设 bn ?1

? ? ? 是等差数列; ? ?

(2)设 bn?1 ?

2?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

【答案】解: (1)∵ bn ?1 ? 1 ?

bn an ? bn ,∴ an?1 ? = an an 2 ? bn 2

bn?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2


2



bn ?1 an ?1

2 ? 2 ? ? bn ? ? bn ?1 ? ? bn ? ? ? bn ? ? ? bn ? ? 1 ? ? ? 。∴ ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ? N *? ? ? an?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? an ? ? an ? ? ?

2

2

2



?? b ? 2 ? ? ? ∴数列 ?? n ? ? 是以 1 为公差的等差数列。 ?? an ? ? ? ?
(2)∵ an > 0,bn > 0 ,∴ ∴ 1 < an?1 ?

? an ? bn ?
2

2

? an 2 ? bn 2 < ? an ? bn ? 。
2

an ? bn an 2 ? bn 2

(﹡) ? 2。

设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 an > 0 知 q > 0 ,下面用反证法证明 q =1 若 q > 1, 则 a1 =

a2 2 < a2 ? 2 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1qn > 2 ,与(﹡)矛盾。 q a1
a2 1 > a2 > 1 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1qn <1 ,与(﹡)矛盾。 q a1

若 0 < q < 1, 则 a1 =

∴综上所述, q =1 。∴ an ? a1 ? n ? N *? ,∴ 1 < a1 ? 2 。 又∵ bn?1 ? 2 ?

bn 2 2 的等比数列。 = ? bn ? n ? N *? ,∴ {bn } 是公比是 an a1 a1 2 > 1 ,于是 b1 < b2 < b3 。 a1
即 a1 ?

若 a1 ? 2 ,则

又由 a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

a1 ? bn a12 ? bn 2

,得 bn =

a1 ? a12 2 ? a12 a12 ? 1



∴ b1,b2,b3 中至少有两项相同,与 b1 < b2 < b3 矛盾。∴ a1 = 2 。

∴ bn =

2?

? 2? ? 2?
2

2?
2

? 2?

2

?1

= 2。

∴ a1 =b2 = 2 。 【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法。 【解析】 (1)根据题设 a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

和 bn ?1

b ?b ? b ? 1 ? n ,求出 n ?1 ? 1 ? ? n ? ,从而证明 an ?1 an ? an ?

2

? bn ?1 ? ? bn ? ? ? ? ? ? ? 1 而得证。 ? an ?1 ? ? an ?
(2)根据基本不等式得到 1 < an?1 ?

2

2

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2 ,用反证法证明等比数列 {an } 的公比 q =1 。

从而得到 an ? a1 ? n ? N *? 的结论, 再由 bn?1 ? 2 ? 证法求出 a1 =b2 = 2 。

bn 2 2 的等比数列。 最后用反 = ? bn 知 {bn } 是公比是 an a1 a1

例 27.(2012 年上海市理 4 分)有一列正方体,棱长组成以 1 为首项, 为 V1 ,V2 ,?,Vn ,? ,则 lim(V1 ? V2 ? ? ? Vn ) ?
n ??

1 为公比的等比数列,体积分别记 2



.

【答案】

8 。【版权归锦元数学工作室,不得转载】 7

【考点】无穷递缩等比数列的极限,等比数列的通项公式。 【解析】由正方体的棱长组成以 1 为首项, 项,

1 为公比的等比数列,可知它们的体积则组成了一个以 1 为首 2
1

1 8 V 为公比的等比数列,因此, lim (V1 ? V2 ? ? ? Vn ) ? 1 ? 。 n?? 7 8 1?
8

二、 裂项求和法的运用: 裂项求和法是把一个数列分成几个可直接求和的数列 (等差、 等比数列) ,
适用于 ?

?

c ? ? 其中{ an }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部分无理数列、含阶乘的数列等。 an an?1 ? ?

典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】

? 1 ? 例 1. (2012 年全国大纲卷理 5 分)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,a5 =5,S5 =15 ,则数列 ? ? ? an an ?1 ?
的前 100 项和为【 A. 】 B.

100 101

99 101

C.

99 100

D.

101 100

【答案】A。 【考点】等差数列的通项公式和前 n 项和公式的运用,裂项求和的综合运用。 【解析】通过已知 a5 =5,S5 =15 ,列式求解,得到公差与首项,从而得 ?an ? 的通项公式,进一步裂项求和: 设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则由 a5 =5,S5 =15 可得

?a1 ? 4d =5 ?a =1 ? ? ? 1 ? an =n 。 ? 5? 4 ?5a1 ? 2 d =15 ?d =1 ?


1 1 1 1 = = ? 。 an an ?1 n ? n ? 1? n n ? 1

1 ? 1 100 ? 1? ?1 1? ? 1 ??? ? = ∴ S100 = ?1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 。故选 A。 ? =1 ? 101 101 ? 2? ? 2 3? ? 100 101 ?
例 2. (2012 年山东省理 12 分)在等差数列 ?a n ? 中, a 3 ? a 4 ? a 5 ? 84,a 9 ? 73 。 (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式;

( ) (Ⅱ)对任意 m∈N﹡,将数列 ?a n ? 中落入区间 9m,92m 内的项的个数记为 b m ,求数列 ?bm ? 的前 m 项
和 Sm 。 【答案】解: (Ⅰ)由 a 3 ? a 4 ? a 5 ? 84 可得 3a 4 ? 84,a 4 =28 。 而 a 9 ? 73 ,则 5d ? a 9 ? a 4 ? 45, d ? 9 。 a1 ? a 4 ? 3d ? 28 ? 27 ? 1 。 ∴ a n ? 1 ? (n ? 1) ? 9 ? 9n ? 8 ,即 a n ? 9n ? 8 。 (Ⅱ)∵对任意 m∈N﹡, 9m ? 9n ? 8 ? 9 2m , ∴ 9m ? 8 ? 9n ? 92m ? 8 ,即 9m?1 ?

8 8 ? n ? 92m?1 ? , 9 9

而 n ? N * ,由题意可知 bm ? 92m?1 ? 9m?1 。

∴ Sm ? b1 ? b2 ? ? ? bm ? 91 ? 93 ? ? ? 92m?1 ? (90 ? 91 ? ? ? 9m?1 )

?
即 Sm ?

9 ? 92m ?1 1 ? 9m 92m ?1 ? 9 9m ? 1 92m ?1 ? 10 ? 9m ? 1 92m ?1 ? 1 9m ? ? ? ? ? ? , 1? 9 80 8 80 80 8 1 ? 92

92m ?1 ? 1 9m ? 。 80 8

【考点】等差数列的性质,数列的求法。 【解析】 (Ⅰ)根据已知条件不求出 a 1 和 d 即可求出数列 ?a n ? 的通项公式。 (Ⅱ)由(Ⅰ)和将数列 ?a n ? 中落入区间 9m,92m 内得不等式 9m ? 9n ? 8 ? 92m ,解出后根据条 ( ) 件得到 bm ? 92m?1 ? 9m?1 ,再求和 Sm 。

三、逐商求积法的运用:逐商求积法是利用恒等式 an =a1 ?

a a2 a3 ? ??? n ? an ? 0,n ? 2 ? 求通项的 a1 a2 an ?1

方法,适用于

an =f ? n ? 的递推 数列通项公式,其中 f ? n ? 可求前 n 积。 an ?1

典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1. (2012 年全国大纲卷文 12 分)已知数列{ an }中, a1 =1,前 n 项和 S n ? (1)求 a2 , a3 (2)求{ an }的通项公式。 【答案】解: (1)由 a1 =1, S n ?

