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(新课标I版01期)2014届高三数学 名校试题分省分项汇编专题10 立体几何(含解析)理


(新课标 I 版 01 期) 2014 届高三数学 名校试题分省分项汇编专题 10 立体几何(含解析)理
一.基础题组 1. 【山 西 省 长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中 2013 届 高 三 第 四 次 四 校 联 考 】 已知 一个三棱柱,其底面是正三角形,且侧棱与底面垂直,一个体积为 均相切,那么这个三棱柱的表面积是( ) A. 6 3 B. 12 3 C

. 18 3 D. 24 3

4? 的球体与棱柱的所有面 3

2. 【山 西 省 长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中 2013 届 高 三 第 四 次 四 校 联 考 】 一个 空间几何体的三视图如右图所示,其中主视图和侧视图都是半径为 1 的圆,且这个几何体是球 体的一部分,则这个几何体的表面积为( )

A.3π 【答案】B

B.4π

C.6π

D.8π

-1-

3. 【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中 2014 届高三第一次四校联考】如图是一 几何体的三视图,则该几何体的体积是 A.9
3 3 3 主视图 2 4 俯视图 2 2 侧视图

( C.12 D. 18

)

B.10

4. 【2013 年河南省十所名校高三第三次联考试题】某几何体的三视图如图所示,则该几何体 的表面积为( )

-2 -

A. 2?

B.2 2?

C. (2 2 +1)π

D. (2 2 +2)π

5. 【唐山市 2013-2014 学年度高三年级摸底考试】某几何体的三视图如图所示,则它的侧面 积为( A. 12 5 ) B. 24 2 C.24 D. 12 3

【答案】A 【解析】 试题分析:由三视图得,这是一个正四棱台,由条件 h ?

22 ? 12 ? 5 ,
-3-

侧面积 S ?

(2 ? 4) ? 5 ? 4 ? 12 5 . 2

考点:1.三视图;2.正棱台侧面积的求法. 6. 【河南省方城一高 2014 届高三第一次调研(月考) 】一个直三棱柱被一个平面截去一部分 后所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.9 B.10 C.11 D. )

23 2

7. 【2012-2013 学年度南昌市高三第二次模拟测试卷】若空间几何体的三视图如图所示,则 该几何体体积为( A. )

4 3

B.

4 3 3

C.

8 3

D.8

-4-

8. 【河北省邯郸市 2014 届高三 9 月摸底考试数学】一个空间几何体的三视图如图,则该几 何体的体积为( A. 2 3 ) B. 2 5 0

C.

4 3 3

D.

5 3 3

【答案】D 【解析】 试题分析:观察三视图可知,这是一个正三棱柱削去一个三棱锥,底面边长为 2,高为 2.截 去的三棱锥高为 1,所以,几何体的体积为 考点:三视图,体积计算.

1 1 1 5 3 ? 2? 3 ? 2 ? ? ? 2? 3 ? ,故选 D. 2 3 2 3

-5-

9. 【河北省唐山市 2013 届高三第二次模拟考试】四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 4 2 的 正方形,侧棱长都等于 4 5 ,则经过该棱锥五个顶点的球面面积为__________.

考点:四棱锥与球的组合体问题. 10. 【河南省方城一高 2014 届高三第一次调研(月考) 】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为

3 2 ,则该正四棱锥的外接球的表面积为

.

11. 【中原名校联盟 2013——2014 学年高三上期第一次摸底考试】 (本小题满分 12 分) 如右图,在多面体 ABCDE 中,DB⊥平面 ABC,AE∥DB,且△ABC 是边长为 2 的等边三角形,AE =1,CD 与平面 ABDE 所成角的正弦值为

6 . 4
-6-

(Ⅰ)若 F 是线段 CD 的中点,证明:EF⊥面 DBC; (Ⅱ)求二面角 D-EC-B 的平面角的余弦值.

