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高中数学三追分秘笈1-2向 的基本应用


高中數學三 追分祕笈 1-2 向?的基本應用 1. △ ABC 中﹐ D 為 BC 上一點且 CD = 3BD ﹐ G 為 AC 中點﹐? GD = r AB + s AC ﹐ r ? s 為實?﹐則?對

( r , s ) = ____________﹒

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2. ? △ ABC 中﹐ AB = 4

﹐ AC = 5 ﹐ BC = 6 且 ∠A 的角平分線 AD 交 BC 於 D 點﹐則 AD = ____________﹒

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3. △ ABC 中﹐ D 為 BC 上一點﹐ P 為 AD 上一點﹐? AP =

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3 5 AB + AC ﹐則 BD : CD = ____________﹒ 19 19

4. A ? ? 三點?共線﹐ ?y 為實?﹐ ( x + 1) AB + ( 3 y ? 6 ) AC + ( 2 x ? y ) BC = 0 ﹐ B C ? 則?對 ( x, y ) = ____________﹒ x

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5. A ? B ? C 三點?共線﹐ BP = BA ﹐ CQ = CP ﹐ BQ 交 AC 於 R 點﹐則 AR : RC = ____________﹒

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1 5 3 5

6. 在 △ ABC 中﹐設 D 在 BC 上﹐且 BD : DC = 2 : 3 ﹐ E ∈ AC 且 AE : EC = 2 :1 ﹐ AD 交 BE 於點 P ﹐?
AP = x AB + y AC ﹐則?對 ( x, y ) = ____________﹒

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Book3 1-2-1

7. ? A ? B ? C 三點共線﹐ O 為任一點﹐ t 為實?﹐且 OB = ( 3 ? 2t ) OA+ ( 4 + t ) BC ﹐則 t = ___________﹒

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8. 設 x ? y 為實?﹐且 A ? B ?C 為?共線之三點﹐? ( x ? 2 y + 2 ) AB + ( x + y + 5) AC = 0 ﹐則 x = ____________﹒

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9. 直線上三點 A ? B ? C ﹐ A ? B ? C ﹐? 3 AB = 2 BC ﹐ O 為任一點﹐求(1)? OA = x OB + y OC ﹐則?對

( x, y ) = ____________﹔(2)? OB = hOA+ k OC ﹐則?對 ( h, k ) = ___________﹒

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10. 設 A ? B ? C 為?共線之三點﹐ AP = 3 AB + 2 AC ﹐? AP 與 BC ?直線交於 D 點﹐而 AD = m AB + n AC ﹐則

( m, n ) = ____________﹒

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11. 正△ ABC 的邊長為 6﹐ ? 為 BC 邊上的三等分點﹐ M N 則(1) AB? BC = ____________ (2) AM ? AN = ____________ ; ﹒

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vv

12.
如右圖﹐ AD : DB = 2 :3﹐ AE : EC = 3 :4﹐ BE 與 CD 交於 P ﹐? AP = x AB + y AC ﹐則 ( x, y ) = ____________﹒

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Book3 1-2-2

13. 設 G 為△ ABC 重心﹐ AG = x AB + y BC ﹐則 ( x, y ) = ____________﹒

v v v

14. 設 G 為△ ABC 之重心﹐求
(1)? AG = x AB + y AC ﹐則?對 ( x, y ) = ____________﹔ (2)? AG = x AB + y BC ﹐則?對 ( x, y ) = ____________﹔ (3)? AG = x BC + y CA ﹐則?對 ( x, y ) = ____________﹒

v v v v v v v v v

15. △ ABC 中﹐ M 為 BC 之中點﹐ AD = 4 AB ﹐ AE = 3 AC ﹐延長 AM 交 DE 於 P ﹐? AP = x AD + y AE ﹐則?對

( x, y ) = ____________﹒

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16. 如圖﹐ D ? E ? F 依次分別為 BC ? CA ? AB 上的點﹐ AF : FB = BD : DC = CE : EA = 2 :1﹐而 AD 與 EF
交於 P ﹐設 AP = x AB + y AC ﹐則?對 ( x, y ) = ____________﹒

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17. △ ABC 中﹐ D 在 AB 上且 AD : DB = 2 :3﹐ E 在 AC 上﹐且 AE : EC = 5 :3﹐又 BE 與 CD 交於 P 點﹐?
AP = x AB + y AC ﹐其中 x ? y 皆為實?﹐則?對 ( x, y ) = ____________﹒