n?2 an . 3

n?2 2?2 an 得 1 ? a2 ? a2 ,解得 a2 ? 3 。 3 3 3? 2 a3 ,解得 a2 ? 6 。 同理 1 ? 3 ? a3 ? 3 n?2 n ?1 ? 2 n ?1 an ,∴ Sn ?1 ? an ?1 = an ?1 ? n ? 2 ? 。 (2)∵ S n ? 3 3 3 n?2 n ?1 n?2 n ?1 an ? an ?1 ,即 an = an ? an ?1 。 ∴ S n ? S n ?1 = 3 3 3 3


an n ? 1 = 。 an?1 n ? 1 a a n ? n ? 1? a2 a3 a4 3 4 5 6 n ?1 n n ? 1 ,即 n = 。 ? ? ?????? n = ? ? ? ?????? ? ? a1 a2 a3 an?1 1 2 3 4 n ? 3 n ? 2 n ?1 a1 2
n ? n ? 1? 。 2



由 a1 =1,得 an =

∴{ an }的通项公式为 an = 【考点】数列。 【解析】 (1)由已知条件,可直接求出。 (2)由 S n ?

n ? n ? 1? 。 2

n?2 n ?1 a n ?1 an 求出 Sn ?1 ? an ?1 ? n ? 2 ? ,两式相减,求出 n = 。从而各项相乘 3 3 an?1 n ? 1

即可求得{ an }的通项公式。

四、 错位相减法的运用: 错位相减法是一种常用的数列求和方法, 形如 ?an bn ?的数列, 其中{ an }
为等差数列, ?bn ? 为等比数列;分别列出 Sn ,再把所有式子同时乘以等比数列的公比 q ,即 qS n ;然后错 一位,两式相减即可。适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。

典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1. (2012 年四川省文 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,常数 ? ? 0 ,且 ?a1an ? S1 ? Sn 对一切 正整数 n 都成立。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg

1 } 的前 n 项和最大? an

【答案】解: (Ⅰ)取 n=1,得 ?a12 ? 2S1 =2a1 ,∴ a1 (? a1 ? 2) ? 0 。 若 a1 =0,则 S1 =0, 当 n ? 2 时, an =Sn ? Sn?1 ? 0 。 若 a1 ? 0 ,则 a1 ?

2

?





当 n ? 2 时, 2an ?

2

?

? Sn , 2an?1 ?
2n

2

?

? Sn?1 ,

两个相减得: an ? 2an ?1 ,∴ an ?

?

。∴数列 {an } 公比是 2 的等比数列。

综上所述,若 a1 =0, 则 an ? 0 ;若 a1 ? 0 ,则 an ? (Ⅱ)当 a1 ? 0 且 ? ? 100 时,令 bn ? lg

2n

?



1 ,则 bn ? 2 ? n lg 2 。 an

∴ {bn } 是单调递减的等差数列(公差为-lg2) 则 b1>b2>b3>…>b6= lg

100 100 ? lg ? lg1 ? 0 ; 6 64 2

当 n≥7 时,bn≤b7= lg

100 100 ? lg ? lg1 ? 0 。 7 128 2

∴数列{lg

1 1 }的前 6 项的和最大,即当 n =6 时,数列 {lg } 的前 n 项和最大。 an an

【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识,分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。 【解析】 (I)由题意,n=1 时,由已知可知 a1 (? a1 ? 2) ? 0 ,分类讨论:由 a1 =0 及 a1 ? 0 ,结合数列的和与 项的递推公式可求。 (II)由 a1 ? 0 且 ? ? 100 时,令 bn ? lg

1 ,则 bn ? 2 ? nlg2 ,结合数列的单调性可求和的最大项 。 an

例 2. (2012 年天津市理 13 分)已知{ an }是等差数列,其前 n 项和为 Sn ,{ bn }是等比数列,且 a1 = b1 =2 ,

a4 +b4 =27 , S4 ? b4 =10 .
(Ⅰ)求数列{ an }与{ bn }的通项公式; (Ⅱ)记 Tn =anb1 +an?1b2 +?+a1bn , n ? N ,证明 Tn +12= ? 2an +10bn (n ? N ) .
+

+

【答案】解: (1)设等差数列的公差为 d ,等比数列的公比为 q , 由 a1 = b1 =2 ,得 a4 ? 2 ? 3d,b4 ? 2q3,s4 ? 8 ? 6d 。 由条件 a4 +b4 =27 , S4 ? b4 =10 得方程组

?2 ? 3d ? 2q 3 ? 27 ?d ? 3 ? ,解得 ? 。 ? 3 ?8 ? 6d ? 2q ? 10 ?q ? 2 ?
∴ an ? 3n ?1 bn ? 2n,n ? N + 。 , (Ⅱ)证明:由(1)得, Tn ? 2an ? 22 an?1 ? 23 an?2 ??? 2n a1 ∴ 2Tn ? 2 an ? 2 an?1 ? 2 an?2 ??? 2
2 3 4 n +1

①;

a1

②;

由②-①得,

Tn ? ?2an +22 ? an ? an?1 ? ? 23 ? an?1 ? an?2 ? ? 24 ? an?2 ? an?3 ? ??+2n ? a2 ? a1 ? ? 2a1bn

? ?2an +22 ? 3 ? 23 ? 3 ? 24 ? 3 ?? +2 n ? 3 ? 2 ? 2bn = ? 2an +4bn +3 ? ? 2 2 ? 23 ? 2 4 ?? +2 n ? = ? 2an +4bn +3 ? 4 ? ?1 ? 2n ?1 ? 1? 2

= ? 2an +4bn ? 12+6 ? 2 n = ? 2an +4bn +6bn ? 12

= ? 2an +10bn ? 12
∴ Tn +12= ? 2an +10bn (n ? N + ) 。 【考点】等差数列与等比数列的综合;等差数列和等比数列的通项公式。 【分析】 (Ⅰ)直接设出首项和公差,根据条件求出首项和公差,即可求出通项。 (Ⅱ)写出 Tn 的表达式,借助于错位相减求和。 还可用数学归纳法证明其成立。 例 3. (2012 年天津市文 13 分)已知{ an }是等差数列,其前 n 项和为 Sn ,{ bn }是等比数列,且 a1 = b1 =2 ,

a4 +b4 =27 , S4 ? b4 =10 .
(Ⅰ)求数列{ an }与{ bn }的通项公式; (Ⅱ)记 Tn =a1b1 +a2b2 +?+an a1bn , n ? N ,证明 Tn ? 8=an?1bn +1 (n ? N ,n > 2) 。
+

+

【答案】解: (1)设等差数列的公差为 d ,等比数列的公比为 q , 由 a1 = b1 =2 ,得 a4 ? 2 ? 3d,b4 ? 2q3,s4 ? 8 ? 6d 。 由条件 a4 +b4 =27 , S4 ? b4 =10 得方程组

?2 ? 3d ? 2q 3 ? 27 ?d ? 3 ? ,解得 ? 。 ? 3 ?8 ? 6d ? 2q ? 10 ?q ? 2 ?
∴ an ? 3n ?1 bn ? 2n,n ? N + 。 , (Ⅱ)证明:由(1)得, Tn ? 2 ? 2 ? 5 ? 2 ? 8 ? 2 ? ?? ?3n ?1? 2
2 3 n

①;

∴ 2Tn ? 2 ? 2 ? 5 ? 2 ? 8 ? 2 ??? ?3n ?1? 2
2 3 4

n +1

②;

由②-①得,

Tn ? ?2 ? 2 ? ? 22 ? 3 ? 23 ? 3 ? 2 4 ? 3 ?? +2 n ? 3 ? ? ? 3n ? 1? 2 n +1

= ? 4+ ? 3n ? 1? 2n +1 ? 3 ? ? 22 ? 23 ? 24 ??+2n ? = ? 4+ ? 3n ? 1? 2
n +1

? 3?

