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人教版高中数学必修1第一章《集合与函数的概念》教案1


第1讲
¤ 知识要点:

§ 1.1.1 集合的含义与表示

1. 把一些元素组成的总体叫作集合(set) ,其元素具有三个特征,即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种:列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来, 基本形式为 {a1 , a2 , a3 , ???, an } , 适用于有限集

或元素间存在规律的无限集. 描述法, 即用集合所含元素 的共同特征来表示,基本形式为 {x ? A | P( x)} ,既要关注代表元素 x,也要把握其属性 P( x) ,适用于 无限集. 3. 通常用大写拉丁字母 A, B, C , ? ? ? 表示集合. 要记住一些常见数集的表示,如自然数集 N,正整 数集 N * 或 N ? ,整数集 Z,有理数集 Q,实数集 R. 4. 元素与集合之间的关系是属于(belong to)与不属于(not belong to),分别用符号 ? 、 ? 表 示,例如 3 ? N , ?2 ? N . ¤ 例题精讲: 【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)由方程 x( x2 ? 2 x ? 3) ? 0 的所有实数根组成的集合;(2)大于 2 且小于 7 的整数.

【例 2】用适当的符号填空:已知 A ? {x | x ? 3k ? 2, k ? Z } , B ? {x | x ? 6m ? 1, m ? Z } ,则有: 17 A; -5 A; 17 B.

【例 3】试选择适当的方法表示下列集合:(教材 P6 练习题 2, P13 A 组题 4) (1)一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2 x ? 6 的图象的交点组成的集合; (2)二次函数 y ? x 2 ? 4 的函数值组成的集合; (3)反比例函数 y ?
2 的自变量的值组成的集合. x

【第 1 练 ※基础达标

§ 1.1.1 集合的含义与表示】

1.以下元素的全体不能够构成集合的是(

).

第 1 页 共 9 页

A. 中国古代四大发明 C. 方程 x 2 ? 1 ? 0 的实数解 2.方程组 A.

B. 地球上的小河流 D. 周长为 10cm 的三角形 ). C.
, ?? ??51

3 ?2xx??2 yy ? ? 11

的解集是( B.

1 ?5, ?

5? ?1,

D.

5?? ??1,

1 3.给出下列关系:① ? R ; ② 2 ? Q ;③ 3 ? N * ;④ 0 ? Z . 其中正确的个数是( 2

).

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

4.有下列说法:(1)0 与{0}表示同一个集合;(2)由 1,2,3 组成的集合可表示为 {1, 2,3} 或{3, 2,1};(3)方程 ( x ? 1)2 ( x ? 2) ? 0 的所有解的集合可表示为{1,1,2};(4)集合 {x 4 ? x ? 5} 是有限集. 其中正确的说法是( A. 只有(1)和(4) ). C. 只有(2) ). D. 以上四种说法都不对

B. 只有(2)和(3)

5.下列各组中的两个集合 M 和 N,表示同一集合的是( A. M ? {? } , N ? {3.14159} C. M ? {x | ?1 ? x ? 1, x ? N } , N ? {1}

B. M ? {2,3} , N ? {(2,3)} D. M ? {1, 3, ? } , N ? {? ,1,| ? 3 |} .

6.已知实数 a ? 2 ,集合 B ? {x | ?1 ? x ? 3} ,则 a 与 B 的关系是

第2讲
¤ 知识要点:

§1.1.2 集合间的基本关系

1. 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素,则说两 个集合有包含关系,其中集合 A 是集合 B 的子集(subset),记作 A ? B (或 B ? A ),读作“A 含于 B”(或“B 包含 A”). 2. 如果集合 A 是集合 B 的子集( A ? B ),且集合 B 是集合 A 的子集( B ? A ),即集合 A 与 集合 B 的元素是一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,记作 A ? B . 3. 如果集合 A ? B , 但存在元素 x ? B , 且 x? A, 则称集合 A 是集合 B 的真子集 (proper subset) , 记作 A ? B(或 B ? ? A) .

?

4. 不含任何元素的集合叫作空集(empty set),记作 ? ,并规定空集是任何集合的子集. 5. 性质: A ? A ;若 A ? B , B ? C ,则 A ? C ; 若 A ? B? A ,则 A ? B ;若 A ? B? A ,则 B ? A . ¤ 例题精讲: 【例 1】用适当的符号填空: (1){菱形} {平行四边形}; {等腰三角形}
第 2 页 共 9 页

{等边三角形}.

(2) ?

{x ? R | x2 ? 2 ? 0} ;

0

{0};

?

{0};

N

{0}.

