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中国人民大学附中特级教师梁丽平 高考数学综合能力题30讲第12讲 复数的运算与几何意义


数学高考综合能力题选讲 12

复数的运算与几何意义
100080 北京中国人民大学附中 题型预测
从近几年的高考试题看,复数部分考查的难度在下降,题量也在减少,考查的内容主要 集中在三个方面:一、复数的运算.包括代数形式及三角形式的计算,复数模、辐角及其主 值的计算.二、以复数运算和某些概念的几何意义为核心而形成的数形结合的题目.三、复

数与方程的题目.估计今后几年高考试题仍将侧重于复数的概念、运算、复数与三角、复数 与几何、复数与不等式等综合型试题.

梁丽平

范例选讲 例 1
2 若复平面内单位圆上三点所对应的复数 z1 , z 2 , z3 ,满足 z2 ? z1 z3 且

z 2 ? iz3 ? i ? 0 ,求复数 z1 , z 2 , z3 .
讲解:当已知复数的模时,往往可以利用复数的三角形式解题. 解 1: 设 z1 ? cos? ? i sin ? , z 2 ? cos ? ? i sin ? , z3 ? cos? ? i sin ? ,则由

z 2 ? iz3 ? i ? 0 可得:

?cos ? ? sin ? ? 0 ? ?sin ? ? cos? ? 1 ? 0
1 ? ?cos? ? 2 ? 利用 cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ,可解得: ? , ?sin ? ? ? 3 ? 2 ?
所以, z 3 ?
1 ? 3i . 2
2

z 1 ? 3i 3 ?i 当 z3 ? 时, z 2 ? ?i?z 3 ? 1? ? , z1 ? 2 ? 1 ; 2 2 z3 z ? 3 ?i 1 ? 3i 当 z3 ? 时, z 2 ? ?i?z 3 ? 1? ? , z1 ? 2 ? 1 . 2 2 z3
2

若能注意到本题的特点:则可充分利用模的性质,得到下面的解 2. 解 2:由题可知 z1 , z 2 , z3 都等于 1,又由 z 2 ? iz3 ? i ? 0 得: z 2 ? ?i?z3 ? 1? , 所以, z3 ? 1 ? z 2 ? 1 , 所以, z3 所对应的点的轨迹为圆 x 2 ? y 2 ? 1 与圆 ?x ? 1? ? y 2 ? 1的交点.
2

解之得: z 3 ?

1 ? 3i . 2

以下同解 1.略. 用复数的代数形式去解本题也未尝不可. 解 3:设 z1 ? a ? bi, z 2 ? c ? di, z3 ? e ? fi ,其中 a, b, c, d , e, f ? R ,则由题 可得:
?a 2 ? b 2 ? 1 (1) ? 2 2 ( 2) ?c ? d ? 1 ?e 2 ? f 2 ? 1 (3) ? ? 2 2 ( 4) ?c ? d ? ae ? bf ?2cd ? af ? be (5) ? ( 6) ?c ? f ? 0 ?d ? e ? 1 ? 0 (7 ) ? ? 解这个 6 元方程组,需要较高的技巧,如果能够注意到(2)、(3)、(6)、

(7) 只与 c, d , e, f 相关, 则可将此四个方程联立, 解得:e ?

1 3 , 所以, f ? ? . 2 2

下略. 点评:复数的代数形式、三角形式、模的性质是解决复数问题的 3 大支柱. 例 2 设复数 z1 , z 2 满足: z1 ? z1 z 2 ?
2

1 2 1 ? a 2 z 2 ? 0 , ?a ? 0? ,它们在复平 4

?

?

面内分别对应于不同的点 A、点 B,O 为坐标原点,若 z 2 ? 1 ?

a2 ,求使得△ 4

AOB 有最大面积时的 a 的值,并求出最大面积. 1 1 讲解:由于 S ?AOB ? OA ? OB ? sin ?AOB ? z1 ? z 2 ? sin ?AOB ,所以,首先 2 2 应结合题目条件,考虑 z 1 与 z 2 的关系.

?z ? ?z ? 1 z 首先, z 2 ? 0 ,所以, ? 1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? a 2 ? 0 ,解这个关于 1 的方程, ?z ? ?z ? 4 z2 ? 2? ? 2?

2

?

?

得:

z1 1 ? ai . ? z2 2

z1 1 ? ai 1? a2 ? ? 所以, , tan ?AOB ? ? a , z2 2 2

所以, sin ?AOB ? 所以, S ?AOB ?
?

a 1? a2



1 1 OA ? OB ? sin ?AOB ? z1 ? z 2 ? sin ?AOB 2 2

1 1? a2 ? 2 2

? a2 ? a ? ?1 ? ? ? ? ? 4 ? 1? a2 ?

?

a 4 ? a2 42

?

?
?? ?

?

2a 2 4 ? a 2 4 ? a 2 2 ? 42

?

? 2a 2 ? 4 ? a 2 ? 4 ? a 2 ? ? ? 3 16 2 ? ? 1
? 3 . 9

?

? ?

?? ?
? ?

3

等号当且仅当 2a 2 ? 4 ? a 2 ,即 a ?
3 . 9

2 3 时取得.此时,△AOB 取得最大面 3

积,为

点评: 正确理解复数运算的几何意义是数形结合和实现问题转化的关键.

高考真题 1.(1994 年全国高考)已知 z=1+i, (Ⅰ)设ω =z2+3 z -4,求ω 的三角形式;; (Ⅱ)如果
z 2 ? az ? b =1-i,求实数 a,b 的值. z 2 ? z ?1

2. (1995 年全国高考)在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次 为 Z1,Z2,Z3,O(O 为原点),已知 Z2 对应复数 z2=1+ 3 i,求点 Z1 和 Z3 所对应 的复数. 3.(1997 年全国高考)已知复数 z=
3 1 2 2 2 3 ? i, ? ? ? i ,复数 zw ,z w 在复数平 2 2 2 2

面上所对应的点分别为 P,Q,证明△OPQ 是等腰直角三角形(其中 O 是原点).
5? 5? ? ? [ 答 案 与 提 示 : 1 . ( Ⅰ ) ? ? 2 ? cos ? i sin ? ; ( Ⅱ ) 4 4 ? ?
a ? ?1, b ? 2 .

2. z1 ?

1? 3 3 ?1 1? 3 3 ?1 ? i ; z3 ? ? i. 2 2 2 2

3.略.]


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