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一道高考题的一题多解与推广


2014年第10期

中学数学研究

?37?

一道高考题的一题’多解与推广
山东省聊城大学数学科学学院
引言

(252000)

胡修欣+

于兴江

(山东省2014年数学高考题)已知抛物

一4≠o时,过定点(1,o),当尤一4=o时,经运
算直线AE也过(1,0). 此法采用传统方法,先设出直线方程,再将直线
方程与抛物线方程联立,根据已知条件求出直线方 程,所得结果一目了然。

线c:广=2p茗(p>o)的焦点为F,A为c上异于原 点的任意一点,过点A的直线z交C于另一点B,交戈

轴的正半轴于点D,且有l麒l=I肋I,当点A的横
坐标为3时,△ADF为正三角形. (1)求C的方程;

(2)若直线z1∥z,且z,和c有且只有一个公共 点E.(i)证明直线AE过定点,并求出定点坐标; (ii)△A召E的面积是否存在最小值?若存在,请求出
最小值;若不存在,请说明理由.

解法1.2:由解法1.1可知后^冒=害每,||}。,:

}=格“础A、职旺觖纪蹴直
了一1
线AE过定点(1,0).

分析:本题以抛物线为载体,主要考查了抛物线
的定义、性质、直线与抛物线的位置关系、最值问题 等综合知识,同时也考查了考生综合运用代数工具

此法从结论出发发散思维,证明A、E、F三点共

线,也就是证明斜率k=.|}护
解法1.3:设A(戈o,yo)(戈o,‰≠0),D(舅o+2,

解决几何问题的数学素养以及考生的运算求解能 力.此题设计优美、编排合理,几何味道浓郁.以探究 的设问方式,直接正面考查考生的探究能力,引导其 全面综合所学数学知识,凭借数学直观先探究并发 现结论,然后从科学角度给予严格的推理论证.这种 解决问题的思路,更符合科学发现的一般步骤,对于 甄别考生是否具有进一步学习的能力有着特殊的意 义,也有利于高校选拔优秀人才.下面将从多方面对
此题进行解答:

o),焦点F(1,o),直线z的斜率Ii}=一等,因为(,,2)’
=(4并)’,即2,,?,,’=4,故,,’=÷.直线z。∥z,且z。
和C有且只有一个公共点E,故Z。的斜率||}=三=
了E

一等,求纸=一耙=嘉,商=c嘉飞,砉
一‰),AF=(1一并o,一yo)满足AE=AAF(入≠0),

(1)抛物线c的方程为∥=4戈. 1.第(2)问(i)的一题多解

故A、E、F三点共线,直线AE过定点(1,O).
此法主要利用导数法结合已知条件求出所需的

‘黼 繁攀《
+2,o),焦点F(1,o),直线z

∑坦迪



的斜率蠡=一挚,直线z,的方

量,将AE、AF分别表示出来,若结果满足AE=AAF, 则A、E、F三点共线. 解法1。4:如图2,延长
,‘



AF交直线Z,于点E’,设直线 f。交算轴于点G,由于f,∥f且

7’\
a j


图2

广地硝+》一凳.o’ △=。,故6=一寺,所以Ec;;,一砉,,Ac手,y。,,克一£


图1

I以f=I肋I,所以l
=l朋7

FG

l,设A(戈o,%)(‰,‰

◇i

≠0),D(zo+2,0),焦点
F(1,0),直线Z。的斜率J}=







=格测直线船的方程为),=格∽1)'当 一孥,E(嘉,一砉),可求得直
?作者现为2013级硕士研究生.

万方数据

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中学数学研究

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线2l的方程为),一争一砉测G(一砉,0)’I删

解法2.2:结合图2,由解法1.4可知G(一{,o)
yo

…砉,…I一√c蠹川2小≯…砉
=I FG

:(一圭,o),y。:一y0一要,Is伽=s伽=

I=I朋’I,故点E与点E’重合,因此A、E、F

三点共线,直线AE过定点(1,0).
此法通过添加辅助线利用数形结合的思想,根

丢I

cD

y。一y。I=丢I‰+2+去I

I%+%+

旦I≥16,当且仅当戈。::}即z。:l时,等号成立.
所以△ABE的面积存在最小值,最小值为16.
此法采用转化思想,巧妙的利用了平行线间距

据已知条件证明辅助线上的点E’与公共点E互相 重合来验证结论.
解法1.5:如图3,过点E
),‘

作E日∥z轴,交直线Z于点

日。由I鼢l=I FDI和抛物线

套.

