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高中数学竞赛专题讲座之三:三角函数与向量


高中数学竞赛专题讲座之三:三角函数与向量
一、三角函数部分 1.(集训试题)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别记为 a、b、c(b≠1),且

C , A

sin B 都是方程 log x=log (4x-4)的根,则△ABC(B) b b sin A A.是等腰三角形,但不是直角三角形 B.是直角三角形,但不是等腰三角

形 C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形 2 解:由 log b x=logb(4x-4)得:x -4x+4=0,所以 x1=x2=2,故 C=2A,sinB=2sinA,

因 A+B+C=180°,所以 3A+B=180°,因此 sinB=sin3A,∴3sinA-4sin3A=2sinA, ∵sinA(1-4sin2A)=0,又 sinA≠0,所以 sin2A=

1 1 ,而 sinA>0,∴sinA= . 4 2

因此 A=30°,B=90°,C=60°。故选 B。 2. (2006 吉林预赛)已知函数 y=sinx+acosx 的图象关于 x=5π/3 对称,则函数 y=asinx+cosx 的图象的一条对称轴是(C) A.x=π/3 B.x=2π/3 C.x=11π/6 D.x=π 3.2006 年南昌市)若三角形的三条高线长分别为 12,15,20,则此三角形的形状为( B ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.形状不确定 4. (2006 年南昌市)若 a ? sin ? ? tan ? , b ? cos ? ? cot ? ,则以下诸式中错误的是( B ) A. sin ? =

ab ? 1 b ?1

B. cos ? ?

1 ? ab a ?1

( a ? b)( a ? b ? 2) (a ? b ? 1) 2 ? 1 ? 2ab D. tan ? ? cot ? = ( a ? 1)(b ? 1) (a ? 1)(b ? 1) 5. (2006 安徽初赛)已知△ABC 为等腰直角三角形,∠C = 90°,D、E 为 AB 边上的两个 点,且点 D 在 AE 之间,∠DCE = 45°,则以 AD、DE、EB 为边长构成的三角形的最 大角是 ( ) A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不能确定 3 3 6. (2006 陕西赛区预赛)若 sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? ,0 ? ? ? 2? ,则角 ? 的取值范围 是(C)
C. tan ? ? cot ? =

, ) 4 4 2 1 3 10 7. (2006 年江苏)在△ ABC 中, tan A ? , cos B ? .若△ ABC 的最长边为1 ,则 2 10 4 4 4
最短边的长为 ( D ) A.

A. [0,

?

]

B. [

?

,? ]

C. [

? 5?
,

]

D. [

? 3?

4 5 5

B.

3 5 5

C.
1

2 5 5

D.

5 5

8 . (2005 年浙江 ) 设 f1 ( x) ?

2 , f2 ( x) ? sin x ? cos 2x , f3 ( x) ? sin
C .3 D.4

x ? cos 2 x , 2

f 4 ( x) ? sin x2 ,上述函数中,周期函数的个数是( B )
A.1 【解】 : f1 ( x) ? B.2

2 是以任何正实数为周期的周期函数; f 2 ( x) 不是周期函数。 因为 2? sin x 是以 T1 ? 2? 为周期的周期函数 , cos 2 x 是以 T2 ? 为周期的周期函数 , 而 2 x 是 T1 与 T2 之比不是有理数,故 f 2 ( x) 不是周期函数。 f 3 ( x) 不是周期函数。因为 sin 2 2? 以 T1 ? 2 2? 为 周 期 的 周 期 函 数 , cos 2 x 是 以 T2 ? 为周期的周期函数, 而 2 T1 故 f 3 ( x) 是周期函数. f 4 ( x) ? sin x 2 不是周期函数.因此共有 2 个周期函数. ? ? 2, T2
选 【 B 】 9.(2005 年浙江)若 sin x ? sin y ? 1 ,则 cos x ? cos y 的取值范围是 A. [?2, 2] 【 解 】: 设 B. [?1, 1] C. [0, 3 ]
2





D. [? 3, 3]

cos x ? cos y ? t ,
, 故

sin x ? sin y ? 1

? cos x ? 2 cos x cos y ? cos 2 y ? t 2 。 又 由 sin 2 x ? 2 sin x sin y ? sin 2 y ? 1 。 因 此 有
?选 【 D 】

