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08高考理科数学中档题训练(六)


太仓市实验高级中学 08 届高三理科数学 中档题训练(六)班级

姓名

学号

高三理科数学中档题训练(六)
1 . 设 向 量 a ? (cos(? ? ? ),sin(? ? ? )) , b ? (cos(? ? ? ),sin(? ? ? )) , 且

?

?

2cos 2 ? 3sin ? ?1 ? ? 4 3 2 a?b ? ( , ). (1)求 tan ? ; (2)求 . ? 5 5 2 sin(? ? ) 4 ? ? 解: (1) a ? b
? (cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? )

?

4 3 ? (2 cos ? cos ? , 2sin ? sin ? ) ? ( , ) 5 5 4 3 3 tan ? ? ∴ 2 cos ? cos ? ? , 2sin ? sin ? ? 5 5 4

2cos 2
(2)

?
2

? 3sin ? ? 1

2 sin(? ? ) 4

?

?

cos ? ? 3sin ? 1 ? 3tan ? 5 ? ?? . cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 7

2.多面体 ABCDEF 的直观图及三视图分别如图所示,已知点 M 在 AC 上,点 N 在 DE 上,且 AM:MC=DN:NE=a (1)求证:MN//平面 BCEF; (2)当 a=1 时,求二面角 D—MN—F 的余弦值的绝对值.(理科做) 解(1)由三视图可知,该多面体是底面 为直角三角形的直三棱柱 ABF—DCE. 且 AB=BC=AF=2,CE=BF= 2 2 ,∠BAF=90° 在 CD 上取一点 G,DG:GC=DN:NE,连 MG、NG。则 ∵AM:MC=DN:NE=a, ∴NG//CE,MG//BC. ∴平面 MNG//平面 BCEF. ∴MN//平面 CDEF. (2)∵a=1∴M、N 分别是 AC、CE 的中点. 以 AB、AF、AD 分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则有关各点的 坐标分别是 D(0,0,2) ,F(0,2,0) ,M(1,1) ,N(0,1,2) ∴ DN ? (0,1,0), MN ? (?1,1,1), FN ? (0,?1,2) …………8 分

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设平面 DMN 的法向量 m ? (1, y, z),则DN ? m ? 0, MN ? m ? 0. ∴?

?0 ? y ? 0 ? 0, ?y ? 0 ∴? ∴ m ? (1,0,1). ?? 1 ? y ? z ? 0, ? z ? 1

设平面 MNF 的法向量为 n ? (1, y1 , z1 ),则MN ? n ? 0, FN ? n ? 0. ∴?

?? 1 ? y1 ? z1 ? 0 ?0 ? y1 ? 2 z1 ? 0.

∴ n ? (1,

2 1 , ). 3 3

设二面角 D—MNF 的平面角为 ? , 则 cos | ? | ? ?

m?n | m |?| n |

???

2 28

?

2 7 7
2 7 . 7

∴二面角 D—MN—F 的余弦值的绝对值为

3. 某种产品每件成本为 6 元,每件售价为 x 元(x>6) ,年销量为 u 万件,若已知

585 21 ? u 与 ( x ? ) 2 成正比,且售价为 10 元时,年销量为 28 万件。 8 4
(1)求年销售利润 y 关于 x 的函数关系式; (2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润.

585 21 ? u ? k ( x ? ) 2 , ∵售价为 10 元时,年销量为 28 万件; 8 4 585 21 ? 28 ? k (10 ? ) 2 , 解得 k ? 2. ∴ 8 4 21 2 585 ? ?2 x 2 ? 21x ? 18. ∴ u ? ?2( x ? ) ? 4 8
解: (1)设 ∴ y ? (?2x ? 21x ? 18)(x ? 6) ? ?2x ? 33x ? 108x ? 108 .
2 3 2

(2) y? ? ?6x ? 66x ? 108 ? ?6( x ? 11x ? 9) ? ?6( x ? 2)(x ? 9)
2 2

令 y ? ? 0得x ? 2(? x ? 6, 舍去)或x ? 9 显然,当 x ? (6,9) 时, y ? ? 0当x ? (9,??) 时, y ? ? 0 ∴函数 y ? ?2 x ? 33x ? 108x ? 108 (6,9) 上是关于 x 的增函数; 在
3 2

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在 (9,??) 上是关于 x 的减函数.∴当 x=9 时,y 取最大值,且 ymax ? 135. ∴售价为 9 元时,年利润最大,最大年利润为 135 万元. 4. 已知椭圆 C1 :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 的左、右两个焦点为 F1 , F2 ,离心率为 ,又抛物线 2 2 a b

(1) C2 : y 2 ? 4mx(m ? 0) 与椭圆 C1 有公共焦点 F2 (1,0) . 求椭圆和抛物线的方程; (2)设直线 l 经过椭圆的左焦点 F 且与抛物线交于不同两点 P 、Q 且满足 1

???? ???? F1P ? ? FQ ,求实数 ? 的取值范围. 1
解 : 1 ) 椭 圆 中 c ? 1, e ? (

1 , 所 以 a ? 2, b ? a 2 ? c 2 ? 3 , 椭 圆 方 程 为 : 2

p x2 y 2 ? ? 1 ,抛物线中 ? 1 ,所以 p ? 2 ,抛物线方程为: y 2 ? 4x 2 4 3
(2)设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,和抛物线方程联立得 ?
2 2 2 2

? y ? k ( x ? 1)
2 ? y ? 4x

消去 x ,整理得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0 ;因为直线和抛物线有两个交点, 所以 ?

?k ? 0
2 2 4 ?(2k ? 4) ? 4k ? 0

,解得 ?1 ? k ? 1 且 k ? 0

4 ? 2k 2 , x1 x2 ? 1 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? k2
又 F P ? ? FQ ,所以 ? 1 1

????

????

? x1 ? 1 ? ? ( x2 ? 1) 2 ;又 y ? 4 x ,由此得 4x1 ? ? 2 4x2 ,即 y1 ? ? y2 ?
1

x1 ? ? 2 x2
又 x1 ? x2 ?

由 x1 x2 ? 1 ,解得 x1 ? ? , x2 ?

?

1 4 4 ? 2k 2 4 ? 2 ? 2 ,所以, ? ? ? 2 ? 2 2 ? k k k
2

又因为 0 ? k ? 1 ,所以 ? ?

1

?

?

4 ? 2 ? 2 ,解得 ? ? 0 且 ? ? 1 k2
-3-


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