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【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习第六章不等式、推理与证明计时双基练37基本不等式理北师大版(新)


计时双基练三十七
1 1.已知 f(x)=x+ -2(x<0),则 f(x)有(

基本不等式

A 组 基础必做

x

) B.最小值 0 D.最小值-4

A.最大值 0 C.最大值-4

1 ? 1 ? 解析 ∵x<0,∴f(x)=

-??-x?+ ?-2≤-2-2=-4,当且仅当-x=-x, ?- x ? ? ? 即 x=-1 时取等号。 答案 C 2.下列不等式一定成立的是( )

? 2 1? A.lg?x + ?>lg x(x>0) 4? ?
B.sin x+
2

1 ≥2(x≠kπ ,k∈Z) sin x

C.x +1≥2|x|(x∈R) D. 1

x2+1

>1(x∈R)

1 ? 1?2 2 解析 对选项 A,当 x>0 时,x + -x=?x- ? ≥0, 4 ? 2?

? 2 1? 2 即 lg?x + ?≥lg x,故不成立;对选项 B,当 sin x<0 时显然不成立;对选项 C,x + 4? ?
1=|x| +1≥2|x|,一定成立;对选项 D,∵x +1≥1,∴0≤ 答案 C 3.已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为( A. C. 1 3 3 4 B. D. 1 2 2 3 )
2 2

1 ≤1,故不成立。 x +1
2

解析 ∵0<x<1,∴1-x>0。 ∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3?

?x+1-x?2=3。 ? ? 2 ? 4

1 当且仅当 x=1-x,即 x= 时取等号。 2 答案 B

1

4.若函数 f(x)=x+ A.1+ 2 C.3 解析 f(x)=x+ 1

1 (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a 等于( x-2 B.1+ 3 D.4

)

x-2

=x-2+

1

x-2

+2。

∵x>2,∴x-2>0。 ∴f(x)=x-2+ 1 1

x-2

+2≥2

?x-2?·

1

x-2

+2=4。

当且仅当 x-2=

x-2

,即 x=3 时,“=”成立。

又 f(x)在 x=a 处取最小值。∴a=3。 答案 C

x2+2 5.函数 y= (x>1)的最小值是( x-1
A.2 3+2 C.2 3 解析 ∵x>1,∴x-1>0。

) B.2 3-2 D.2

x2+2 x2-2x+2x+2 x2-2x+1+2?x-1?+3 ∴y= = = x-1 x-1 x-1
= ?x-1? +2?x-1?+3 3 =x-1+ +2 x-1 x-1 ?x-1? 3
2

≥2

x-1

+2=2 3+2。

当且仅当 x-1= 答案 A

3 ,即 x=1+ 3时取等号。 x-1

?1 a? 6. 已知不等式(x+y)? + ?≥9 对任意正实数 x, y 恒成立, 则正实数 a 的最小值为( ?x y?
A.2 C.6 B.4 D.8

)

y ax ?1 a? 解析 (x+y)? + ?=1+a+ + ≥1+a+2 a,

?x y?

x

y

∴当 1+a+2 a≥9 时不等式恒成立,故 a+1≥3,a≥4。 答案 B 2 2 7.已知 + =1(x>0,y>0),则 x+y 的最小值为________。

x y

2

?2 2? ?x y? 解析 ∵x>0,y>0,∴x+y=(x+y)·? + ?=4+2? + ?≥4+4 ?x y? ?y x?
当且仅当 = ,即 x=y=4 时取等号。 答案 8

x y · =8。 y x

x y y x

8.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货 物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比,如果在距车站 10 公里处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________ 公里处。 20 解析 设 x 为仓库与车站距离,由已知 y1= ,y2=0.8x。

x

费用之和 y=y1+y2=0.8x+ “=”成立。 答案 5

20

x

≥2

20 20 0.8x· =8,当且仅当 0.8x= ,即 x=5 时

x

x

9.(2016·南昌模拟)已知 x>0,y>0,x+3y+xy=9,则 x+3y 的最小值为________。 解析 由已知,得 xy=9-(x+3y),即 3xy=27-3(x+3y)≤? 则 t +12t-108≥0,又∵t>0,解得 t≥6,即 x+3y≥6。 答案 6 10.已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1。 1 1 1 求证: + + ≥9。
2

?x+3y?2,令 x+3y=t, ? ? 2 ?

a b c

证明 ∵a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1, 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴ + + = + +

a b c

a

b

c

=3+ + + + + +

b c a c a b a a b b c c b a c a c b ?a b? ?a c? ?b c?

? ? ? ? ? ? =3+? + ?+? + ?+? + ?
1 ≥3+2+2+2=9,当且仅当 a=b=c= 时,取等号。 3 11.已知 x>0,y>0,且 2x+5y=20。 求:(1)u=lg x+lg y 的最大值; 1 1 (2) + 的最小值。

x y



(1)∵x>0,y>0,
3

∴由基本不等式,得 2x+5y≥2 10xy。 ∵2x+5y=20,∴2 10xy≤20,xy≤10, 当且仅当 2x=5y 时,取等号。
?2x+5y=20, ? 因此有? ? ?2x=5y,

解得?