的光学性质可知[以E=
厶AEM=厶HEN=厶AHE=




乙ADF=厶DAF。豫以A、E、F

舻. f髓
蟮一Ⅻ




离相等的结论转化三角形面积. 解法2.3:结合图3,由(y2)’=(4石)’,得2∥7=,

4,故y’=手.忌船=尼c,=砉=一{÷,所以ys=一去

三点共线,直线AE过定点(1,
0).

~…小糕2糍。点。
百一了
AE I|月匹l sinp:I AE

图3 此法是利用抛物线的光学性质与几何法相结合

一孥=嘉,所‰=半,靴为AB的中点,
S△仰£=2S△栅=l
zsin口=

来证明结论,相对其他解法来说,没有繁复的运算
量,更为灵活简便.

2.第【芝)问(ii)的多种解法
解法2.1:由(i)知,直线AE过焦点(1,0),所以 焦点弦I AEl:‰+上+2,设直线AE的方程为茹:
菇0

(南)2sin口=恭≥16,故当且仅当疗=900’即
AE斜率不存在时面积存在最小值,且最小值为
16(焦点弦I 4E

I=主南,口为直线AE的倾斜角)?

,砂+1,将A(‰,yo)(茁o,%≠O)代入,得m=

此法综合了抛物线的光学性质与几何原理,采

用参数9表示出△ABE的面积.

鱼#』,设B(菇。,y。),直线AB的方程为),一%=

3.试题结论的推广 推广

一等(菇一∞。),可得髫=一》+2十茹。,代入严=4石 得严+》地。一8_o’%嘞=一寺,可求得拍

已知抛物哉c:y2=2p戈(p>o)的焦点

为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线Z

交C于另一点B,交戈轴的正半轴于点D,且有I似I

=l如I,若直线z。∥Z,且z。和C有且只有一个公共
点E,则有(1)直线AE过定点,定点为抛物线的焦

掣:4(污+{).则.s一:÷×4(污
 ̄/菇o √xo


离为d:型兰婪盖兰:
亩幽,

:一%一旦,%:生+菇。+4,点日到直线AE的距

2一%一万’%2石+菇o+4'患且到直线AE日可距

点(导,o);(2)△ABE的面积存在最小值4p2(当且仅
当焦点弦与戈轴垂直时). 证明:(1)设A(髫1,y1),B(菇2,),2),E(石3,y3),贝4

I砉+石。+4+,忍c%+要,一,J

I朋l=菇-+号,D(戈?+p,o),所以||}一。=矗z=一鲁.
因为抛物线的切线Z。:),,),=p(戈+算,),所以矗z。= 卫.即卫=一丛.显然,当且仅当AE是已知抛物线的
j)3 j)3 P

+去)(‰+丢+2)≥16,当且仅当%2去即菇。
=1时等号成立.所以△ABE的面积存在最小值,且
最小值为16.

焦点弦时,上式成立.故:直线AE过定点,定点为抛

此法是根据焦点弦作底、点到直线的距离作高,
用‰表示出△ABE的面积.

物线的焦点(号,o).
(2)设过切点E平行于石轴的直线交直线AB于

万方数据

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点日,则点日为4B的中点,又因I M
2S△^朋=I AE I| E日I sin8=I

I=I肋I,所
AE l 2sin8


以I朋l=l朋I.设p是AE,E日的夹角,故S△脚=

(主乞)2sin8=量毛≥4p2.当且仅当.sin日=1时,等
号成立.

