当前位置:首页 >> 数学 >>

成才之路·人教A版数学选修课件2-3 1.2.2 第1课时


成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-3

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

第一章
计数原理

第一章

计数原理

成才之路 · 高中新课程 · 学

习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

第一章 1.2 排列与组合
第1课时 组 合 (一)

第一章

计数原理

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

巩固提高学案

4

备 选 练 习

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

自主预习学案

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

1.正确理解组合的意义,掌握写出所有组合的方法,加深

对分类讨论方法的理解,发展学生的抽象能力和逻辑思维能
力. 2 .能利用计数原理和排列数公式推导组合数公式,并熟 练掌握. 3 .掌握组合数的两个性质,并能应用其进行计算、化 简、证明.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

重点:组合的概念与组合数公式.

难点:组合数公式及组合数性质的应用.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

组合的概念 思维导航 1 .前边我们曾经讨论过三个城市之间直达航线的机票种 数问题,机票种数与票价种数一样吗?

2 .从 2 、 3 、 5 、 7 四个不同的数中任取两个数相乘或相
除,所得积与商的个数相同吗?它们是排列吗?

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

3.A、B、C、D四个点中任意三个点不共线,从中任取两 个点,以这两个点为端点的线段条数与以这两点中的一个为始 点、另一个为终点的有向线段条数相同吗?它们是排列吗?上 述三个问题有何共同点?

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

新知导学 并成一组 1.从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素__________ ,叫
m Cn 做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,记作______.

2 .如果两个组合中的元素完全相同,不管它们的顺序如 相同 的组合. 何都是______

如果两个组合中的元素不完全相同 ( 即使只有一个元素不
不同 的组合. 同),就是______ 3.组合与排列问题共同点是都要“从n个不同元素中,任 并成 一组”, 取m个元素”,不同点是前者“不管怎样顺序______ 而后者要“按照一定顺序______ 排成 一列”.
第一章 1.2 1.2.2 第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

组合数公式
思维导航 2.组合的本质是取出的 m 个元素不讲究顺序,也就是说 元素没有位置的要求,因此这 m 个元素的全排列数只对应组合
m 数中的一个, 由此你能得出求 Cn 的计算公式吗?你能不用列举

数数的方法求出前面 3 个问题中的票价种数、积的个数、线段 条数吗?

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

3. 从 5 本不同书中取出 2 本并成一组和取出 3 本并成一组 的组合数相同吗?为什么? 4.从含有元素 a 的 n+1 个不同元素中取出 m 个元素的组
m 合数 Cn +1,可以分成两类:一类不含元素 a,从剩余的 n 个元

素中选 m 个的组合数为 Cm n ;另一类含有元素 a,只要从其余的
1 n 个元素中选 m-1 个,其组合数为 Cm ,由分类计数原理可 n


m m m-1 以得出 Cn 的关系式,此式也可以用阶乘证明, +1与 Cn 和 Cn

你会吗?

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

新知导学 4. 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个 数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数.用符号
m Cn 表示. m A n m m! Cn =Am=_________________________ m

n?n-1??n-2?· ?· ?n-m+1?

这里 m、n∈N*,并且 m≤n,组合数公式可以用阶乘表示 为:

n! m m!?n-m?! Cn =______________________________.
规定:C0 n=1.
第一章 1.2 1.2.2 第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

5.组合数的性质
n -m (1)Cm ; n =Cn

m-1 m m C n (2)Cn+1=Cn +__________.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

牛刀小试 1.C2 n=10,则 n 的值为( A.10 C.3
[答案] B

) B.5 D.4

n?n-1? [解析] 由题意得 2 =10, 解得 n=5 或 n=-4(舍去),故选 B.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

2.从 9 名学生中选出 3名参加“希望英语”口语比赛,有
( )种不同选法.( A.504 C.84 [答案] C
[解析] 只需从 9 名学生中选出 3 名即可,从而有 C3 9= 9×8×7 =84 种选法. 3×2×1

) B.729 D.27

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

x 3.已知 C2009 =C9 2009,则 x=________.

[答案] 9或2000.
3 2 4.计算 C2 + C + C 8 8 9=________.

