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2015年01月27日周为的高中数学组卷


2015 年 01 月 27 日周为的高中数学组卷

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2015 年 01 月 27 日周为的高中数学组卷
一.选择题(共 6 小题) 1.已知椭圆 =1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,|F1F2|= ,P 是 y 轴正半轴上一点,PF1 交椭圆于

点 A,若 AF2⊥ PF1,且△ APF2 的内切圆半径为

,则椭圆的离心率是(



A.

B.

C.

D.

2.已知椭圆:

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,以 F1 为顶点,F2 为焦点的抛物线经过椭圆短轴 ) C. D.

的两端点,则椭圆的离心率为( A. B.

3.已知 F1,F2 分别为椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左,右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A,B )

两点,若△ ABF2 为钝角三角形,则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围为(

A.(0,

﹣1)

B.(0,

﹣1)

C .(

﹣1,1)

D.(

﹣1,1)

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www.jyeoo.com 4. 已知 F1, F2 分别是椭圆 则椭圆的离心率为( A. ) B. C. D. + =1 (a>b>0) 的左右两个焦点, 过 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P, 若∠ F1PF2= ,

5.点 F1,F2 为椭圆 率为( A. )

+

=1(a>b>0)的左右焦点,若椭圆上存在点 A 使△ AF1F2 为正三角形,那么椭圆的离心

B.

C.

D.

﹣1

6. (2007?南京模拟)若椭圆 A.

+y =1(a>0)的一条准线经过抛物线 y =﹣8x 的焦点,则该椭圆的离心率为( B. C. D.

2

2



二.填空题(共 3 小题) 7. (2007?丰台区一模)若椭圆 1 两段,则此椭圆的离心率为 _________ . 的左右焦点分别是 F1,F2,线段 F1F2 被 y =bx 焦点分为 3:
2

8.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,左,右焦点分别为 F1,F2,点 G 在椭圆上,





且△ GF1F2 的面积为 3,则椭圆的方程为 _________ .

9.已知 F1,F2 分别是椭圆

(a>b>0)的左,右焦点,若椭圆的右准线上存在一点 P,使得线段 PF1 的

垂直平分线过点 F2,则离心率的范围是 _________ . 三.解答题(共 17 小题) 10. (2013?太原一模)已知椭圆 的离心率为 ,点 F1,F2 分别是椭圆 C 的左,右焦

点,以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴为半径的圆与直线 x﹣y+ =0 相切. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )若过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于点 M,N 两点,求使△ Fl MN 面积最大时直线 l 的方程.

11.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率 e=

,且短半轴 b=1,F1,F2 为其左右焦点,P 是椭圆上动点.

(Ⅰ )求椭圆方程;
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(Ⅱ )求

www.jyeoo.com ? 取值范围.

12.已知椭圆 C: 焦点. (1)求椭圆 c 的方程;

的离心率

,长轴长为 6,0 为坐标原点.f1,F2 分别为椭圆的左,右

(2)若 P 为椭圆 C 上的一点,直线 PF2 交椭圆于另一点 Q,试问是否存在 P 点使|PF1|=|PQ|,若存在求△ PF1Q 的面 积;否则说明理由.

13.已知椭圆

+

=1(a>b>0)经过点(0,

) ,离心率为 ,左、右焦点分别为 F1(﹣c,0)与 F2(c,0) .

(Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )设椭圆 C 与 x 轴负半轴交点为 A,过点 M(﹣4,0)作斜率为 k(k≠0)的直线 l,交椭圆 C 于 B、D 两点(B 在 M、D 之间) ,N 为 BD 中点,并设直线 ON 的斜率为 k1. (i)证明:k?k1 为值; (ii)是否存在实数 k,使得 F1N⊥ AD?如果存在,求直线 l 的方程;如果不存在,请说明理由. 14.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列{bn}满足 b1=a1,b4=S3. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)设 cn= ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的取值范围.

15. (2014?呼伦贝尔二模) 数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 an 是 Sn 和 1 的等差中项, 等差数列{bn}满足 b1=a1, b4=S3. (Ⅰ )求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ )设 cn= ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,证明:Tn< .

16. (2014?咸阳一模)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列{bn}满足 b1=a1,b4=S3. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)设 ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,证明: .

17.数列{an}的前 n 项和为 Sn,an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列{bn}满足 b1+S4=0,b9=a1. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Wn.
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www.jyeoo.com 18.等差数列{an}的前 n 项和是 Sn,满足条件 a6 是 a2,S4 的等差中项,且数列首项为 1. (1)求等差数列{an}的公差 d; (2)设 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,是否存在实数 λ,使得 Tn<λan+1 对一切 n∈N 都成立?若存在,求出 λ
*

的取值范围,若不存在说明理由.
2

19.双曲线 C 的方程为

﹣y =1,其渐近线为 l1,l2

(1)设 P(x0,y0)为双曲线上一点,P 到 l1,l2 距离分别为 d1,d2,求证:d1d2 为定值 (2)斜率为 1 的直线 l 交双曲线 C 于 A,B 两点,若 ? = ,求直线 l 的方程.

20.已知双曲线 C:



=1 过点(2,3) ,且一条渐近线的倾斜角为



(Ⅰ )求双曲线 C 的方程; (Ⅱ )设双曲线 C 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线 C 右支上一点,求 的最小值.

21.设双曲线 C 与双曲线

共渐近线且过点 M(



) ,

(1)求双曲线 C 的方程; (2)是否存在过点 P(1,1)的直线 l 与双曲线 C 交于 A、B 两点且点 P 平分线段 AB,若存在求直线 l 的方程, 若不存在说明理由.

