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电子与光电子科学技术进展


计算电磁学发展综述
摘要:得益于电子计算机与数值算法的快速发展,以计算机数值求解电磁问题的科学——
计算电磁学已成为十分热门的研究方向, 现已广泛应用于先进作战武器设计、 雷达目标自动 识别、地球物理探测、微波遥感与成象、微波集成电路设计、高速电路信号完整性分析等众 多领域。其编制的数值程序极强的通用性、普适性与可靠性,使该学科成为了除实验测量以 外的重要电磁

分析手段。 本文介绍了计算电磁学的研究背景和进展, 对常用的电磁计算方法 作了必要的分类。对几种富有代表性的算法介绍了其各自的优势和不足,包括矩量法、有限 元法和时域有限差分方法。介绍了目前计算电磁学领域出现的颇有应用前景的研究热点。

关键词:计算电磁学,电磁场理论,数值计算方法

一、引言
计算电磁学(Computational Electromagnetics)是指对一定物质和环境中的电磁场相互 作用的建模过程, 通常包括麦克斯韦方程计算上的有效近似。 计算电磁学被用来计算天线性 能,电磁兼容,雷达散射截面和非自由空间的电波传播等问题。

计算电磁学是一门综合了电磁场理论、 数值计算方法和计算机软件技术的新兴学科, 尽 管其研究历史可以追溯到半个多世纪以前 (例如有限差分法在上世纪 40 年代就已提出) 但 , 它的蓬勃发展是在最近的 30 年(众所周知,计算机技术的持续进步和日益普及、计算数学 和软件技术的快速发展、 电气装备的工业需求和控制技术的广泛应用是促进计算电磁学研究 的关键因素)[1]。计算电磁学以电磁场理论为基础,以高性能计算技术为手段,运用计算数 学提供的各种方法, 解决复杂电磁场理论和工程问题, 是电磁场与微波技术学科中一个十分 活跃的研究领域[2]。从 20 世纪后半叶以来,计算电磁学领域已经取得了重大的科学技术进 步,从二维到三维,从线性到非线性,从单一电磁场问题到电磁场与电路系统或与其它物理 场的耦合问题,从正问题到包括优化技术在内的逆问题,计算能力有了飞跃的提高[1],在数 值技术、解析解法与数值解法的结合、软件方法、电磁场计算的验证方法等方面均取得了显 著进展, 每年有大量研究论文发表在国际性学术会议和刊物上。 随着计算机硬件和软件技术 的飞速发展以及计算数学的丰富成果, 计算电磁学已逐渐取代经典电磁学而成为现代电磁理 论研究的主流。

当然,经典电磁理论的研究也一直在进行着,它是计算电磁学的理论基础,没有它,计

算电磁学也不可能得到蓬勃的发展。 1864 年, Maxwell 在前人理论和实验的基础上建立了统 一的电磁场理论, 并用数学模型揭示了自然界一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律, 这就是 Maxwell 方程组。笼统而言,所有的宏观电磁问题都可以归结为 Maxwell 方程组在各种边界 条件下的求解问题。从整个电磁理论发展的过程来看,可以大概地把它分为 2 个阶段。20 世纪 60 年代以前可以称为经典电磁学阶段。在这个时期,电磁场理论和工程中的许多问题 大多采用解析或渐进的方法进行处理,即在 11 种可分离变量的坐标系中求解 Maxwell 方程 组或其退化形式, 最后得到解析解。 这种方法能够得到问题的准确解, 而且计算效率比较高, 但适用范围较窄, 只能求解具有规则边界的简单问题, 对任意形状的边界则无能为力或需要 很高的数学技巧。20 世纪 60 年代以后以基于积分方程的矩量法和基于微分方程的差分类方 法为代表的数值计算方法的运用标志着计算电磁学阶段的到来, 当然这也得益于电子计算机 的迅速发展,使大型数值计算成为可能。相对于经典电磁学而言,数值方法几乎不再受限于 边界的约束,能解决各种类型的复杂问题。