4 ? ?1 ? 2n?1 ? 1? 2

= ? 4+ ? 3n ? 1? 2n +1 +12 ? 3 ? 2n +1

=8+ ? 3n ? 4 ? =an ?1bn +1 +8

∴ Tn ? 8=an?1bn +1 (n ? N +,n > 2) 。 【考点】等差数列与等比数列的综合;等差数列和等比数列的通项公式。 【分析】 (Ⅰ)直接设出首项和公差,根据条件求出首项和公差,即可求出通项。 (Ⅱ)写出 Tn 的表达式,借助于错位相减求和。 还可用数学归纳法证明其成立。 例 4. (2012 年广东省理 14 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1, n ? N ? , 且

a1, a2 ? 5, a3 成等差数列。
(1)求 a1 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式。 (3)证明:对一切正整数 n,有 【答案】解: (1)∵ 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1, n ? N ?, 且 a1, a2 ? 5, a3 成等差数列

1 1 1 3 ? ??? ? . a1 a2 an 2

ì 2 S1 = 2a1 = a2 - a3 ì a1 = 1 ? ? ? ? ? ? ∴ ? 2 S 2 = 2a1 + 2a2 = a3 - 7 ,解得 ? a2 = 5 。 í í ? ? ? 2( a + 5) = a + a ? a 19 ? ? 3 2 1 3 ? ? ? ?
即 a1 = 1 。 (2)∵ 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1………………………………………………① ∴ 2Sn?1 ? an ? 2n ? 1……………………………………………………② ①-②,得 an+ 1 = 3an + 2n

(n

2) 。
n

∵ a2 = 5 = 3a1 + 2 = 5 ,∴ an+ 1 = 3an + 2 ∴

(n
1) 。

N*) 。

an+ 1 3 an = ? 2n+ 1 2 2n

1 an+ 1 3 a , n+ 1 + 1 = ? ( n 2 2 2 2n

an a 3 3 + 1 }成首项为 1 + 1 = ,公比为 的等比数列, n 1 2 2 2 2 a a 3 n 3 n n n ∴ n + 1 = ( ) 。∴ n = ( ) - 1 。 an = 3 - 2 。 n n 2 2 2 2
∴数列{

(3)∵ an - 3n- 1 = 3n - 2n - 3n- 1 = 2?3n- 1 ∴ an ? 3n- 1

2n = 2(3n- 1 - 2n- 1 )

) 0 (当 n=1 时,取等号。

0, ∴

1 1 。 ? n- 1 (当且仅当 n=1 时,取等号) an 3

1 1 ? ( )n 1 1 1 1 1 1 3 ? 3 [1 ? ( 1 )n ] ? 3 。 ∴ ? ? ? ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? 1 a1 a2 an 3 3 3 2 3 2 1? 3
【考点】数列与不等式的综合,等差数列和等比数列的应用,数列递推式。 【解析】 (1)在 2Sn ? an?1 ?2 n?1 ? 中,令分别令 n=1,2,由 a1,a2 ?5 a3 成等差数列,得到关于 a1 , a2 , a3 , 1 的三元方程,解之即可可求得 a1 。 (2)由 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1, 2Sn?1 ? an ? 2n ? 1,两式相减即可得 知,数列{

an+ 1 3 a + 1= ? ( n n+ 1 2 2 2n

1) ,可

an a 3 3 + 1 }成首项为 1 + 1 = ,公比为 的等比数列,从而可求数列 ?an ? 的通项公式。 n 1 2 2 2 2

(3)构造 an - 3n- 1 ,证得其大于等于 0,从而 an ? 3n- 1

0 ,即

1 1 ? n- 1 (当且仅当 n=1 时, an 3

1 1 ? ( )n 1 1 1 1 1 1 3 ? 3 [1 ? ( 1 )n ] ? 3 。 取等号) 。因此 ? ? ? ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? 1 a1 a2 an 3 3 3 2 3 2 1? 3
例 5. (2012 年广东省文 14 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和 s n ,数列 ?sn ? 的前 n 项和为 ?Tn ? ,满足

Tn ? 2Sn ? n2 , n ? N * .
(1)求 a1 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式. 【答案】解: (1)当 n ? 1 时, T1 ? 2S1 ? 1。 ∵ T1 ? S1 ? a1 ,∴ a1 ? 2a1 ? 1,解得 a1 ? 1 。 (2)∵ Tn ? 2S n ? n
2

①,
2

当 n ? 2 时, Tn?1 ? 2S n?1 ? (n ? 1)

②,

∴① ? ②得: S n ? 2an ? 2n ? 1 ③ ,此式对 n ? 1 也成立。

∴当 n ? 2 时, S n?1 ? 2an?1 ? 2(n ? 1) ? 1 ④。 ∴③ ? ④得: an ? 2an?1 ? 2 ,即 an ? 2 ? 2(an?1 ? 2) 。 ∴ ?an ? 2? 是以 a1 ? 2 ? 3 为首项,2 为公比的等比数列。 ∴ an ? 2 ? 3 ? 2n?1 ,即 an ? 3 ? 2n?1 ? 2 , n ? N 。
*

【考点】数列递推式,等比数列的性质。 【解析】 (1)当 n ? 1 时, T1 ? 2S1 ? 1。由 T1 ? S1 ? a1 得 a1 ? 2a1 ? 1解得 a1 ? 1 。 (2) 两次递推后得到以 a1 ? 2 ? 3 为首项, 为公比的等比数列 ?an ? 2? , 2 由此能求出数列 ?an ? 的 通项公式。 例 6. (2012 年江西省理 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? ? 值为 8 。 (1)确定常数 k ,并求 an ; (2)求数列 {

1 2 n ? kn (其中 k ? N? ) Sn 的最大 ,且 2

9 ? 2an } 的前 n 项和 Tn 。 2n

1 1 1 【答案】解: (1)当 n= k ? N ? 时,Sn=- n2+kn 取最大值,即 8=Sk=- k2+k2= k2, 2 2 2 ∴k2=16,∴k=4。 9 ∴ an ? Sn ? Sn?1 = -n(n≥2)。 2 7 9 又∵a1=S1= ,∴an= -n。 2 2 9-2an n-1 n 2 3 n (2)∵设 bn= n = n-1,Tn=b1+b2+…+bn=1+ + 2+…+ n-2 + n-1, 2 2 2 2 2 2 n+2 1 1 n 1 n ∴Tn=2Tn-Tn=2+1+ +…+ n-2- n-1=4- n-2- n-1=4- n-1 。 2 2 2 2 2 2 【考点】数列的通项,递推、错位相减法求和,二次函数的性质。 【解析】 (1)由二次函数的性质可知,当 n= k ? N ? 时, S n ? ?