22.以椭圆 C:

=1(a>b>0)的中心 O 为圆心,以

为半径的圆称为该椭圆的“伴随”.已知椭圆的离心

率为

,且过点



(1)求椭圆 C 及其“伴随”的方程; (2)过点 P(0,m)作“伴随”的切线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,记△ AOB(O 为坐标原点)的面积为 S△AOB,将 S△AOB 表示为 m 的函数,并求 S△AOB 的最大值.

23. 已知椭圆 C 的方程为

(a>b>0) , 称圆心在坐标原点 O, 半径为

的圆为椭圆 C 的“伴随圆”,

椭圆 C 的短轴长为 2,离心率为



(Ⅰ )求椭圆 C 及其“伴随圆”的方程; (Ⅱ )若直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,与其“伴随圆”交于 C,D 两点,当|CD|=

时,求△ AOB 面积的最大值.

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www.jyeoo.com 24. (2014?潍坊模拟)以椭圆 C: + =1(a>b>0)的中心 O 为圆心, 为半径的圆称为该椭圆的“准

圆”.设椭圆 C 的左顶点为 P,左焦点为 F,上顶点为 Q,且满足|PQ|=2,S△POQ= (Ⅰ )求椭圆 C 及其“准圆”的方程;

S△OFQ.

(Ⅱ )若椭圆 C 的“准圆”的一个弦 ED(不与坐标轴垂直)与椭圆 C 交于 M、N 两点,试证明:当 问弦 ED 的长是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

?

=0 时,试

25.椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,圆心在坐标原点,半径为

的圆 C1 定义为椭圆 C 的“友好圆”.若椭圆

C 的离心率为 e=

,且其短轴上的一个端点到右焦点 F 的距离为



(1)求椭圆 C 的方程及其“友好圆”圆 C1 的方程. (2)过椭圆中心 O 的两条弦 PR 与 QS 互相垂直,试探讨四边形 PQRS 与圆 C1 的位置关系; (3)在(2)条件下,求四边形 PQRS 面积的取值范围.

26.已知椭圆的中心为原点 O,一个焦点为 F

,离心率为

.以原点为圆心的圆 O 与直线



相切,过原点的直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,与圆 O 交于 C,D 两点. (1)求椭圆和圆 O 的方程; (2)线段 CD 恰好被椭圆三等分,求直线 l 的方程.

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2015 年 01 月 27 日周为的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共 6 小题) 1.已知椭圆 =1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,|F1F2|= ,P 是 y 轴正半轴上一点,PF1 交椭圆于

点 A,若 AF2⊥ PF1,且△ APF2 的内切圆半径为

,则椭圆的离心率是(



A.

B.

C.

D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意,直角三角形的内切圆半径 r= ,结合|F1F2|=
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,可得

=10,从而可求

|AF1|+|AF2|=3 解答:

=2a,即可求得椭圆的离心率. = = = ,

解:由题意,直角三角形的内切圆半径 r= ∵ |F1F2|= ∴ ∴ 2|AF1||AF2|=8, ∴ ∴ |AF1|+|AF2|=3 ∵ |F1F2|= , =2a, = . =18, , =10,

∴ 椭圆的离心率是 e= =

故选 B. 点评: 本题考查椭圆的几何性质,考查椭圆的定义,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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www.jyeoo.com 2.已知椭圆: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,以 F1 为顶点,F2 为焦点的抛物线经过椭圆短轴 ) C. D.

的两端点,则椭圆的离心率为( A. B.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据椭圆的方程得出椭圆的焦点及短轴的端点坐标,由已知条件求出抛物线的准线方程; 根据抛物线的定义即椭圆短轴的端点到抛物线的焦点距离与到其准线的距离相等,求出离心率的大小. 解答: 解:∵ 椭圆 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,
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椭圆的短轴端点为(0,b) ; 且抛物线以 F1 为顶点,F2 为焦点, ∴ 抛物线的准线方程为 x=﹣3c,如图所示; 又由抛物线的定义得 ∴ b =8c ; 2 2 2 2 ∴ a =b +c =9c , ∴= , 即 e= . 故选:C.
2 2

=3c,

点评: 本题考查了椭圆与抛物线的定义以及标准方程的应用问题,解题时应画出图形,结合图形解答问题,是基 础题.

3.已知 F1,F2 分别为椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左,右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A,B )

两点,若△ ABF2 为钝角三角形,则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围为(

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A.(0,

﹣1)

B.(0,

﹣1)

C .(

﹣1,1)

D.(

﹣1,1)

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 利用△ ABF2 为钝角三角形,判断出 AF1>F1F2,进而推断出
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>2c 求得 a 和 c 的不等式关系,则离心率的

范围可得. 解答: 解:由△ ABF2 为钝角三角形,得 AF1>F1F2, ∴ >2c,化简得 c +2ac﹣a <0, ∴ e +2e﹣1<0,又 0<e<1, 解得 0<e< ﹣1, 故选 A. 点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质.解题的关键是通过挖掘题设信息找到 a 和 c 的关系.
2 2 2

4. 已知 F1, F2 分别是椭圆 则椭圆的离心率为( A. )

+

=1 (a>b>0) 的左右两个焦点, 过 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P, 若∠ F1PF2=



B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

椭圆的简单性质. 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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利用椭圆的定义,求得|F1P|与|PF2|,从而可求得|F1P|+|PF2|=2a,而|F1F2|=2c,从而可得答案. 解:设|F1F2|=2c, ∵ F1P⊥ x 轴,∠ F1PF2=60°, ∴ |F1P|= ∴ |PF2|=2|F1P|= ∴ |F1P|+|PF2|= , =2a, . = ,

∴ 椭圆的离心率 e= =

故选:B. 点评: 本题考查椭圆的简单性质,着重考查椭圆定义,属于中档题.