经过几十年世界各国学者的研究和发展, 计算电磁学已成为现阶段电磁理论的主要组成 部分。 计算电磁学之所以能取代经典电磁学而成为现代电磁理论研究的主流, 主要得益于计 算机硬件和软件的飞速发展以及计算数学的丰富成果。 计算机内存容量不断增大, 计算速度 不断提高,软件功能不断强大,计算方法不断改进,再加上并行计算机的使用,使得我们能 解决的电磁问题越来越大, 越来越复杂, 因此计算电磁学已经被广泛应用于诸如微波与毫米 波通信、雷达、精确制导、导航和地质勘探等各种电磁领域,具有巨大的实用价值[3]。

二、电磁场数值方法的分类
电磁仿真技术中运用的主要计算电磁学方法大致可分为 2 类:精确算法和高频近似方 法。精确计算方法包括差分法(FDTD,FDFD) 、有限元(FEM) 、矩量法(MoM)以及基 于矩量法的快速算法(如快速多极子 FMM 和多层快速多极子 MLFMA)等,其中,在解决 电大目标电磁问题中最有效的方法为多层快速多极子方法。

电磁学问题的精确算法可分为时域法(TD)和频域法(FD)两大类。频域技术主要有 矩量法、 有限元方法等, 频域技术发展得比较早, 也比较成熟。 时域法主要有时域差分技术。 时域法的引入是基于计算效率的考虑, 某些问题在时域中讨论起来计算量要小。 例如求解目 标对冲激脉冲的早期响应时, 频域法必须在很大的带宽内进行多次采样计算, 然后做傅里叶 反变换才能求得解答,计算精度受到采样点的影响。若有非线性部分随时间变化,采用时域 法更加直接。

从求解方程的形式看,精确算法还可以分为积分方程法(IE)和微分方程法(DE) 。IE 和 DE 相比, 有如下特点: 法的求解区域维数比 DE 法少一维, IE 误差限于求解区域的边界, 故精度高;IE 法适合求无限域问题,DE 法此时会遇到网格截断问题;IE 法产生的矩阵是满 的,阶数小,DE 法所产生的是稀疏矩阵,但阶数大;IE 法难以处理非均匀、非线性和时变 媒质问题,DE 法可直接用于这类问题[4]。 下面对不同方程形式下的各算法做简单的介绍: 1.基于积分方程的方法 1.1 离散偶极子近似(discrete dipole approximation,DDA) DDA 是一种计算电磁波在任意几何形状物体上散射和吸收的方法,其表达式基于麦克 斯韦方程的积分形式。DDA 用有限阵列的可极化点来近似连续形式的物体。每个点通过对 局部电场的响应获得对应的偶极子矩量,然后这些偶极子通过各自的电场相互作用。因此, DDA 有时也被认为是耦合偶极子近似。这种线性方程的计算一般采用共轭梯度迭代法。由 于离散矩阵的对称性,就可能在迭代中使用 FFT 计算矩阵的向量乘法。 1.2 矩量法 (Method of Moments, MoM ) 边界元法 , (Boundary Element Method, BEM ) MoM 和 BEM 是求解积分形式(边界积分形式)的线性偏微分方程的数值计算方法, 已被应用于如流体力学,声学,电磁学等诸多科技领域。自从上世纪八十年代以来,该方法 越来越流行。由于只计算边界值,而不是方程定义的整个空间的数值,该方法是计算小表面 (体积) 问题的有效办法。 从概念上讲, 它们在建模后的表面建立网格。 然而对于很多问题, 此方法的效率较基于体积离散的方法(FEM,FDTD)低很多。原因是,稠密矩阵的生成将 意味着存储需求和计算时间会以矩阵维数的平方律增长。 相反的, 有限元矩阵的存储需求和 计算时间只会按维数的大小线性增长。 即使可以采用矩阵压缩技术加以改善, 计算成功率和 因此增加的计算复杂性仍强烈依赖问题的本质。 BEM 可用在能计算出格林函数的场合,如在线性均匀媒质中的场。为了能使用 BEM, 需要对问题有很多限制,使用上不方便。 以下是运用 MoM 的计算程序: Vector Fields Ltd Concerto、 CST MICROWAVE STUDIO、 Numerical Electromagnetic Code (NEC)、Sonnet Lite、FEKO。 1.3 快速多极子法(Fast Multipole Method,FMM) FMM 是一种可以替代原始 MoM 的电磁计算方法,其效率比 MoM 的计算效率更高, 也更准确,而且对内存和处理运行时间的要求比 MoM 小很多。FMM 基于多极子展开技术, 并首先被 Greenyard 和 Rokhlin 提出。 2.基于微分(差分)方程的方法 2.1 时域有限差分(FDTD) FDTD 是计算电磁学中广泛应用的一种方法,很容易理解和软件实现。由于它是时域方 法,求出的解将涵盖很宽的频率范围。