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18. △ ABC 中﹐D 為 BC 中點﹐E 在 AC 上﹐且 AE : EC = 1 :3﹐ AD 交 BE 於點 P ﹐ CP 之延長線與 AB 交於 Q 點﹐
則(1)? CP = x CA+ y CB ﹐則?對 ( x, y ) = ____________;(2) CP : PQ = ____________﹒

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Book3 1-2-3

19. I 為△ ABC 的內心﹐ a = 3 ﹐ b = 5 ﹐ c = 6 ﹐? BI = x BA+ y BC ﹐則?對 ( x, y ) = ____________﹒

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20. △ ABC 中﹐ AB = 3 ﹐ AC = 2 ﹐ ∠A 之角平分線交 BC 於 D 且 AD 上有一點 E 使得 AE : ED = 2 :1﹐ CE 交 AB
於 F ﹐? DF = x DC + y DA ﹐則 ( x, y ) = ____________﹒

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21. 設 I 為△ ABC 的內心﹐? 2 IA + 3 IB + 4 IC = 0 且△ ABC 之周長為 18﹐則△ ABC 的面積為____________﹒

v v vv

22. 平?四邊形 ABCD 中﹐E ?F 分別為 AB ? AD 上之點﹐且 AE : EB = 2 :3﹐ AF : FD = 3 :1﹒? CE 與 BF 交
於 P ﹐則△ DEP 面積:△ DPC 面積 = ____________﹒

23.
如圖﹐△ OAB 中﹐? OD : DA = 1 :1﹐ OE : EB = 1 :2﹐ ? OP = x OA+ y OB ﹐則?對 ( x, y ) = ____________﹒

v v v

Book3 1-2-4

24. △ ABC 中﹐A ? E ? B ﹐B ? D ? C ﹐AD 與 CE 交於 F ﹐ AF:FD = 4:3﹐AE:BE = 2 :5﹐ AD = x AB + y AC ﹐ 且 ?
求?對 ( x, y ) = ____________﹒

v v v

25. 平?四邊形 ABCD 中﹐點 E ?F 分別在 AB ﹐AD 上﹐AE : BE = 1:2﹐AF : FD = 2 :3﹐又 DE 與 CF 交於 P ﹐
? AP = x AB + y AD ﹐則?對 ( x, y ) = ____________﹒

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26.

1 3 如圖所示﹐ AD = ? AB ﹐ AE = AC ﹐ BE 與 CD 交於 P 點﹐? 2 4 AP = x AB + y AC ﹐則 y = ____________﹒

v v v v v v v

27. A ?B ?C ?共線﹐AD = 2 AB ﹐AE = 3 AC ﹐CD 與 BE 交於 X 點﹐ AX = α AB + β AC ﹐ β = ____________﹒ ? 則

v v v v

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28. △ ABC 中﹐點 D 在邊 AB 上且 AD : DB = 2 :3﹐點 E 在邊 AC 上且 AE = 3EC ﹐ BE 與 CD 交於點 P ﹐?
AP = x AB + y AC ﹐則實?對 ( x, y ) = ____________﹒

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Book3 1-2-5

29. △ ABC 中﹐ AB = 4 ﹐ BC = 6 ﹐CA = 7 ﹐ I 為△ ABC 的內心(即三個內角平分線的交點) AI = x AB + y AC ﹐ ﹐?
則實?對 ( x, y ) = ____________﹒

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30. A ? B ? C 三點?共線﹐ CP = BC ﹐ AQ = AC ﹐ AR = AB ﹐ BQ 交 CR 於 S ﹐? BC = x BP + y BR ﹐則?對

v v v v v v
1 2 1 3

v v v

( x, y ) = ____________﹒

31. 設 A ? B ? C 三點?共線﹐ P 點與 A ? B ? C 三點在同一平面上且 AP = 2 AB + 6 AC ﹐ AP 交 BC 於 M 點﹐?
AM = x AB + y AC ﹐則(1)?對 ( x, y ) = ____________;(2)△ ABC 與四邊形 ABPC 面積比為____________﹒

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32.
1 如圖﹐平?四邊形 ABCD 中﹐ DE = DC ﹐ F 為 AB 中點﹐ 3 BE ? CF 交於 P ﹐? AP = x AB + y AD ﹐則?對

v v v

( x, y ) = ____________﹒

33. △ ABC 中﹐ BC = 5 ﹐ AB = 6 ﹐ AC = 4 ﹐? ∠BAC 的平分線交 BC 於 E ﹐則 AE 長 = ____________﹒