2(cos x cos y ? sin x sin y) ? t 2 ? 1 ,即 2 cos(x ? y) ? t 2 ? 1
2 由于 ? 1 ? cos( x ? y ) ? 1 ,所以有 t ? 3 ,即 ? 3 ? t ? 3 。

10. (2005 全国) ?ABC 内接于单位圆,三个内角 A、B、C 的平分线延长后分别交此圆 A B C AA1 ? cos ? BB1 ? cos ? CC1 ? cos 2 2 2 的值为 于 A1 、 B1 、 C1 。则 ( ) sin A ? sin B ? sin C A.2 B.4 C .6 D.8 解:如图,连 BA 1, 则 AA1 ? 2 sin( B ? A ) ? 2 sin( A ? B ? C ? B ? C ) ? 2 cos( B ? C ).
2 2 2 2 2 2
A B C A A? B ?C A?C ? B ? ? ? AA1 cos ? 2 cos( ? ) cos ? cos ? cos ? cos( ? C ) ? cos( ? B) 2 2 2 2 2 2 2 2 B C A ? sin C ? sin B,同理BB1 cos ? sin A ? sin C , CC1 cos ? sin A ? sin B,? AA1 cos ? BB1 ? 2 2 2 B C 2(sin A ? sin B ? sin C ) cos ? CC1 cos ? 2(sin A ? sin B ? sin C ),? 原式 ? ? 2.选A. 2 2 sin A ? sin B ? sin C

cos 3? 1 sin 3? ? ,则 ? 7/3 cos ? 3 sin ? ? 12( 2004 年浙江省预赛)设 ai ? R (i ? 1,2,?n),? , ? , ? ? R, 且 ? ? ? ? ? ? 0,则对任意 x?R ,
11(2006 陕西赛区预赛)已知 ? 为锐角,且
2

?? ? 1 ? a?
i ?1

n

? ?

1 ? ai
(? ? ? ) x

x

?

i

1 ? ai?x
?x

1 1 ? ( ? ?? ) x ?x ? ai 1 ? ai ? ai(? ?? ) x

? ?? ? ?

n

.

解:

1 1 ? ai ? ai
?x
(? ? ? ) x

?

1 ? ai

1 1 ? ( ? ?? ) x ?x ? ai 1 ? ai ? ai(? ?? ) x

?
所以,

ai?x ai(? ?? ) x 1 ? ? ? 1, ?x (? ?? ) x (? ?? ) x ?x ?x ai ? ai ? 1 ai ? 1 ? ai 1 ? ai ? ai(? ?? ) x

?

? 1 1 1 ? ? ? ? 1 ? a ?x ? a (? ? ? ) x 1 ? a ?x ? a ( ? ?? ) x 1 ? a ? x ? a (? ?? ) x i ?1 i i i i i i ?
n

? ? ? n. ? ?

13 ( 2006 年浙江省预赛)设 a , b 是非零实数, x ? R ,若

sin4 x co s4 x 1 ? ? 2 , 则 2 2 a b a ? b2

1 sin 2008 x cos2008 x ? ? 2 2006 2006 a b (a ? b 2 )1003
4 sin x c o 4s x 1 ? ? 2 , ……………… (1) 2 2 a b a ? b2 b2 a2 4 4 4 4 将(1)改写成 1 ? s i n x ? c o s x ? 2 s i n x ? 2 c o s x . a b 2 2 2 4 4 2 2 而 1 ? (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ? 2 sin x cos x .

解:已知

b2 a2 4 2 2 s i n x ? 2s i n x c o s x ? 2 c o 4 sx ? 0. 所以有 2 a b 2 sin 4 x cos4 x a ?b ? ? ,将该值记为 C。则由(1)知, 即 ? sin 2 x ? cos2 x ? ? 0 , 也即 a4 b4 b ?a ? 1 1 a 2C ? b 2C ? 2 。于是有, C ? 2 . 2 a ?b (a ? b 2 ) 2

sin 2008 x cos2008 x 1 1 . ? ? a 2 C 502 ? b 2 C 502 ? (a 2 ? b 2 ) 2 ? 2 2006 2006 2 1004 a b (a ? b ) (a ? b 2 )1003 cr 14(200 6 天津)在 Rt ?ABC 中,c ,r ,S 分别表示它的斜边长,内切圆半径和面积,则 S 的取值范围是 . [2 2 ? 2,1)
而 15(200 6 天津)已知 A(2 cos? , 3 sin ? ) , B(2 cos ? , 3 sin ? ) , C (?1,0) 是平面上三个 不同的点,且满足关系式 CA ? ? BC ,则实数 ? 的取值范围是 16(2006 年江苏)设 cos 2? ?

