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专题一 利用导数研究含参数的函数的性质


专题一 利用导数研究含参数的函数的性质(单调性、极值、最值) 解题方法:分类讨论、数形结合 解题步骤: (一)讨论单调性 1.判断定义域 2.求导数 f’(x)(将导数化为二次函数形式) 验证二次项系数等于 0 时的单调性 若二次项系数不等于 0,观察 f’(x)能否因式分解 能的话,解出两根,判断根是否在定义区间内,列表判断 不能的话,写成完全平方式,将含参数的常数项的分情况讨

论 ①常数项大于等于 0,只有唯一单调性 ②常数项小于 0,解出两根,判断根是否在定义区间内,列表判断 例题: 1.(2012 浙江文 21)已知 a∈R,函数 f ( x ) ? 4 x 3 ? 2 ax ? a (1)求 f(x)的单调区间 解析: (1)由题意得 f ?( x ) ? 12 x 2 ? 2 a , 当 a ? 0 时, f ?( x ) ? 0 恒成立,此时 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ?? , ?? ? . 当 a ? 0 时,f ? ( x ) ? 12( x ?
a 6 )( x ? a
? ), 此时函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ? 6 ?
x ? x ? ax
3 2

a 6

,

a? ?. 6?

2.(2012 全国文 21)已知函数 f ( x ) ? (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性;

1 3

3.(2012 高考天津文科 20)已知函数 f ( x ) ? (I)求函数 f ( x ) 的单调区间;

1 3

x ?
3

1? a 2

x ? ax ? a ,x∈ R其中 a>0.
2

1

4.(2011 天津文) 已知函数 f ( x ) ? 4 x ? 3tx ? 6 t x ? t ? 1, x ? R ,其中 t ? R .当
3 2 2

t ? 0 时,求 f ( x ) 的单调区间
2 2 解析: f ?( x ) ? 12 x ? 6 tx ? 6 t ,令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? ? t 或 x ?

t 2

.

因为 t ? 0 ,以下分两种情况讨论: (1)若 t ? 0, 则 X
f ?( x )
f ( x)

t 2

? ? t , 当 x 变化时, f ?( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:

t ? ? ? ?? , ? 2 ? ?

? t ? , ?t ? ? ? 2 ?

? ? t , ?? ?
+

+

-

t ? 所以, f ( x ) 的单调递增区间是 ? ? ? , 2 ?

? ? t ? ? , ? ? t , ? ? ? ; f ( x ) 的单调递减区间是 ? , ? t ? 。 ? ?2 ?

(2)若 t ? 0, 则 ? t ?
x

t 2

,当 x 变化时, f ?( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:

? ?? , t ?
+

t ? ? ? ?t, ? 2? ?

?t ? ? , ?? ? ?2 ?

f ?( x )

-

+

f ( x)

t ? t ? ? 所以, f ( x ) 的单调递增区间是 ? ? ? , ? t ? , ? , ? ? ? ; f ( x ) 的单调递减区间是 ? ? t , 2 ?2 ? ?
2

? ?. ?

5. (2010 山东理)已知函数 f ( x ) ? ln x ? ax ?

1? a x

? 1 .讨论

f ( x ) 的单调性

(二)讨论极值最值 1.(2011· 北京海淀)已知函数 f(x)=(ax-1)ex,a∈R.(1)当 a=1 时,求函数 f(x)的极值; 解析:(1)因为 f ′(x)=(ax+a-1)ex, 所以当 a=1 时,f ′(x)=xex, 令 f ′(x)=0,则 x=0, 所以 f(x),f ′(x)的变化情况如下表:

