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(徐彦辉)探索法解竞赛题


探索法

温州大学数学与信息科学学院 徐彦辉

例1:设 a, b, c 满足
证明:

1 1 1 ? ? ?0 2 2 2 bc ? a ca ? b ab ? c

a b c ? ? ?0 2 2 2 2 2 2 (bc ? a ) (ca ? b ) (ab ? c )

>
2 2 M ? ( x , y ) x ? 2 y ? 3? , N ? ?( x, y ) y ? mx ? b? ? 例2:已知

若对于所有 m ? R,均有 M I N ? ? ,则 b 的取值范围是( ) 6 6 6 6 A. [? 2 , 2 ] B. (? 2 , 2 ) C. (? 2 33 , 2 33 ) D. [? 2 33 , 2 33 ] (2004年全国高中联赛题)

例3:设正数 x, y, z 均不为1,且 xy ? yz ? zx ? 1 2 2 2 2 2 2 试求 f (x, y, z) ? x(1? y )(1? z ) ? y(1? z )(1? x ) ? z(1? x )(1? y ) 的最大值.

例4:已知 a, b, c 是绝对值不等于1的非零 实数,且 ab ? bc ? ca ? 1 ,求证:
2a 2b 2c 8abc ? ? ? 2 2 2 2 2 2 1 ? a 1 ? b 1 ? c (1 ? a )(1 ? b )(1 ? c )

例5:已知 a, b, c, d ? R ,求证:

a ? b ? c ? 4abc ? 1
4 4 4

例6:设 x, y, z ? R ,且 xy ? yz ? zx ? ? ( x ? y ? z) ? u 2 2 2 2 2 则 ( x ? k ) ? ( y ? k ) ? ( z ? k ) ? 2k ? 2u ? 2?k ? ?
在上式中取 ? ? 0, ? ? 1 ,可以得到 推论1:设 x, y, z ? R ,且 xy ? yz ? zx ? u
2 2 2 2 ( x ? k ) ? ( y ? k ) ? ( z ? k ) ? 2 k ? 2u 则

推论2:设 x, y, z ? R ,且 xy ? yz ? zx ? x ? y ? z ? u 则 ( x ? k )2 ? ( y ? k )2 ? ( z ? k )2 ? 2k 2 ? 2u ? 2k ?1

例7:(IMO49-2)设实数 满足 xyz ? 1 ,求证:

x, y, z 都不等于1,
x y z ? ? ?1 2 2 2 ( x ? 1) ( y ? 1) ( z ? 1)
2 2 2

例8:(2004年泰国数学奥林匹克) 设 a, b, c 是不同的实数,求证:
2a ? b 2 2b ? c 2 2c ? a 2 ( ) ?( ) ?( ) ?5 a ?b b?c c?a

课堂练习1:若 a, b, c 是互不相同的实数, a b c 则有 ( b ? c ) ? ( c ? a ) ? ( a ? b ) ? 2
2 2 2

课堂练习2:若 a, b, c 是互不相同的实数, a?b b?c c?a 则有 ( a ? b ) ? ( b ? c ) ? ( c ? a ) ? 2
2 2 2

例9:(2004年全国联赛题) uur uu u r uuu r r 如图,设点O在△ABC内部,且有 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 则△ABC的面积与△AOC的面积比为( ) A. 2 B. 3/2 C. 3 D. 5/3

例10:(第53届罗马尼亚数学奥林匹克题)

求方程组 ? x( x ? y )( x ? z ) ? 3

? ? y ( y ? x)( y ? z ) ? 3 ? z ( z ? x)( z ? y ) ? 3 ?

的复数解.

例11: (2003年美国数学奥林匹克题)

设 a, b, c 是正实数,证明:
(2a ? b ? c) (2b ? c ? a) (2c ? a ? b) ? 2 ? 2 ?8 2 2 2 2 2a ? (b ? c) 2b ? (c ? a) 2c ? (a ? b)
2 2 2

例12: (2003年全国高中联赛题) 2 y 过抛物线 ? 8( x ? 2)的焦点F作倾斜角为60° 的直线,若此直线与抛物线交于A、B两点, 弦AB的中垂线与x轴交于点P,则线段PF的 长等于( ) 16 3 16 8 A. 3 B. 3 C. 3 D. 8 3


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