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www.jyeoo.com 5.点 F1,F2 为椭圆 率为( A. ) B. C. D. ﹣1 + =1(a>b>0)的左右焦点,若椭圆上存在点 A 使△ AF1F2 为正三角形,那么椭圆的离心

考点: 椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由已知条件结合椭圆的性质得 a=2c,由此能求出椭圆的离心率. 解答: 解:∵ 点 F1,F2 为椭圆 + =1(a>b>0)的左右焦点,
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椭圆上存在点 A 使△ AF1F2 为正三角形, ∴ a=2c, ∴ 椭圆的离心率为 e= = . 故选:B. 点评: 本题考查椭圆的离心率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意椭圆性质的合理运用.

6. (2007?南京模拟)若椭圆 A.

+y =1(a>0)的一条准线经过抛物线 y =﹣8x 的焦点,则该椭圆的离心率为( B. C. D.

2

2



考点: 椭圆的简单性质;抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 2 由题意知椭圆 +y =1 (a>0) 的一条准线
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, 所以

, 解可得: a =2, c =1. 由

2

2

此可求出椭圆的离心率. 2 解答: 解:∵ 抛物线 y =﹣8x 的焦点是(﹣2,0) , ∴ 椭圆 +y =1(a>0)的一条准线
2



∴ ∴ a =2,c =1, ∴ .
2 2



故选 D. 点评: 本题考查椭圆的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 二.填空题(共 3 小题)

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www.jyeoo.com 7. (2007?丰台区一模)若椭圆 的左右焦点分别是 F1,F2,线段 F1F2 被 y =bx 焦点分为 3:
2

1 两段,则此椭圆的离心率为



考点: 椭圆的应用;椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 由题意可知, ,由此导出 解答:
2

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,从而得到此椭圆的离心率. ,

解:y =bx 焦点坐标是 ,由题意可知, ∴ b=2c,∴ a =b +c =4c +c =5c , ∴ 答案: . .
2 2 2 2 2 2

点评: 本题综合考查抛物线的焦点坐标和椭圆的离心率,解题的关键是恰当选用公式.

8.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,左,右焦点分别为 F1,F2,点 G 在椭圆上,





且△ GF1F2 的面积为 3,则椭圆的方程为



考点: 椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据题意,结合椭圆的定义,勾股定理,建立方程组,即可求得椭圆的方程. 解答: 解:由于椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,
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又由左,右焦点分别为 F1,F2,点 G 在椭圆上, 则 又由 则 ⊥ , ③ ④ 联立方程解得:a=2 2 2 2 ∴ b =a ﹣c =3 ∴ 椭圆 C 的方程为 ,c=3, ②



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www.jyeoo.com 故答案为: .

点评: 本题考查椭圆的方程,考查向量知识的应用,考查勾股定理,考查学生的计算能力,属于基础题.

9.已知 F1,F2 分别是椭圆

(a>b>0)的左,右焦点,若椭圆的右准线上存在一点 P,使得线段 PF1 的

垂直平分线过点 F2,则离心率的范围是

[

,1) .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 设点 P( ,m) ,则由中点公式可得线段 PF1 的中点 K 的坐标,根据 线段 PF1 的斜率与 KF2 的斜率之积
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等于﹣1,求出 m 的解析式,再利用 m ≥0,得到 3e +2e ﹣1≥0,求得 e 的范围,再结合椭圆离心率的范 围进一步 e 的范围. 解答: 解:由题意得 F1(﹣c,0) ) ,F2 (c,0) ,设点 P( ,m) ,则由中点公式可得线段 PF1 的中点

2

2

4

2

K(



) ,∴ 线段 PF1 的斜率与 KF2 的斜率之积等于﹣1,∴

?

=﹣1,

∴ m =﹣(
4 2

2

+c)?(
2

)≥0,∴ a ﹣2a c ﹣3 c ≤0,
2

4

2 2

4

∴ 3e +2e ﹣1≥0,∴ e ≥ ,或 e ≤﹣1(舍去) ,∴ e≥ 又椭圆的离心力率 0<e<1,故

. ,1) .

≤e<1,故答案为[

点评: 本题考查线段的中点公式,两直线垂直的性质,以及椭圆的简单性质的应用,属于中档题. 三.解答题(共 17 小题) 10. (2013?太原一模)已知椭圆 点,以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴为半径的圆与直线 x﹣y+ (I)求椭圆 C 的方程; 的离心率为 ,点 F1,F2 分别是椭圆 C 的左,右焦 =0 相切.

(Ⅱ )若过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于点 M,N 两点,求使△ Fl MN 面积最大时直线 l 的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)由离心率为 ,得 ,根据圆与直线相切可得
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,再由 a =b +c 联立可解得 a,b;

2

2

2

(Ⅱ )设直线 l 的方程为 x=my+1,M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,联立直线 l 方程与椭圆方程消掉 x 得 y 的二 次方程,则 = ,代入韦达定理即可得关于 m 的

函数表达式,恰当变形后,利用函数单调性求得其最大值及相应 m 值;

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www.jyeoo.com 解答:

解: (I)由题意得

,解得



所以椭圆 C 的标准方程为



(Ⅱ ) 由题意可设直线 l 的方程为 x=my+1, 设M (x1, y1) , N (x2, y2) , 则点 M、 N 的坐标是方程组

的两组解,

消掉 x 得, (3m +4)y +6my﹣9=0,所以

2

2



所以

=

=

=

=

=3(当且仅当 m=0 时取等号) ,

所以当 m=0 时,S△ABC 取最大值,此时直线 l 的方程为 x=1. 点评: 本题考查直线方程、椭圆方程及直线和椭圆、圆的位置关系,考查三角形面积公式,考查学生分析解决问 题的能力.

