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高中数学竞赛专题讲座之二:三角函数与向量


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二.向量部分
1.(集训试题)已知 a =(cos

2 2 π , sin π ), OA ? a ? b , OB ? a ? b ,若△OAB 是以 O 3 3
( C.2 D. )

为直角顶点的等腰直角三角形

,则△OAB 的面积等于 A.1 B.

1 2
?

3 2
3

) ? ( ? x ? ,? y ? ?0 ?( x ? , y ? ?(a ? b)( a ? b) ? 0 ? ? 2 2 2 2 解:设向量 b =(x, y),则 ? ,即 ? , 1 2 3 2 1 2 3 2 ?| a ? b |?| a ? b | ? ? ) ? (x ? ) ? ( y ? ) ?( x ? ) ? ( y ? ? 2 2 2 2
?x 2 ? y 2 ? 1 1 3 1 3 1 ? 即? . ∴b ? ( , ) 或 (? , ) ,∴S△AOB= | a ? b || a ? b | =1。 2 2 2 2 2 ?x ? 3 y ? ??? ? ??? ? ???? ? 2. (2004 全国) O 点在 ?ABC 内部, 设 且有 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 , ?ABC 的面积与 ?AOC 则
的面积的比为( A. 2 ) B.

1

3

1

??? ???? ? ???? OA ? OC ? 2OD (1) 解:如图,设 D,E 分别是 AC,BC 边的中点,则 ??? ???? ? ???? ? 2(OB ? OC ) ? 4OE (2)

3 2

C. 3

D.

5 3

A

D

O

???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? ? 由(1) (2)得, OA ? 2OB ? 3OC ? 2(OD ? 2OE ) ? 0 ,即 OD与OE 共线,
且 | OD |? 2 | OE |

B

E

C

????

??? ?

?

S?AEC 3 S 3? 2 ? , ? ?ABC ? ? 3 , 故选 C。 S?AOC 2 S?AOC 2

3、 (2006 陕西赛区预赛)如图 1,设 P 为△ABC 内一点, 且 AP ?

??? ?

? 2 ??? 1 ???? AB ? AC , 5 5
( A ) C.

则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为 A.

1 5

B.

2 5

1 4

D.

1 3

4.(2005 年浙江)已知 a , b 是两个相互垂直的单位向量,而 | c |? 13 , c ? a ? 3 , c ? b ? 4 。 则对于任意实数 t1 ,t2 , | c ? t1 a ? t2 b | 的最小值是 ( )

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(A) 5 【解】 :由条件可得

(B) 7
2

(C) 12
2 2

(D) 13
2

c ? t1 a ? t 2 b ? c ? 6t1 ? 8t 2 ? t1 ? t 2

? 169 ? (t1 ? 3) 2 ? (t 2 ? 4) 2 ? 25 ? 144 ? (t1 ? 3) 2 ? (t 2 ? 4) 2 ? 144
当 t1 ? 3, t 2 ? 4 时, c ? t1 a ? t 2 b
2

? 144 。

?选 【 C 】

5.(2005 全国)空间四点 A、 C、 满足 | AB |? 3, | BC |? 7, | CD |? 11, | DA |? 9, 则 B、 D

AC ? BD 的取值
A.只有一个
2 2

( B.有二个

) C.有四个
2 2

D.有无穷多个

解:注意到 3 ? 11 ? 1130 ? 7 ? 9 , 由于 AB ? BC ? CD ? DA ? 0, 则 DA ? DA =
2

?

2

( AB ? BC ? CD) 2 ? AB 2 ? BC 2 ? CD 2 ? 2( AB ? BC ? BC ? CD ? CD ? AB) ? AB 2 ?
BC 2 ? CD 2 ? 2( BC ? AB ? BC ? BC ? CD ? CD ? AB) ? AB 2 ? BC 2 ? CD 2 ? 2( AB ?
2

BC ) ? ( BC ? CD), 即 2 AC ? BD ? AD 2 ? BC 2 ? AB 2 ? CD 2 ? 0,? AC ? BD 只有一个值得 0,故
选 A。 6. (2006 吉林预赛) 已知 P 为△ABC 内一点, 且满足 3PA ? 4 PB ? 5PC ? 0 , 那么 S△PAB: △PBC: S

S△PCA =



7. (2006 年南昌市)等腰直角三角形的直角顶点 A 对应的向量为 A ?1, 0 ? ,重心 G 对应的向 量为 G ? 2, 0 ? ,则三角形另二个顶点 B 、 C 对应的向量为______________. 8. (2006 年浙江省预赛)手表的表面在一平面上。整点 1,2,…,12 这 12 个数字等间隔 地分布在半径为

2 的 圆 周 上 。 从 整 点 i 到 整 点 ( i + 1 ) 的 向 量 记 作 t i t i ?1 , 则 2


t1t 2 ? t 2 t 3 ? t 2 t 3 ? t 3t 4 ? ? ? t12t1 ? t1t 2 =
解: 连接相邻刻度的线段构成半径为

2 的圆内接正 12 边形。 相邻两个边向量的夹角即为正 2 2 ? ? sin 2 12
? 2 2? 3 。 4


12 边 形 外 角 , 为 30 度 。 各 边 向 量 的 长 为 2 ?

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? 2? 3 ? ? cos ? ? 2 2 ? 3 3 。共有 12 个相等项。所以求得数量积之和为 t1 t 2 ? t 2 t 3 ? ? 2 ? 4 2 4 ? 6 ? ?
6 3 ?9。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2

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