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二次函数与一元二次方程的关系课件(备用)


九年级 下册 义务教育课程标准实验教科书

二次函数与一元二次方程 及一元二次不等式
宜都外校 何方金

一、探究
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交 点A、B的坐标。 解:∵A、B在轴上, ∴它们的纵坐标为0, ∴令y=0,则x2-3x+2=0 解得:x1=1,x2=2; ∴A(1,0) , B(2,

0) 你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系?

结论1:方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x23x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此,抛物 线与一元二次方程是有密切联系的。
即:若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是 x1、x2, 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交 点坐标分别是A( x1,0), B( x2,0) y

x1 O A

x2 B

x

探究2、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元 二次方程的知识来说明呢? Y
b2-4ac<0

b2-4ac=0

b2-4ac>0

O

X

结论2: 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明:

1、 b2-4ac >0 有两个不等的实数根 2、 b2-4ac =0 有两个相等的实数根

一元二次方程ax2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c 一元二次方程ax2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c

与x轴有两个交点——相交。

与x轴有唯一公共点——相切(顶点)。

3、 b2-4ac <0 一元二次方程ax2+bx+c=0 没有实数根 抛物线y=ax2+bx+c 与x轴没有公共点——相离。

二、基础训练
1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上,则 a= ;若抛物线与x轴有两个交点,则a 的范围是 ;若抛物线与坐标轴有两个 公共点,则a的范围是 ; 2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一 个交点,则a的范围是 。 3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为 (-2,0),(3,0),则p= ,q= 。

4、判断下列各抛物线是否与x轴相交,如果 相交,求出交点的坐标。
(1)y=6x2-2x+1 (2)y=-15x2+14x+8 (3)y=x2-4x+4

6、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象全部在 轴下方的条件是( D ) (A)a<0 b2-4ac≤0
(B)a<0 b2-4ac>0 (C)a>0 b2-4ac>0 (D)a<0 b2-4ac<0

三、例题推荐

1、已知二次函数y=x2-kx-2+k.
(1)求证:不论k取何值时,这个二次函数

y=x2-kx-2+k与x轴有两个不同的交点。 (2)如果二次函数y=x2-kx-2+k与轴两个交点为 A、B,设此抛物线与y轴的交点为C,当k为6 时,求S△ABC .

2、已知抛物线y=x2+2x+m+1。
(1)若抛物线与x轴只有一个交点,求m的值。 (2)若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点, 求m的值。

3、已知是x1、x2方程x2-(k-3)x+k+4=0的两 个实根,A、B为抛物线y= x2-(k-3)x+k+4与 x轴的两个交点,P是y轴上异于原点的点,设 ∠PAB=α,∠PBA=β,问α、β能否相等?并说 明理由.
Y P α A O β B X

4、已知抛物线y=x2-(m2+8)x+2(m2+6).

求证:不任m为何实数,抛物线与x轴都有两个不 同的交点,

四、小结
1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、 x2, 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐 标分别是A(x1,0 ), B( x2,0 )

2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式 ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次” 之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想。


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