Book3 1-2-6

34. 圓內接四邊形 ABCD ﹐ DA = AB = 7 ﹐ BC = 5 ﹐ CD = 3 ﹐? CA = x CB + y CD ﹐則?對 ( x, y ) = ____________﹒

v v v

35. 平?四邊形 ABCD ﹐ E 在 CD 上﹐ F 在 AB 上﹐且 DE = DC ﹐ AF = AB ﹐ BE 與 CF 交於 P 點﹐?
AP = x AB + y AD ﹐則 x + y = ____________﹒

v v v

2 5

2 3

RA 36. 在同一個平面上﹐ 有?三角形△ ABC 及△ PQR ﹐ PA+ PB + PC = BC ﹐ + QB + QC = CA ﹐ + RB + RC = AB ﹐ ? QA
則△ ABC 之面積為△ PQR 之____________倍﹒

vvv vvvv vvvv v v v v v

37. 設四邊形 ABCD 之二邊 AB ﹐ CD 各被點 P ﹐ Q 分割成 AP : PB = DQ : QC = 2 :3﹐? AD = a ﹐ BC = b ﹐
則 PQ = x a + y b ﹐求(1) x = ____________;(2) y = ____________﹒

v v v

38. △ ABC 及一點 O ﹐? ? OB ? OC ? ? ? OB + OC ? 2 OA ? = 0 ﹐則△ ABC 之形?為____________﹒ ? ? ? ?
? ? ? ?

vv vv v

39. 設 P 為△ ABC 內部一點﹐? 3 PA+ 2 PB + 4 PC = 0 ﹐則 a △ PBC : a △ PCA : a △ PAB = ____________﹒

v v v v

40. 平?四邊形 ABCD 中﹐ E ? F 分別為 AB ? AD 上之點﹐且 AE : EB = 2 : 3 ﹐ AF : FD = 3 :1 ﹒? CE 與 BF 交於
P ﹐則△ DEP 面積 : △ DPC 面積 = ____________﹒

Book3 1-2-7

解答

1. 解答
解析

2. 解答

3 1 1 ?3 1? ?3 ? 1 GD = AD ? AG = ? AB + AC ? ? AC = AB ? AC ﹐故 ( r , s ) = ? , ? ? ﹒ 4 4 4 ?4 ? 2 ? 4 4? 10 3

v vv v v v v v
BD AB
2

?3 1? ? ,? ? ? 4 4?

4 5 4 5 4 25 16 40 AB + AC + AB? AC = = ﹐∴ AD = AB + AC ﹐ AD = AB + AC = 解析 Q 9 9 9 9 81 81 81 DC AC 5

25 16 40 ? 16 + 25 ? 36 ? 900 100 10 = ?16 + ? 25 + ? 4 ? 5 ? ﹐∴ AD = ﹒ ?= 3 9 81 81 81 ? 2 ? 4 ? 5 ? 81 3. 解答 5:3 3t 5t 解析 設 AD = t AP = AB + AC 19 19 36 5t 19 ∵ B ? D ? C 三點共線∴ + = 1 ? t = 19 19 8 3 5 ∴ AD = AB + AC 故 BD : CD = 5 : 3 ﹒ 8 8 4. 解答 ( 2,1)
=

v v v v v v v v
2

2

v

2

vv

v v v v
v v

v v v

解析

( x + 1) AB + ( 3 y ? 6 ) AC + ( 2 x ? y ) ? AC ? AB ? = ? ?
? ?
? ? x + y = ?1 x = 2 ∴? ﹐∴ ( x, y ) = ( 2,1) ﹒ ? y =1 ?2 x + 2 y = 6 10 : 3

vv v

0 ﹐ ( x + 1 ? 2 x + y ) AB + ( 3 y ? 6 + 2 x ? y ) AC = 0 ﹐

v

v v

5. 解答

解析 由孟氏定?:

