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1.3.1三角函数的诱导公式(一)(教、学案)


1.3.1 三角函数的诱导公式(一)
一、教学目标: 1.借助单位圆,推导出正弦、余弦和正切的诱导公式,能正确运用诱导公式将任意角的 三角函数化为锐角的三角函数,并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题 2.通过公式的应用,了解未知到已知、复杂到简单的转化过程,培养学生的化归思想, 以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。 二、重点与难点: 重点:

四组诱导公式的记忆、理解、运用。 难点:四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断; 三、学法与教学用具: (1) 、与学生共同探讨,应用数学解决现实问题; (2) 、通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯. 四、教学过程: 创设情境:我们知道,任一角 ? 都可以转化为终边在 [0,2? ) 内的角,如何进一步求出它 的三角函数值? 我们对 [0,

?

数值转化为求锐角 ? 的三角函数值,则问题将得到解决,这就是数学化归思想 研探新知

) 范围内的角的三角函数值是熟悉的,那么若能把 [ ,2? ) 内的角 ? 的三角函 2 2

?

1. 诱导公式的推导 由三角函数定义可以知道:终边相同的角的同一三角函数值相等,即有公式一:

sin(? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos ? tan(? ? 2k? ) ? tan ?

(k ? Z ) (k ? Z ) (k ? Z )
(公式一)

诱导公式(一)的作用:把任意角的正弦、余弦、正切化为 [0,2? ) 之间角的正弦、余弦、 正切。 【注意】 :运用公式时,注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用,如写成

sin(80? ? 2k? ) ? sin 80? , cos(

?
3

? k ? 360 ? ) ? cos

?
3

是不对的

【讨论】 :利用诱导公式(一) ,将任意范围内的角的三角函数值转化到 [0,2? ) 角后,又 如何将 [0,2? ) 角间的角转化到 [0,

?
2

) 角呢?

除此之外还有一些角,它们的终边具有某种特殊关系,如关于坐标轴对称、关于原点 对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢? 若角 ? 的终边与角 ? 的终边关于 x 轴对称,那么 ? 与 ? 的三角函数值之间有什么关 系?特别地,角 ? ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称,由单位圆性质可以推得:

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos ? tan(?? ) ? ? tan ?
(公式二)

特别地,角 ? ? ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,故有

sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? ? tan ?
特别地,角 ? ? ? 与角 ? 的终边关于原点 O 对称,故有 (公式三)

sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? tan ?
所以, 我们只需研究 ? ? ? , ? ? ? ,2? ? ? 的同名三角函数的关系即研究了 ? 与? 的关系 了。 【说明】 :①公式中的 ? 指任意角;②在角度制和弧度制下,公式都成立; ③记忆方法: “函数名不变,符号看象限” ; 【方法小结】 :用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,其一般方向是: ①化负角的三角函数为正角的三角函数; ②化为 [0,2? ) 内的三角函数; ③化为锐角的三角函数。 (公式四)

可概括为: “负化正, 大化小, 化到锐角为终了” (有时也直接化到锐角求值) 。
2、例题分析: 例1

43? ). 6 ? ? ? ? 分析:先将不是 ? 0 ,360 ? 范围内角的三角函数,转化为 ? 0 ,360 ? 范围内的角的三角 ? ?
求下列三角函数值: (1) sin 960 ; (2) cos(?
?
? ? 函数 (利用诱导公式一) 或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到 ? 0 , 90 ? 范围内 ? ?

角的三角函数的值。 解: (1) sin 960? ? sin(960? ? 720? ) ? sin 240? (诱导公式一)

? sin(180? ? 60? ) ? ? sin 60? (诱导公式二)
3 . 2 43? 43? ) ? cos (2) cos(? (诱导公式三) 6 6 7? 7? ? cos( ? 6? ) ? cos (诱导公式一) 6 6 ? ? ? cos( ? ? ) ? ? cos (诱导公式二) 6 6 3 ?? . 2 ??
方法小结:用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,其一般步骤是: ①化负角的三角函数为正角的三角函数;
? ? ②化为 ? 0 ,360 内的三角函数; ?

?

③化为锐角的三角函数。 可概括为: “负化正,大化小,化到锐角为终了” (有时也直接化到锐角求值) 。

cot ? ? cos(? ? ? ) ? sin 2 (3? ? ? ) . tan ? ? cos3 (?? ? ? ) cot ? ? (? cos ? ) ? sin 2 (? ? ? ) 解:原式 ? tan ? ? cos3 (? ? ? ) cot ? ? (? cos ? ) ? (? sin ? ) 2 ? tan ? ? (? cos ? )3 cot ? ? (? cos ? ) ? sin 2 ? ? tan ? ? (? cos3 ? )
例 2 化简

?

cos 2 ? sin 2 ? ? ?1. sin 2 ? cos 2 ?