【例 3】若集合 M ? x | x2 ? x ? 6 ? 0 , N ? ?x | ax ? 1 ? 0? ,且 N ? M ,求实数 a 的值.

?

?

【第 2 练

§ 1.1.2 集合间的基本关系】

※基础达标 1.已知集合 A ? ?x x ? 3k , k ? Z ?, B ? ?x x ? 6k , k ? Z ? ,则 A 与 B 之间最适合的关系是( A. A ? B B. A ? B C. A ? B ).

?

D. A ? ?B ).

2.设集合 M ? ?x | ?1 ? x ? 2? , N ? ?x | x ? k ? 0? ,若 M ? N ,则 k 的取值范围是( A. k ? 2 B. k ? ?1 C. k ? ?1 D. k ? 2 ). D. 2 .

3.若 {a2 ,0, ?1} ? {a, b,0} ,则 a 2007 ? b2007 的值为( A. 0 B. 1 C. ?1

6.已知集合 A ? ?a, b, c,? ,则集合 A 的真子集的个数是
b 7.当 {1, a, } ? {0, a 2 , a ? b} 时,a=_________,b=_________. a

第3讲
¤ 知识要点:

§1.1.3 集合的基本运算(一)

集合的基本运算有三种,即交、并、补,学习时先理解概念,并掌握符号等,再结合解题的训 练,而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下. 并集 由所有属于集合 A 或属于 概念 集合 B 的元素所组成的集 合,称为集合 A 与 B 的并 集(union set) 记号 符号 图形 表示
A ? B (读作“A 并 B”)
A ? B ? {x | x ? A, 或x ? B}

交集 由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合, 称为 集合 A 与 B 的交集 (intersection set)
A ? B (读作“A 交 B”)
A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B}

补集 对于集合 A,由全集 U 中不属 于集合 A 的所有元素组成的集 合,称为集合 A 相对于全集 U 的补集(complementary set)
? U A (读作“A 的补集”) ? U A ? {x | x ?U , 且x ? A}

第 3 页 共 9 页

¤ 例题精讲: 【例 1】设集合 U ? R, A ? {x | ?1 ? x ? 5}, B ? {x | 3 ? x ? 9}, 求A ? B, ? U ( A ? B) .

【例 2】设 A ? {x ? Z | | x |? 6} , B ? ?1,2,3? , C ? ?3,4,5,6? ,求: (1) A ? ( B ? C ) ; (2) A ? ?A ( B ? C ) .

【例 3】已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 4} , B ? {x | x ? m} ,且 A ? B ? A ,求实数 m 的取值范围.

点评:研究不等式所表示的集合问题,常常由集合之间的关系,得到各端点之间的关系,特别 要注意是否含端点的问题. 【例 4】 已知全集 U ? {x | x ? 10, 且x ? N *} , A ? {2, 4,5,8} , B ? {1,3,5,8} , 求 CU ( A ? B) , CU ( A ? B) , (CU A) ? (CU B) , (CU A) ? (CU B) ,并比较它们的关系.

第 4 页 共 9 页

【第 3 练

§ 1.1.3 集合的基本运算(一)】

※基础达标 1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6,7? , A ? ?2, 4,5? ,则 C U A ? ( A. ? B. ). D. ?1,3,5,7? ). D. {x | 0 ? x ? 2}

?2, 4,6?

C. ?1,3,6,7?

2.若 A ? {x | 0 ? x ? 2}, B ? {x |1 ? x ? 2} ,则 A ? B ? ( A. {x | x ? 2} B.
{x | x ? 1}

C. {x |1 ? x ? 2} ). D.

4.若 A ? ?0,1,2,3? , B ? ?x | x ? 3a, a ? A? ,则 A ? B ? ( A. ?1, 2? B.

?0,1?

C.

?0,3?

?3?
).

5.设集合 M ? {x | ?1 ? x ? 2} , N ? {x | x ? k ? 0} ,若 M ? N ? ? ,则 k 的取值范围是( A. k ? 2 B. k ? ?1 C. k ? ?1 D. ? 1 ? k ? 2 .

