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二次函数和反比例函数教材分析


京教版第二十章

二次函数和反比例函数 教材分析与教学研究

关于二次函数和反比例函数
首先明确学习函数的要求:

(1)探索具体问题中的数量关系和变化规律;
(2)函数①通过简单实例,了解常量、变量的 意义; ②能结合实例,了解函数的概念和三种表 示方法,能举出函数的实例; ③能结合图象对简单实际

问题中的函数关 系进行分析;

④能确定简单的整式、分式和简单实际 问题中的函数的自变量取值范围,并 会求出函数值; ⑤能用适当的函数表示法刻画某些实际 问题中变量之间的关系;

⑥结合对函数关系的分析,尝试对变量 的变化规律进行初步预测.

关于二次函数
①通过对实际问题情境的分析确定二次函数的 表达式,并体会二次函数的意义.

②会用描点法画出二次函数的图象,能从图象 上认识二次函数的性质. ③会根据公式确定由图象的顶点、开口方向和 对称轴(公式不要求记忆和推导),并能解 决简单的实际问题.
④会利用二次函数的图象求一元二次方程的近 似解.

关于反比例函数
①结合具体情景体会反比例函数的意义,能

根据已知条件确定反比例函数表达式; ②能画出反比例函数的图象,根据图象
k 和解析表达式 y ? (k ? 0) 探索并理解其性质 x

(k>0或k<0时图象的变化); ③能用反比例函数解决某些实际问题.

考试说明对这部分教学内容的要求

(A)基本要求
二 了解二次函数的 次 意义;会用描点法 函 画二次函数的图象 数

(B) 略高要求
能通过分析实际问题的情境 确定二次函数的表达式;能从 图象上认识二次函数的性质; 会根据二次函数的解析式求其 图象与坐标轴的交点坐标,会

(C)较高要求
能用二次函数 解决简单的实 际问题;能解 决二次函数与 其他知识综合

确定图象的顶点、开口方向和
对称轴;会利用二次函数的图 象求一元二次方程的近似解

的有关问题



了解反比例函数

能根据已知条件确定函数的
解析式;能用反比例函数的知 识解决有关问题

比 的意义,能画出反 例 比例函数的图象;

函 理解反比例函数的 数 性质

一、教学目标
1.使学生在对函数解析式的结构特征进
行分析、归纳的基础上,得出二次函数 和反比例函数的概念,了解二次函数和

反比例函数的意义,并会根据函数的解
析式的结构特征判断一个函数是否是二 次函数或反比例函数。

2.在了解函数解析式中自变量和因 变量的对应关系特点的基础上,掌

握二次函数和反比例函数图象的画
法;了解抛物线的顶点坐标和对称

轴的意义。

3.会运用配方的方法将二次函数的
解析式由y=ax2+bx+c(a≠0)向 y=a(x-h)2+k (a≠0)转化,掌握由

此得出抛物线的顶点 坐标和对称
轴表达式的方法,会描点法作出函 数图象,并学会画函数的示意图。

4.会用公式求出抛物线的顶点坐标
和对称轴的表达式,会求二次函数 的图象与坐标轴交点的坐标。

5.能根据反比例函数的解析式正确了
解它的图象分布规律以及图象与坐 标轴的位置关系。

6. 使学生理解二次函数顶点坐标的

意义,了解二次函数的最大值和最
小值的意义,掌握判定二次函数存

在最大值或最小值的方法,并能确
定二次函数的最大值和最小值。

7.会根据不同的条件, 确定二次函数或

反比例函数的解析式,会用待定系数法。
8. 提高应用数学知识的意识,会把一些 实际问题归结为二次函数或反此例函数 问 题,并会运用二次函数或反比例函 数的性质加以解决,以及把某些实际生 活中的最大、最小问题运用二次函数的 知识加以解决。