11.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率 e=

,且短半轴 b=1,F1,F2 为其左右焦点,P 是椭圆上动点.

(Ⅰ )求椭圆方程; (Ⅱ )求 ? 取值范围.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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www.jyeoo.com 分析: (Ⅰ )利用椭圆圆 椭圆方程.

+

=1(a>b>0)的离心率 e=

,且短半轴 b=1,建立方程组,求出几何量,即可求

(Ⅱ )用坐标表示向量,再利用数量积公式,即可求 解答: 解: (Ⅰ )∵ 椭圆 + =1(a>b>0)的离心率 e=

?

取值范围.

,且短半轴 b=1,

∴=

=

,∴ a=



∴ 椭圆方程为



(Ⅱ )设 P(x,y) ,则 ∵ F1(﹣1,0) ,F2(1,0) , ∴ ∴ =(﹣1﹣x,﹣y) , ? =x ﹣1+y =
2 2

=(1﹣x,﹣y) , ∈[0,+∞) .

点评: 本题考查椭圆的方程,考查余弦定理的运用,考查向量数量积公式,考查学生分析解决问题的能力,属于 中档题.

12.已知椭圆 C:

的离心率

,长轴长为 6,0 为坐标原点.f1,F2 分别为椭圆的左,右

焦点. (1)求椭圆 c 的方程; (2)若 P 为椭圆 C 上的一点,直线 PF2 交椭圆于另一点 Q,试问是否存在 P 点使|PF1|=|PQ|,若存在求△ PF1Q 的面 积;否则说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)椭圆 C: 的离心率
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,推出 a 与 c 的关系,根据长轴长为 6,求出 a 的值,

从而求出椭圆 c 的方程; (2)P 为椭圆 C 上的一点,直线 PF2 交椭圆于另一点 Q,假设存在 P 点使|PF1|=|PQ|,利用余弦定理求出 p 点的横坐标,从而进行判断求解; 解答: 解: (1)由题意知,2a=6,所以 a=3,又 e= 得 c= , ; ,

所求方程为

(2)设|PF2|=x,则|PF1|=6﹣x, |F2Q|=6﹣2x,|F1Q|=2x,

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www.jyeoo.com |F1F2|=2 ,cos∠ F1F2P= ,

cos∠ F1F2Q= 由 cos∠ F1F2P+cos∠ F1F2Q=0,



化简得(x﹣2) (2x﹣3)=0,解得 x=2 或 x= , 当 x=2 时,|PF1|=4,|PQ|=4,|FQ|=4,易得 S△PF1Q=4 当 x= 时,|PF1|=|PQ|= ,|F1Q|=3,易得 S△PF1Q= ; ;

点评: 此题主要考查椭圆的标准方程以及椭圆离心率的应用,第二问是一个存在性问题,我们可以假设存在 P 点 使|PF1|=|PQ|,求出 P 点的坐标进行求解,此题是一道中档题;

13.已知椭圆

+

=1(a>b>0)经过点(0,

) ,离心率为 ,左、右焦点分别为 F1(﹣c,0)与 F2(c,0) .

(Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )设椭圆 C 与 x 轴负半轴交点为 A,过点 M(﹣4,0)作斜率为 k(k≠0)的直线 l,交椭圆 C 于 B、D 两点(B 在 M、D 之间) ,N 为 BD 中点,并设直线 ON 的斜率为 k1. (i)证明:k?k1 为值; (ii)是否存在实数 k,使得 F1N⊥ AD?如果存在,求直线 l 的方程;如果不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析:
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(I)由椭圆经过点(0,

) ,离心率为 ,可得

,解得即可.

(II) (i)设 B(x1,y1) ,D(x2,y2) ,线段 BD 的中点 N(x0,y0) .由题意可得直线 l 的方程为:y=k(x+4) , 与椭圆方程联立化为(3+4k )x +k x+64k ﹣12=0,由△ >0,可得
2 2 2 2

,且 k≠0.利用根与系数的关系、

中点坐标公式可得

=

,即可证明. =﹣1,利用斜率计算公式可得 x2=﹣8k ﹣2<﹣2,与
2

(ii)假设存在实数 k,使得 F1N⊥ AD,则 x2≥﹣2 矛盾. 解答: 解: (I)∵ 椭圆经过点(0, ) ,离心率为 ,



,解得 a=2,c=1,b=



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www.jyeoo.com ∴ 椭圆 C 的方程为 .

(II) (i)证明:设 B(x1,y1) ,D(x2,y2) ,线段 BD 的中点 N(x0,y0) . 由题意可得直线 l 的方程为:y=k(x+4) ,
2 2 2 2

联立

,化为(3+4k )x +k x+64k ﹣12=0,

由△ >0,可得

,且 k≠0.

∴ x1+x2=







=

,y0=k(x0+4)=





=

,即 k1?k=﹣ 为定值. =﹣1,

(ii)假设存在实数 k,使得 F1N⊥ AD,则



=

=

=

,kAD=

=





=﹣1,化为 x2=﹣8k ﹣2<﹣2,与 x2≥﹣2 矛盾,

2

∴ 直线 l 不存在. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐 标公式、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 14.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列{bn}满足 b1=a1,b4=S3. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)设 cn= ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的取值范围.