1 2 n ? kn 取得最大值,代入可求 k ,然 2

后利用 an ? Sn ? Sn?1 可求通项,要注意 an ? Sn ? Sn?1 不能用来求解首项 a1 ,首项 a1 一般通过 a1 ? S1 来求 解。 9-2an n (2)设 bn= n = n-1,可利用错位相减求和即可。 2 2

例 7. (2012 年江西省文 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? kcn ? k (其中 c , k 为常数) ,且

a2 =4,a6 =8a3
(1)求 an ; (2)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn 。 【答案】解: (1)∵ Sn ? kcn ? k ,∴当 n ? 1 时, an ? Sn ? Sn?1 ? k (cn ? cn?1 ) 。 则 a6 ? k (c6 ? c5 ) , a3 ? k (c3 ? c2 ) ,
2 1

a6 c6 ? c5 ? 3 2 ? c3 ? 8 。∴ c =2。 a3 c ? c

∵ a2 =4 ,即 k (c ? c ) ? 4 ,解得 k =2。∴ an ? 2n ( n > 1 ) 。 当 n =1 时, a1 ? S1 ? 2 。 综上所述 an ? 2n (n ? N * ) 。 (2)∵ nan ? n2n , ∴ Tn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ?? n2n ①,

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ?? (n ?1)2n ? n2n?1 ②。
①-②得, ?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? n2n?1 ,即 Tn ? 2 ? (n ?1)2n?1 。 【考点】数列的求和,等比数列的通项公式。 【解析】 (1)先根据前 n 项和求出数列的通项表达式;再结合 a2 =4,a6 =8a3 求出 c , k ,即可求出数列 的通项。 (2)直接利用错位相减法求和即可。 例 8. (2012 年浙江省文 14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= 2n ? n ,n∈N﹡,数列{bn}满足
2

an=4log2bn+3,n∈N﹡. (1)求 an,bn; (2)求数列{an·n}的前 n 项和 Tn. b 【答案】解: (1)由 Sn= 2n ? n ,得
2

当 n=1 时, a1 ? S1 ? 3 ;

2 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? n ? ? 2(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? 4n ? 1 ,n∈N﹡。 ? ?

由 an=4log2bn+3,得 bn ? 2n?1 ,n∈N﹡。 (2)由(1)知 anbn ? (4n ?1) ? 2n?1 ,n∈N﹡, ∴ Tn ? 3 ? 7 ? 2 ?11? 22 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2n?1 ,

2Tn ? 3? 2 ? 7 ? 22 ?11? 23 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2n 。
∴ 2Tn ? Tn ? ? 4n ?1? ? 2n ? [3 ? 4(2 ? 22 ? ... ? 2n?1 )] ? (4n ? 5)2n ? 5 。 ∴ Tn ? (4n ? 5)2n ? 5 ,n∈N﹡。 【考点】等比数列、等差数列的概念、通项公式以及求和公式,对数的定义。 【解析】 (1)由 Sn= 2n ? n ,作 an ? Sn ? Sn?1 即可求得 an;代入 an=4log2bn+3,化为指数形式即可求得
2

bn。 (2)由 an,bn 求出数列{an·n}的通项,得到 Tn ? 3 ? 7 ? 2 ?11? 2 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2 b
2 n?1

,从而作

2Tn ? Tn 即可求得 T。
例 9. (2012 年重庆市理 12 分)设数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn?1 ? a2 Sn ? a1 ,其中 a2 ? 0 . (I)求证: an 是首项为 1 的等比数列; 分) (5 (II)若 a2 ? ?1,求证: S n ?

n (a1 ? a2 ) ,并给出等号成立的充要条件.(7 分) 2

【答案】证明: (Ⅰ)∵ Sn?1 ? a2 Sn ? a1 ,∴ Sn ? a2 Sn?1 ? a1 (n ? 2, n ? N * ) 。 ∴ Sn?1 ? Sn ? a2 Sn ? a2 Sn?1 (n ? 2) 。∴ an?1 ? a2 an (n ? 2) 。 ∵ a2 ? 0 ,∴ an ? 0 。∴

an ?1 ? a2 。 an a2 ? a2 。 a1

∵ S2 ? a2 S1 ? a1 ,∴ a1 ? a2 ? a1a2 ? a1 。∴ a1a2 ? a2 。∴ a1 ? 1 。∴

∴ ?n ? N * ,

an?1 ? 2 。∴ an 是首项为 1,公比为 a2 的等比数列。 an

(II)当 n =1 或 n =2 时,易知 S n ?

n (a1 ? an ) 成立。 2

当 a2 ? 1 时, S n ? n ? 当 a2 ? 1 时, Sn ?

n (a1 ? an ) 成立。 2

n 1 ? a2 n , an ? a2 ?1 , 1 ? a2

∴ Sn ?

n 1 ? a2 n n n ? (1 ? a2 ?1 ) (a1 ? an ) 。∴ 1 ? a2 2 2

(n ? 3) 。

n n 当 ? 1 ? a2 ? 1时,上面不等式可化为 (n ? 2)a2 ? na2 ? na2 ?1 ? (n ? 2) n n 设 f (a2 ) ? (n ? 2)a2 ? na2 ? na2 ?1, n ①当 ?1 ? a2 ? 0 时, 1 ? a2 ?2 > 0 。 n n ∴ f (a2 ) ? (n ? 2)a2 ? na2 (1 ? a2 ?2 ) ? (n ? 2) | a2 |n ? n ? 2 。

(n ? 3) ,

∴当 ?1 ? a2 ? 0 时,所要证的不等式成立。
n n ②当 0 ? a2 ? 1 时, f (a2 ) ? n[(n ? 2)a2 ?1 ? (n ? 1)a2 ?2 ? 1] n n 令 h(a2 ) ? (n ? 2)a2 ?1 ? (n ? 1)a2 ?2 ? 1, n 则 h?(a2 ) ? (n ? 2)(n ? 1)(a2 ? 1)(a2 ?3 ) ? 0 。

∴ h( a2 ) 在(0,1)上递减。∴ h(a2 ) ? h(1) ? 0 。∴ f ?(a2 ) ? nh(a2 ) ? 0 。 ∴ f (a2 ) 在(0,1)上递增。∴ f (a2 ) ? f (1) ? n ? 2 。 ∴当 0 ? a2 ? 1 时,所要证的不等式成立。

1 n ) 1 a2 n 1 ③ 当 a2 ? 1 时, ? (0,1) ,由已证结论得: ? [1 ? ( )n?1 ] 。 1 2 a2 a2 1? a2 1? ( 1 n ) n 1 ? a2 n a2 n n 1 n n ?1 n ∴ a2 ? ? (1 ? a2 ?1 ) ? (a1 ? a2 ) 。 ? a2 ?1 ? [1 ? ( )n ?1 ] 。∴ 1 1 ? a2 2 2 2 a2 1? a2 1? (
∴当 0 ? a2 ? 1 时,所要证的不等式成立。 综上所述,当 a2 ? ?1 且 a2 ? 0 时, Sn ? 号成立。 【考点】数列与不等式的综合,数列与函数的综合,等比数列的性质,等比关系的确定。

n (a1 ? an ) 。当且仅当 n =1,2 或 a2 ? 1 时等 2

【分析】 (I)根据 Sn?1 ? a2 Sn ? a1 ,得 Sn ? a2 Sn?1 ? a1 (n ? 2, n ? N * ) ,两式相减,即可证得 an 是首项为 1,公比为 a2 的等比数列。 (II)当 n =1 或 n =2 时和当 a2 ? 1 时, S n ?

n (a1 ? an ) 成立。 2

当 a2 ? 1 时,分 ?1 ? a2 ? 0 , 0 ? a2 ? 1 , a2 ? 1 三种情况分别证明即可。 本题也可用数学归纳法证明。

五、周期(循环)数列(扩展)的运用: 对于数列{An},如果存在一个常数 T,对于任意
整数 n>N,使得对任意的正整数恒有 Ai=A(i+T)成立,则称数列{An}是从第 n 项起的周期为 T 的周 期数列。