C ( 3, 0, 0),B(0, 1, 0), D(0, 1, 2) E (0, ? 1,1), F ( ??? ?( EF

3 1 , ,1) , 取 BC 的中点为 M, 则 AM ^ 面 BCD 2 2

??? ???? ? 3 3 3 3 , ,0) ?? ? ( , , 0 ) EF // A M ,所以 ,所以 EF ? 面 DBC ; AM 2 2 2 2

-7-

12. 【山 西 省 长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中 2013 届 高 三 第 四 次 四 校 联 考 】如 图,已知长方形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1 , M 为 DC 的中点. 将 ?ADM 沿 AM 折起,使 得平面 ADM ? 平面 ABCM . (I)求证: AD ? BM ; (II)若点 E 是线段 DB 的中点,求二面角 E ? AM ? D 的余弦值.

-8-

以 O 为原点如图建立空间直角坐标系,根据已知条件,得

? ? x?0 ? 2x ? 0 ?? ??? ? ?? ? ? y ? 1 ? m ? (0,1, ?2) , m ? AE ? 0 ,? ? 3 2 ,取 ,得 , y ? 1 ? 2 2 x? y? z?0 ?? ? z ? ?2 ? ? 4 2 4 ?? ? ?? ? 5 m?n 1 5 ,所以二面角 E ? AM ? D 的余弦值为 . ? cos? m, n? ? ?? ? ? ? 5 5 5 m n
考点:1、空间向量垂直的坐标运算公式 ; 2、向量法求二面角.

-9-

13. 【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中 2014 届高三第一次四校联考】 (本小题 满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中, PA ? 底面ABCD , AB ? AD , AC ? CD ,

PA ? AB ? BC ? AC , E 是 PC 的中点.
(1)求证: PD ? 平面ABE ; (2)求二面角 A ? PD ? C 的平面角的正弦值.

(2)如图建立空间直角坐标系,设 AC ? a ,则 A(0,0 , 0) 、 P(0 , 0 , a) 、 B(a , 0, 0) 、

? 2a ? D?0 , , 0? , 3 ? ?

- 10 -

14. 【唐山市 2013-2014 学年度高三年级摸底考试】 (本小题满分 12 分)在如图所示的几何 体中,四边形 ABCD、ADEF、ABGF 均为全等的直角梯形,且 BC / / AD ,

AB ? AD ? 2BC .
(Ⅰ)求证: CE / / 平面 ABGF ; (Ⅱ)求二面角 G ? CE ? D 的余弦值.

- 11 -

(Ⅱ)由题意, AB、AD、AF 两两垂直, 以 AB 为 x 轴, AD 为 y 轴建立空间直角坐标系 A ? xyz . 设 BC ? 1 ,则 C (2,1, 0) , D(0, 2,0) , E (0,1, 2) , G(1, 0, 2) . 设平面 CED 的一个法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

??

- 12 -

考点:1.线面平行的判断定理;2.向量法解题. 15. 【河南省方城一高 2014 届高三第一次调研(月考) 】(本小题满分 12 分) 已知在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ? 1 ,

AB ? 2 , E , F 分别是 AB、PD 的中点.
(1)求证: AF / / 平面 PEC ; (2)求二面角 P ? EC ? D 的余弦值.

【答案】(1)证明过程详见解析; (2) 【解析】

3 . 3

试题分析:本题主要以四棱锥为几何背景,考查线面平行的判定和二面角的求法,可以运用 传统几何法,也可以用空间向量方法求解,突出考查空间想象能力和计算能力.第一问,利用 线面平行的判定定理,先找出面内的一条线 ME ,利用平行四边形证明 AF / / EM ,从而证 明线面平行;第二
- 13 -

(2)解: 以 A 为原点, 如图建立直角坐标系, 则 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C (2,1, 0) , D(0,1,0) ,

1 1 E (1, 0, 0) , F (0, , ) , P(0, 0,1) . 2 2

- 14 -

16. 【河北省唐山市 2013 届高三第二次模拟考试】 如图, 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB=BC,

?ABC ? 90? ,Q 是 AC 上的点,AB1//平面 BC1Q.
(Ⅰ)确定点 Q 在 AC 上的位置; (Ⅱ)若 QC1 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为

2 ,求二面角 Q-BC1—C 的余弦值. 4

(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系.

设 AB=BC=a,BB1=b,则 面 BC1C 的法向量为 m=(1,0,0).