2 4 4 ,则 cos ? ? sin ? 的值是 3
3

1 ?? ?3 3 11 18

. .

172006 吉 林 预 赛 ) 若 sin 2 ( x ? __________.

?
12

) ? sin 2 ( x ?

?
12

)??

? 3? 1 , 且 x ? ( , ) , 则 tanx 的 值 为 2 4 4

2 ? 8 6 ,( <?<? ) ,则 tan ? ? cot ? =_ ? ____. 5 2 23 19 .( 2006 年 上 海 ) 设 n (n ? 2) 是 给 定 的 整 数 , x1 , x2 , , xn 是 实 数 , 则 n . sin x1 cos x2 ? sin x2 cos x3 ? ? sin xn cos x1 的最大值是 2 20. (2004 全国)在平面直角坐标系 xoy 中,函数 f ( x) ? a sin ax ? cos ax (a ? 0) 在一个
18(2006 年南昌市)已知 sin ? ? cos ? = 最小正周期长的区间上的图像与函数 g ( x) ? a 2 ? 1 的图像所围成的封闭图形的面积 是________________. 解: f ( x) ?

1 2? a2 ? 1 sin(ax ? ? ),其中? ? arctan ,它的最小正周期为 ,振幅为 a a

a2 ?1 。由 f ( x) 的图像与 g ( x) 的图像围成的封闭图形的对称性,可将这图形割补成 2? 2? a2 ? 1 。 长为 、宽为 a2 ?1 的长方形,故它的面积是 a a 21.(2005 全国)设 ? 、 ? 、 ? 满足 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? ,若对于任意
x ? R, cos( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) ? 4? cos( x ? ? ) ? 0, 则 ? ? ? ? . 3 解:设 f ( x) ? cos( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) ? cos( x ? ? ), 由 x ? R , f ( x) ? 0 知, f (?? ) ? 0, f (?? ) ? 0, f (? ? ) ? 0, 即 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?1, cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?1 , cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?1. ? cos( ? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ?

? 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? , ? ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ?{
只有 ? ? ? ? ? ? ? ?

2? 2? 4? , 有 ? ? ? ? , ? ? ? ? , ?x ? R, 记 x ? ? ? ? , 3 3 3 2? 2? 4? 4? ), sin(? ? )), (cos( ? ? ), sin(? ? )) 构成 由于三点 (cos ? , sin ? ), (cos( ? ? 3 3 3 3 2 2 单位圆 x ? y ? 1 上正三角形的三个顶点.其中心位于原点,显然有 2? 4? cos? ? cos(? ? ) ? cos(? ? ) ? 0.
另一方面,当 ? ? ? ? ? ? ? ? 即 cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ? 0. 二、向量部分 1.(集训试题)已知 a =(cos

2? 4? . ?? ? ? ? . 3 3

2? 4? , }, 又 ? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ?. 3 3

3

3

2 2 π, sin π), OA ? a ? b , OB ? a ? b ,若△OAB 是以 O 为直角 3 3
4

顶点的等腰直角三角形,则△OAB 的面积等于





1 A.1 B. C .2 2 ? ?(a ? b)(a ? b) ? 0 解:设向量 b =(x, y),则 ? , ? | a ? b | ? | a ? b | ?

3 D. 2

? 1 3 1 3 ) ? ( ? x ? ,? y ? ?0 ?( x ? , y ? ? 2 2 2 2 即? , 1 2 3 2 1 2 3 2 ? (x ? ) ? ( y ? ) ? (x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 2 2 ? 2 2 ? 1 3 1 3 1 ?x ? y ? 1 , ) 或 (? , ) ,∴S△AOB= | a ? b || a ? b | =1。 即? . ∴b ? ( 2 2 2 2 2 ? ?x ? 3 y
2. (2004 全国) 设 O 点在 ?ABC 内部, 且有 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 , 则 ?ABC 的面积与 ?AOC 的面积的比为 ( ) A.2 B.