二、教材分析和教学建议
1.主要内容及其地位作用
本章的内容包括二次函数和反比例函数的图象和 性质· 二次函数的知识是7—9年级数学学习的重 要内容之一。
概念

y=ax2+bx+c(a≠0)
a、b、c对图象的 影响 开口方向、顶点、 对称轴

解析式的 确定 画 法

二 次 函 数

图像

性质 应用

概念

k y ? (k ? 0) x

解析式的确定

反 比 例 函 数

图像
性质 应用

k对图象的影响

画 法

函数是从实际中抽象出来的数学知识,又 是在解决实际问题时广泛应用的数学工具,无 论是在生活中运用二次函数知识的意识,还是

运用二次函数知识的方法,都是具有重要意义
的教学内容.因此,在学生进 入九年级后,培

养学生在更广泛的知识领域和各种实际问题中
运用函数知识的能力将更加重要。

本章对二次函数和反比例函数的学习,进 一步丰富了研究函数的内容和方法,搞好这部 分内容的教学,对进入高中后,学生对初等函 数的学习有重要的意义。 教学中,既要注意对函数知识、技能的落 实,更要注意渗透研究函数的方法;使学生学 会把实际问题向函数问题的化归,二次函数图 象的平移和反比例函数图象的读法和画法,两 种函数的主要性质(特别是增、减性),都是为 进一步学习各类初等函数作准备。

2.重点、难点

(1)本章的重点包括二次函数和反比例函数的概念、 图象和性质,以及它们的应用.其中,掌握图象 的画法,熟悉解析式的参数和图象形状、位置特 征的关系更是教学的关键.
函数的概念是学生理解并掌握二次函数、反比 例函数的基础,函数观念也是关系到全局的基础 知识,所以教学中应充分重视利用二次函数和反 比例函数的学习,进一步巩固对函数关系的认识.

二次函数的图象和性质是本章的核心内容,学 生对知识的理解和掌握程度,直接决定了灵活运用 二次函数知识解决问题的水平,所以,必须认真落

实对二次函数的图象和性质的教学.
二次函数是有广泛应用的函数,在实际生活中

的应用是学习知识的终极目的之一,应注意培养学
生在解决实际问题时建立函数模型的意识,并掌握 建立函数模型的技能,训练学生学会判定所建立的 函数模型是否是二次函数,从而正确地解决相关的 问题。

(2)本章的难点
1.是让学生通过了解函数解析式y=ax2+bx+c(a≠0) 中各项的系数对图象形状特征的影响,理解并掌握求 二次函数图象的对称轴和顶点坐标的表示方法.

2. 是如何学会用数学的眼光观察分析要解决的问题,
会把某些非数问题归结为数学问题,会把某些数学问

题归结为二次函数问题,提高用二次函数的知识解决
问题的能力.

在数学教学中,要加强理性思维的教育, 在函数教学中,要重视逻辑思维,抽象
思维的训练;要引导学生养成把对形象 的观察和抽象的思考结合起来,把数和 形结合起来.

? 对二次函数和反比例函数的学习是学生 再一次认识函数的过程 ? 定义----通过比较、概括、归纳得出来 ? 图象----通过理性思考,自己画出来

? 性质----通过思考、分析自己探究出来
? 应用----通过理解,联系实际,学会应

用,培养应用意识

3.来自教材的教学建议
(1)让学生随时联系生活实际;进一步 感受变量、常量和它们之间对应关系, 进一步提高列函数解析式的能力,并 会对解析式进行观察归纳,认识二次 函数和反比例函数的存在,使得学生 对函数的理解进一步深入,把握学习 函数的方法和提高应用函数知识的技 能。

例如. 在20.1和20.6中用做一做的方 法,引导学生紧密联系学生的生活实际, 从布列函数的解析式和观察解析式结 构共性的基础上,归纳出二次函数和 反比例函数的定义,能正确认识定义 中 或0 的意义. a? k?0
P44和P74

做一做(P.44)
1.列出下列函数的解析式(1)(2) (3) (4) ①引导学生认识 4个问题可以构成怎样的函 数关系? ②具体问题中涉及的数量关系如何用解析 式表示? (1) A=πx2, (2) s=a(20-a ), (3) Q=x2-16π, (4) M=26(1 -p)2

2. 观察所列的解析式,它们有什么共同的特 点?这些解析式可以用怎样的式子来概括? 这是一个引导学生学习观察、抽象、概括 的过程,要帮助学生从具体问题中抽象出 函数关系,在自己头脑中分析、形成二次 概念。(在教师的引导下,使学生经历分析、 变形、整理、对比、概括的过程)