?x=5, ? ? ?y=2,

此时 xy 有最大值 10。 ∴u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1。 ∴当 x=5,y=2 时,u=lg x+lg y 有最大值 1。 (2)∵x>0,y>0, 1 1 ?1 1? 2x+5y 1 ? 5y 2x? ∴ + =? + ?· = ?7+ + ?≥ x y? x y ?x y? 20 20? 1? ?7+2 20? 5y 2x? 7+2 10 , · ?= 20 x y?

5y 2x 当且仅当 = 时,取等号。

x

y

2x+5y=20, ? ? 由?5y 2x = , ? ?x y

10 10-20 ? ?x= 3 , 解得? 20-4 10 ? ?y= 3 。

1 1 7+2 10 ∴ + 的最小值为 。 x y 20 B 组 培优演练 → → → 1.设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0)(a>0,b>0,O 为坐标原点),若 A,B,

C 三点共线,则 + 的最小值是( a b
A.4 C.8

2 1

) B. 9 2

D.9

→ → → 解析 ∵AB=OB-OA=(a-1,1), →

AC=OC-OA=(-b-1,2),
若 A,B,C 三点共线, → → 则有AB∥AC, ∴(a-1)×2-1×(-b-1)=0。 ∴2a+b=1。

→ →

4

又∵a>0,b>0, 2 1 ?2 1? ∴ + =? + ?·(2a+b)

a b ?a b? a b

2b 2a =5+ + ≥5+2 2b 2a ? ? = , 当且仅当? a b ? ?2a+b=1, 答案 D

2b 2a × =9,

a

b

1 即 a=b= 时取等号。故选 D。 3

1 1 2.已知 0<x<1,则 + 的最小值是________。 x 1-x 解析 ∵0<x<1,∴0<1-x<1。 1 ? 1 1 x 1-x 1 ?1 ∴ + =? + (x+1-x)=2+ + ≥4,当且仅当 x= 时,取等号。故 ? x 1-x ?x 1-x? 1-x x 2 1 1 + 的最小值是 4。 x 1-x 答案 4 3.(2015·重庆卷)设 a,b>0,a+b=5,则 a+1+ b+3的最大值为________。 解析 因为 a,b>0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9。令 x=a+1,y=b+3,则 x +y=9(x>1,y>3), 于是 a+1+ b+3= x+ y,而( x+ y) =x+y+2 xy≤x+y+(x+y)=18,所 以 x+ y≤3 2,此时 x=y,即 a+1=b+3,结合 a+b=5 可得 a=3.5,b=1.5,故当 a =3.5,b=1.5 时, a+1+ b+3的最大值为 3 2。 答案 3 2 4.为了净化空气,某科研单位根据实验得出,在一定范围内,每喷洒 1 个单位的净化 剂,空气中释放的浓度 y(单位:毫克/立方米)随着时间 x(单位:天)变化的函数关系式近似 16 ? ?8-x-1,0≤x≤4, 为 y=? 1 5- x,4<x≤10。 ? ? 2
2

若多次喷洒,则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投

放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和。由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于 4(毫 克/立方米)时,它才能起到净化空气的作用。 (1)若一次喷洒 4 个单位的净化剂,则净化时间可达几天? (2)若第一次喷洒 2 个单位的净化剂,6 天后再喷洒 a(1≤a≤4)个单位的药剂,要使接 下来的 4 天中能够持续有效净化,试求 a 的最小值(精确到 0.1,参考数据: 2取 1.4)。
5



(1)因为一次喷洒 4 个单位的净化剂,

64 ? ? -4,0≤x≤4, 所以浓度 f(x)=4y=?8-x ? ?20-2x,4<x≤10。 64 当 0≤x≤4 时,由 -4≥4,解得 0≤x≤8, 8-x 所以此时 0≤x≤4。 当 4<x≤10 时,由 20-2x≥4,解得 x≤8, 所以此时 4<x≤8。 综上可得 0≤x≤8,若一次投放 4 个单位的净化剂,则有效净化时间可达 8 天。 (2)设从第一次喷洒起,经 x(6≤x≤10)天, 16 16a 16a ? 1 ? ? -1? 浓度 g(x)=2?5- x?+a? ?=10-x+14-x-a=(14-x)+14-x-a- ? 2 ? ?8-?x-6? ? 4≥2 ?14-x?· 16a -a-4=8 a-a-4。因为 14-x∈[4,8],而 1≤a≤4,所以 14-x

4 a∈[4,8],故当且仅当 14-x=4 a时,y 有最小值为 8 a-a-4。令 8 a-a-4≥4, 解得 24-16 2≤a≤4,所以 a 的最小值为 24-16 2≈1.6。

6


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