考点: 数列的求和. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 an 是 Sn 和 1 的等差中项,得 Sn=2an﹣1,由 an=Sn﹣Sn﹣1 可得数列递推式,从而可判断{an}是等比 数列,可求 an,由等差数列通项公式可求公差 d; (2)利用裂项相消法可求得 Tn,根据 Tn 的表达式及{Tn}单调性可求其范围; 解答: 解: (1)∵ an 是 Sn 和 1 的等差中项,∴ Sn=2an﹣1, 当 n=1 时,a1=S1=2a1﹣1,∴ a1=1, 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(2an﹣1)﹣(2an﹣1﹣1)=2an﹣2an﹣1,
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www.jyeoo.com ∴ an=2an﹣1,即 =2,

∴ 数列{an}是以 a1=1 为首项,2 为公比的等比数列, n﹣1 n ∴ an=2 ,Sn=2 ﹣1, 设{bn}的公差为 d,b1=a1=1,b4=1+3d=7,∴ d=2, ∴ bn=1+(n﹣1)×2=2n﹣1; (2)cn= ∴ Tn= ∵ n∈N ,∴ Tn= 又 ∴ 数列{Tn}是一个递增数列, ∴ Tn≥T1= . 综上所述, . =
*

=

= = (1﹣ , >0, )=

, ,

点评: 本题考查等差数列等比数列的通项公式、数列求和等知识,裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容, 要熟练掌握. 15. (2014?呼伦贝尔二模) 数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 an 是 Sn 和 1 的等差中项, 等差数列{bn}满足 b1=a1, b4=S3. (Ⅰ )求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ )设 cn= ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,证明:Tn< .

考点: 数列与不等式的综合;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)由已知条件得到 Sn=2an﹣1,由此推导出数列{an}是以 a1=1 为首项,2 为公比的等比数列,从而得到
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,Sn=2 ﹣1,进而得到 b1=a1=1,b4=1+3d=7,由此能求出{bn}的通项公式. (II)由 cn= 法能证明 ,得 Tn= . ,由此利用裂项求和

n

解答: (I)解:∵ an 是 Sn 和 1 的等差中项,∴ Sn=2an﹣1, 当 n=1 时,a1=S1=2a1﹣1,∴ a1=1, 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(2an﹣1)=2an﹣2an﹣1, ∴ an=2an﹣1,即 , (3 分)

∴ 数列{an}是以 a1=1 为首项,2 为公比的等比数列, ∴ ,Sn=2 ﹣1, (5 分)
n

设{bn}的公差为 d,b1=a1=1,b4=1+3d=7,∴ d=2, ∴ bn=1+(n﹣1)×2=2n﹣1. (6 分)
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www.jyeoo.com (II)证明:cn= ∴ Tn= ∵ n∈N ,∴
*

=

= , (9 分) . (12 分)

, (7 分)

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查数列前 n 项和的求法及不等式的证明,解题时要认真审题,注意裂 项求和法的合理运用. 16. (2014?咸阳一模)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列{bn}满足 b1=a1,b4=S3. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)设 ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,证明: .

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列与不等式的综合. 专题: 计算题;证明题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由题意可知,Sn=2an﹣1,结合递推公式 a1=S1,n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,可得 的通项公式可求由 b1=a1=1,b4=1+3d=7,可求公差 d,进而可求 bn, (2)由 列的单调性可证 解答: 解: (1)∵ an 是 Sn 和 1 的等差中项,∴ Sn=2an﹣1…(1 分) 当 n=1 时,a1=S1=2a1﹣1,∴ a1=1…(2 分) 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(2an﹣1)﹣(2an﹣1﹣1)=2an﹣2an﹣1, ∴ an=2an﹣1,即 …(3 分)

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,结合等比数列

,利用裂项求和可求 Tn,然后结合数

∴ 数列{an}是以 a1=1 为首项,2 为公比的等比数列, ∴ , …(5 分)

设{bn}的公差为 d,b1=a1=1,b4=1+3d=7,∴ d=2…(7 分) ∴ bn=1+(n﹣1)×2=2n﹣1…(8 分) (2) ∴ ∵ n∈N ,∴ ∴ 数列{Tn}是一个递增数列 ∴ 综上所述, .…(13 分) …(14 分)
*

…(9 分) …(10 分) …(11 分) …(12 分)

点评: 本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用,数列的递推公式的应用及数列的裂项求和及数列 的单调性在数列的最值求解中的应用

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www.jyeoo.com 17.数列{an}的前 n 项和为 Sn,an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列{bn}满足 b1+S4=0,b9=a1. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Wn.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 an 是 Sn 和 1 的等差中项,可得 Sn=2an﹣1,再写一式,可得数列{an}是以 1 为首项,2 为公比的等 比数列,可求数列{an}的通项公式,求出等差数列{bn}的首项与公差,可得{bn}的通项公式; (2)利用裂项求和,可得数列{cn}的前 n 项和 Wn. 解答: 解: (1)∵ an 是 Sn 和 1 的等差中项,∴ Sn=2an﹣1, 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(2an﹣1)﹣(2an﹣1﹣1)=2an﹣2an﹣1,∴ an=2an﹣1, 当 n=1 时,a1=1, (2 分) ∴ 数列{an}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, n﹣1 ∴ an=2 (6 分) n ∴ Sn=2 ﹣1; 设{bn}的公差为 d,b1=﹣S4=﹣15,b9=a1=﹣15+8d=1, ∴ d=2, ∴ bn=2n﹣17; (8 分)
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(2)cn=

= (



) ,

∴ Wn= [(1﹣ )+( ﹣ )+…+(



)]= (1﹣

)=

(14 分)

点评: 本题考查数列的通项与求和,考查裂项法,考查学生分析解决问题的能力,难度中等. 18.等差数列{an}的前 n 项和是 Sn,满足条件 a6 是 a2,S4 的等差中项,且数列首项为 1. (1)求等差数列{an}的公差 d; (2)设 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,是否存在实数 λ,使得 Tn<λan+1 对一切 n∈N 都成立?若存在,求出 λ
*