3

所以 x=0 时,f(x)取得极小值 f(0)=-1. 2.(2011· 大纲全国卷文,21)已知函数 f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4(a∈R). (1)证明:曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线过点(2,2); (2)若 f(x)在 x=x0 处取得最小值,x0∈(1,3),求 a 的取值范围. 解析:(1)f′(x)=3x2+6ax+3-6a 由 f(0)=12a-4, f′(0)=3-6a 得曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线方程为 y=(3-6a)x+12a -4,由此知曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线经过点(2,2). (2)由 f′(x)=0,得 x2+2ax+1-2a=0 (ⅰ)当- 2-1≤a≤ 2-1 时,f(x)没有极小值. (ⅱ)当 a> 2-1 或 a<- 2-1 时,由 f′(x)=0 得 x1=a- a2+2a-1,x2=-a+ a2+2a-1 故 x0=x2,由题设知,1<-a+ a2+2a-1<3 当 a>2-1 时,不等式 1<-a+ a2+2a-1<3 无解 5 当 a<- 2-1 时,解不等式 1<-a+ a2+2a-1<3 得- <a<- 2-1 2 5 综合(ⅰ)(ⅱ)得 a 的取值范围是(- ,- 2-1). 2 3.(2011· 重庆理,18)设 f(x)=x3+ax2+bx+1 的导数 f′(x)满足 f′(1)=2a,f′(2)=-b,其 中常数 a,b∈R. (1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)设 g(x)=f′(x)e x,求函数 g(x)的极值. 解析: (1)因 f(x)=x3+ax2+bx+1, 故 f′(x)=3x2+2ax+b, 令 x=1,得 f′(1)=3+2a+b,由已知 f′(1)=2a, 因此 3+2a+b=2a,解得 b=-3. 又令 x=2,得 f′(2)=12+4a+b,由已知 f′(2)=-b,因此 12+4a+b=-b,解得 a 3 =- . 2 3 5 因此 f(x)=x3- x2-3x+1,从而 f(1)=- . 2 2
4


3 5 又因为 f′(1)=2×(- )=-3,故曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-(- )= 2 2 -3(x-1),即 6x+2y-1=0. (2)由(1)知 g(x)=(3x2-3x-3)e x, 从而有 g′(x)=(-3x2+9x)e x. 令 g′(x)=0,得-3x2+9x=0,解得 x1=0,x2=3. 当 x∈(-∞,0)时,g′(x)<0,故 g(x)在(-∞,0)上为减函数; 当 x∈(0,3)时,g′(x)>0,故 g(x)在(0,3)上为增函数; 当 x∈(3,+∞)时,g′(x)<0,故 g(x)在(3,+∞)上为减函数; 从而函数 g(x)在 x1=0 处取得极小值 g(0)=-3,在 x2=3 处取得极大值 g(3)=15e 3. 作业: 1.(2011· 安徽理,16)设 f(x)= ex 4 ,其中 a 为正实数.(1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3 1+ax2
- - -

1+ax2-2ax [解析] 对 f(x)求导得 f′(x)=ex . ?1+ax2?2 4 3 1 (1)当 a= 时,若 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0,解得 x1= ,x2= . 3 2 2 结合①,可知

3 1 所以,x1= 是极小值点,x2= 是极大值点. 2 2 2. 已知函数 f ( x ) ? ( a ? 1) ln x ? ax ? 1 .
2

(Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性;

5

3.(2009 天津文) 设函数 f ( x ) ? ?

1 3

x ? x ? ( m ? 1) x , ( x ? R , ) 其中 m ? 0
3 2 2

(Ⅰ)当 m ? 1时, 曲线 y ? f ( x ) 在点( 1, f (1))处的切线斜率 (Ⅱ)求函数的单调区间与极值; 解: (1)当 m ? 1时, f ( x ) ?
1 3 x ? x , f ( x ) ? x ? 2 x , 故 f (1) ? 1
3 2 / 2 '

所以曲线 y ? f ( x ) 在点( 1, f (1))处的切线斜率为 1. (2)解: f ( x ) ? ? x ? 2 x ? m ? 1 ,令 f ( x ) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m , x ? 1 ? m
' 2 2 '

因为 m ? 0 , 所以 1 ? m ? 1 ? m 当 x 变化时, f ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:
x
( ?? ,1 ? m )
'

1? m

(1 ? m ,1 ? m )

1? m

(1 ? m , ?? )

f ( x)

'

+

0

-

0

+

f ( x)

极小值

极大值

f ( x ) 在 ( ?? ,1 ? m ) 和 (1 ? m , ?? ) 内减函数,在 (1 ? m ,1 ? m ) 内增函数。

函数 f ( x ) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m ) ,且 f (1 ? m ) =

2 3

m ?m ?
3 2

1 3

函数 f ( x ) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m ) ,且 f (1 ? m ) = ?