FDTD 属于一类基于网格的时域差分数值建模方法。 麦克斯韦方程被改写成中心差分方 程,并在软件中离散实现。方程的求解采用蛙跳策略:电场在给定的时刻求解,而磁场在下 一时刻求解,此过程再不停重复。从而求解。 FDTD 的基本算法是 Kane Yee 1966 年在 IEEE-AP 汇刊发表的论文中提出的, 而“FDTD” 这一名称是由 Allen Taflove 在 1980 年的 IEEE-EMC 汇刊中首次提出。自从 1990 年以来, FDTD 已显现出成为解决科学和工程中电磁相互作用问题的首要建模方法。目前,FDTD 的 应用范围包括了从近似直流到微波乃至可见光的分析。大约有 30 种商业和大学开发的免费 软件都是以 FDTD 为基础的。 采用 FDTD 的主要软件有:APLAC,Microwave Studio,Empire,Remcom,Zeland。 2.2 时域多分辨率方法(Multiresolution time-domain, MRTD) 这是一种基于小波分析的自适应 FDTD 方法。 2.3 有限元方法(Finite Element Method,FEM) FEM 是解决偏微分方程(PDE)和积分方程的数值建模方法。求解方法的思想是,完 全消除微分方程(稳态问题)或者把偏微分方程转化为等效的常微分方程,然后用有限差分 方法求解。 在求解 PDE 过程中,主要的困难是创造能近似原始 PDE 的方程,此方程须具数值稳定 性,也就是说输入数据的误差和中间计算不会带来误差累积,否则输出就毫无意义。有很多 方法可以实现这一过程,互有优劣。FEM 是解决复数域中 PDE 的较好选择。 采用 FEM 的软件有:Ansoft Maxwell SV,ANSYS,FEM2000,FlexPDE,QuickField, Comsol,Matlab PDE Toolbox。 2.4 时域伪谱法(Pseudospectral Time Domain,PSTD) 这类按时间程的麦克斯韦方程求解方法通常用 Fourier 变换或 Chebyshev 变换来计算电 磁场分量成分的空间导数。这些成分以元胞形式化为 2D 或 3D 网格。相比 FDTD,PSTD 产 生的数值色散误差可忽略不计。 算法具体过程可参考文献: Q. Liu and G. Zhao, "Advances in PSTD Techniques," Chapter 17 in Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, A. Taflove and S. C. Hagness, eds., Boston: Artech House, 2005. 可以看出精确求解电磁工程问题的出发点有四种方式:频域积分方程(FDIE) 、频域微 分方程(FDDE) 、时域微分方程(TDDE)和时域积分方程(TDIE) 。TDIE 应用范围不及 前三种方程普遍。

高频方法一般可归作 2 类:一类基于射线光学,包括几何光学(GO) 、几何绕射理论 (GTD) 以及在 GTD 基础上发展起来的一致性绕射理论 (UTD) 等; 另一类基于波前光学, 包括物理光学(PO) 、物理绕射理论(PTD) 、等效电磁流方法(MEC)以及增量长度绕射