的取值范围,若不存在说明理由. 考点: 数列与不等式的综合;等差数列的前 n 项和. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列{an}满足条件 a6 是 a2,S4 的等差中项,且数列首项为 1,建立方程,即可求等差数列{an} 的公差 d; * (2)求出数列{bn}的通项,利用 Tn<λan+1 对一切 n∈N 都成立,即可求出 λ 的取值范围. 解答: 解: (1)∵ 等差数列{an}满足条件 a6 是 a2,S4 的等差中项,且数列首项为 1, ∴ 2(1+5d)=1+d+4+6d, ∴ d=1;
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(2)Sn=n+ ∴ bn= =2( ﹣

= ) ,



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www.jyeoo.com ∴ Tn=2(1﹣ + ﹣ +… ﹣ ∵ Tn<λan+1 对一切 n∈N 都成立, ∴ ∴ λ> <λ?n 对一切 n∈N 都成立, ,
* *

)=2(1﹣

)=



∴ λ>1. 点评: 本题考查等差数列的通项与性质,考查数列的求和,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
2

19.双曲线 C 的方程为

﹣y =1,其渐近线为 l1,l2

(1)设 P(x0,y0)为双曲线上一点,P 到 l1,l2 距离分别为 d1,d2,求证:d1d2 为定值 (2)斜率为 1 的直线 l 交双曲线 C 于 A,B 两点,若 ? = ,求直线 l 的方程.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)求出渐近线方程,根据点到直线的距离公式进行求解 P 到 l1,l2 距离分别为 d1,d2,即可证明 d1d2 为 定值 (2)联立直线和双曲线的方程,利用削元法,结合向量数量积的公式进行化简即可. 解答: 解: (1)双曲线的渐近线方程为 x±2y=0,
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P(x0,y0)满足

﹣y =1,即

2



则 d1d2=

=



(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由 得 3x +8mx+4(m +1)=0, 2 则由判别式△ >0,解得 m >0,
2 2








2

?

=x1x2+y1y2=x1x+(x1+m) (x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m =m +

2

2



∴ m =4, 解得 m=±2, 故直线方程为 y=x+2 或 y=x﹣2 点评: 本题主要考查双曲线的方程和性质,以及直线和圆的位置关系的应用,利用代入消元法转化为一元二次方 程是解决本题的关键.

20.已知双曲线 C:



=1 过点(2,3) ,且一条渐近线的倾斜角为



(Ⅰ )求双曲线 C 的方程;
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www.jyeoo.com (Ⅱ )设双曲线 C 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线 C 右支上一点,求 的最小值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ )把点的坐标代入双曲线方程,由渐近线的倾斜角为
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得到 a,b 的关系,联立方程组求得 a,b 的值,

则 双曲线 C 的方程; (Ⅱ )由双曲线的方程求得左顶点和右焦点的坐标,设出 P 的坐标,求出对应向量的坐标,代入数量积整理, 配方后由 P 得横坐标的范围得答案. 解答: 解: (Ⅰ )∵ 双曲线 C: ∴ ① , ,即 ﹣ =1 过点(2,3) ,

又一条渐近线的倾斜角为 ② , 联立① ② 得:a =1,b =3. ∴ 双曲线 C 的方程为
2 2



(Ⅱ )由(Ⅰ )知:A1(﹣1,0) ,F2(2,0) , 设 P(x0,y0) , 则 ∴ = ∵ x0≥1, ∴ 当 x0=1 时, 有最小值为﹣2. = = = , ,

点评: 本题考查了双曲线方程的求法,考查了平面向量的数量积运算,训练了利用配方法求函数的最值,是中档 题.

21.设双曲线 C 与双曲线

共渐近线且过点 M(



) ,

(1)求双曲线 C 的方程; (2)是否存在过点 P(1,1)的直线 l 与双曲线 C 交于 A、B 两点且点 P 平分线段 AB,若存在求直线 l 的方程, 若不存在说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;双曲线的简单性质. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

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www.jyeoo.com 分析: (1) 由双曲线 C 与双曲线 共渐近线设出双曲线方程 , 代入点的坐标求

出 λ 的值即可得到答案; (2)假设存在直线 l 满足条件,设出交点的坐标,利用点差法求出斜率,写出直线方程,和双曲线方程联 立后由判别式得符号加以验证. 解答: 解: (1)∵ 双曲线 C 与双曲线 共渐近线,

∴ 可设 C: 又 C 过点 M(

, ) ,代入 C 得 ,

故 C:



(2)设存在过点 P(1,1)的直线 l 与双曲线 C 交于 A、B 两点且点 P 平分线段 AB, 并设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 ,

① ﹣② 得,2(x1+x2) (x1﹣x2)﹣(y1+y2) (y1﹣y2)=0, 又 A,B 的中点 P(1,1) ,∴ .

故直线 l:y﹣1=2(x﹣1) ,即 y=2x﹣1. 2 代入椭圆方程得,2x ﹣4x+3=0. 由于△ 16﹣24<0,∴ 满足条件的直线不存在. 点评: 本题考查了双曲线的简单几何性质,考查了直线与圆锥曲线的关系,涉及中点弦问题,利用点差法能起到 事半功倍的作用,是中高档题.