2 3

m ?m ?
3 2

1 3

4. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 ax ? (3 ? 6 a ) x ? 12 a ? 4 ( a ? R )
3 2

(1) 证明:曲线 y ? f ( x ) 在 x ? 0 处地切线过点 (2, 2) ; (2) 若 f ( x ) 在 x ? x 0 出取得极小值, x 0 ? (1, 3) ,求 a 的取值范围。 【答案】 (1)1(2) f ( x ) 在 ( ?? ,1 ? m ) 和 (1 ? m , ?? ) 内减函数,在 (1 ? m ,1 ? m ) 内
2 3 1 3

增函数。函数 f ( x ) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m ) ,且 f (1 ? m ) =

m ?m ?
3 2

6

函数 f ( x ) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m ) ,且 f (1 ? m ) = ?

2 3

m ?m ?
3 2

1 3

解:(1)当 m ? 1时, f ( x ) ?

1 3

x ? x , f ( x ) ? x ? 2 x , 故 f (1) ? 1
3 2 / 2 '

所以曲线 y ? f ( x ) 在点( 1, f (1))处的切线斜率为 1. (2)解: f ( x ) ? ? x ? 2 x ? m ? 1 ,令 f ( x ) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m , x ? 1 ? m
' 2 2 '

因为 m ? 0 , 所以 1 ? m ? 1 ? m 当 x 变化时, f ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:
x
' '

( ?? ,1 ? m )

1? m

(1 ? m ,1 ? m )

1? m

(1 ? m , ?? )

f ( x)

+

0

-

0

+

f ( x)

极小值

极大值

f ( x ) 在 ( ?? ,1 ? m ) 和 (1 ? m , ?? ) 内减函数,在 (1 ? m ,1 ? m ) 内增函数。

函数 f ( x ) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m ) ,且 f (1 ? m ) =

2 3

m ?m ?
3 2

1 3

函数 f ( x ) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m ) ,且 f (1 ? m ) = ? 4. 设 a>0,讨论函数 f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)的单调性。 解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ?? ).
2 a (1 ? a ) x ? 2(1 ? a ) x ? 1
2

2 3

m ?m ?
3 2

1 3

f ?( x ) ?

,

x

当 a ? 1时 ,方 程 2a(1-a)x ? 2(1 ? a ) x ? 1 ? 0 的判别式
2

1? ? ? ? 12( a ? 1) ? a ? ? . 3? ?

①当 0 ? a ?

1 3

时 , ? ? 0, f ?( x ) 有两个零点,

7

x1 ?

1 2a

?

( a ? 1)(3 a ? 1) 2 a (1 ? a )

? 0, x 2 ?

1 2a

?

( a ? 1)(3 a ? 1) 2 a (1 ? a )

且当 0 ? x ? x1或 x ? x 2时 , f ?( x ) ? 0, f ( x ) 在 (0, x1 ) 与 ( x 2 , ?? ) 内为增函数; 当 x1 ? x ? x 2时 , f ?( x ) ? 0, f ( x ) 在 ( x1 , x 2 ) 内为减函数; ②当
1 3 ? a ? 1时 , ? ? 0, f ?( x ) ? 0, 所 以 f ( x ) 在 (0, ?? ) 内为增函数;

③当 a ? 1时 , f ?( x ) ?

1 x

? 0( x ? 0), f ( x ) 在 (0, ?? ) 内为增函数;

④当 a ? 1时 , ? ? 0, x1 ?

1 2a

?

( a ? 1)(3 a ? 1) 2 a (1 ? a )

? 0,

x2 ?

1 2a

?

( a ? 1)(3 a ? 1) 2 a (1 ? a )

? 0, 所 以 f ?( x ) 在定义域内有唯一零点 x1 ,

且 当 0 ? x ? x1时 , f ?( x ) ? 0, f ( x ) 在 (0, x1 ) 内 为 增 函 数 ; 当 x ? x1 时 ,
f ?( x ) ?
1 3

0 ,f 在( x

1

) ?x ( 内为减函数。 ? , )

f ( x ) 的单调区间如下表:
1 3

a ?1
? a ?1

0? a ?