[答案] 120
m-1 m [解析] 由组合数性质知 Cm + C n n =Cn+1,

10×9×8 2 3 2 3 2 3 ∴C8+C8+C9=C9+C9=C10= =120. 3×2×1

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

典例探究学案

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

组合的概念
判断下列问题是组合问题还是排列问题: (1)设集合 A={a,b,c,d,e},则集合 A 的子集中含有 3 个元素的有多少个? (2)某铁路线上有 5 个车站,则这条线上共需准备多少种车 票?多少种票价? (3)2011 年元旦期间,某班 10 名同学互送贺年卡,表示新 年的祝福,贺年卡共有多少张?
第一章 1.2 1.2.2 第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

[解析] (1)因为本问题与元素顺序无关,故是组合问题. (2)因为甲站到乙站,与乙站到甲站车票是不同的,故是排 列问题,但票价与顺序无关,甲站到乙站,与乙站到甲站是同 一种票价,故是组合问题.

(3)甲写给乙贺卡,与乙写给甲贺卡是不同的,所以与顺序
有关,是排列问题.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

[方法规律总结 ]

区分排列与组合的关键是看结果是否与

元素的顺序有关,若交换某两个元素的位置对结果产生影响, 则是排列问题,而交换任意两个元素的位置对结果没有影响, 则是组合问题,也就是说排列问题与选取元素的顺序有关,组

合问题与选取元素的顺序无关.
由此可知,定序问题属组合,即排列时,如果限定某些元 素保持规定的顺序,则定序的这n个元素属于组合问题.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

(1)已知a、b、c、d这四个元素,写出每次取出 2个元素的 所有组合; (2)已知A、B、C、D、E五个元素,写出每次取出3个元素 的所有组合. [解析] (1)可按a→b→c→d顺序写出,即

∴所有组合为ab,ac,ad,bc,bd,cd.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

(2)可按 AB→AC→AD→BC→BD→CD 顺序写出,即

∴所有组合为 ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD, BCE,BDE,CDE.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

[点评] 1.写组合时,一般先将元素按一定的顺序排好,然 后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来,如本题 的作法,这样做直观、明了、清楚,以防重复和遗漏. 2. 有时写含有多个元素的组合时, 可采用欲进先退的策略, 如(2)中先按(1)写出由 A、B、C、D 中每次取 2 个构成的所有组 合.把这些都添上元素 E,再写出 A、B、C、D 中每次取 3 个 的所有组合即可.即:ABE,ACE,ADE,BCE,BDE,CDE, ABC,ABD,ACD,BCD.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

组合数公式
6 若 C4 >C n n,则 n 的取值集合是________.

[答案] {6,7,8,9}

[分析] 利用组合数公式解题,并注意有关限制条件.
6 [解析] ∵C4 >C n n,

n! n! ∴ > , 4!?n-4?! 6!?n-6?! ∴n2-9n-10<0,∴-1<n<10, ∵n∈N*且 n≥6,∴n=6、7、8、9, ∴n 的取值集合为{6,7,8,9}.
第一章 1.2 1.2.2 第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

[方法规律总结]

组合数的计算、组合恒等式的证明,求

m 解组合等式或不等式中的字母值或取值范围主要应用公式:Cn

n! m = , 对于含有字母的组合式的变形 论证, 利用 C = n .. m!?n-m?! n?n-1???n-m+1? 较为简便. m!

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

x x 8 方程 C28 =C 3 28 的解为(


) B.4 D.5

A.4 或 9 C.9

[答案] A
4 8 [解析] 方法一:验证法:当 x=4 时,C3 =C4 28 28;
× - ×9-8 19 28-19 9 当 x=9 时,C3 = C = C = C 28 28 28 28.

方法二:直接法:当 x=3x-8 时,解得 x=4; 当 28-x=3x-8 时,解得 x=9.
第一章 1.2 1.2.2 第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

组合数的性质、组合数与排列数的关系
2 2 2 A2 + A + A +?+ A 3 4 5 100=________.

[答案] 333298

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

2 2 2 2 2 [解析] 解法一:原式=C2 A + C A + ? + C A 3 2 4 2 100 2 2 2 2 =(C2 + C + ? + C )· A 3 4 100 2 2 2 2 2 3 2 =(C3 + C + C + C + ? + C - C )· A 3 3 4 5 100 3 2 2 2 2 3 2 =(C3 + C + C + ? + C - C )· A 4 4 5 100 3 2 2 2 3 2 =(C3 + C ? + C - C )· A 5 5 100 3 2

?
3 2 =(C3 - C )· A 101 3 2 2 =(C3 - 1)· A 101 2

=2C3 101-2=333298.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

m m m 1 解法二:∵Cn , +1=Cn +Cn
- -1 m m ∴Cm n =Cn+1-Cn .