CR 5 2 ? ? = 1 ? AR : RC = 10 : 3 ﹒ RA 1 3

[另解] 設 AR : RC = x :1
△ ACP 中, AQ =

3 2 3 4 2 ? x +1 ? AP + AC = ? AB + ? AR ? 5 5 5 5 5? t ? 12 2 x + 2 10 10 =1 ? t = ∵ B ? Q ? R 三點共線﹐∴ + 即 AR : RC = :1 = 10 :3﹒ 25 5x 3 3 ? 1 1? 6. 解答 ? , ? ? 2 3? 2 5 DP = 1 ? DP : PA = 1: 5 ﹐ 解析 由孟氏定? : ? ? 1 2 PA 5 5?3 2 1 ? 1 1? ? 1 ∴ AP = AD = ? AB + AC ? = AB + AC ﹐∴ ( x, y ) = ? , ? ﹒ 3 6 6?5 5 ? 2 ? 2 3? 3 2 3 2 ?3 ? [另解]? AP = t AD = t ? AB + AC ? = t AB + t ? AE 5 5 2 5 ?5 ? 3 3 5 3 5 2 5 1 1 ∵ B ? P ? E 三點共線 ∴ t + t =1 ? t = ∴ AP = ? AB + ? AC = AB + AC 5 6 3 6 2 3 5 5 6 ? 1 1? ∴ ( x, y ) = ? , ? ﹒ ? 2 3? 7. 解答 1

v v v

v

v

v v

v v v v v v v v v
v vv

v

v

v

v v v

解析

? ? OB = ( 3 ? 2t ) OA+ ( 4 + t ) ? OC ? OB ? ? ( 3 ? 2t ) OA+ ( ?5 ? t ) OB + ( 4 + t ) OC = 0 ﹐ ? ? ∵ A ? B ? C 三點共線﹐∴ ( 3 ? 2t ) + ( ?5 ? t ) + ( 4 + t ) = 0 ? 2 ? 2t = 0 ﹐∴ t = 1 ﹒

v

v

v

v v

8. 解答

?4
Book3 1-2-8

?x ? 2 y + 2 = 0 ∵ AB 與 AC ?平?﹐∴ ? ? x = ?4 ﹒ ?x + y + 5 = 0 ?5 2? ?3 2? 9. 解答 (1) ? , ? ? ;(2) ? , ? ?3 3? ?5 5? AB 2 3 2 = ﹐由分點公式 OB = OA+ OC ﹐ 解析 ∵ 3 AB = 2 BC ? 5 5 BC 3 3 2 5 2 OA = OB ? OC ? OA = OB ? OC ﹐ 5 5 3 3 5 2? ? ?3 2? ∴(1) ( x, y ) = ? , ? ? ﹒ (2) ( h, k ) = ? , ? ﹒ ?3 3? ?5 5? ?3 2? 10. 解答 ? , ? ?5 5? ? ? 解析 ? AD = t AP = t ? 3 AB + 2 AC ? = 3t AB + 2t AC ﹐ ? ? 1 3 2 ?3 2? ∵ B ? D ? C 三點共線﹐∴ 3t + 2t = 1 ? t = ﹐∴ AD = AB + AC ﹐∴ ( m, n ) = ? , ? ﹒ 5 5 5 ?5 5? 11. 解答 (1) ?18 ;(2)26

解析

v v

v v v v v v

v v v

v v

v v

v v

v v v
2

解析 (1) AB? BC = 6 ? 6 ? cos120° = ?18 ﹒

vv vv v v v v (2)
v v v v v v v v v

12. 解答
解析

1 2 2 5 ?2 ? ?1 ? 2 AM ? AN = ? AB + AC ? ? ? AB + AC ? = AB + AC + AB? AC 3 3 9 9 ?3 ? ?3 ? 9 2 2 5 = ? 36 + ? 36 + ( 6 ? 6 ? cos 60° ) = 8 + 8 + 10 = 26 ﹒ 9 9 9 ? 8 9 ? ? , ? ? 29 29 ?

v v vv
2

AP = x AB + y AC

13. 解答

? ?7 ? 7 ? ? AP = x AB + y ? 3 AE ? ?x + 3 y = 1 ? ? ? ? ? 8 9 ? ?? ? ( x, y ) = ? , ? ﹒ ﹐∴ B ?P ?E 共線且 C ?P ?D 共線﹐∴ ? ? 29 29 ? ?5 x + y =1 ? AP = x ? 5 AD ? + y AC ? ? ?2 ? ? ?2 ? ? ? 2 1? ? , ? ? 3 3?

解析 AM 為中線﹐∴ AM =

AG =

v v

1 1 1? 1 2 2?1 1 ? 1 ? 2 AM = ? AB + AC ? = AB + AC = AB + ? AB + BC ? = AB + BC 3 3? 3 3 3 3? 2 2 ? 3 ? 3

v v v﹐ v v v v v v v v v ﹐∴ (
1 1 AB + AC 2 2

? 2 1? x, y ) = ? , ? ﹒ ? 3 3?