- 15 -

17. 【石家庄市 2013 届高中毕业班第一次模拟】(本小题满分 i2 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P- ABC D 中,PA 丄平面 ABCD, ?ABC ? ?ADC ? 90 ,
0

?BAD ? 120 0 ,AD=AB=1,AC 和 BD 交于 O 点.
(I)求证:平面 PBD 丄平面 PAC.

(II) 当点 A 在平面 P B D 内 的 射 影 G 恰 好 是 Δ PBD 的重心时,求二面角 B-PD-A 的余弦值.

- 16 -

(Ⅱ) 过 A 作 AD 的垂线为 x 轴, AD 为 y 轴, AP 为 z 轴,建立如图所示坐标系,则 B(
D(0 ,1 , 0) , C ( 3,1, 0) ,设 P(0, 0, ? ) ,所以 G (

3 1 , ? , 0) , 2 2

??? ? 3 1 3 1 ? , , ) , PB ? ( , ? , ?? ) , 2 2 6 6 3

由 AG ? PB ,得 AG ? PB ? ( 解得 ? 2 ?

??? ? ??? ?

3 1 ? 3 1 , , )?( , ? , ?? ) ? 0 6 6 3 2 2

2 1 ,? ? .………………6 分 2 2 2 ); 2

∴P 点的坐标为 (0, 0,

???? 面 PBD 的一个法向量为 m ? 6 AG ? ( 3,1, 2) ,……………8 分

- 17 -

18. 【石家庄市 2013 届高中毕业班第一次模拟】如图,正方形 ABCD 中,EF//AB,若沿 EF 将正 方形折成一个二面角后,AE:ED:AD=1:1: 2 ,则 AF 与 CE 所成的角的余弦值为______.

- 18 -

考点:二面角、异面直线所成的角、余弦定理. 19. 【河北唐山开滦二中 2013~2014 学年度第一学期高三年级期中考试】 (本小题满分 12 分 ) 已知如图,平行四边形 ABCD 中, BC ? 2 , CD ?

2 , BD ? CD ,正方形 ADEF 所在平

面与平面 ABCD 垂直, G, H 分别是 DF , BE 的中点。 ⑴求证: GH ? 平面 CDE ; ⑵求平面 ECF 与平面 ABCD 所成的二面角的正弦值。

试题解析:⑴证明;? EF ? AD , AD ? BC ,? EF ? BC 且 EF ? AD ? BC ,

- 19 -

即平面 ECF 与平面 ABCD 所成的二面角的正弦值为 考点:空间中线面的位置关系,二面角.

2 5 .…………………………12 分 5

20. 【河北衡水中学 2013~2014 学年度高三上学期二调高三数学试卷】 (本题 12 分) 如图,在 ?ABC 中, sin

?ABC 3 ? , AB ? 2 ,点 D 在线段 AC 上,且 AD ? 2DC , 2 3
- 20 -

BD ?

4 3 。 3

(1)求 BC 的长; (2)求 ?DBC 的面积。

在 ?ABC 中,设 BC ? a, AC ? 3b , 则余弦定理可得 9b ? a ? 4 ?
2 2

4 a ,① 3

在 ?ABD 和 ?DBC 中,由余弦定理可得

cos ?ADB ?

4b 2 ?

16 ?4 3 , 16 3 b 3

- 21 -

21. 【河北省邯郸市 2014 届高三 9 月摸底考试数学】 (本题满分 12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, 且 PD ? 底面ABCD ?DAB ? 60? , E 为 AB 的中点. (1)证明: DC ? 平面PDE ; (2)若 PD ? 3 AD ,求面 DEP 与面 BCP 所成二面角的余弦值.

【答案】 (1)证明:见解析.(2) 5 .
- 22 -

15

???? ? 由(1)知面PDE的法向量 DC ? (0, a, 0) . 设面PBC的法向量n ? ( x, y, z )

??? ? ? ? ? BC ?n ? 0 则 ? ??? ? ? ? ? PC ?n ? 0
??? ? ??? ? 3 1 又 ? BC =(a, a, 0), PC =(0, a, - 3a) 2 2

? 3 1 ax + ay =0 ??? 2 2 ?ay - 3az =0 ?