(2) 函数的概念比较抽象,要引导学生理性的思考 例如,在对“二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的画 法”的教学过程是,先让学生观察解析式的特征, 通过从变量间的对应关系与反映在坐标平面上的点 的位置关系,想像图象的分布和走向特征,再描点 作图来验证想像是否正确.这种教学过程在本章其 他类似的问题中反复安排,希望达到提高学生理性 思考的教学目标。

在二次函数图象的教学中,对于解 析式y=ax2+bx+c(a≠0)中的参数a、b、c 对图象位置和走向的影响,教材希望组 织学生在实践探索中归纳出来,教材落 实“用问题驱动知识发展”和“通过学生 参与解决问题培养能力”的理念,提出 了一些“问题”,设置了一些“想一想”, 引导学生在理性思考中发展思维的能力。

开口方向 图象 二 次 函 数 对称轴 顶点坐标 系数对图象的影响

应 用

解析式的确定

二 次 函 数

反 比 例 函 数

解析式的确定

图象画法和读法
性质 增减性

反比例函数的应用

(3) 要善于安排“在做中学”的活动,让学生
在实践中体验知识的内在意义,发现规律,并在

实际操作中落实操作技能.
对“二次函数和反比例函数的定义”、“二

次函数、反比例函数的增减性”等的教学,都适
合采取这样的教学方法.都是让学生通过列多个

函数的解析式,然后在形式多样的解析式中,筛
选出有共性的一类函数,得出定义,使学生参与

概念的形成过程,成为知识的创建者,成为知识
的主人

(4)倡导探索式学习;适时安排探 索式学习,让学生在探索知识的规律、 发现知识间的联系、深入了解知识内 容的内在本质的过程中,培养学生经 历知识的由来和发展的过程,自主地寻 求由已知的探索未知的过程,努力培养 顽强钻研的探索精神。

? 本章教材安排的“课题学习”就是一个探 索活动。是让学生在对不等式和不等式的 解的理解和对二次函数的变化规律掌握的 基础上,研究二次不等式的解法,这个过 程都应让学生独立思考,在生生互动、师 生互动中,认真反复深入思考而加以解决, 锻炼学生运用知识的能力;培养探索精神, 享受成功的乐趣,增强自主学习的自信心。

4.我在实际授课时的做法

教学宗旨:
寻求知识间的结合点,构建 知识间的联系,使之系统化、 链条化,最终实现新知识向 旧知识的转化

y=x2-2x-3与x2-2x-3>0
8 6

P69

4

2

-10

-5

(-1,0)

A
-2

(3,0)
C
-4

B

5

10

15

-6

-8

y=x2+2x-8与x2+2x-8<0
12 10

8

6

4

2

-20

-15

-10

-5 A(-4,0) -2

5 B(2,0)

10

15

20

25

-4

-6

-8

c(0,-8)

-10

-12

-14

-16

P50安排了两个做一做
1. 分别在同一坐标系中,作出二次函

数 y ? x ? 2) 和 y ? x ? 2) 2 2 ( ( 的图象,并比较它们和 y ? x2 的图象有 怎样的位置关系?
要求学生先观察它们解析式的特点, 思考位置 的关系,然后真正动手操作,进行比较和概括.

8

6

4

2

-10

-5

A(-2,0)
-2

O

C(2,0)

5

10

-4

-6

2. 利用计算机或图形计算器,连

续改变二次函数
观察
2

2 中 y ? x - h) (

的值, h

2 的图象和 y ? x - h) (

y ? x 的图象之间有什么不同,概括
出你的结论.
利用现代教育技术,帮助学生进行理解和认识

议一议
1. 比较反比例函数

P77
4 y? x



4 y?? x

的图象在位置上,变化趋势上,以 及和坐标轴的关系方面有什么相同点 和不同点?

补充启发提问参考题:
1. 这两个的图象通过原点吗?为什么? 2. 图象的分布有什么规律?为什么? 3. 图象向左(上),向右(下)伸展时,越来越 靠近坐标轴,还是越来越远离坐标轴,还是距离 不变?为什么? 4. 图象和坐标轴有交点吗?为什么?

5. 函数有最大值或最小值吗?

议一议

P. 77

2. 是否能从双曲线的位置和变化 趋势,概括出反比例函数 y ? k (k ? 0)

x

的一般性质?