透视考情、深度优化空间向量“坐标法”的应用
江苏省宝应县曹甸高级中学
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之 一,它是沟通代数、几何与三角的一种工具,有着极 其丰富的实际背景.空间向量为处理立体几何问题 提供了三个视角,即向量法、坐标法、综合法.具体应 用时,可进行比较,分析各自优势,因题而宜作出适 当选择,不应拘泥于某一种方法,优化是原则,从而
提高学生综合运用数学知识解决问题的能力. 回想传统的综合法求解立体几何的“三角四距 离”问题,空间图形的点、线、面关系,使学生眼花缭 乱,还要靠严谨的逻辑思维添加辅助线,对学生空间 4),D日=(戈一2,,,一2,z一4).‘.‘D日上面DlAP,

(225803)

李兆江

(2,2,0),AP=(一4,4,1),.’.DlD?AP=0.又D1日

是D10在平面D1AP上的射影,...DlH上AP. 批阅试卷过程发现,学生采用传统的综合法、向 量法(略)较少,大部分采用坐标法,分析整理如下: 由图1易得A(4,0,0),P(0,4,1),DI(0,0,4),
D(2,2,4),则AP=(一4,4,1),ADl=(一4,0,4), D1P=(0,4,一3).设日(鬈,y,z),则D1H=(戈,y,z一

想象能力的考查达到了极致.用空间向量的坐标法
研究立体几何,则将抽象的空间图形关系转化为具

.‘.0日上AP,D日上ADl,D日上DlP,D日上D1月:由此
得四个方程一4(石一2)+4(y一2)+z一4=0(1), 一4(石一2)+4(z一4)=0(2),4(y一2)一3(z一4) =0(3),算(菇一2)+),(),一2)+(:一4)2=O(4). 归纳所有学生答题思路,可得上述四个方程.接 受能力不同类型学生则彰显不同的解题智慧.

体的代数运算,思路显得比较简单,同时为立体中融 合函数、方程、不等式等综合问题提供了契机.从高
考层面来讲,对立体几何考查,以坐标法为主,向量

法、综合法为辅,已成为大趋势.此处,笔者通过透视
学生对空间向量试题答题表现,来探讨空间向量坐 标法应用的深度优化.

大部分学生得到(1)(2)(3)三个方程,构成方 程组,没有解出日点坐标,不了了之.原因是三个方 程不是独立的,三个向量AP、AD。、DlP其中之一可
以用另外两个线性表示. 部分学生由(1)(2)(3)中的两个,运用求平面

试题1

(县统一效益检测)如图1所示,在棱

长为4的正方体A曰cD—A。日。C,D,中,D为正方形 A,B,C1D。的中心,点P在棱CC。上,且CC。=4cP. (1)求直线AP与平面BCC。B,所成角的余弦
值;

法向量的待定系数法,赋值算出(菇,,,,z),使得问题 得证.此处隐含AP上面D.D日,实质上求的是线段 D日上的点坐标,而不是日点坐标,严格说是不对的.
少部分学生又列出方程(4),花较多时间,解得

(2)设点0在平面D,AP上的射影为日,求证
DtH L AP.

考情分析:(1)略.(2) 笔者考虑到学生刚学完《空 间向量与立体几何》,没有进 行系统复习,直接选自苏教版 选修2—1尸。嘶13这道习题,作 为中档题呈现,考查学生对三
种方法的综合应用.提供参考
——÷——÷——^

戈2石、,,2石、z 2百,衙芏u∥1月2 L石,石,一石,, 戈=箬、,,=箬、z=等,得到币=(箬,箬,一碧),
证得DlH上AP.

个别学生由(1)整理得一4戈+4y+彳一4=0, 即是D,日?AP=0.此处,学生在运用A尸上面 D,D日号D,日上AP,解题较灵活,与教师的命题意图
图1
———4

吻合.

简答如下:以珊、DC、DDl为

优化分析:和部分学生交流发现,学生答题大多
用坐标法,原因是试题以正方体为载体,方便建系. 而且由条件分析可知,日点是确定的,运用方程思

正交基底建立空间直角坐标系D—x弦易得D,D=

万方数据


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