- 23 -

22. 【河北省高阳中学 2014 届高三上学期第一次月考】(本小题满分 12 分) 已知斜三棱柱

ABC ? A 1B 1C 1 的底面是直角三角形, ?ACB ? 90? ,侧棱与底面所成角为 ? ,点 B 1 在底
面上的射影 D 落在 BC 上. (1)求证: AC ? 平面 B B1C1C ; (2)若 cos ? ?

1 ,且当 AC ? BC ? AA 1? 3 时, 3

求二面角 C ? AB ? C1 的大小.

试题解析: (1)∵点 B 1 在底面上的射影 D 落在 BC 上,∴ B1 D ? 平面 ABC ,

- 24 -

AC ? 平面 ABC ,∴ B1D ? AC 又∵ ?ACB ? 90? ∴ BC ? AC , B1 D ? BC ? D ,
∴ AC ? 平面 BB1C1C .…………4 分 (2)∵ B1 D ? 平面 ABC ∴ ?B1 BD ? ? 即 cos ?B1 BD ?

1 3

? BD ? 1, DC ? 2

23. 【河北省保定市八校联合体 2014 届高三上学期第一次月考】 (本小题满分 12 分) 如图,在底面是直角梯形的四棱锥 P—ABCD 中, ?DAB ? 90? , PA ? 平面 ABCD,

PA=AB=BC=3,梯形上底 AD=1.
(1)求证: BC ? 平面 PAB;

- 25 -

(2)求面 PCD 与面 PAB 所成锐二面角的正切值; (3)在 PC 上是否存在一点 E,使得 DE//平面 PAB?若存在,请找出;若不存在,说明理 由.

- 26 -

24. 【2012-2013 学年度南昌市高三第二次模拟测试卷】 (本小题满分 12 分)如图已知: 菱形 ABEF 所在平面与直角梯形 ABCD 所在平面互相垂直, AB ? 2 AD ? 2CD ? 4 ,

?ABE ? 60 ? , ?BAD ? ?CDA ? 90 ? , 点 H , G 分别是线段 EF , BC 的中点.
(1)求证:平面 AHC ? 平面 BCE ; (2)点 M 在直线 EF 上,且 EF //平面 AFD ,求平面 ACH 与平面 ACM 所成角的余弦值。

? ??? ? 42 cos ? n, BC ?? . 7

- 27 -

令z ?

? 3 ,则 y ? ?3, x ? 3 ,即 n ? (3, ?3, 3) ,

所以 cos ? n, BC ??

? ??? ?

12 42 ? ,………………………………………………11 分 7 2 2 ? 21

- 28 -

即平面 ACH 与平面 ACM 所成角的余弦值是

42 .…………………………………12 分 7

考点:1.面面垂直的判定定理;2.线面平行的判定定理;3.面面垂直的判定定理;4.向量法. 二.能力题组 1. 【唐山市 2013-2014 学年度高三年级摸底考试】直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的六个顶点都在
0 球 O 的球面上,若 AB ? BC ? 1 , ?ABC ? 120 , AA1 ? 2 3 ,则球 O 的表面积为(



A. 4?

B. 8?

C. 16?

D. 24?

2.【河北省保定市八校联合体 2014 届高三上学期第一次月考】 下图是一个几何体的三视图, 其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2 和 4,腰长为 4 的等腰梯形,则该几何体的侧 面积是( )

A. 6?

B. 12?

C. 18?

D. 24?

【答案】B

- 29 -

3. 【河北省保定市八校联合体 2014 届高三上学期第一次月考】设 m,n 是空间两条不同直 线, ? , ? 是空间两个不同平面,当 m ? ? , n ? ? 时,下列命题正确的是( A.若 C. 若 ,则 ,则 B.若 D.若 ,则 ,则 )

考点:直线和直线、直线和平面、平面与平面之间的位置关系. 4. 【石家庄市 2013 届高中毕业班第一次模拟】已知正三棱锥 P-ABC 的主视图和俯视图如图 所示,则此三棱锥的外接球的表面积为( )

A.4π

B. 12π

16? C. 3

64? D. 3

- 30 -

5. 【山西省山西大学附中 2014 届高三 9 月月考题数学】三棱锥 D ? ABC 及其三视图中的主 视图和左视图如图所示,则棱 BD 的长为___ ______.