系数法(ILDC)等。其中,物理光学法(Physical Optics,PO)由于计算效率较高,对大目 标的适应能力强,因此在光学,电子工程,应用物理学中被普遍采用。该方法是对忽略波效 应的几何光学法的改进。“物理”指的是相对几何光学或射线光学更具物理性,而不是说这是 严格的物理理论。该方法用射线光学法估计表面场量,然后在该表面上对场量积分,从而计 算散射场。这很类似 Born 近似法(扰动法) 。

三、矩量法、有限元法、时域有限差分法之比较
计算电磁学经过数十年的发展,取得了辉煌的成就,目前已形成三足鼎立的局面,矩量 法(MoM) 、有限元法(FEM) 、时域有限差分法(FDTD) 。 盛新庆老师在他的著作《计算电磁学要论》[5]中对以上三大算法作出了细致的比较,现 将文字摘录如下,以介绍其三者各自的优势和不足: 这三种数值方法的不同之本在于它们离散的数学表述形式不同: 即矩量法是离散积分方 程,有限元法是离散泛函变分,时域有限差分法是直接离散时域偏微分方程。 首先这三种数值方法在如何描述求解域中任意两个离散未知量 x,y 的相互作用时有区 别。矩量法是通过格林函数直接表述这种作用,这种表述是严格的。而有限元和时域有限差 分是通过一系列中间未知量,也就是 x 先作用于其相邻未知量 d1,再由 d1 传递到 d1 的相邻 未知量 d2,依次通过一系列中间未知量,最后才作用到 y。这种表述是近似的,通过的中间 变量越多,其误差就越大。这种误差被称为数值色散误差。有限元和时域有限差分都有这种 数值色散误差,而矩量法不存在。然由于矩量法任意两未知量都直接相互作用,因而其离散 矩阵是满阵。 而有限元和时域有限差分只有相邻未知量才发生直接相互作用, 因而有限元的 离散矩阵是稀疏阵,时域有限差分随时间推进公式所等效的矩阵也是稀疏阵。由此可见,有 限元法和时域有限差分法相近,而与矩量法较远。这是因为有限元虽是离散泛函变分,然泛 函变分的实质仍属偏微分方程。 这三种数值方法所得离散方程的性态及求解方式也有不同。 时域有限差分无需求解方程 组,只是模拟电磁波的传播,随时间不断往前推进。只要观察点处的电磁场变化稳定,便可 终止推进,结束计算。其推进所需步数主要取决于电磁波的传播过程,既不能增加,也不能 减少。故就离散方程的性态及求解这一点而论,时域有限差分没有更多可说。下面要比较的 是矩量法和有限元法。由格林函数式不难看出,两点作用距离越近,其作用就越强,表现在 离散矩阵中是离对角线越近的元素, 其绝对值一般越大。 这种特征使得矩量法矩阵的条件数 一般要大大好于有限元的离散矩阵。 若用迭代法求解方程组, 矩量法离散方程的求解收敛速 度要远远快于有限元的收敛速度。 由于有快速离散傅里叶变换技术或多层快速多极子技术能 大大减少矩量法矩阵与矢量相乘的运算复杂度, 迭代法是目前求解矩量法离散方程的主要方 法。虽然有限元离散方程是稀疏阵,然由于条件数太差,若内存足够,一般选直接法,譬如