3 课堂练习:

(1) .若 sin(

?
2

? ? ) ? cos( ? ? ? ) ,则 ? 的取值集合为
?
4 k ? Z}
B. {? | ? ? 2k? ? D. {? | ? ? k? ? ? 2





A. {? | ? ? 2k? ? C. {? | ? ? k? (2) .已知 tan( ? ( A. )
|a| 1? a
2

?
4

k ? Z}
k ? Z}

k ? Z}

14 ? ) ? a, 那么 sin 1992 ? ? 15
a 1? a
2

B.

C. ?

a 1? a
2

D. ?

1 1? a2
( )

(3) .设角 ? ? ?

35 ? , 则 2 sin(?2 ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 的值等于 6 1 ? sin ? ? sin(? ? ? ) ? cos2 (? ? ? )
B.-

A.

3 3

3 3

C. 3

D.- 3 ( D.与 ? 取值有关 )

(4) .当 k ? Z 时, A.-1

sin(k? ? ? ) ? cos(k? ? ? ) 的值为 sin[(k ? 1)? ? ? ] cos[(k ? 1)? ? ? ]

B.1

C.±1

( 5 ). 设 f ( x) ? a sin(?x ? ? ) ? b cos(?x ? ? ) ? 4

(a, b,? , ? 为 常 数 ), 且

f (2000 ? 5, ) ) 那么 f (2004 ?
A.1 B.3 C.5 D.7 . ( )

(6) .已知 sin ? ? 3 cos? ? 0, 则 4、课堂练习答案:

sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ?

(1) 、D

(2) 、C

(3) 、C

(4) 、A

(5) 、C

(6) 2 、

5、作业:根据情况安排 6 板书设计:

三角函数的诱导公式(一)

基本概念:

例1

课堂练习

例2

1.3.1 三角函数的诱导公式(一)
课前预习学案 预习目标: 回顾记忆各特殊锐角三角函数值,在单位圆中正确识别三种三角函数线。 预习内容: 1、背诵 30 度、45 度、60 度角的正弦、余弦、正切值; 2、在平面直角坐标系中做出单位圆,并分别找出任意角的正弦线、余弦线、正切线。 提出疑惑:

我们知道,任一角 ? 都可以转化为终边在 [0,2? ) 内的角,如何进一步求出它的三角函 数值? 我们对 [0,

?

数值转化为求锐角 ? 的三角函数值,则问题将得到解决。那么如何实现这种转化呢? 课内探究学案

) 范围内的角的三角函数值是熟悉的,那么若能把 [ ,2? ) 内的角 ? 的三角函 2 2

?

一、学习目标: (1).借助单位圆,推导出正弦、余弦和正切的诱导公式,能正确运用诱导公式将任意 角的三角函数化为锐角的三角函数,并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题 (2).通过公式的应用,了解未知到已知、复杂到简单的转化过程,培养学生的化归思 想,以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。 二、重点与难点: 重点:四组诱导公式的记忆、理解、运用。 难点:四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断; 三、学习过程: (一)研探新知 1. 诱导公式的推导 由三角函数定义可以知道:终边相同的角的同一三角函数值相等,即有公式一:

sin(? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos ? tan(? ? 2k? ) ? tan ?

(k ? Z ) (k ? Z ) (k ? Z )
(公式一)

诱导公式(一)的作用:把任意角的正弦、余弦、正切化为 [0,2? ) 之间角的正弦、余弦、 正切。 【注意】 :运用公式时,注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用,如写成

sin(80? ? 2k? ) ? sin 80? , cos(

?
3

? k ? 360 ? ) ? cos

?
3

是不对的

【讨论】 :利用诱导公式(一) ,将任意范围内的角的三角函数值转化到 [0,2? ) 角后,又 如何将 [0,2? ) 角间的角转化到 [0,

?
2

) 角呢?

除此之外还有一些角,它们的终边具有某种特殊关系,如关于坐标轴对称、关于原点 对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢? 若角 ? 的终边与角 ? 的终边关于 x 轴对称,那么 ? 与 ? 的三角函数值之间有什么关 系?特别地,角 ? ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称,由单位圆性质可以推得: (公式二) 特别地,角 ? ? ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,故有 (公式三) 特别地,角 ? ? ? 与角 ? 的终边关于原点 O 对称,故有 (公式四) 所以, 我们只需研究 ? ? ? , ? ? ? ,2? ? ? 的同名三角函数的关系即研究了 ? 与? 的关系 了。 【说明】 :①公式中的 ? 指任意角;②在角度制和弧度制下,公式都成立;

③记忆方法: “函数名不变,符号看象限” ; 【方法小结】 :用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,其一般方向是: ① ; ② ; ③ 。

可概括为: “
(二) 、例题分析: 例1
?