【答案】 4 2 【解析】 试题分析:由 主 视 图 知 CD ? 平 面 ABC, 设 AC 中 点 为 E , 则 BE ? AC ,且 ; AE ? CE? 2

, BE ? 2 , 3 由左视图知 CD? 4

- 31 -

6. 【山西省山西大学附中 2014 届高三 9 月月考题】三棱锥 D ? ABC 及其三视图中的主视图 和左视图如图所示,则棱 BD 的长为___ ______.

7. 【河北省邯郸市 2014 届高三 9 月摸底考试数学】 正三角形 ABC 的边长为 2, 将它沿高 AD 翻折,使点 B 与点 C 间的距离为 1,此时四面体 ABCD 外接球表面积为____________ . 【答案】 【解析】

13? 3

, DC ? 试题分析:根 据 题 意 可 知 , 三 棱 锥 B ? ACD 的 三 条 侧 棱 BD ? AD

DA ,底面

是正三角形,它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球,求出正三棱柱的底面 中心连线的中

- 32 -

考点:表面积计算 8. 【2013 年河南省十所名校高三第三次联考试题】 (本小题满分 12 分) 如图所示的几何体 ABCDFE 中,△ABC,△DFE 都是等边三角形,且所在平面平行,四边形 BCED 为正方形,且所在平面垂直于平面 ABC. (Ⅰ)证明:平面 ADE∥平面 BCF; (Ⅱ)求二面角 D-AE-F 的正切值.

【答案】 (Ⅰ)利用线线平行, 则面面平行证明 AG ? OF ,DE ? BC 即可得证; (Ⅱ) 【解析】

2 6 . 5

- 33 -

所以 AO ? FG, 又易得 AO ? FG ,所以四边形 AOFG 为平行四边形,所以 AG ? OF ,

又 DE ? BC ,所以平面 ADE ? 平面 BCF .……………………………………(6 分)

- 34 -

三.拔高题组 1. 【中原名校联盟 2013——2014 学年高三上期第一次摸底考试】已知四棱锥 P-ABCD 的三 视图如下图所示,则四棱锥 P-ABCD 的四个侧面中的最大的面积是 A.3 B.2 5 C.6 D.8 ( )

【答案】C

- 35 -

2. 【中原名校联盟 2013——2014 学年高三上期第一次摸底考试】正方形 AP1P2P3 的边长为 4, 点 B,C 分别是边 P1P2,P2P3 的中点,沿 AB,BC,CA 折成一个三棱锥 P-ABC(使 P1,P2,P3 重 合于 P) ,则三棱锥 P-ABC 的外接球表面积为 A.24π B.12π C.8π ( ) D.4π

3. 【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中 2014 届高三第一次四校联考】已知 三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SC 为球 O 的直径, 且 SC ? OA , SC ? OB ,

?OAB 为等边三角形,三棱锥 S ? ABC 的体积为
A . 3 【答案】C 【解析】 B. 1

4 3 ,则球 O 的半径为( 3

)

C. 2

D. 4

试题分析:设球的半径为 R ,根据题意画出图形,则 SC ? 面OAB ,所以 S ? ABC 的体积 = C ? OAB 的体积+ S ? OAB 的体积,即 2 ?

1 2 1 4 3 R sin 60? ? ? R ? ,解得 R ? 2 ,选 C. 2 3 3
- 36 -

考点:空间几何体的体积. 4. 【2013 年河南省十所名校高三第三次联考试题】四面体 ABCD 中,AD 与 BC 互相垂直,AD =2BC=4,且 AB+BD=AC+CD=2 14 ,则四面体 ABCD 的体积的最大值是( A.4 B.2 10 C.5 D. 30 )

考点:棱锥的体积. 5. 【河北省唐山市 2013 届高三第二次模拟考试】一个由八个面围成的几何体的三视图如图
- 37 -

所示,它的表面积为( (A) 4 3 (C)12

) (B)8 (D) 4 2

- 38 -


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