3 3 2 3 3 2 3 3 ∴C2 = C - C , C = C - C , C = C - C 3 4 3 4 5 4 5 6 5,

?
3 3 C2 = C - C 100 101 100,以上各式累加得: 2 2 2 3 3 C2 3+C4+C5+?+C100=C101-C3. 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴A2 + A + A + ? + A = (C + C + C + ? + C )A 3 4 5 100 3 4 5 100 2= 3 3 (C3 A2 A2 101-C3)· 2=(C101-1)· 2=333298.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

[方法规律总结]

在利用组合数公式进行计算、化简时,

m 要灵活运用组合数的性质,一般地,计算 Cn 时,若 m 比较大,
-m m 可利用性质①,不计算 Cn 而改为计算 Cn ,在计算组合数之 n

和时,常利用性质②.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

n 3n (1)计算:C38 3n +Cn+21的值.
- -7 2 (2)求使 3Cx = 5A - x 3 x-4成立的 x 值.

(3)证明下列各等式. n m-1 m ①Cn = Cn-1 ; m m+1 m+1 m ②Cn = Cn+1 ; n+1
1 2 m 1 m 1 ③C0 + C + C ?+ C = C + + + - n n 1 n 2 n m 1 n+m.
- -

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

[分析]

* (1)Cm 的限制条件为: m 、 n ∈ N ,且 m≤n,因此 n

可得到 n 的值,最后用组合数公式求解.(2)依据排列数组合数 公式列方程求解.(3)依据组合数的性质求解.

?3n≥38-n, ? [解析] (1)由?3n≤n+21, ?n∈N*, ?

19 21 ? ? ≤n≤ , 2 得? 2 * ? ?n∈N , 30! 28!?30-28?!

28 ∴n=10,∴原式=C30 +C30 31=

31! 30×29 + = 2 +31=466. 30!?31-30?!
第一章 1.2 1.2.2 第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

(2)据排列数和组合数公式,原方程可化为 ?x-3?! ?x-4?! 3· =5· , ?x-7?!4! ?x-6?! 3?x-3? 5 即 = ,即为(x-3)(x-6)=40. 4! x-6 ∴x2-9x-22=0,解之可得 x=11 或 x=-2. 经检验知 x=11 时原式成立.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

?n-1?! n (3)①右边=m· ?m-1?![?n-1?-?m-1?]! n! n! = = [m· ?m-1?!]?n-m?! m!?n-m?!
m =Cn =左边,∴原式成立;

m+1 ?n+1?! ②右边= · n+1 ?m+1?![?n+1?-?m+1?]! m+1 ?n+1?! = · n+1 ?m+1?!?n-m?! n! m = =Cn =左边,∴原式成立; m!?n-m?!
第一章 1.2 1.2.2 第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

1 2 3 m 1 1 ③左边=(C0 + C ) + C + C + ? + C = (C + + + + + - n 1 n 1 n 2 n 3 n m 1 n+2+


3 m-1 2 3 m-1 3 C2 n+2)+Cn+3+?+Cn+m-1=(Cn+3+Cn+3)+?+Cn+m-1=(Cn+4+ m-1 m-2 m-1 m-1 C4 ) + ? + C = ?? = C + C = C ∴原 + + - + - + - n 4 n m 1 n m 1 n m 1 n+m=右边,

式成立.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

0 [点评] 1.对于③关键一步是把 C0 变成 C n n+1=1,再反复运

用定理 2,逐步化简式子即可得证.
m m m-1 m-1 也可利用 Cn = C + C 将等式右边 C +1 n n n+m一项拆成二项,

反复使用此公式即可得证.请自己证明.
n n n m 1 ③式的变形为:Cn + C + C +?+ C = C n n+1 n+2 n+m-1 n+m.