典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1. (2012 年全国课标卷文 5 分)数列 ?a n ? 满足 a n ?1+(- n a n=2n- ,则 ?a n ? 的前 60 项和为【 1) 1 (A)3690 【答案】D。 【考点】分类归纳(数字的变化类) ,数列。 【解析】求出 ?a n ? 的通项:由 a n ?1+(- n a n=2n- 得, 1) 1 当 n=1 时, a 2 ? 1 ? a1 ;当 n=2 时, a 3 ? 3 ? a 2 =2 ? a1 ;当 n=3 时, a 4 ? 5 ? a 3 =7 ? a1 ; 当 n=4 时, a 5 ? 7 ? a 4 =a1 ;当 n=5 时, a 6 ? 9 ? a 5 =9 ? a1 ;当 n=6 时, a 7 ? 11 ? a 6 =2 ? a1 ; 当 n=7 时, a 7 ? 13 ? a 6 =15 ? a1 ;当 n=8 时, a8 ? 15 ? a 7 =a1 ;·· ·· ·· (B)3660 (C)1845 (D)1830 】

42 当 n=4m+1 时, 4m?2 ? 8m ? 1 ? a1 ; nm 当 =+ a

43 时, 4m?2 ? 2 ? a1 ; nm 当 =+ a

时, 4m?4 ? 8m ? 7 ? a1 ; a

?????? ) 当 n=4m+4 时, a 4m?5 ? a1 ( m=0,1, 2, 。
∵ a 4m ? a 4m?5 ? a1 , ∴ {a n } 的 四 项 之 和 为 a 4m?1 ? a 4m?2 ? a 4m?3 ? a 4m?4 =a1 ? ?8m ?1 ? a1 ? ? ? 2 ? a1 ? ? ?8m ? 7 ? a1 ? =16m ?10

?????? ) ( m=0,1, 2, 。 ?????? ) 设 bm ? a 4m?1 ? a 4m?2 ? a 4m?3 ? a 4m?4 =16m ? 10 ( m=0,1, 2, 。
则 {a n } 的前 60 项和等于 {b m } 的前 15 项和,而 {b m } 是首项为 10,公差为 16 的等差数列,

∴ {a n } 的前 60 项和= {b m } 的前 15 项和=
?

10 ? ?16 ?14 ? 10 ? ?15 ? 1830 。故选 D。 2

例 2. (2012 年湖南省文 5 分)对于 n ? N ,将 n 表示为 n ? ak ? 2k ? ak ?1 ? 2k ?1 ? ?? a1 ? 21 ? a0 ? 20 , 当 i ? k 时 ai ? 1 ,当 0 ? i ? k ? 1 时 ai 为 0 或 1,定义 bn 如下:在 n 的上述表示中,当 a0 , a1 ,a2,…,ak 中等于 1 的个数为奇数时,bn=1;否则 bn=0. (1)b2+b4+b6+b8= ▲ .; ▲ ..
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(2)记 cm 为数列{bn}中第 m 个为 0 的项与第 m+1 个为 0 的项之间的项数,则 cm 的最大值是 【答案】 (1)3; (2)2。 【考点】数列问题。 【解析】 (1)观察知 1 ? a0 ? 20 , a0 ? 1, b1 ? 1 ; 2 ? 1? 21 ? 0 ? 20 , a1 ? 1, a0 ? 0, b2 ? 1 ; 依次类推 3 ? 1? 21 ? 1? 20 , b3 ? 0 ; 4 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ? 0 ? 20 , b4 ? 1;

5 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ?1? 20 , b5 ? 0 ; 6 ? 1? 22 ? 1? 21 ? 0 ? 20 , b6 ? 0 ; b7 ? 1, b8 ? 1 ;
∴b2+b4+b6+b8=3。 (2)由(1)知 cm 的最大值为2。 例 3.(2012 年上海市文 18 分) 对于项数为 m 的有穷数列 ?an ? , bk ? max ?a1 , a2 ,..., ak ? k ? 1, 2,..., m ) 记 ( , 即 bk 为 a1 , a2 ,..., ak 中的最大值,并称数列 ?bn ? 是 ?an ? 的控制数列,如 1,3,2,5,5 的控制数列是 1,3, 3,5,5 (1)若各项均为正整数的数列 ?an ? 的控制数列为 2,3,4,5,5,写出所有的 ?an ? (4 分)

m ,求证: bk ? ak (2)设 ?bn ? 是 ?an ? 的控制数列,满足 ak ? bm? k?1 ? C ( C 为常数, k ? 1, 2, ..., )
( k ? 1, 2,..., m ) 分) (6

?1 ? ( 3 ) 设 m ? 100 , 常 数 a ? ? ,1? , 若 an ? an2 ? (?1) ?2 ?

n? n +1? 2

n , ?bn ? 是 ?an ? 的 控 制 数 列 , 求

(b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ... ? (b100 ? a100 ) (8 分)
【答案】解: (1)数列 {an } 为:2, 3, 4, 5, 1;2, 3, 4, 5, 2;2, 3, 4, 5, 3;2, 3, 4, 5, 4;2, 3, 4, 5, 5。 (2)证明:∵ bk ? max{ 1, a2 , ?, ak } , bk ?1 ? max{ 1, a2 , ?, ak , ak ?1} ,∴ bk ?1 ? bk 。 a a

∵ ak ? bm? k ?1 ? C , ak ?1 ? bm? k ? C ,∴ ak ?1 ? ak ? bm? k ?1 ? bm? k ? 0 ,即 ak ?1 ? ak 。 ∴ bk ? ak 。 (3)对 k ? 1, 2, ?, 25 , a4k ?3 ? a(4k ? 3)2 ? (4k ? 3) ; a4k ? 2 ? a(4k ? 2)2 ? (4k ? 2) ;

a4k ?1 ? a(4k ? 1)2 ? (4k ? 1) ; a4k ? a(4k )2 ? (4k ) 。
比较大小,可得 a4 k ? 2 ? a4 k ?3 。 ∵

1 ? a ?1 , 2

∴ a4k ?1 ? a4k ? 2 ? (a ? 1)(8k ? 3) ? 0 ,即 a4k ? 2 ? a4 k ?1 ;

a4k ? a4k ? 2 ? 2(2a ? 1)(4k ? 1) ? 0 ,即 a4k ? a4k ? 2 。
又∵ a4k ?1 ? a4k ,∴ b4k ?3 ? a4k ?3 , b4k ? 2 ? a4k ? 2 , b4k ?1 ? a4k ? 2 , b4 k ? a4 k 。 ∴ (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ? ? (b100 ? a100 ) = (b3 ? a3 ) ? (b7 ? a7 ) ? (b10 ? a10 ) ? ? ? (b4k ?1 ? a4k ?1 ) ? ? ? (b99 ? a99 ) = (a2 ? a3 ) ? (a6 ? a7 ) ? (a9 ? a10 ) ? ? ? (a4k ? 2 ? a4k ?1 ) ? ? ? (a98 ? a99 )

= 【考点】数列的应用。

? (a
k ?1

25

4k ? 2

( ? a4 k ?1 ) = (1 ? a)? (8k ? 3) = 25251 ? a) 。
k ?1

25

【解析】 (1)根据题意,可得数列 ?an ? 。 (2) 依题意可得 bk ?1 ? bk , ak ? bm? k ?1 ? C , k ?1 ? bm? k ? C , 又 从而可得 ak ?1 ? ak ? bm?k ?1 ? bm?k ? 0 , a 整理即证得结论。 (3)根据 an ? an2 ? (?1)
n? n +1? 2

n ,可发现, a4k ?3 ? a(4k ? 3)2 ? (4k ? 3) ; a4k ?2 ? a(4k ? 2)2 ? (4k ? 2) ;

a4k ?1 ? a(4k ? 1)2 ? (4k ? 1) ; a4k ? a(4k )2 ? (4k ) 。通过比较大小,可得 a4k ? 2 ? a4k ?1 , a4k ? a4k ? 2 ,
而 a4k ?1 ? a4k ?2 ? (a ? 1)(8k ? 3) ,从而可求得 (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ? ? (b100 ? a100 ) 的值。