8 8

6 6

4 4

2 2

-10 -10

-5-5

55

10 10

-2

-4 -4

-6 -6

-8 -8

(5) 二次函数和反比例函数的应用是本 章学习的重要目的之一.要使学生学会把实 际生活中相依的变量问题,化归为函数问题, 并提高判定一个函数问题是否是二次函数和 反比例函数的能力.

另外,培养他们从纷繁不同形式的解析 式中,筛选出可以化归为二次函数和反比例 函数的问题,建立适当的坐标系,并结合问 题的实际意义确定函数定义域以及运用函数 的图象和性质解决问题的能力。

2. 倡导学生在实践中学习
(1)创设让学生在亲自操作中学习的情景, 在亲自操作中认识事物; (2)在教师的组织下,先独立思考,再展开 讨论;在教师的指导下,通过理解,及时深 化认识;在教师的指点下, 及时校正偏差, 统一认识,得出明确的结论;在教师的引导 下,步步深入。

加强二次函数的应用
提高应用能力

1. 建立坐标系,把坐标系上 点的坐标和实际问题的计算结合

起来.

例2

研究载重汽车通过隧道时的“限高”问

题. (1)建系;(2)设点;(3)确定解析式;(4)解决 Y 实际问题
C M E D N

A

O

B

P67

2.理解问题涉及的数量关系,构造函数
销售某种汽车,进价为25万元/辆.市场调研表明:当售价为 29万元时,平均每周能售出8辆,而当销售价每降低0.5万元 时,平均每周能多售出4辆.如果设每辆汽车降价x万元,每 辆汽车的利润为y万元.(利润=售价-进价) (1)求y与x的函数关系式,指出不亏本时x的取值范围; (2)若这种汽车平均每周的销售利润为z万元,试写出z与 x之间的函数关系式; (3)当每辆汽车的定价为多少万元时,平均每周的销售利 润最大?最大利润是多少?

(1)y=29-25-x, 即y=-x+4 (0≤x≤4) (2)z=(8+x÷0.5×4)y,即z=-8x2+24x+32 (3)z=-8(x-1.5)2+50,即定价为29-1.5=27.5万 元时,最大利润为50万元.

3.利用图形的几何性质,构造函数

例如P73B组第5题、P81C组题等

关于几个问题的说明

1. 关于用待定系数法确定二次函数解析式的 说明

y ? ax ? bx ? c
2

b ? 0, y ? ax ? c.
2

c ? 0, y ? ax ? bx.
2

例1 根据下列条件,确定二次函数的解析式:

1 2 (1)二次函数 y ? ? x ? bx ? c 的图象经 2
? 2 ? P56 ?(? 1 ) ?16 ? 4b ? c ? 10. ? 2 ? 使学生明确图像过某个 点,则这个点的坐标满足函数
的解析式,构造方程组求解.会用数学语言和式子表示图

过 (2,8)和(4,10)两点; ? 1 ? (? ) ? 4 ? 2b ? c ? 8,

象经过 (2,8)和(4,10)两点的实际意义。

(2) 二次函数的顶点坐标是(3,-4),和y轴的交 点为(0,2).

? ? c ? 2, ? b ? ? 3, ? ? 2a ? ? 4ac ? b 2 ? ?4. ? ? 4a

顶点的条件 还可以怎样 应用?

设抛物线的解析式为

y ? a( x ? 3) ? 4
2

又因为抛物线与y轴交于(0,2),所以

a(0 ? 3) ? 4 ? 2
2

2.关于二次函数的三种解析式的说明;

y ? ax ? bx ? c 2 y ? (x ? h)? k a
2

b 4ac ? b h?? , k ? 2a 4a y ? a(x ? x1) x - x2) ? ( ?

2

例2(1)已知抛物线的对称轴是 x=1,并且经过点

(4,5)和(-1,0),求它的顶点坐标.
还有什么 方法?

b ? ? ? 1, ? 2a ? ?16a ? 4b ? c ? 5 ? a ? b ? c ? 0. ? ?

? (4 -1 2 ? k ? 5, a ) ? 2 a ) ?( -1-1 ? k ? 0.