22.以椭圆 C:

=1(a>b>0)的中心 O 为圆心,以

为半径的圆称为该椭圆的“伴随”.已知椭圆的离心

率为

,且过点



(1)求椭圆 C 及其“伴随”的方程; (2)过点 P(0,m)作“伴随”的切线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,记△ AOB(O 为坐标原点)的面积为 S△AOB,将 S△AOB 表示为 m 的函数,并求 S△AOB 的最大值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由椭圆 C 的离心率,结合 a,b,c 的关系,得到 a=2b,设椭圆方程,再代入点
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,即可得

到椭圆方程和“伴随”的方程; (2)设切线 l 的方程为 y=kx+m,联立椭圆方程,消去 y 得到 x 的二次方程,运用韦达定理和弦长公式, 2 2 即可得到 AB 的长,由 l 与圆 x +y =1 相切,得到 k,m 的关系式,求出三角形 ABC 的面积,运用基本不
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www.jyeoo.com 等式即可得到最大值. 解答: 解: (1)椭圆 C 的离心率为 由 c =a ﹣b ,则 a=2b, 设椭圆 C 的方程为 ∵ 椭圆 C 过点 ∴ b=1,a=2,以
2 2 2

,即 c=



, ,∴ 为半径即以 1 为半径, ,

∴ 椭圆 C 的标准方程为
2 2



椭圆 C 的“伴随”方程为 x +y =1. (2)由题意知,|m|≥1. 易知切线 l 的斜率存在,设切线 l 的方程为 y=kx+m,







设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) , 则 , .

又由 l 与圆 x +y =1 相切,所以

2

2

,k =m ﹣1.

2

2

所以

=





,|m|≥1.

(当且仅当

时取等号)

所以当 时,S△AOB 的最大值为 1. 点评: 本题考查椭圆的方程和性质,考查联立直线方程和椭圆方程,消去未知数,运用韦达定理和弦长公式的运 用,考查直线与圆相切的条件,考查运算能力,属于中档题.

23. 已知椭圆 C 的方程为

(a>b>0) , 称圆心在坐标原点 O, 半径为

的圆为椭圆 C 的“伴随圆”,

椭圆 C 的短轴长为 2,离心率为



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www.jyeoo.com (Ⅰ )求椭圆 C 及其“伴随圆”的方程; (Ⅱ )若直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,与其“伴随圆”交于 C,D 两点,当|CD|=

时,求△ AOB 面积的最大值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;圆的标准方程;椭圆的简单性质. 专题: 新定义. 分析: 2 (Ⅰ )由题意得, ,由 b=1,知 a =3,由此能求出椭圆 C 的方程和“伴随圆”
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的方程. (Ⅱ )当 CD⊥ x 轴时,由|CD|= 的距离为

,得|AB|=

.当 CD 与 x 轴不垂直时,由|CD|= ,得

,得圆心 O 到 CD ,设 A(x1,y1) ,B

.设直线 CD 的方程为 y=kx+m,则由

(x2,y2) ,由

,得(3k +1)x +6kmx+3m ﹣3=0.故

2

2

2



,由

此能求出△ AOB 的面积取最大值. 解答: 解: (Ⅰ )由题意得,
2



又∵ b=1,∴ a =3,∴ 椭圆 C 的方程为 ∵ = ,
2 2

, (3 分)

∴ “伴随圆”的方程为 x +y =4. (4 分) (Ⅱ )① 当 CD⊥ x 轴时,由|CD|= ,得|AB|= ② 当 CD 与 x 轴不垂直时,由|CD|= 设直线 CD 的方程为 y=kx+m,则由

. .

,得圆心 O 到 CD 的距离为 ,得



设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由

,得(3k +1)x +6kmx+3m ﹣3=0.

2

2

2





. (6 分)

当 k≠0 时,

=

=(1+k )[

2



]

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www.jyeoo.com =

=3+

=3+

=4.
2

当且仅当 9k = 当 k=0 时,|AB|=

,即 k=

时等号成立,此时|AB|=2.

,综上所述:|AB|max=2, = . (10 分)

此时△ AOB 的面积取最大值 S= |AB|max×

点评: 本题考查椭圆和“伴随圆”的方程,考查三角形面积最大值的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘 题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.

24. (2014?潍坊模拟)以椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的中心 O 为圆心,

为半径的圆称为该椭圆的“准

圆”.设椭圆 C 的左顶点为 P,左焦点为 F,上顶点为 Q,且满足|PQ|=2,S△POQ= (Ⅰ )求椭圆 C 及其“准圆”的方程;

S△OFQ.

(Ⅱ )若椭圆 C 的“准圆”的一个弦 ED(不与坐标轴垂直)与椭圆 C 交于 M、N 两点,试证明:当 问弦 ED 的长是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (I)设椭圆的左焦点 F(﹣c,0) (c>0) ,由 S△OPQ=
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?

=0 时,试

S△OFQ 利用三角形的面积公式可得



化为

.由|PQ|=2 利用两点间的距离公式可得

,联立

,解得即可.

(II)设直线 ED 的方程为 y=kx+t,与椭圆的交点为 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,与椭圆的方程联立,可得 根与系数的关系,由 ,利用数量积可得 x1x2+y1y2=0,把根与系数的关系代入即可得出 k 与 t 的关

系式,验证是否满足△ >0 成立.利用点到直线的距离公式可得点 O 到弦 ED 的距离 d,再利用弦长公式 |ED|=2 即可得出.

解答: 解: (I)设椭圆的左焦点 F(﹣c,0) (c>0) , 由 S△OPQ= S△OFQ 得 ,化为 .

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www.jyeoo.com 由|PQ|=2 可得 ,

联立

,解得 a =3,b =1,c =2.

2

2

2

∴ 椭圆 C 的标准方程为

,椭圆 C 的“准圆”的方程为 x +y =4.

2

2

(II)设直线 ED 的方程为 y=kx+t,与椭圆的交点为 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 联立 ,化为(1+3k )x +6ktx+3t ﹣3=0,
2 2 2





,可得 y1y2=(kx1+t) (kx2+t)=





,得 x1x2+y1y2=0,即
22 2

=
2 2





,此时满足△ =36k t ﹣4(1+3k ) (3t ﹣3)=27k +3>0 成立.