14. 解答

?1 1? ? 2 1? ? 1 2? (1) ? , ? ;(2) ? , ? ;(3) ? ? , ? ? ? 3 3? ? 3 3? ? 3 3? 1 1 解析 (1)△ ABC 中﹐ AM = AB + AC ﹐ 2 2 ?1 1? ∴ ( x, y ) = ? , ? ﹒ ? 3 3?

v v v

AG =

v v

1 2 2?1 1 ? 1 AM = ? AB + AC ? = AB + AC ﹐ 3 3? 2 2 3 ? 3

v v v v

1 1 2 1 1 1 ? 2 1? (2)由(1)﹐ AG = AB + AC = AB + ? AB + BC ? = AB + BC ﹐ ∴ ( x, y ) = ? , ? ﹒ ? ? 3 3 3 3 3? ? 3 ? 3 3? 2 1 2 2 1 1 2 2 1 (3)由(2)﹐ AG = AB + BC = ? AC + CB ? + BC = ? CA? BC + BC = ? BC ? CA ﹐ ? ? 3 3 3 3 3 3 3 3? ? 3 ? 1 2? ∴ ( x, y ) = ? ? , ? ? ﹒ ? 3 3?
Book3 1-2-9

v v v v vv v v v v v vv v v v v v v

? 3 4? ? , ? ?7 7? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解析 ∵ AM = AB + AC = ? AD + ? AE = AD + AE ﹐∴ AP = t AM = t AD + t AE ﹐ 2 2 2 4 2 3 8 6 8 6 1 1 24 3 4 ? 3 4? ∵ D ? P ? E 共線﹐∴ t + t = 1 ? t = ? AP = AD + AE ﹐∴ ( x, y ) = ? , ? ﹒ 7 7 7 8 6 ?7 7? ?2 4? 16. 解答 ? , ? ? 15 15 ? 1 2 1 2 1 ?3 ? 2 ? ? ?1 ? AD = AB + AC ﹐又 AP = t AD = t AB + t AC = t ? AF ? + t ? 3 AE ? = ? t ? AF + ( 2t ) AE ﹐ 解析 3 3 3 3 3 ?2 ? ?2 ? ? 3 ? 1 2 2 2?1 2 4 ? 2 ∵ F ? P ? E 三點共線﹐∴ t + 2t = 1 ? t = ﹐∵ AP = AD = ? AB + AC ? = AB + AC ﹐ 5 5?3 3 15 2 5 ? 15

15. 解答

v v v

v

v v v v v v v v v v

v v v v v v v

v v v v v v v v v
v v v v
v

v

17. 解答
解析

?2 4? ∴ ( x, y ) = ? , ? ﹒ ? 15 15 ? ?1 1? ? , ? ?5 2? 3 8 EP 1 4 1 4?5 ? = 1 ﹐∴ EP : PB = 1 :4﹐∴ AP = AB + AE = AB + ? AC ? ﹐ 由孟氏定?: ? ? 5 5?8 5 5 2 3 PB ? ?1 1? 故 ( x, y ) = ? , ? ﹒ ?5 2?

[另解]
設 BP : PE = x :1 △ ABE 中﹐ AP =

1 x 1 5 x 5 AB + AE = ? AP + ? AC x +1 x +1 x +1 2 x +1 8 5 5x ∵ D ? P ? C 三點共線﹐∴ + =1 ? x = 4 2 ( x + 1) 8 ( x + 1)
∴ AP =

v

v

v

v

v

18. 解答

解析 (1) CP = x CA+ y CB ﹐

? ? ? ?CP = x CA+ y ? 2 CD ? ? ? ? ﹐ ∵ A ? P ? D 共線且 B ? P ? E 共線﹐ ? ?CP = x ? 4 CE ? + y CB ? ? ? ?3 ? ? ?x + 2 y = 1 ? ?3 1? ? ( x, y ) = ? , ? ﹒ ∴ ?4 ?5 5? ?3 x + y =1 ?
(2)設 CQ = t CP =

v v v v v v v v v

1 4 1 4 5 1 1 AB + AE = AB + ? AC = AB + AC ﹒ 5 5 5 5 8 5 2 ?3 1? (1) ? , ? ;(2)4:1 ?5 5?

v v v v

v v v

19. 解答
解析

5 即 CQ = CP ﹐故 CP : PQ = 4 :1﹒ 4 ? 3 3? ? , ? ? 14 7 ? a c 3 6 ? 3 3? BI = BA+ BC = BA+ BC ﹐∴ ( x, y ) = ? , ? ﹒ 14 14 a+b+c a+b+c ? 14 7 ?

v v v v v v v

3t t CA+ CB 5 5

∵ A ? Q ? B 共線﹐∴

3t t 5 + =1 ? t = ﹐ 5 5 4

v

v v v

20. 解答

? 2 5? ?? , ? ﹒ ? 3 9?

