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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版,选修2-2)练习:知能基础测试3]


第三章知能基础测试
时间 120 分钟,满分 150 分.

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) z 1. (2014· 安徽理, 1)设 i 是虚数单位, z 表示复数 z 的共轭复数, 若 z=1+i, 则 +i·z i =( ) A.-2 C.2 [答案] C [解析] 本题考查共轭复数的概念,复数的四则运算. z - - 1 +i z=1+i,∴ z =1-i,∴ +i· z= +i(1-i)=-i+1+i+1=2. i i 2.(2013· 吉林白山一中高二期末)若复数 1+i、-2+i、3-2i 在复平面上的对应点分别 → 为 A、B、C,BC 的中点 D,则向量AD对应的复数是( 3 5 A. - i 2 2 3 5 C.- + i 2 2 [答案] D [解析] A(1,1),B(-2,1),C(3,-2), 1 1 ∴D( ,- ), 2 2 1 3 → ∴AD=(- ,- ). 2 2 1 3 → AD对应复数为- - i. 2 2 3.设 z 是复数,a(z)表示满足 zn=1 的最小正整数 n,则对虚数单位 i,a(i)=( A.8 C.4 [答案] C [解析] 考查阅读理解能力和复数的概念与运算. ∵a(z)表示使 zn=1 的最小正整数 n. 又使 in=1 成立的最小正整数 n=4,∴a(i)=4.故选 C. z+2 4.已知 z 是纯虚数, 是实数,那么 z 等于( 1-i ) B.6 D.2 ) 1 3 B. + i 2 2 1 3 D.- - i 2 2 ) B.-2i D.2i

A.2i C.-i [答案] D [解析] 本小题主要考查复数的运算.

B.i D.-2i

z+2 2+bi 2-b b+2 设 z=bi(b∈R),则 = = + i, 2 2 1-i 1-i ∴ b+2 =0,∴b=-2,∴z=-2i.故选 D. 2 a+i 为实数,则 a· b 等于( 1-bi B.-2 D.1 )

5.已知 a、b∈R,且 A.-1 C.2 [答案] A

a+i ?a+i??1+bi? [解析] ∵ = 1-bi 1+b2 = ?a-b?+?1+ab?i 为实数,∴1+ab=0, 1+b2

∴a· b=-1.故选 A. 7+i 6.(2014· 天津理,1)i 是虚数单位,复数 =( 3+4i A.1-i 17 31 C. + i 25 25 [答案] A [解析] 本题考查复数的加、减、乘、除四则运算. ?7+i??3-4i? 25-25i 原式= = =1-i,故选 A. 25 ?3+4i??3-4i? 7.若 1+x+x2=0,则 1+x+x2+…+x100 等于( A.0 1 3 C.- ± i 2 2 [答案] D 1 3 [解析] 由 1+x+x2=0 得 x=- ± i. 2 2 由 ω 的性质得 1+x+x2+…+x100=x99+x100=x99(1+x) 1 3 =1+x= ± i.故选 D. 2 2 8.若 i 是虚数单位,且满足(p+qi)2=q+pi 的实数 p、q 一共有( ) B.1 1 3 D. ± i 2 2 ) B.-1+i 17 25 D.- + i 7 7 )

A.1 对 C.3 对 [答案] D

B.2 对 D.4 对

?p2-q2=q ?p=0 ? ? [解析] 由(p+qi)2=q+pi 得(p2-q2)+2pqi=q+pi,所以? ,解得? 或 ?2pq=p ?q=0 ? ?

p= ? 2 ?p=0 ? 或 ?q=-1 1 ?

? 3 ? ?q=2
.因此满足条件的实数 p、q 一共有 4 对.故选 D.