六、数列特征方程的应用:所谓数列的特征方程,实际上就是为研究相应的数列而引入的一
些等式,常用的有以下几种形式: 1. 形如 An ?1 ? uAn ? v 的数列,一般是令 x ? ux ? v ,解出 x ? a ,则 ? An ? a? 是公比为 u 的等比数列 。

2. 形如 An? 2 ? uAn ?1 ? vAn 的数列,一般是令 x 2 ? ux ? v ,解出 x ? x1 , x2 ,则 ①当 x1 ? x2 时, An ? ax1n ? bx2 n ,其中 a,b 为待定系数,可根据初始值 A1 , A2 求出; ②当 x1 =x2 时, An ? (an ? b) x1n ,其中 a,b 为待定系数,可根据初始值 A1 , A2 求出。 3. 形如 An ?1 ?

uAn ? v ux ? v 的数列,一般是令 x ? ,解出 x ? x1 , x2 ,则 rAn ? t rx ? t An ? x1 1 为等比数列;②当 x1 =x2 时, 为等差数列。 An ? x2 An ? x1

①当 x1 ? x2 时,

典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1. (2012 年全国大纲卷理 12 分)函数 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 。定义数列 ?xn ? 如下: x1 ? 2, xn?1 是过两点

P(4,5), Qn ( xn , f ( xn )) 的直线 PQn 与 x 轴交点的横坐标。
(1)证明: 2 ? xn ? xn?1 ? 3 ; (2)求数列 ?xn ? 的通项公式。 【答案】解: (1)∵ f (4) ? 42 ? 8 ? 3 ? 5 ,∴点 P(4,5) 在函数 f ( x ) 的图像上。 ∴由所给出的两点 P(4,5), Qn ( xn , f ( xn )) ,可知,直线 PQn 斜率一定存在。 ∴直线 PQn 的直线方程为 y ? 5 ?

f ( xn ) ? 5 ( x ? 4) 。 xn ? 4

令 y ? 0 ,可求得 ?5=

4x ? 3 xn 2 ? 2 xn ? 8 ? x ? 4 ? ,解得 x = n 。 xn ? 2 xn ? 4

∴ xn ?1 ?

4 xn ? 3 。 xn ? 2

下面用数学归纳法证明 2 ? xn ? 3 : 当 n ? 1 时, x1 ? 2 ,满足 2 ? x1 ? 3 , 假设 n ? k 时, 2 ? xk ? 3 成立,则当 n ? k ? 1 时, xk ?1 ?

4 xk ? 3 5 ? 4? , xk ? 2 xk ? 2

由 2 ? xk ? 3 得, 4 ? xk ? 2 < 5 ,即 1 <

5 5 11 5 ? ,∴ 1 < ? 4 ? <3。 xk ? 2 4 4 xk ? 2

∴ 2 ? xk ?1 ? 3 也成立。 综上可知 2 ? xn ? 3 对任意正整数恒成立。 下面证明 xn ? xn?1 :

4 xn ? 3 4 xn ? 3 ? xn 2 ? 2 xn ?( xn ? 1)2 ? 4 ∵ xn?1 ? xn ? , ? xn ? ? xn ? 2 xn ? 2 xn ? 2
∴由 2 ? xn ? 3 得, 1 ? xn ? 1 < 2 。∴ 0 < ? ? xn ? 1? ? 4 ? 3 。
2

∴ xn?1 ? xn ? 0 即 xn ? xn?1 。 综上可知 2 ? xn ? xn?1 ? 3 恒成立。 (2)由 xn ?1 ?

4x ? 3 4 xn ? 3 2 得到该数列的一个特征方程 x ? 即 x ? 2x ? 3 ? 0 , x?2 xn ? 2

解得 x ? 3 或 x ? ?1 。 ∴ xn ?1 ? 3=

4x ? 3 5x ? 5 4 xn ? 3 x ?3 ? 3= n ① , xn ?1 ? (?1) ? n ②。 ?1 ? n xn ? 2 xn ? 2 xn ? 2 xn ? 2 xn ?1 ? 3 1 xn ? 3 。 ? ? xn ?1 ? 1 5 xn ? 1

两式相除可得



x1 ? 3 2 ? 3 1 ? ?? x1 ? 1 2 ? 1 3

∴数列 ?

? xn ? 3 ? 1 1 xn ? 3 1 1 ? ? ? ( )n?1 。 ? 是以 ? 为首项以 为公比的等比数列 3 5 xn ? 1 3 5 ? xn ? 1 ?
9 ? 5n?1 ? 1 4 ? 3? 。 n ?1 3? 5 ?1 3 ? 5n?1 ? 1

∴ xn ?

【考点】数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用,不等式的证明,数学归纳法。 【解析】 (1)先从函数入手,表示直线方程,从而得到交点坐标,再运用数学归纳法证明 2 ? xn ? 3 ,运 用差值法证明 xn ? xn?1 ,从而得证。 (2)根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项。

七、数列与函数(方程)的综合应用: 数列与函数的结合,利用函数的性质体现数列的变化。

典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
3 例 1. (2012 年四川省文 5 分)设函数 f ( x) ? ( x ? 3) ? x ? 1 {an } 是公差不为 0 的等差数列, ,

f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ,则 a1 ? a2 ? ?a7 ? 【
A、0 【答案】D。 【考点】高次函数的性质,等差数列性质。 【解析】∵ {an } 是公差不为 0 的等差数列,记公差为 d 。 B、7 C、14

】 D、21

∴ a1 =a4 ? 3d,a2 =a4 ? 2d,a3 =a4 ? d,a5 =a4 +d,a6 =a4 +2d,a7 =a4 +3d 。 则 f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 )

=[(a4 ? 3d ? 3)3 ? a4 ? 3d ? 1] ? [(a4 ? 2d ? 3)3 ? a4 ? 2d ? 1] ? ? ? [(a4 +3d ? 3)3 ? a4 +3d ? 1]
=7(a4 ? 3)3 +21(a4 ? 3)+7a4 ? 7 。
∵ f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ,∴ 7(a4 ? 3)3 +21(a4 ? 3)+7a4 ? 7=14 。 设 a4 ? 3=x , 则 7x3 +28x=0 ? 7x x2 +4 =0 ? x=0 ? a4 =3 。 ∴ a1 ? a2 ? ?a7 ? 7a4 =7 ? 3=21 。故选 D。

?

?

l 例 2.(2012 年安徽省理 5 分) 公比为 3 2 等比数列 {an } 的各项都是正 数, a3a11 ? 16 , o 且 则g

= a 26 1





( A) 4

( B) 5

(C ) ?

( D) ?

【答案】 B 。 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 【考点】等比数列,分数指数幂,对数。 【解析】∵ {an } 是等比数列,且 a3a11 ? 16 ,∴ a7 ? 16 。
2

又∵等比数列 {an } 的各项都是正 数,∴ a7 ? 4 。 ∴ a16 =a7 ? q =4 ?
9

? 2?
3

9

=4 ? 2 3 =32 。
5

1

?9

∴ log2 a16 =log2 32=log2 2 =5 。故选 B 。 例 3. (2012 年湖北省理 5 分)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f ? x ? ,如果对于任意给定的等比

数列 ?an ? , f ?an ? 仍是等比数列,则称 f ? x ? 为“保等比数列函数”。现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞) 上的如下函数:① f ? x ? =x2 ;② f ? x ? =2x ;③ f ? x ? = 则其中是“保等比数列函数”的 f ? x ? 的序号为【 A.①② 【答案】C。 【考点】等比数列的判定,新定义。 【解析】逐一检验: 令等比数列 ?an ? 的公比为 q , B.③④ C.①③ D.②④ 】

?