多波前求解方法。 除了数值性能方面的差异外,不难看到,这三种数值方法具有不同的的实施难易程度。 实施矩量法既要面对繁难的积分方程,又要注意基函数的恰当选取;既要耐心处理奇异点, 又要巧妙构思快速求解技术。相对而言,实施有限元要容易一些,只要注意基函数选取及稀 疏矩阵存储方式即可。至于时域有限差分就更容易了。因此一般说来矩量法实施最难,有限 元次之,时域有限差分最易。 就通用性而论,有限元与时域有限差分相近,都很通用,矩量法则稍差。就拿散射问题 来说, 对于矩量法而言, 金属体散射、 均匀介质体散射、 非均匀介质体散射的求解是不同的, 且差别很大。而对于有限元和时域有限差分,这三种散射可很容易地在一个程序中实现。矩 量法通用性的不足从某种程度上说换来了高精度、高效率。虽然原则上说,三种方法精度相 当,然实际计算表明,矩量法精度最高,有限元次之,时域有限差分最差。其原因是矩量法 没有数值色散误差,其他两种都有。时域有限差分不仅有数值色散误差,且模拟复杂几何形 状的误差一般也要大于其他两种数值方法。

可见, 各种数值计算方法都有优缺点, 一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决, 常需要将多种方法结合起来,互相取长补短,因此混和方法日益受到人们的重视。

四、近期研究热点
高性能计算技术的发展是 20 世纪后半叶最重要的科技进步之一,计算电磁学是其中的 重要分支。它不仅是现代电工、电子和信息技术的理论基础,而且也成为军事、生态、医疗、 天文、地质等众多领域新技术理论的生长点。与此同时,现代科学技术各学科之间的相互交 叉、渗透,工程技术日趋集成化的特点,正在进一步推动计算电磁学的发展。 计算电磁学的研究与发展可以分为电磁场分析(正问题) 、逆问题求解(含优化设计问 题)和电磁场工程三个部分,它们相互衔接,又相互融合、相互促进。近几年来,电磁场工 程在以电磁能量或信息的传输、 转换过程为核心的强电与弱电领域中显示了重要作用。 电磁 场工程面对的是复杂的大系统工程问题, 其中常包含电磁场及相关物理场在内的瞬态耦合问 题、优化设计问题和逆问题,通常还含有非线性;随着信息高速公路建设的需要发展起来的 超高速集成电路,需要进行互连封装结构的电磁特性分析与设计;在微波、毫米波单片集成 电路的研制中,三维微波集成电路的出现,也对电磁特性仿真提出了新的要求[2]。随着电磁 学的发展, 新一轮的研究热潮正在酝酿之中, 通过收集资料发现以下方向将是近期研究热点。

1.各种快速算法的研究 计算电磁学的核心问题是实现快速高效的计算, 为此需要总结现有的电磁场数值计算方

法的优缺点, 提出例如无单元法那样新的方法, 或者在不同算法的巧妙结合中寻找有效的新 算法,从数学模型开始就提高算法的快速性。 工程电磁系统的许多问题都需要反复求解几万阶甚至更高阶的代数方程组, 有些问题所 导出的代数方程组具有病态的系数矩阵。 有时, 采用现代的甚至未来的超级计算机也难以完 成计算任务。 面对工程实际提出的要求, 研究快速、 高效的代数方程组解法仍是持续的任务。 目前正在探索的各种预处理共轭梯度法、快速多重多极子算法、区域分解快速算法、样条基 函数应用、小波基函数应用等等将得到进一步研究。 计算机网络技术的发展为在多台个人计算机上实现并行计算提供了条件。 预计针对代数 方程组求解、 优化搜索中的方案评价过程、 数值算法中的网格形成等不同目的的并行计算方 法将会有更大的发展。

2.全局优化方法的研究 在电磁装置与系统的制造与运行中, 实现设计与控制的优化是工业界与研究者的最终目 标。工程上的优化问题通常为多目标,并含有非线性约束。 目前流行的各类随机化优化方法和确定性优化方法并未完全解决加快优化搜索收敛速 度和避免陷入局部最优解的问题。此方向多是将已有优化算法,如基因算法、微分演进算法 等,应用到电磁学领域,应属于应用型研究。探索与复杂电磁分析相结合的全局优化方法仍 然是计算电磁学持续的任务。