?p=- 23 或? 1 ?q=2
A.2+3i C.3+2i [答案] A

9.(2014· 辽宁理,2)设复数 z 满足(z-2i)(2-i)=5,则 z=( B.2-3i D.3-2i

)

[解析] 考查了复数的运算. 5 z-2i= =2+i, 2-i ∴z=2+3i. 10.当 m∈R 时,方程(1-i)x2+mx-(1+i)=0 有( A.两不等实根 C.两非共轭虚根 [答案] C 1+i [解析] 令 m=0,则 x2= =i, 1-i ∴x= 2 2 2 2 + i 或 x=- - i 排除 A、B、D. 2 2 2 2 )

B.一对共轭虚根 D.一个实根和一个虚根

[说明] 虚系数一元二次方程不能用判别式,本题中 Δ=m2+4(1+i)(1-i)=m2+8>0, 但不能因此说此方程有两不等实根.故选 C. z2 → → → → 11.设向量OZ1、OZ2分别对应非零复数 z1、z2,若OZ1⊥OZ2,则 是( z1 A.非负数 C.正实数 [答案] B B.纯虚数 D.不确定 )

→ → [解析] ∵OZ1⊥OZ2,设 z1=a+bi,z2=c+di,则有 ac+bd=0. z2 c+di ?ad-bc?i+?ac+bd? ad-bc ∴ = = = 2 2 i.故选 B. z1 a+bi a2+b2 a +b 12.设复数 z=lg(m2-1)+ 1-mi,z 在复平面内的对应点( A.一定不在一、二象限 B.一定不在二、三象限 C.一定不在三、四象限 D.一定不在二、三、四象限 [答案] C
?m2-1>0 ? [解析] ∵? , ? ?1-m≥0

)

∴m<-1,此时 lg(m2-1)可正、可负, 1-m> 2,故选 C. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将正确答案填在题中横线上) 1 1 13.已知 x+ =-1,则 x2014+ 2014的值为________. x x [答案] -1 1 [解析] ∵x+ =-1,∴x2+x+1=0. x 1 3 ∴x=- ± i,∴x3=1. 2 2 2014=3×670+2,x2014=x3 ∴x2014+
×670+2

=x2,

1 1 1 x+ ?2-2 =x2+ 2=? x2014 x ? x?

=(-1)2-2=-1. 14.(2014· 江苏,2)已知复数 z=(5-2i)2(i 为虚数单位),则 z 的实部为________. [答案] 21 [解析] 本题考查复数的运算及复数的概念. 由题意 z=(5+2i)2=25+2×5×2i+(2i)2=21+20i,其实部为 21. 复数 z=a+bi 的实部为 a,虚部为 b. 15.复数 z 与(z+2)2-8i 均为纯虚数,则 z=________. [答案] -2i [解析] 设 z=mi(m≠0),则 (z+2)2-8i=(4-m2)+(4m-8)i 是纯虚数,
?4-m2=0 ? ∴? ,∴m=-2. ?4m-8≠0 ?

16.若复数 z 满足 z(1+i)=1-i(i 是虚数单位),则其共轭复数 z =________. [答案] i [解析] 本题考查共轭复数的概念及复数的代数运算. 1-i ?1-i?2 ∵z(1+i)=1-i,∴z= = =-i, 2 1+i ∴ z =i. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1 17.(本题满分 12 分)虚数 z 满足|z|=1,z2+2z+ <0,求 z. z [解析] 设 z=x+yi (x、y∈R,y≠0),∴x2+y2=1. 1 1 则 z2+2z+ =(x+yi)2+2(x+yi)+ z x+yi =(x2-y2+3x)+y(2x+1)i. 1 ∵y≠0,z2+2z+ <0, z
? ?2x+1=0, ∴? 2 2 ?x -y +3x<0, ?

① ② ③ 1

又 x2+y2=1.

?x=-2 由①②③得 ? 3 ?y=± 2

.