?

x ;④ f ? x ? =ln x 。

f ? an +1 ? an +12 ? an +1 ? ? a1q n ? 2 = 2 =? ①对 f ? x ? =x ,∵ ? =? ? =q ,∴ ? f ?an ?? 是等比数列; f ? an ? an an ? ? a1q n ?1 ? ?
2 2

2

②对 f ? x ? =2x ,∵

f ? an +1 ? 2an +1 an +1 ?an 不一定是常数,∴ ? f ?an ?? 不一定是等比数列; = an =2 f ? an ? 2
f ? an +1 ? = f ? an ? an +1 an = an +1 = q ,∴ ? f ?an ?? 是等比数列; an

③对 f ? x ? =

x ,∵

n n n ④对 f ? x ? =ln x ,举个特例,令 an =2 ,f ? an ? = ln 2 = ln 2 =n ln 2 是等差数列不是等比数列。

从而是“保等比数列函数”的 f ? x ? 的序号为①③,故选 C。

( 例 4. (2012 年江西省文 5 分) 观察下列事实 x ? y ? 1 的不同整数解 x, y) 的个数为 4 , x ? y ? 2 的 ( ( 不同整数解 x, y) 的个数为 8, x ? y ? 3 的不同整数解 x, y) 的个数为 12 ….则 x ? y ? 20 的不同整数解 (x, y) 的个数为【
A.76 【答案】B。 【考点】归纳推理,等差数列的应用。 【解析】观察可得不同整数解的个数 4,8,12,…可以构成一个首项为 4,公差为 4 的等差数列,通项公 式为 an ? 4n ,则所求为第 20 项,所以 a20 ? 4 ? 20 ? 80 。故选 B。 B.80 】 C.86 D.92

例 5. (2012 年上海市文 4 分)已知 f ( x ) ?

1 ,各项均为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an? 2 ? f (an ) , 1? x

若 a2010 ? a2012 ,则 a20 ? a11 的值是



【答案】

3 ? 13 5 。 26

【考点】数列的概念、组成和性质,函数的概念。 【解析】根据题意, f ( x ) ?

1 1 ,并且 an? 2 ? f (an ) ,得到 a n ? 2 ? 。 1? x 1 ? an
1 2 3 8 , a5 ? , a7 ? , a11 ? 。 2 3 5 13

当 n 为奇数时, a1 ? 1 , a 3 ?

当 n 为偶数时,由 a2010 ? a2012 ,得到

1 5 ?1 (负值舍去)。 ? a 2010 ,解得 a 2010 ? 1 ? a 2010 2

由 a2010 ? f (a2008 ) 得

5 ?1 1 5 ?1 ,解得 a2008 ? 。 ? 2 1 ? a2008 2

∴当 n 为偶数时, an =

5 ?1 。 2

∴ a20 ? a11 =

8 5 ? 1 3 ? 13 5 。 ? = 13 2 26

例 6. (2012 年四川省理 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a2 an ? S2 ? Sn 对一切正整数 n 都成立。 且 (Ⅰ)求 a1 , a2 的值; (Ⅱ)设 a1 ? 0 ,数列 {lg

10a1 } 的前 n 项和为 Tn ,当 n 为何值时, Tn 最大?并求出 Tn 的最大值。 an


【答案】解: (Ⅰ)取 n=1,得 a2 a1 ? S2 ? S1 ? 2a1 ? a2 取 n=2,得 a22 ? 2a1 ? 2a2 ②

由②-①,得 a2 (a2 ? a1 ) ? a2 (1)若 a2 =0, 由①知 a1 =0。 (2)若 a2 ? 0 ,则 a2 ? a1 ? 1 , 由①④得: a1 ? ④



2 ? 1, a2 ? 2 ? 2; a1 ? 1 ? 2, a2 ? 2 ? 2 。

(Ⅱ)当 a1 ? 0 时,由(I)知, a1 ? 2 ? 1, a2 ? 2 ? 2 。 当 n ? 2 时,有 2 ? 2 an ? S2 ? Sn ⑤ , 2 ? 2 an?1 ? S2 ? Sn?1 ⑥, ( ) ( ) ⑤-⑥ Sn ? Sn?1 =( ? 2 ? an ? an?1 ? ,即 an =( ? 2 ? an ? an?1 ? 2 ) 2 )

∴ an = 2an?1 (n ? 2) 。∴ an ? a1 ( 2 ) n?1 ? ( 2 ? 1) ? ( 2 ) n?1 。 令 bn ? lg

10a1 1 100 ,则 bn ? 1 ? lg( 2)n?1 ? lg n?1 an 2 2

∴数列{ bn }是以 ?

1 lg 2 为公差,且单调递减的等差数列。 2 1 100 1 10 ? lg1 ? 0 ;当 n≥8 时,bn≤b8= lg ? lg1 ? 0 。 2 128 2 8

∴b1>b2>b3>…>b7= lg

∴n=7 时, Tn 取得最大值,且 Tn 的最大值为 T7 =

(b1 ? b7) 7 21 ? 7 ? lg 2 。 2 2

【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识,方程、分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。 【解析】 (Ⅰ)取 n=1 和 n=2 可得关于 a1 , a2 的方程,解之即得。 (Ⅱ)作差求得 an ? ( 2 ? 1) ? ( 2)n?1 ,代入 {lg

10a1 } ,根据对数的性质求解。 an

八、数列与三角函数的综合应用: 数列与三角函数的结合是一类创新试题,利用三角函数的周
期性体现数列的变化。

典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例 1. ( 2012 年 四 川 省 理 5 分 ) 设 函 数 f ( x) ? 2 x? c o sx {an } 是 公 差 为 ,

? 的等差数列, 8

f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? ,则 [ f (a3 )] ? a2a3 ? 【
2


2

A、 0 【答案】D。

B、

1 2 ? 16

C、 ?

1 8

D、

13 2 ? 16

【考点】等差数列性质,三角函数性质。 【解析】∵ f ( x) ? 2 x ? cos x , f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? , ∴ (a1 ? a2 ? ? ? a5) (cosa1 ? cosa2 ? ? ? cosa5 ) ? 5? 。 2 ? ∵ {an } 是公差为

? 的等差数列, 8

2 ∴ (a1 ? a2 ? ? ? a5)=2 ? 5a3 ? 10a3 , cos a1 ? cos a2 ? ? ? cos a5 ? 0 。
∴ 10a3 ? 5? ,解得 a3 ?
2 2

?
2

, a2 ?

3? 。 8

∴ [ f (a3 )] ? a2 a3 ? ? ?

3? ? 13? 2 ? ? 。故选 D。 8 2 16

关于 cos a1 ? cos a2 ? ? ? cos a5 ? 0 , cos a1 ? cos a2 ? ? ? cos a5 可化为 1 ? 2 ? 2 ? 2 cos a3 。 由 10a3 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 cos a3 ? 5? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 cos a3 ? 5? ? 10a3 , 设 f ? x ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 cos x, g ? x ? ? 5? ? 10 x ,作图可得二者交点在 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 处:

?

?

?

?

?

?

?

?