(0, x1 )

( x1 , x 2 )

( x 2 , ?? )

(0, ?? )

(0, x1 )

( x1 , ?? )

(其中 x1 ?

1 2a

?

( a ? 1)(3 a ? 1) 2 a (1 ? a )

, x2 ?

1 2a

?

( a ? 1)(3 a ? 1) 2 a (1 ? a )



5.(2012 高考新课标文 21) 设函数 f(x)= ex-ax-2 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) f?(x)+x+1>0,求 k 的最大值

8

9 6.(2011· 徐州二模)已知函数 f(x)=(x2-3x+ )ex,其中 e 是自然对数的底数. 4 (1)求函数 f(x)的图像在 x=0 处的切线方程; (2)求函数 f(x)在区间[-1,2]上的最大值与最小值. 9 [解析] (1)因为 f(x)=(x2-3x+ )ex, 4 9 所以 f(0)= , 4 9 3 3 又 f ′(x)=(2x-3)ex+(x2-3x+ )ex=(x2-x- )ex,所以 f ′(0)=- , 4 4 4 所以函数 f(x)的图像在 x=0 处的切线方程为: 9 3 y- =- x,即 3x+4y-9=0. 4 4 3 (2)由(1)得 f(x)=(x- )2ex, 2 1 3 f ′(x)=(x+ )(x- )ex. 2 2 当 x 变化时,函数 f(x),f ′(x)在区间[-1,2]上的变化情况如下表: x f ′(x) 1 [-1,- ) 2 + - 0
9

1 2

1 3 (- , ) 2 2 -

3 2 0

3 ( ,2] 2 +

f(x)

?

极大值

?

极小值

1 函数 f(x)在区间[-1,2]上的最大值 f(x)max=max{f(- ),f(2)},最小值 f(x)min=min{f(- 2 3 1),f( )}. 2 1 1 1 ∵f(2)-f(- )= e2-4e- 2 4 2 = e5-16 35- 256 < <0, 4 e 4 e

3 25 - f( )-f(-1)=0- e 1<0, 2 4 1 1 3 ∴f(x)max=f(- )=4e- ,f(x)min=f( )=0. 2 2 2 7.(2012 重庆文 17)已知函数 f ( x ) ? ax 3 ? bx ? c 在 x ? 2 处取得极值为 c ? 16 (1)求 a、b 的值; (2)若 f ( x ) 有极大值 28,求 f ( x ) 在 [ ? 3, 3] 上的最大值. 【解析】 (Ⅰ)因 f ( x ) ? ax 3 ? bx ? c 故 f ?( x ) ? 3 ax 2 ? b 得极值
12 a ? b ? 0 ? f ?(2) ? 0 ? ? 12 a ? b ? 0 ? a ?1 故有 ? 即? ,化简得 ? 解得 ? ? f (2) ? c ? 16 ? 8 a ? 2 b ? c ? c ? 16 ?4a ? b ? ?8 ? b ? ? 12

由于 f ( x ) 在点 x ? 2 处取

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

3 2 f ( x ) ? x ? 12 x ? c , f ?( x ) ? 3 x ? 12

令 f ?( x ) ? 0 , x1 ? ? 2, x 2 ? 2 当 x ? ( ?? , ? 2) 时, f ?( x ) ? 0 故 f ( x ) 在 ( ?? , ? 2) 上为增 得 函数; 当 x ? ( ? 2, 2) 时, f ?( x ) ? 0 故 f ( x ) 在 ( ? 2, 2) 上为减函数 当 x ? (2, ?? ) 时 f ?( x ) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (2, ?? ) 上为增函数。 由此可知 f ( x ) 在 x1 ? ? 2 处取得极大值 f ( ? 2) ? 16 ? c , f ( x ) 在 x 2 ? 2 处取得极小值
f (2) ? c ? 16 f (? 3 ?)


c?9






1





16 ? c ? 28



c ? 12





? f 2

, (2) 3 ? ) ,? fc? ? c ? 16 ? ? 4 因此 f ( x3 上 [ ? 3, 3] 的最小值 ( ? 9 )

为 f (2) ? ? 4 8.(2012 高考湖北文 22) 设函数 ,n 为正整数,a,b 为常数,曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切
10

线方程为 x+y=1. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的最大值

11


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