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高中数学课件:第一章 1.2.2 第二课时 直线与平面平行


1.2

第 一 章 立 体 几 何 初 步

点、 线、 面 之 间 的 位 置 关 系

1.2. 2

空间
中的 平行 关系

第 二 课 时 直 线 与 平 面 平 行

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[读教材·填要点]

1.空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位 公共点

置关系
直线在平面内

个数 无数个

图形语言

符号语言 a?α a∩α=A

有且只 直线与平面相交 有一个 直线与平面平行 无

a∥α

2.直线与平面平行的判定与性质定理 定理 内容 图形、简述

符号
语言 l?α ? ? m?α ? l∥m ? ?
?l∥α;

如果 不在一个平面内 的
判定 一条直线和 平面内 的一 定理 条直线平行,那么这条 直线和这个平面平行. 简述为:若线

线平行,则线
面平行.

定理

内容

图形、简述

符号语言

如果一条直线和
一个平面平行, l∥α
? ? ? ? ?

性质
定理

经过这条直线的 平面和这个平面 相交,那么这条 直线与 两个平面 的交线 平行

简述为:
若线面平行, 则线线平行

l?β α∩β=m
?l∥m

[小问题·大思维] 1.如果一条直线在平面外,则这条直线一定与平面平 行吗? 提示:不一定.也有可能直线与平面相交.

2.木工在处理如图所示的一块木料

时,发现该木料表面A′B′C′
D′内有一条裂纹D′P,已知 BC∥平面A′C′.他打算经过 点P和BC将木料锯开,却不知如何画线,你能帮助他解决 这个问题吗?

提示:∵BC∥平面A′C′,面BC′经过BC和面A′C′交于B′C′,

∴BC∥B′C′.
经过点P在面A′C′上画线段EF∥B′C′, ∴EF∥BC.∴EF?面BF,BC?面BF. 连结BE和CF,BE,CF,EF就是所要画的线.

[研一题]

[例1]

下列说法中正确的个数为

(

)

①如果一条直线与一平面平行,那么这条直线与平面 内的任意一条直线平行;②过平面外一点有且只有一条直 线与平面平行;③一条直线上有两点到一个平面的距离相 等,则这条直线平行于这个平面. A.0 C.2 B.1 D.3

[自主解答]

对于①,直线与平

面平行,只是说明直线与平面没有公 共点,也就是直线与平面内的直线没 有公共点,没有公共点的两条直线其 位置关系除了平行之外,还有异面,如图(1).正方体

ABCD-A1B1C1D1,A1B1∥平面ABCD,A1B1与BC的位
置关系是异面,并且容易知道,异面直线A1B1与BC所成 的角为90°,因此①是错误的.

对于②,如图(1),∵A1B1∥AB,
A1D1∥AD且AD,AB?平面ABCD,A1D1、A1B1?平

面ABCD,∴A1B1∥平面ABCD,A1D1∥平面ABCD,可以
说明过平面外一点不只有一条直线与已知平面平行,而是 有无数多条,可以想象,在平面A1B1C1D1内过点A1的任一 条直线,与平面ABCD的位置关系都是平行的.

∴②也是错误的.对于③,我们可以继续借助正方体
ABCD-A1B1C1D1来举反例,如图(2), 取AD,BC的中点为E,F,A1D1,B1C1 的中点为G,H,连接EF、FH、HG、GE, ∵E,F,H,G分别为AD,BC,B1C1,A1D1 的中点, ∴可以证明,EFHG为平行四边形,且该截面恰好把

正方体一分为二,A,D两个点到该截面的距离相等,且
AD∩平面EFHG=E,∴③也是错误的. [答案] A

[悟一法]
直线与平面位置关系的判定问题,最好结合相关图 形求解.正方体(长方体)是立体几何中的重要模型,直线 与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.

[通一类]
1.下列说法正确的是 ( )

A.若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α
B.若直线a在平面α外,则a∥α C.若直线a∥b,b?α,则a∥α D.若直线a∥b,b?α,则直线a就平行于平面α内的无 数条直线

解析: 选项 分 析 结论

A
B C D

缺少l?α这一条件,故l可能在平面α内.
直线在平面外包括直线与平面平行和相交 两种情形. 缺少a?α这一条件 当a?α时结论正确;当a?α时结论也正确

不正确
不正确 不正确 正确

答案:D

[研一题]

[例2]

如图所示,已知正四棱锥

P-ABCD,M,N分别是PA,BD上

的点,且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.
证明MN∥平面PBC.

[自主解答]

连接 AN 并延长交 BC 于 E,连接 PE,

由 AD∥BC,得△ADN∽△EBN, BN EN ∴ND=NA. BN PM 5 又ND=MA=8, EN PM ∴NA=MA, 故 MN∥PE. 又 PE?平面 PBC,而 MN?平面 PBC, ∴MN∥平面 PBC.

[悟一法]
用判定定理证明线面平行的步骤

[通一类]

2.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,
点D是AB的中点,求证:BC1∥平面CA1D.

证明:如图,连接AC1交A1C于点O,连接OD,

则O是AC1的中点. 又∵点D是AB的中点,∴OD∥BC1. 又∵OD?平面CA1D,BC1?平面CA1D,

∴BC1∥平面CA1D.

[研一题]
[例3] 如图,三棱锥A-BCD被

一平面所截,截面为平行四边形EFGH. 求证:CD∥平面EFGH.

[自主解答]

∵四边形EFGH为平行四边形,

∴EF∥GH, 又GH?平面BCD,

∴EF∥平面BCD.
而平面ACD∩平面BCD=CD, EF?平面ACD, ∴EF∥CD. 又EF?平面EFGH,CD?平面EFGH,

∴CD∥平面EFGH.

[悟一法] 利用线面平行的性质定理解题步骤 (1)确定(或寻找)一条直线平行一个平面.

(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的
平面; (3)确定交线,由性质定理得出结论.

[通一类]
3.过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一个平面交平面 CDD1C1于EE1,求证:BB1∥EE1. 证明:∵CC1∥BB1, CC1?平面DCC1D1, BB1?平面DCC1D1, ∴BB1∥平面CDD1C1, 又∵BB1?平面BB1E1E且平面CC1D1D∩平面B1BEE1

=EE1,
∴BB1∥EE1.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN,
求证:MN∥平面AA1B1B. [证明] 法一:如图,作 ME∥BC,
交 BB1 于 E,作 NF∥AD, 交 AB 于 F,连接 EF,则 EF?平面 AA1B1B. ME B1M NF BN 且 BC = B C ,AD=BD. 1 ∵在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,CM=DN, ∴B1M=NB.

ME BN NF ∴ BC =BD=AD,∴ME=NF. 又 ME∥BC∥AD∥NF, ∴四边形 MEFN 为平行四边形,∴MN∥EF. ∵MN?平面 AA1B1B,EF?平面 AA1B1B, ∴MN∥平面 AA1B1B.

法二:如图,连接 CN 并延长交 BA 所在直线于点 P, 连接 B1P,则 B1P?平面 AA1B1B. ∵△NDC∽△NBP, DN CN ∴ NB=NP. 又 CM=DN,B1C=BD, CM DN CN ∴MB =NB= NP. 1 ∴MN∥B1P, ∵MN?平面 AA1B1B,B1P?平面 AA1B1B, ∴MN∥平面 AA1B1B.


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