Book3 1-2-10

解析

由孟氏定?:

4 5 2 5 4 3 5 ? 2 5? ∴ DF = DB + DA = ? ? DC ? + DA = ? DC + DA ﹐故 ( x, y ) = ? ? , ? ﹒ ? ? 9 9 9? 2
? 9

v v v

AF 5 1 ? ? = 1 ? AF : FB = 4 :5﹐ FB 2 2

v v

3

v v
9

? 3 9?

[另解]

? AB = t AF , AE =

v v

2 2? 2 3 ? AD = ? AB + AC ? 3 3? 5 5 ?

v v

=

4 2 4 2 AB + AC = ? t AF + AC ﹐ 15 5 15 5
即 AF : FB = 4 :5

v v

v v

∵ F ? E ? C 三點共線﹐∴ ∴ DF =

v v v
3 15

4t 2 9 9 + = 1 ? t = ﹐ AB = AF 15 5 4 4

4 5 2 5 4? 3 ? 5 DB + DA = ? ? DC ? + DA = ? DC + DA 9 9 3 9 9? 2 ? 9

v v

v v

? 3 5? 故 ( x, y ) = ? ? , ? ﹒ ? 2 9?

21. 解答

解析 ∵ 2 IA + 3 IB + 4 IC = 0 ﹐ ∴△ BIC :△ AIC :△ AIB = 2 :3:4 = a : b : c ? a = 4 ﹐ b = 6 ﹐ c = 8 ﹐

v v vv

△ ABC = s ( s ? a )( s ? b )( s ? c ) = 9 ? 5 ? 3 ? 1 = 3 15 ﹒ 22. 解答
解析
9:20 DF : FA = DG : AB ? 1:3 = DG :5﹐∴ DG = 5 ﹒ 3

CP : PE = CG : EB =

20 :3 = 20 :9﹐ 3

∴△ DEP :△ DPC = 9 :20﹒

23. 解答

解析

? ? ? ? ? ?OP = x OA+ y ? 3 OE ? ? OP = x OA+ y DB ? ? ﹐ ?OP = x ? 2 OD ? + y OB ? ? ? ? ? ?

v v v v v v v v v

? 2 1? ? , ? ? 5 5?

?x + 3y = 1 ? 2 1? ? ( x, y ) = ? , ? ﹒ ∵ A ? P ? E 共線且 D ? P ? B 共線﹐ ∴ ? ? 5 5? ?2 x + y = 1 ? 3 7? 24. 解答 ? , ? ? 10 10 ? 2 BC 3 解析 由孟氏定?: ? ? = 1 ? BC : CD = 10 :3﹐ 5 CD 4 3 7 ? 3 7? ∴ AD = AB + AC ﹐ 故 ( x, y ) = ? , ? ﹒ 10 10 ? 10 10 ? [另解] ? BD : DC = x :1 1 x 4 x 4 4? 1 x ? 4 1 7 AD = AB + AC AF = AD = ? AB + AC ? = ? ? AE + ? AC 7 x +1 2 7 x +1 x +1 x +1 x +1 7 7 ? x +1 ? 7 2 4x ∵ E ? F ? C 三點共線 ∴ + =1 ? x = ﹐ 3 x + 1 7 ( x + 1)

v v v

v

v

v v v

v

v

v

v

∴ BD : DC = 7 :3﹐ ∴ AD =

v v v

3 7 ? 3 7? AB + AC ﹐故 ( x, y ) = ? , ? ﹒ 10 10 ? 10 10 ?

25. 解答
解析

? ? AP = x AB + y AD = x ? 3 AE ? + y AD ∵ D ? P ? E 三點共線﹐∴ 3 x + y = 1L ? ?

v v v

?1 1? ? , ? ?6 2?

v v

Book3 1-2-11

?5? ? ? AP = x AB + y AD = x ? AC + CB ? + y AD = x AC + ( ? x + y ) AD = x AC + ( ? x + y ) ? ? AF ﹐ ? ? ? 2? ∵ F ? P ? C 三點共線﹐ 5 ? ? 5 ∴ x + ? ? x + y ? = 1 ? ?3x + 5 y = 2L 2 ? ? 2

v v v vv v v
解 得x=

v v

v

1 1 ?1 1? ﹐ y = ﹐∴ ( x, y ) = ? , ? ﹒ 6 2 ?6 2?