2. 对于组合数的两个性质, 新课标要求很低, 故不宜膨胀, 仅能够理解、简单套用即可.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

注意组合数中字母的取值范围 1 1 7 已知:Cm-Cm=10Cm,求 m. 5 6 7

[错解] 由组合数公式得, m!?5-m?! m!?6-m?! 7×m!?7-m?! - = , 5! 6! 10×7! 化简得 m2-23m+42=0,∴m=21 或 2.
[辨析] 围的限制.
第一章 1.2 1.2.2 第1课时

运用组合数公式时,必须注意其中对字母取值范

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

[正解] 依题意,m 的取值范围是{m|0≤m≤5,m∈N*}. m!?5-m?! m!?6-m?! 原 等 式 化 为 - = 5! 6! 7×m!?7-m?! ,化简得 m2-23m+42=0,解得 m=21 或 m 10×7! =2.因为 0≤m≤5,m∈N*,所以 m=21 应舍去,所以 m=2.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

* [警示] 应用组合数公式 Cm 时要注意 m 、 n ∈ N ,m≤n; n m m 由 Cn =Cp n列关系式时应有 m=p 或 m+p=n;逆用公式 Cn+1=
-1 m Cn +Cm 可以将较复杂的下标连续变化的组合数和式化简,要 n

注意用准公式.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

巩固提高学案
(点此链接)

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

备选练习
(点此链接)

第一章

1.2

1.2.2

第1课时


相关文章:
成才之路·人教A版数学选修2-3 2.1.2 第2课时
成才之路·人教A版数学选修2-3 2.1.22课时_数学_高中教育_教育专区。选修 2-3 第二章 2.1 2.1.2 第 2 课时 一、选择题 1 1.已知随机变量 X ...
成才之路·人教A版数学选修2-3 1.2.2 第3课时
成才之路·人教A版数学选修2-3 1.2.2 第3课时_数学_高中教育_教育专区。选修 2-3 第一章 1.2 1.2.2 第 3 课时 一、选择题 1.6 个人分乘两辆不同...
成才之路·人教A版数学选修2-3 1.2.2 第1课时
成才之路·人教A版数学选修2-3 1.2.2 第1课时_数学_高中教育_教育专区。选修 2-3 第一章 1.2 1.2.2 第 1 课时 一、选择题 2 1.若 Cx 6=C6,则...
成才之路·人教A版数学选修2-3 1.2.2 第1课时 备选
成才之路·人教A版数学选修2-3 1.2.2 第1课时 备选_数学_高中教育_教育专区。选修 2-3 灯方法有( A.28 种 C.180 种 [答案] A ) 第一章 1.2 1...
成才之路·人教A版数学选修2-3 2.1.2 第1课时 备选
成才之路·人教A版数学选修2-3 2.1.2 第1课时 备选_数学_高中教育_教育专区。选修 2-3 ξ P 则 a=( A.1 C.1+ 2 2 ) 第二章-1 1 2 2.1 2...
成才之路·人教A版数学选修2-3 2.1.2 第1课时
成才之路·人教A版数学选修2-3 2.1.2 第1课时_数学_高中教育_教育专区。选修 2-3 第二章 2.1 2.1.2 第 1 课时 一、选择题 1.设某项试验的成功率...
成才之路·人教A版数学选修2-3 1.1 第2课时
成才之路·人教A版数学选修2-3 1.1 第2课时_数学_高中教育_教育专区。选修 2-3 第一1.1 第 2 课时 一、选择题 1.把 10 个苹果分成三堆,要求每堆...
成才之路·人教A版数学选修2-3 1.1 第1课时
成才之路·人教A版数学选修2-3 1.1 第1课时_数学_高中教育_教育专区。选修 2-3 第一章 1.1 第 1 课时 一、选择题 1.一个袋子里放有 6 个球,另一个...
成才之路·人教A版数学选修2-3 1.2.1 第2课时
成才之路·人教A版数学选修2-3 1.2.1 第2课时_数学_高中教育_教育专区。选修 2-3 第一1.2 1.21 第 2 课时 一、选择题 1. 用 1、 2、 3、 ...
成才之路·人教A版数学选修2-3 1.2.1 第1课时 备选
成才之路·人教A版数学选修2-3 1.2.1 第1课时 备选_数学_高中教育_教育专区。选修 2-3 第一章 ) 1.2 1.21 第 1 课时 1.停车站划出一排 12 个停...
更多相关标签:
成才之路数学选修2 1 | 人教版物理选修3 1 | 人教版数学选修2 1 | 人教版英语选修6 | 人教版选修六英语单词 | 人教版高中英语选修6 | 人教版课时作业本答案 | 高中英语人教版选修六 |