例 2. (2012 年安徽省文 13 分)设函数 f ( x ) ? (Ⅰ)求数列 {xn } ;

x ? sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 {xn } . 2

(Ⅱ)设 {xn } 的前 n 项和为 S n ,求 sin S n 。 【答案】解: (I)∵ f ( x ) ?

x 1 ? sin x ,∴ f ?( x) ? ? cos x 。 2 2 2? (k ? Z ) 。 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2k? ? 3 2? 2? ? x ? 2 k? ? (k ? Z ) ; 当 f ?( x) ? 0 时, 2k? ? 3 3 2? 4? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 。 当 f ?( x) ? 0 时, 2k? ? 3 3 2? (k ? Z ) 时, f ( x) 取极小值。 ∴当 x ? 2k? ? 3 2? ∴数列 {xn } : xn ? 2n? ? 。 3 2? (II)由(I)得: xn ? 2n? ? , 3 2n? 2n? ? n(n ? 1)? ? ∴ Sn ? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 2? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? 。 3 3
当 n ? 3k (k ? N ) 时, sin Sn ? sin(?2k? ) ? 0 ;
*

当 n ? 3k ?1(k ? N ) 时, sin Sn ? sin
*

2? 3 ? ; 3 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N * ) 时, sin Sn ? sin ∴当 n ? 3k (k ? N * ) 时, sin Sn ? 0 ; 当 n ? 3k ?1(k ? N * ) 时, sin Sn ?

4? 3 。 ?? 3 2

3 ; 2 3 。 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N * ) 时, sin Sn ? ? 【考点】三角函数的极值,导数的应用,数列。 【解析】 求函数 f ( x ) ? (I) 情况,得出结果。

x ? sin x 的所有正的极小值点, 即要讨论 f ?( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 和 f ?( x) ? 0 的 2

(II)求出 {xn } 的前 n 项和为 S n ,分类讨论,求出 sin S n 。

B C ? b c 例 3.(2012 年全国大纲卷文 10 分) ABC 中, 内角 A 、 、 成等差数列, 其对边 a 、 、 满足 2b ? 3ac ,
2

求 A. 【答案】解:∵ ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 成等差数列,

? A ? B ? C ? 1800 0 0 ∴? 。∴ B ? 60 , A ? C ? 120 。 ?2 B ? A ? C
2 2 又∵ 2b ? 3ac ,∴根据正弦定理,得 2sin B ? 3sin A sin C 。∴ sin A sin C ?

1 。 2

? A=600 ? ? ? 0 由“ A ? C ? 120 ”进行均值换元,设 ? , ?600 < ? < 600 。 0 ?C =60 ? ? ?
则 sin 60 +? sin 60 ? ? ?
0 0

?

? ?

?

1 3 3 2 ,化简,得 cos ? = ? cos ? = ? 。 2 4 2
0

∴ ? = ? 30 。∴ A=90 或 A=30 。
0 0

【考点】解三角形的运用,等差数列的性质,三角形的内角和定理,正弦定理,两角和的三角函数。 【解析】根据角 A 、 B 、 C 成等差数列和三角形内角和定理可得 B ? 60 , A ? C ? 120 。运用均值换元
0 0

法,由 2b ? 3ac 应用正弦定理和两角和的三角函数,化简等式,求出答案。
2

例 4. (2012 年山东省文 12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,已知
sin B(tan A ? tan C) ? tan A tan C .

(Ⅰ)求证: a, b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ABC 的面积 S. 【答案】解:(Ⅰ)由已知得: sin B(sin A cos C ? cos A sin C) ? sin A sin C ,即 sin B sin ? A+C? ? sin Asin C 。 ∵ A + C? ? , = B
s i n ? + C??= s i ?n A ? ?

, =sinB B

2 si ∴ s i n B ? n Asin C 。

由正弦定理,得 b 2 =a ? c ,∴ a, b, c 成等比数列。 (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b 2 =a ? c=2 , 由余弦定理,得 cos B= ∴ sin B= 1 ? cos 2 B=

a 2 +c2 ? b 2 1 ? 4 ? 2 3 = = , 2ac 4 4

7 。 4

1 1 7 7 ? ∴△ABC 的面积 S= ? a ? c ? sin B= ? 1 ? 2 ? 。 2 2 4 4
【考点】正弦定理和余弦定理的应用,和的三角函数公式,同角三角函数公式,等比数列的判定。 【解析】(Ⅰ)根据和的三角函数公式化简,求得三角正弦之间的关系,由正弦定理推出结论。 (Ⅱ)由余弦定理求出 B 的余弦,从而根据同角三角函数公式得到正弦,应用面积公式求解。 例 5. (2012 年辽宁省文 12 分)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差数 列。 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。 【答案】解: (Ⅰ)∵角 A,B,C 成等差数列,∴ 2B ? A ? C 。 又∵ A ? B ? C ? 180? ,∴ B =60° 。∴ cos B =

1 。 2

(Ⅱ)∵边 a,b,c 成等比数列,∴ b 2 ? ac 。∴根据正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C 。 ∵ B =60° ,∴ sin B =

3 3 。∴ sin Asin C = 。 4 2

【考点】数列与三角函数的综合,正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义。 【解析】 (Ⅰ)在 ?ABC 中,由角 A、B、C 成等差数列可知 B =60° ,从而可得 cos B 的值。 (Ⅱ) a, c 成等比数列, b 2 ? ac , B 的值得到 sin B 的值, 由 b, 得 由 结合正弦定理可求得 sin A sin C 的值。 另解:由余弦定理求得 a=c 得到 ?ABC 是等边三角形,每个内角等于 600 求解。

例 6. (2012 年上海市理 5 分)设 a n ? 个数是【 A.25 【答案】 D。 【考点】正弦函数的周期性。 】 B.50

1 n? sin , S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,在 S1 , S 2 ,?, S100 中,正数的 n 25

C.75

D.100

【解析】∵对于 1 ? k ? 25,ak ? 0 (只有 a25 =0 ),∴ Sk ?1 ? k ? 25? 都为正数。 当 26 ? k ? 49 时,令

?
25

? ? ,则

k? ? k? ,画出 k? 终边如右, 25

其终边两两关于 x 轴对称,即有 sin k? ? ? sin(50 ? k? ) , ∴ Sk ? sin ? + sin 2? + ??? +

1 1

1 2

1 1 1 1 sin 24? +0+ sin 26? + sin 27? + ??+ sin k? 24 26 27 k

1 1 1 ? 1 ? 1? ? 1 ? 1 ? 1 ? sin ? + sin 2? + ??? + ? ? ? sin 24? + ? ? ? sin 23? + ??+ ? ? ? sin ? 50 ? k ?? 1 2 ? 24 26 ? ? 23 27 ? ? 50 ? k k ?
其中 k =26,27,…,49,此时 0 ? 50 ? k ? k 。 ∵

1 1 ? ? 0 , 0 ? (50 ? k )? ? 24? ? ? ,∴ sin(50 ? k )? ? 0 。 50 ? k k

从而当 k =26,27,…,49 时, Sk 都是正数。 又 S50 ? S49 ? a50 ? S49 ? 0 ? S49 ? 0 。 同上可得,对于 k 从 51 到 100 的情况同上可知 Sk 都是正数,故选 D。 例 7. (2012 年福建省理 4 分)已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列,则其最大角的余弦值为 ▲ 【答案】 ? .

2 。 4

【考点】等比数列的性质,余弦定理的应用。 【解析】∵△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列,∴设三角形的三边分别是: ∵最大角所对的边是 2a, 2 a、a、 2a。 2

? 2 ? a +? a ? ? 2a ? 2 ? ∴根据三角形中大边对大角的性质,结合余弦定理得: cos? = 2 2? a?a 2
2

2

?

?

2

=?

2 。 4

∴最大角的余弦值为 ?

2 。 4


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