26. 解答
解析

27. 解答
解析

4 ?4 ? AP = x AB + y AC = x AB + y ? AE ? ﹐∵ P ? E ? B 共線﹐∴ x + y = 1L 3 ?3 ? 又 AP = x AB + y AC = x ? ?2 AD ? + y AC ﹐∵ C ? P ? D 共線﹐∴ ?2 x + y = 1L ? ? ? ? 9 ? 1 9? 解 得 ( x, y ) = ? ? , ? ﹐故 y = ﹒ 11 ? 11 11 ? 3 5 1 ?1 ? ∵ B ? X ? E 共線﹐∴ α + β = 1L AX = α AB + β AC = α AB + β ? AE ? 3 ?3 ?
?1 ? AX = α AB + β AC = α ? AD ? + β AC ?2 ? 3 ? 4 3? 解 得 (α , β ) = ? , ? ﹐故 β = ﹒ 5 ? 5 5?

v v v v v v v v v v

9 11

v v v v v v v v v v 又

∵ C ? X ? D 共線﹐∴

α
2

+ β = 1L

28. 解答
解析

29. 解答
解析

v v v v [註]:
? AI = AI =

4 ?4 ? AP = x AB + y AC = x AB + y ? AE ? ﹐∵ B ? P ? E 共線﹐∴ x + y = 1L 3 ?3 ? 5 ?5 ? 又 AP = x AB + y AC = x ? AD ? + y AC ∵ C ? P ? D 共線﹐∴ x + y = 1L 2 ?2 ? ?1 9 ? 解 得 ( x, y ) = ? , ? ﹒ ? 7 14 ? ? 7 4? ? , ? ? 17 17 ? 4 24 24 BD = ? 6 = ﹐∴ AI : ID = 4 : = 11 :6 4+7 11 11
11 4 11 ? 7 4 ? 7 4? ? 7 AD = ? AB + AC ? = AB + AC ﹐故 ( x, y ) = ? , ? ﹒ 17 17 17 17 ? 11 11 ? ? 17 17 ?

v v v v v v v v v v

?1 9 ? ? , ? ? 7 14 ?

b c AB + AC a+b+c a+b+c

v v v﹒

v v

30. 解答
解析

3 t 1 ?1 ? t ?3 ? t BS = t BQ = t ? BA+ BC ? = ? BR ? + BC = t BR + BC ﹐ 4 2 2 ?2 ? 2? 2 ? 2 3 t 4 3 3 2 3 2?1 ? 1 ∵ R ? S ? C 共線﹐∴ t + = 1 ? t = ﹐ BS = BR + BC = BR + ? BP ? = BP + BR ﹐ 5 5 5 5 5? 2 4 2 5 ? 5 ?1 3? 故 ( x, y ) = ? , ? ﹒ ?5 5?

v v

? 1 3? ? , ? ? 5 5?

v v

v v v v v v v v

v v v

Book3 1-2-12

31. 解答

?1 3? (1) ? , ? ;(2)1:8 ? 4 4?

解析 (1) AM = t AP = 2t AB + 6t AC ﹐∵ B ? M ? C 三點共線﹐
? 1 3? ? ? (2)∵ AM : AP = 1 :8﹐∴△ ABC :四邊形 ABPC = 1 :8﹒ ? 5 3? 32. 解答 ? , ? ?7 7? uuu v 4 3 4 3? ? 解析 由圖 ? BP : PE = 3 :4﹐∴ AP = AB + AE = AB + ? AD + DE ? 7 7 7 7? ? 3 4 3 3?1 ? 5 3? ? 5 = AB + AD + ? AB ? = AB + AD ﹐∴ ( x, y ) = ? , ? ﹒ 7 7 7 7?3 ? 7 ?7 7?

v v v v
1

∴ 2t + 6t = 1 ? t = ﹐故 ( x, y ) = ? , ? ﹒ 8 4 4

v v

v v v v vv v v v
2 2

33. 解答 3 2
解析

BE AB 6 3 2 3 = = = ﹐ AE = AB + AC ﹐ 5 5 EC AC 4 2
2 2

4 9 12 2 3 AB + AC + AB? AC AB + AC = 25 25 25 5 5 4 9 12 36 + 16 ? 25 = ? 6 2 + ? 42 + ? = 18 ﹐∴ AE = 18 = 3 2 ﹒ 25 25 25 2 ?8 8? 34. 解答 ? , ? ? 5 3? 9 + x 2 ? 49 25 + x 2 ? 49 解析 由圖﹐ cosθ = = 2?3? x 2?5? x x 2 ? 40 x 2 ? 24 ? = ? 5 x 2 ? 200 = 3 x 2 ? 72 ﹐∴ x = 8 ﹐ 3 5 9 + 64 ? 49 1 又 cosθ = = ? θ = 60° ﹐ 2 ?3?8 2 2 ? CA? CB = x CB + y CD? CB ? ? CA = x CB + y CD ? ? ﹐ 2 ? ?CA? CD = x CB? CD + y CD ?
AE =