6.设全集 U ? {x ? N * | x ? 8} , A ? {1,3,5,7} , B ? {2, 4,5} ,则 CU ( A ? B) =

1.函数的基本概念 (1)函数的定义:设 A、B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么称 f:A→B 为从 集合 A 到集合 B 的一个函数,记作:y=f(x),x∈A. (2)函数的定义域、值域 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫做定义域,与 x 的值对应的 y 值叫函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域.值域是集合 B 的子集. (3)函数的三要素:定义域、值域和对应关系. (4)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等;这是判 断两函数相等的依据. 2.函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有:解析法、列表法、图象法. 一个方法 求复合函数 y=f(t),t=q(x)的定义域的方法: ①若 y=f(t)的定义域为(a,b),则解不等式得 a<q(x)<b 即可求出 y=f(q(x))的定义域; ②若 y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出 g(x)的值域即为 f(t)的定义域.
第 5 页 共 9 页

两个防范 (1)解决函数问题,必须优先考虑函数的定义域. (2)用换元法解题时,应注意换元前后的等价性. 三个要素 函数的三要素是:定义域、值域和对应关系.值域是由函数的定义域和对应关系所确定 的.两个函数的定义域和对应关系完全一致时,则认为两个函数相等.

典型例题
1.下列各组函数中,表示同一函数的是 A. y ? 1, y ? ( B. y ? )

x x

x ? 1 ? x ? 1, y ? x 2 ? 1

C . y ? x, y ? 3 x 3 2.已知函数 y ? A. (??,1]
1? x 的定义域为 2 x ? 3x ? 2
2

D. y ?| x |, y ? ( x ) 2 ( B. (??,2] D. (?? ,? ) ? (? )

C . (?? ,? ) ? (?

1 2

1 ,1] 2

1 2

1 ,1] 2
( )

? x ? 1, ( x ? 0) 3.设 f ( x ) ? ? ?? , ( x ? 0) ,则 f { f [ f (?1)]} ? ?0, ( x ? 0) ? A. ? ? 1 B.0 C. ?
2 4.已知 f (2 x ? 1) ? x ? 2 x ,则 f (3) =

D. ? 1 .

5. (12 分)①.求函数 y ?

x ?1 的定义域; | x ?1 | ? | x ?1|
3

②求函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域; ③求函数 y ?

2x 2 ? 2x ? 3 的值域. x2 ? x ?1

1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数

一般地, 设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上 定义 的任意两个自变量的值 x1,x2 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>

第 6 页 共 9 页

函数 f(x)在区间 D 上是增函数

f(x2),那么就说函数 f (x ) 在区间 D 上是减函数

图象 描述 自左向右图象是上升的 (2)单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数, 则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调 性,区间 D 叫做 f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果存在实数 M 满 足 ①对于任意 x∈I,都 条件 . 有 f(x)≤M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M 结论 一个防范 1 函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.例如函数 y= x 分别在(- ∞,0),(0,+∞)内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞) 内单调递减,只能分开写,即函数的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),不能用“∪” 连接. 两种形式 设任意 x1,x2∈[a,b]且 x1<x2,那么 ① f?x1?-f?x2? f?x1?-f?x2? >0?f(x)在[a,b]上是增函数; <0?f(x)在[a,b]上是减函数. x1-x2 x1-x2 M 为最大值 ①对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0) =M. M 为最小值 自左向右图象是下降的

②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x)在[a, b]上是减函数. 两条结论

第 7 页 共 9 页

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值. 当函数在闭区间上单调时最值一定在 端点取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值. 四种方法 函数单调性的判断 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论. (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数. (3)导数法:利用导数研究函数的单调性. (4)图象法:利用图象研究函数的单调性.

例题及自测

一、选择题
1.设偶函数 f ( x ) 的定义域为 R ,当 x ?

?0,??? 时, f ( x) 是增函数,则 f (?2),

f (? ) , f (?3) 的大小

关系是 ( ) A f (? ) ? f (?3) ? f (?2) C f (? ) ? f (?3) ? f (?2)
2.若偶函数 f ( x ) 在

B f (? ) ? f (?2) ? f (?3) D

f (? ) ? f (?2) ? f (?3)
( )
高考资源网

?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是
3 2 3 D. f ( 2) ? f ( ? ) ? f ( ?1) 2
B. f ( ?1) ? f ( ? ) ? f ( 2)

A. f ( ? ) ? f ( ?1) ? f ( 2) C. f ( 2) ? f ( ?1) ? f ( ? )

3 2

3 2

二填空题

第 8 页 共 9 页

3.设 f(x)=ax5+bx3+cx-5(a,b,c 是常数)且

f (?7) ? 7 ,则 f(7)= ______.

三解答题 .判断下列各函数的奇偶性 1)f(x)=(x-2)
2? x ; 2? x

2 f x ? x ?b ? x ?b;

? ?

3 f x ? x ?b ? x ?b;

? ?

4f x ?

? ?

1 ? f ? x ? ? f ? ? x ?? ?; 2?

1 ? x2 ; 5 f ? x? ? x?2 ?2

第 9 页 共 9 页


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