则点 O 到弦 ED 的距离 d=

=

=





是定值.

点评: 本题综合考查了新定义、椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的 关系、数量积运算、点到直线的距离公式、弦长公式等基础知识与基本技能,属于难题.

25.椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,圆心在坐标原点,半径为

的圆 C1 定义为椭圆 C 的“友好圆”.若椭圆

C 的离心率为 e=

,且其短轴上的一个端点到右焦点 F 的距离为



(1)求椭圆 C 的方程及其“友好圆”圆 C1 的方程. (2)过椭圆中心 O 的两条弦 PR 与 QS 互相垂直,试探讨四边形 PQRS 与圆 C1 的位置关系; (3)在(2)条件下,求四边形 PQRS 面积的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)通过椭圆离心率和短轴上的一个端点到右焦点 F 的距离为 ,即可求出椭圆的标准方程,进而求出 其“友好圆”方程. (2)设直线 QS 的方程为 y=kx,利用已知条件建立 k 的等式,财利用方程的基础知识进行化简.
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www.jyeoo.com (3)在(2)的基础上求内接菱形 PQRS 的面积的取值范围,当 QS 的斜率存在且不为 0 时,先求出

=

,记 k+ =t,由此能求出四边形 PQRS 面积的取值范围.

解答:

解: (1)由题意知 解得 c= ,b=1, =1,

,e=



∴ 椭圆 C 的方程为 设圆 C1 的半径为 r,则

= ,

∴ 圆 C1 的方程为 x +y = . (2)∵ 过椭圆的两条弦 PR 与 QS 互相垂直, ∴ 由图形的对称性知四边形 PQRS 为菱形, 即研究椭圆的任意内接菱形 PQRS 与圆 C1 的位置关系, 只需求原点到菱形 PQRS 每一条边的距离即可, 当 QS 的斜率不存在或斜率为 0 时, 菱形 PQRS 的四个顶点分别是椭圆的顶点, 原点到每条边的距离都是 = ,

2

2

此时菱形 PQRS 与圆 C1 相切, 当 QS 的存在且不为 0 时,设 QS 的斜率为 k,不妨设 k>0, 直线 QS 的方程为 y=kx,代入椭圆 =1,得 ,

菱形 PQRS 的四个顶点必然分别在四个象限中, 不妨设 S,P,Q,R 依次在第一、二、三、四象限,则有 S( ) ,

将点 S 坐标中的 k 换成﹣ ,得 P(﹣

) ,

∴ |SP| =(

2

) +(

2

)=

2



又|OS| =

2

,|OP| =

2



记原点 O 到直线 SP 的距离为 d, 同时可求得原点 O 到 PQ,QR,RS 的距离都是 ∴ 四边形 PQRS 与圆 C1 相切. (3)记菱形 PQRS 的面积为 S1,当 QS 的斜率为 0 时, 菱形 PQRS 的四个顶点分别为椭圆的四个顶点, ,

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www.jyeoo.com 当 QS 的斜率存在且不为 0 时,设 QS 的斜率为 k,不妨设 k>0, 直线 QS 的方程为 y=kx,代入椭圆 G 的方程 得 =1,得 , ,

由(2)知|OS| = S1=2|OS|?|OP|, ∴ =4|OS| ?|OP| =4?
2 2

2

,|OP| =

2





分子、分母同时除以 k ,得

2

?

=

,记 k+ =t,

则 t≥2,

=t ﹣2,

2



=

=

=



在 t∈(2,+∞)上是单调增函数,3+ = ∈[9,12) ,

∈(3,4],

则 S1∈[3,2 ) . 综上所述,四边形 PQRS 面积的取值范围为[3,2 ]. 点评: 本题考查椭圆的方程及其“友好圆”的方程的求法,试探讨四边形 PQRS 与圆 C1 的位置关系,考查四边形 PQRS 面积的取值范围的求法.解题时要认真审题,注意函数的单调性的合理运用.

26.已知椭圆的中心为原点 O,一个焦点为 F

,离心率为

.以原点为圆心的圆 O 与直线



相切,过原点的直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,与圆 O 交于 C,D 两点. (1)求椭圆和圆 O 的方程; (2)线段 CD 恰好被椭圆三等分,求直线 l 的方程.

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考点: 直线与圆锥曲线的关系;圆与圆锥曲线的综合. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)根据椭圆的焦点为 F ,离心率为
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,可得椭圆的几何量,从而可得椭圆的方程,利用以

原点为圆心的圆 O 与直线 相切,可得圆的半径,从而可圆的而发愁; (2)设直线 l 的方程为 y=kx,代入椭圆方程,求得 A,B 的坐标,求出|AB|,利用线段 CD 恰好被椭圆三 等分,建立方程,可得 k 的值,从而可求直线 l 的方程. 解答: 解: (1)∵ 椭圆的焦点为 F ∴ a=2,b= ∴ 椭圆的方程为 ∵ 以原点为圆心的圆 O 与直线 ∴ 圆 O 的半径为 ∴ 圆 O 的方程为 x +y =16; (2)设直线 l 的方程为 y=kx,代入椭圆方程可得 ∴ x=± ,∴ y=±k
2 2

,离心率为

,∴

=1

相切

∴ A(

,k

) ,B(﹣

,﹣k

) ,

∴ |AB|= ∵ 线段 CD 恰好被椭圆三等分, ∴







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www.jyeoo.com ∴ 直线 l 的方程为 .

点评: 本题考查椭圆、圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.

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