3 2

C .3

D.

5 3
A

解:如图,设 D,E 分别是 AC,BC 边的中点, 则

OA ? OC ? 2OD 2(OB ? OC ) ? 4OE

(1)
D

(2)
O B E C

由(1) (2)得, OA ? 2OB ? 3OC ? 2(OD ? 2OE) ? 0 , 即 OD与OE 共线,

S?AEC 3 S 3? 2 ? , ? ?ABC ? ? 3 , 故选 C。 S?AOC 2 S?AOC 2 2 1 3. (2006 陕西赛区预赛)如图 1,设 P 为△ABC 内一点,且 AP ? AB ? AC , 5 5
且 | OD |? 2 | OE |

?

则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为( A )

2 5 1 D. 3 4.(2005 年浙江)已知 a , b 是两个相互垂直的单位向量,而 | c |? 13, c ? a ? 3 , c ? b ? 4 .
A. B. 则对于任意实数 t1, t2 , | c ? t1 a ? t2 b | 的最小值是 A.5 B.7 C.12 【解】 :由条件可得
2 2 2

1 5 1 C. 4

( D.13
2



c ? t1 a ? t 2 b ? c ? 6t1 ? 8t 2 ? t1 ? t 2
2

? 169? (t1 ? 3) 2 ? (t 2 ? 4) 2 ? 25 ? 144? (t1 ? 3) 2 ? (t 2 ? 4) 2 ? 144
当 t1 ? 3, t 2 ? 4 时, c ? t1 a ? t 2 b ? 144 。
5

?选 【 C 】

5.(2005 全国)空间四点 A、B、C、D 满足 | AB |? 3, | BC |? 7, | CD |? 11, | DA |? 9, 则 AC ? BD 的取值 A.只有一个 B.有二个 C.有四个 ( D.有无穷多个 )
2

解: 注意到 32 ? 112 ? 1130? 7 2 ? 9 2 , 由于 AB ? BC ? CD ? DA ? 0, 则 DA2 ? DA =

?

( AB ? BC ? CD) 2 ? AB2 ? BC2 ? CD 2 ? 2( AB ? BC ? BC ? CD ? CD ? AB) ? AB2 ?
BC 2 ? CD 2 ? 2( BC ? AB ? BC ? BC ? CD ? CD ? AB) ? AB2 ? BC 2 ? CD 2 ? 2( AB ?
2

BC) ? (BC ? CD), 即 2 AC ? BD ? AD2 ? BC2 ? AB2 ? CD 2 ? 0,? AC ? BD 只有一个
值得 0,故选 A。 6. (2006 吉林预赛) 已知 P 为△ ABC 内一点, 且满足 3PA ? 4PB ? 5PC ? 0 , 那么 S△ PAB: S△ PBC: S△ PCA = . 7. (2006 年南昌市)等腰直角三角形的直角顶点 A 对应的向量为 A ?1,0 ? ,重心 G 对应的向量 为 G ? 2,0? ,则三角形另二个顶点 B 、 C 对应的向量为_____ ?

?5 3? , ? ? _________. ?2 2?

8. (2006 年浙江省预赛)手表的表面在一平面上。整点 1,2,…,12 这 12 个数字等间隔地 分布在半径为

2 的 圆 周 上 。 从 整 点 i 到 整 点 ( i + 1 ) 的 向 量 记 作 t i t i ?1 , 则 2 6 3 ?9 . t1t 2 ? t 2 t 3 ? t 2 t 3 ? t 3t 4 ? ? ? t12 t1 ? t1t 2 = 2 的圆内接正 12 边形.相邻两个边向量的夹角即 2 2 ? 2? 3 . 则 ? sin ? 2 2 12 4

解:连接相邻刻度的线段构成半径为

为正 12 边形外角,为 30 度。各边向量的长为 2 ?
2

? 2? 3 ? ? cos ? ? 2 2 ? 3 3 . 共有 12 个相等项. 所以求得数量积 t1t 2 ? t 2 t 3 ? ? 2 ? 4 ? 6 4 2 ? ? 之和为 6 3 ? 9 .

6


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