” (有时也直接化到锐角求值) 。

43? ). 6 ? ? ? ? 分析:先将不是 ? 0 ,360 ? 范围内角的三角函数,转化为 ? 0 ,360 ? 范围内的角的三角 ? ?
求下列三角函数值: (1) sin 960 ; (2) cos(?
? ? 函数 (利用诱导公式一) 或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到 ? 0 , 90 ? 范围内 ? ?

角的三角函数的值。

例 2 化简

cot ? ? cos(? ? ? ) ? sin 2 (3? ? ? ) . tan ? ? cos3 (?? ? ? )

(三) 课堂练习: (1) .若 sin(

?
2

? ? ) ? cos( ? ? ? ) ,则 ? 的取值集合为
?
4 k ? Z}
B. {? | ? ? 2k? ? D. {? | ? ? k? ? ? 2





A. {? | ? ? 2k? ? C. {? | ? ? k? (2) .已知 tan( ? ( A. )
|a| 1? a
2

?
4

k ? Z}
k ? Z}

k ? Z}

14 ? ) ? a, 那么 sin 1992 ? ? 15
a 1? a
2

B.

C. ?

a 1? a
2

D. ?

1 1? a2
( )

(3) .设角 ? ? ?

35 ? , 则 2 sin(?2 ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 的值等于 6 1 ? sin ? ? sin(? ? ? ) ? cos2 (? ? ? )

A.

3 3

B.-

3 3

C. 3

D.- 3 ( D.与 ? 取值有关 , (a, b,? , ? 为 常 数 ) 且 )

(4) .当 k ? Z 时, A.-1

sin(k? ? ? ) ? cos(k? ? ? ) 的值为 sin[(k ? 1)? ? ? ] cos[(k ? 1)? ? ? ]

B.1

C.±1

( 5 ) 设 f ( x) ? a sin(?x ? ? ) ? b cos(?x ? ? ) ? 4 .

f (2000 ? 5, ) ) 那么 f (2004 ?
A.1 B.3 C.5 D.7 . ( )

(6) .已知 sin ? ? 3 cos? ? 0, 则

sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ?
课后练习与提高

一、选择题

3? 3 ? ? ) 值为( ,则 sin( ) 4 4 2 1 1 3 3 A. B. — C. D. — 2 2 2 2 1 3 π 2.cos ( ? +α )= — , <α < 2? ,sin( 2? -α ) 值为( ) 2 2 1 3 3 3 A. B. C. ? D. — 2 2 2 2 3.化简: 1 ? 2 sin(? ? 2) ? cos( ? 2) 得( ) ? A. sin 2 ? cos 2 B. cos 2 ? sin 2 C. sin 2 ? cos 2
1.已知 sin(

?

??) ?

D.± cos 2 ? sin 2 )

4.已知 tan? ? 3 , ? ? ? ?

3? ,那么 cos ? ? sin ? 的值是( 2
C

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A

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?

1? 3 2

B

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?1? 3 2

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1? 3 2

D

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1? 3 2
象限
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二、填空题 5.如果 tan? sin ? ? 0, 且 0 ? sin ? ? cos? ? 1, 那么 ? 的终边在第 6.求值:2sin(-1110?) -sin960?+ 2 cos(?225?) ? cos(?210?) = 三、解答题 7.设 f (? ) ?

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? 2 cos3 ? ? sin 2 (? ? ? ) ? 2 cos(?? ? ? ) ? 1 ,求 f ( ) 的值. 2 3 2 ? 2 cos (7? ? ? ) ? cos(?? )

8.已知方程 sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?),求

sin(? ? ? ) ? 5 cos(2? ? ? ) 的值。 3? 2 sin( ? ? ) ? sin(?? ) 2

? ? 1 f ( ) = cos = 3 3 2 8.解: ∵sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?) ∴? sin(3? ? ?) = 2cos(4? ? ?) ∴? sin(? ? ?) = 2cos(? ?) ∴sin? = ? 2cos? 且 cos? ? 0 sin ? ? 5 cos ? ? 2 cos ? ? 5 cos ? 3 cos ? 3 ? ? ?? ∴ 原式 ? ? 2 cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 2 cos ? ? 4 cos ? 4



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