1 3 ∴z=- ± i. 2 2

18.(本题满分 12 分)已知 z=

a-i ,其中 i 为虚数单位,a>0,复数 ω=z(z+i)的虚部减 1-i

3 去它的实部所得的差等于 ,求复数 ω 的模. 2 a-i [解析] ∵z= ,代入 ω=z(z+i),得 1-i a-i a-i ?a-i??a+1? ω= ( +i)= 1-i 1-i ?1-i?2 = = ?a-i??a+1? ?1+ai??a+1? = 2 -2i a+1 a?a+1? + i, 2 2

a+1 a?a+1? ∴ω 的实部为 ,虚部为 , 2 2 a?a+1? a+1 3 由已知得 - = , 2 2 2

解得 a2=4,∴a=± 2. 又 a>0,故 a=2. |ω|=| a+1 a?a+1? 2+1 2?2+1? + i|=| + i| 2 2 2 2

3 3 =| +3i|= 5. 2 2 19.(本题满分 12 分)(2014· 郑州网校期中联考)已知复数 z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+ 2)i. (1)当实数 m 取什么值时,复数 z 是:①实数;②纯虚数; z2 (2)当 m=0 时,化简 . z+5+2i [解析] (1)①当 m2-3m+2=0 时,即 m=1 或 m=2 时,复数 z 为实数.
2 ? ?2m -3m-2=0, ? ②若 z 为纯虚数,则 2 ?m -3m+2≠0, ?

1 ? ?m=-2或m=2, 1 解得? ∴m=- . 2 ?m≠1且m≠2, ? 1 即 m=- 时,复数 z 为纯虚数. 2 (2)当 m=0 时,z=-2+2i, -8i -8i?3-4i? z2 32 24 = = =- - i. 25 25 25 z+5+2i 3+4i 20.(本题满分 12 分)(2014· 洛阳市高二期中)(1)已知复数 z 在复平面内对应的点在第四 - 象限,|z|=1,且 z+ z =1,求 z; 5m 2 (2)已知复数 z= -(1+5i)m-3(2+i)为纯虚数,求实数 m 的值. 1-2i [解析] (1)设 z=a+bi(a、b∈R),
2 2 ? ?a +b =1, ? 由题意得 ?2a=1. ?

1 3 解得 a= ,b=± . 2 2 ∵复数 z 在复平面内对应的点在第四象限,∴b=- 1 3 ∴z= - i. 2 2 (2)z= 5m2 -(1+5i)m-3(2+i)=(m2-m-6)+(2m2-5m-3)i,依题意,m2-m-6=0, 1-2i 3 . 2

解得 m=3 或-2.

∵2m2-5m-3≠0.∴m≠3. ∴m=-2. 21.(本题满分 12 分)已知复数 z= ?-1+3i??1-i?-?1-3i? ω ,ω=z+ai(a∈R),当| |≤ 2时,求 a 的取值范围. i z ?-1+3i??1-i?-?1-3i? 1+i [解析] ∵z= = =1-i, i i ω? |ω| ∴|z|= 2.又? ? z ?= |z| ≤ 2,∴|ω|≤2. 而 ω=z+ai=(1-i)+ai=1+(a-1)i,(a∈R), 则 12+?a-1?2≤2?(a-1)2≤3, ∴- 3≤a-1≤ 3,1- 3≤a≤1+ 3. 22.(本题满分 14 分)设虚数 z 满足|2z+15|= 3| z +10|. (1)求|z|; z a (2)若 + 是实数,求实数 a 的值. a z [解析] (1)设 z=x+yi(x,y∈R,y≠0), |2x+2yi+15|= 3|x-yi+10|, ∴|z|= x2+y2=5 3. z a x+yi a (2) + = + a z a x+yi x ax y ay =?a+x2+y2?+?a-x2+y2?i.

?

? ?

?

z a y ay ∵ + 为实数,∴ - 2 2=0. a z a x +y 1 a ∵y≠0,∴ - 2 2=0, a x +y ∴a2=x2+y2=75,a=± 5 3.


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