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数学思想方法-资料01


国培讲座

数学思想方法

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一、数学思想方法释义 数学思想 数学方法 数学思想方法

1. 数学思想的含义 现代汉语中,思想解释为客观存在反映在人的意识中经过思维 活动而产生的结果. 《辞海》称思想为理性认识. 《中国大百科全书》认为,思想是相对于感性认识的理性认识结 果. 可见,思想是认识的高级阶段,是事物本质的、抽象的、概括 的认识. 由此推演,数学思想应是数学中的理性认识,是数学中高度抽 象、概括的内容,是从具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼 上升的数学观点,它既蕴藏于数学知识内容之中,是数学知识的本 质,又隐含于运用数学理论分析、处理和解决问题的过程之中. 数学思想既可以“泛指某些有重大意义的、内容比较丰富、体 系相当完整的数学成果”,如微积分思想、概率统计思想等,又包 括对数学的起源与发展、数学的本质和特征、数学内部各分支各体 系之间对立统一关系、数学与现实世界的关系及地位作用的认识, 如常量与变量之间的辩证关系的认识等.

2. 数学方法的含义 方法是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式 中所包含的可操作的规则或模式,具有程序性、规则性、可操作 性、模式性、指向性等特征. 方法因问题而生,因能解决问题而存. 数学方法是指在数学地提出问题、研究问题和解决问题(包括数 学内部问题和实际问题)的过程中,所采用的各种手段或途径.

数学方法的 数学方法的层次 第一层次是基本和重大的数学思想方法,如模型化方法、微积分 方法、概率统计方法、拓扑方法、计算方法等; 第二层次是与一般科学方法相应的数学方法,如类比联想、分析 综合、归纳演绎等; 第三层次是数学中的特有方法,如数学表示、数学等价、数形转 换等; 第四层次是中学数学中的解题方法和技巧.

将数学方法分为宏观的和微观的. 宏观的数学方法包括:模型方法,变换方法,对称方法,无穷 小方法,公理化方法,结构方法,实验方法. 微观的且在中学数学中常用的基本数学方法大致可以分为以下 三类: (1)逻辑学中的方法.例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证 法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等.这些方法既要遵从逻辑学 中的基本规律和法则,又因运用于数学之中而具有数学的特色. (2)数学中的一般方法.例如建模法、消元法、降次法、代入法 、图象法(也称坐标法.代数中常称图象法等.这些方法极为重要 ,应用也很广泛. (3)数学中的特殊方法.例如配方法、待定系数法、加减法、公 式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元 素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法以及平行移动法、翻折法 等.这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用,不可等闲视之

3.数学思想与方法的关系 数学思想具有概括性和普遍性,而数学方法则具有操作性 和具体性; 数学思想是内隐的,而数学方法是外显的; 数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的 内在关系,是数学方法的进一步的概括和升华; 如果把数学思想看作建筑的一张蓝图,那么数学方法就相 当于建筑施工的手段 数学思想和数学方法又具有相对性.同一个数学成就,当 人们用于解决问题时,注重它的操作意义时,可能称之为方法; 当人们评价其在数学体系中的价值和意义时,可能称之为思 想. 数学思想方法

二 、数学思想方法的教育意义
数学的逻辑结构的一个特殊的和最重要的要素就是数学思想,整 个数学科学就是建立在这些思想的基础上,并按照这些思想发展起 来的(例如,数学公理体系的思想,集合论思想等等).……数学 的各种方法是数学最重要的部分. ——弗利德曼

读一段文字,有一个段落大意,读一篇课文,有一个中心思想,同 样,一门学科也有一个大意和中心思想,如解析几何的中心思想, 这种思想在意义上如同课文的中心思想,是建立在这门学科内容之 上的,蕴涵在内容之中,经人们由内容精练概括出来的,而高于内 容的东西.数学思想的一个层面就是这种思想.

三、数学家思想方法简介

1.米山国藏——《数学的精神思想和方法》 .米山国藏 《数学的精神思想和方法》 无论对于科学的工作者、技术人员,还是数学教育工作 者,最重要的是数学的精神、思想和方法,而数学知识只 是第二位的. ——米山国藏

数学中的精神 将数学处理问题的一般思维活动称为数学的精神,概括了 七种主要的数学精神活动: (1)应用化的精神, (2)扩张化、一般化的精神, (3)组织化、系统化的精神, (4)致力于发明、发现的精神, (5)统一建设的精神, (6)严密化的精神, (7)思想经济化的精神.

重要的数学思想 (1)“数学的本质在于思考充分自由”的思想, (2)极限的思想, (3)构成“不定义的术语组”与“不证明的命题组”的 思想 (4)集合与群的思想, (5)把有限长看作无限长的思想, (6)把曲线看作直线的思想, (7)使得特异几何、特异数学、特异运算能够出现的思 想, (8)二维空间、四维空间、高维空间的思想, (9)超限数的思想, (10)数学的神秘性与数学美的思想.

数学教学论之

数学思想方法的教学

数学教学论之

9.5数学思想方法的教学
数学教育的任务,是让学生学习和 掌握数学科学。一个数学教师,必 须具备丰富的数学知识,掌握数学 技能,更重要的是理解数学的本质, 掌握数学思想方法。只有这样,学 生才能受到数学科学的熏染,了解 数学科学体系,体会数学科学的精 髓

数学教学有两种不同的水平。一种 是介绍数学概念,陈述数学定理和 公式,指出解题的程式和套路,以 便通过考试。高级水平是着眼于数 学知识背后的数学思想方法,在解 决数学问题的过程中进行深层次的 数学思考,经过思维训练,获得数 学美学的享受。

数学教科书里陈述的数学,相当的 程式化,可以说是冰冷的美丽。但 是,在数学家创立这些数学定理和 公式的时候,却是经过了火热的思 考。原始的思想,独特的方法,正 是这些重大数学发现的核心。数学 教学的任务是把数学的学术形态转 换为学生易于接受的教育形态。


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