8

y
A

6

4

2

-10

-5

5

10

BO
-2 -4

C

x

-6

X=1

-8

还可以用一般式、双根式求解

3. 关于二次函数的增减问题的说明;
要求学生能在具体问题中去认识,会根据 开口方向和对称轴确定函数的增减情况
y

O

t 2

3

x

4. 注意“解析式”和“方程”的区别和联 系;
y

y ? ax ? bx ? c
2

y=0

A (x1,0)

B

x

(x2,0)

ax2+bx=c=0 两根x1、x2

5. 重视“示意图”的画法和读法的训练;
画图:

(1)顶点坐标和对称轴;
(2)曲线和坐标轴的交点. 读图: (1)函数的增减性;

(2)有最大值或最小值;
(3)函数值大小的比较.

关于画图,读图能力的培养
(1)图象上点的纵坐标和横坐标的意义;

(2)关于函数值大小关系的观察;
(3)关于函数变化状态的观察; (4)图象的顶点和对称轴的意义与应用。

6. 关于二次不等式解法的探索式学习 的说明

?

?

(复习题

B 组第12题的说明)原题简述

P85
(1)某厂年销售牙膏1000万支,每支利润1元; (2)总利润增长的倍数 y 是广告费 x (十万元) 的二次函数,统计数据如下: 广告费 倍 数 0 10 20 (单位:10万元)

1

1.5 1.8

求这个函数的解析式.

(3)总利润 S 是广告费 x 的什么函数?
若拟投入广告费在 10-30 万元之间,问在什

么范围内,S 随 x 的增加而增加?
简解:(1) 解析式为

y ? ?0.001x ? 0.06x ? 1
2

(2) 解析式为

S ? 100 y(3.2 - 2.2) x ? -

? ?0.1x ? 5x ? 100
2

(3) 当 x ? [10, 时,利润随广告 25]
费的增加而增加.
1 2 S ? ? (x - 25) ? 162.5 10

y

0

0

10

25

30

x

7.重视“配方法” 的教学和应用 配方法是常用的数学方法,使学生理解和 主动运用,可以提高学生的解题能力. 在一些具体问题求最值时、在画函 数图象时,运用它确定顶点,使画图列表 的取值对称.

8. 进一步发展“数形结合”的数学思 想,切实提高“数”与“形”相互转换的能 力,使学生分析问题的能力、数学思维能力 得到切实的提升. 例如抛物线的顶点、与x轴的 y 交点构成一个等腰三角形; 顶点与与x轴、y轴的交 点、 x轴构成一个四边 形的问题 x
B

O A

E

C P

例如二次函数图象上部分点的对应值如下表:

x y

-3 6

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4



3 0

4 6

则(1) 使y<0的x的取值范围为
(2) 使y>0的x的取值范围为 你还能读出什么信息?

学生如果能主动画出草图进行分析,就可以更好的把握问 题的本质。

8 8

(-3,6)
6 6

(4,6)

4 4

X=

1 2
(3,0)
5 5 10 10

2 2

(-2,0)
-10 -10 -5 -5

-2 -2

(-1,-4)

-4 -4

(2,-4) (1,-6)

-6 (0,-6)
-6

-8 -8

如图,在直角坐标系中,O是原点,三点A、B、C的 坐标分别为(18,0)、(18,6)和(8,6), (1)求经过O、A、C三点的抛物线的解析式. (2)试在(1)中的抛物线上找一点D,使得以为A、 O、D顶点的三角形与△ACO全等,请直接写出点 的坐标.
8 6 4

2

C

D

B
5

-5

O
-2 -4

A

10

抛物线y=-x2+2bx-(2b-1) (b为常数) 与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点, 设OA﹒OB=3(O为坐标系原点).
(1)求抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为C,抛物线的对称轴交 X轴于点D,求证:D点是△ABC的外心;

(3)在抛物线上是否存在点P,使S△ABC =1? 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说 明理由.

y

C
O

A

D

B

x

y=-1时与抛物线还有两个交点

4

2

C

-5

O

A

D

B

5

-2

-4

三、课时安排(共27课时)
20.1 二次函数的概念 20.2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像 2课时 8课时

20.3二次函数解析式的确定
20.4二次函数性质

3课时
3课时

20.5二次函数的一些应用
20.6反比例函数的概念

3课时
1课时

20.7反比例函数的图像 性质和应用
小结与复习

3课时
3 课时


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