3.提高复杂电磁场问题的分析能力 三维电磁场分析,特别是包含物体的运动、与不同物理场(热、力、流体等)相耦合的 问题,仍具有相当难度。 电磁材料特性在数值计算中的模拟需要进一步精细化, 例如电磁参数的各向异性、 非线 性模拟,局部磁滞回线、电磁参数温度效应的的计入等等。 非线性介质中电磁波的传播, 大尺寸物体的电磁场分析, 微分与积分方程的混合方法仍 在探索中。

4.超宽带电磁算法 目前雷达领域研究的热点之一在超宽带雷达, 由于雷达是一个系统, 超宽带雷达的研究 必然会引起从超宽带信号处理算法到超宽带电磁算法的研究。 目前的商用软件尚不能很好的 解决超宽带的电磁问题。CST 可以算,但精度不好。HFSS 只有逐点去算,这显然是很耗时 的,而且 HFSS 很致命的问题就是不能求解大规模的问题(内存限制) 。FEKO 采用了 MLFMA,可以实现大规模问题的求解,但其内核矩量法限制了它的应用范围,而且在解决 超宽带问题上也是很耗时的。

UIUC 计算电磁中心的 J.M. Jin 教授和他的学生 Z. Lou,对时域有限元进行了研究,并 将它用于宽带天线的建模和分析, 随后还提出了各种变形的时域有限元, 进一步提高了效率, 降低了内存需求,最终还研究了并行时域有限元。时域有限元仍有可以改进的地方,主要是 在基函数的选择上,提出新的、鲁棒性好的基函数将会是下一时期的研究热点。此外,矩阵 方程条件数的改善也有待研究。

5.RFIC 精确建模 另一个研究热点是 RFIC 的建模, 目前 UIUC 计算电磁中心的 W.C. Chew 教授致力于此 方面的工作。W.C. Chew 首次将 MLFMA 算法成功用于超大规模电磁散射问题的求解,与 Demaco 公司联合推出 FISC 及其并行版本 ScaleMe。将电磁散射问题的研究推向了极致,首 次成功求解了未知量达 1000 万的电磁散射问题。目前,Chew 教授主要兴趣转向了 RFIC 的 精确建模。当前的商用软件,在对付高频段的问题时都是无能为力的,无法得到精确解,所 以有的实验室付出昂贵的代价购买价值千万的实验仪器, 就是因为频段升高时, 所有的商用 软件都无能为力,且此实验仪器十分娇贵,保养费用很高,操作也需要专门培训。因此如能 在 RFIC 的精确建模方面有所突破,从而在一定程度上取代该实验设备,将会带来巨大的经 济效益,同时也有深远的学术影响。Carleton 大学的 Q.J. Zhang 教授,将神经网络用于 RFIC 的建模,并推出了相应的软件,目前应在致力于该软件并行版本的开发,但神经网络只是近 似模型,仍不能算精确。RFIC 精确建模,应是下一时期的研究热点。

五、总结
随着计算机技术的迅速发展,数值计算方法的不断创新,新兴的计算电磁学应运而生。 计算电磁学的理论和方法的迅速发展,为各种复杂电磁问题的解决提供了有力的手段[6]。 在可以想见的未来,电磁学的数值计算方法将得到长足的发展。在具体问题中,应该采 用不同的方法, 而不应拘泥于这些方法, 还可以把这些方法加以综合应用, 以达到最佳效果。 电磁学的数值计算是一门计算的艺术,它横跨了多个学科,是数学理论、电磁理论和计 算机的有机结合。原则上讲,从直流到光的宽频带范围都属于它的研究范围。为了跟上世界 科技发展的需要,应大力进行电磁场的并行计算方法的研究,不断拓广它的应用领域,如生 物电磁学、复杂媒质中的电磁正问题和逆问题、医学应用、微波遥感应用、非线性电磁学中 的混沌与分叉、微电子学和纳米电子学等[7]。 在新的一个十年中,计算电磁学正在接受新的挑战,电磁场工程面临新的任务。

参考文献:
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