v v v v v v v v

vv

vv v vv v v v vv vv v vv vv 其中 ﹐
CA? CB = 8 ? 5 ? cos 60° = 20

CA? CD = 8 ? 3 ? cos 60° = 12 ﹐ CB? CD = 5 ? 3 ? cos120° = ?

vv

15 ﹐ 2

15 ? ? 20 = 25 x ? 2 y ?10 x ? 3 y = 8 ? ?8 8? ?? ∴? ﹐∴ ( x, y ) = ? , ? ﹒ 5 x ? 6 y = ?8 15 ? 5 3? ? ?12 = ? x + 9 y ? ? 2 8 35. 解答 7 解析 DE : EC = 2 :3 = 6 :9﹐

AF : FB = 2 :1 = 10 :5﹐∴ EC : FB = 9 : 5 = EP : PB ﹐ 9 5 9 5? ? AP = AB + AE = AB + ? AD + DE ? 14 14 14 14 ? ?

v v v v vv v v v v v
=

16 8 5 9 5 5 ?2 ? 11 AB + AD + ? AB ? = AB + AD ﹐∴ x + y = = ﹒ 14 14 14 14 ? 5 14 7 ? 14

36. 解答
解析

PA+ PB + PC = PC ? PB ? PA = ?2 PB ﹐表示 P 點在 AB 上﹐
Book3 1-2-13

vvv vv v v
3

QA+ QB + QC = QA? QC ? QB = ?2 QC ﹐表示 Q 點在 BC 上﹐
RA+ RB + RC = RB ? RA ? RC = ?2 RA ﹐表示 R 點在 AC 上﹐ △ APR 2 △ BPQ △ CRQ △ PQR 9 ? 2 ? 2 ? 2 1 ﹐∴ = = ﹐ = = = △ ABC 9 △ ABC △ ABC △ ABC 9 3 ∴所求 = 3 ﹒ 3 2 (1) ;(2) 5 5 3 2 3? ? 2? ? △ PCD 中﹐ PQ = PD + PC = ? PA+ AD ? + ? PB + BC ? 5 5 5? ? 5? ? 3? 2 2?3 ? 3 ? 2 = ? BA ? + AD + ? AB ? + BC 5? 5 5?5 ? 5 ? 5 3 2 6 3 6 2 3 2 = BA+ a + AB + b = a + b ﹐∴ x = ﹐ y = ﹒ 25 5 25 5 5 5 5 5 等腰三角形

vvv vv v v vvv vv v v

37. 解答
解析

v v v vv vv v v v v v v v v v v

38. 解答

? ? ? ? 解析 ∵ ? OB ? OC ? ? ? OB + OC ? 2 OA ? = 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? OB ? OC ? ? ? OB ? OA+ OC ? OA ? = 0 ? CB? ? AB + AC ? = 0 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? AB ? AC ?? AB + AC ? = 0 ? AB ? AC ? AB = AC ﹐∴為等腰三角形﹒ ? ?? ? 39. 解答 3:2:4
解析
2 2 2 2

vv vv v vv vvvv vvv vv vv v v v v

3 PA+ 2 PB + 4 PC = 0 ﹐ PA′+ PB′+ PC ′ = 0 ﹐表示 P 為△ A′B′C ′ 之重心﹐ ∴ a △ PA′B′ = a △ PB′C ′ = a △ PA′C ′ ? 6 x = 8 y = 12 z = k ﹐ k k k k k k ∴ x = ﹐ y = ﹐ z = ﹐ ∴ x : y : z = : : = 4 :3:2﹐ 6 8 12 6 8 12 ∴ a △ PBC : a △ PCA : a △ PAB = 3 :2:4﹒

v v v v v v v v

40.

解答 9 : 20 解析 △ DFG ~△ AFB

DF : FA = DG : AB ? 1: 3 = DG : 5 ﹐∴ DG = CP : PE = CG : EB =

5 3

20 : 3 = 20 : 9 ﹐∴△ DEP : △ DPC = 9 : 20 ﹒ 3

Book3 1-2-14


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