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北京市丰台区2014高三下学期统一练习(二)数学(理)试题


丰台区 2014 年高三年级第二学期统一练习(二) 数学(理科)
2014.5

第一部分(选择题
中,选出符合题目要求的一项。

共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项 (1)若复数 (m ? 1) ? (m ? 2) i( m ?R)是纯虚数,则实数 m 等于 (A)0 (B)1 (C)2 (D)1 或 2

(2) 已知数列 {an } 是等差数列,且 a3 ? a9 ? 4 ,那么数列 {an } 的前 11 项和等于 (A)22 (B)24 (C)44 (D)48

? ?x ? ? (3)直线 l1 : x ? y ? 2 2 ? 0 与直线 l2 : ? ?y ? ? ?
离是 (A)1 (B) 2

2 t, 2 (t 为参数)的交点到原点 O 的距 2 t 2

(C)2

(D)2 2

(4)将函数 f ( x) ? log2 (2 x) 的图象向左平移 1 个单位长度,那么所得图象的函 数解析式为 (A) y ? log2 (2 x ? 1) (C) y ? log2 ( x ? 1) ? 1 (B) y ? log2 (2 x ? 1) (D) y ? log2 ( x ? 1) ? 1

(5)已知 y ? sin(? ? x) ? cos 2 x ,则 y 的最小值和最大值分别为
9 (A) ? , 2 8

(B)-2,

9 8

3 (C) ? , 2 4

(D)-2,

3 4

(6)设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面.则下列命题中正确 的是 (A)m⊥ ? ,n ? ? ,m⊥n ? ? ⊥ ? (B)? ⊥ ? , ? ∩ ? =m,n⊥m ? n⊥ ? (C) ? ⊥ ? ,m⊥ ? ,n∥ ? ? m⊥n (D) ? ∥ ? ,m⊥ ? ,n∥ ? ? m⊥n

(7)已知抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,过点 F 倾斜角为 60° 的直线 l 与抛物
线 C 在第一、四象限分别交于 A、B 两点,则

| AF | 的值等于 | BF |

(A)2

(B)3

(C)4

(D)5

(8)定义在 R 上的函数 f ( x ) 和 g ( x ) 的导函数分别为 f '( x) , g '( x) ,则下面结论 正确的是 ①若 f '( x ) ? g '( x ) ,则函数 f ( x ) 的图象在函数 g ( x ) 的图象上方; ②若函数 f '( x) 与 g '( x) 的图象关于直线 x ? a 对称,则函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图 象关于点( a ,0)对称; ③函数 f ( x) ? f (a ? x) ,则 f '( x) ? ? f '(a ? x) ; ④若 f '( x) 是增函数,则 f ( (A)①②
x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2 (B)①②③ (C)③④

(D)②③④

第二部分(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 ( 9 ) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn ? 3n ?1 , 那 么 该 数 列 的 通 项 公 式 为

an =_______.
(10)已知一个样本容量为 100 的样本 数据的频率分布直方图如图所示, 那么样本数据落在[40,60)内的样本 的频数为 ____ ;
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005

频率 组距

估计总体的众数为_________.

40

50

60

70

80

90

100

样本数据

(11)已知圆 C: (x+1)2+(y-3)2=9 上的两点 P,Q 关于直线 x+my+4=0 对称, 那么 m=_________. (12)将 6 位志愿者分配到甲、已、丙 3 个志愿者工作站,每个工作站 2 人,由 于志愿者特长不同,A 不能去甲工作站,B 只能去丙工作站,则不同的分

配方法共有__________种.
? x ? 0, y ? 0 ? (13)已知向量 a ? (1, ?2) , M 是平面区域 ? x ? y ? 1 ? 0 内的动点, O 是坐标原 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?

点,则 a ? OM 的最小值是

.

(14)数列 {an } 的首项为 1,其余各项为 1 或 2,且在第 k 个 1 和第 k ? 1 个 1 之间 有 2k ? 1 个 2,即数列 {an } 为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,…, 记数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S20 ? __ ; S2014 ___ .

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证 明过程。 (15) (本小题满分 13 分) 已 知 △ ABC 中 , ∠ A, ∠ B, ∠ C 的 对 边 长 分 别 为 a, b, c , 且

a 2 ? b2 ? ab ? 3 , C ? 60o .
(Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)求 a ? b 的取值范围. (16) (本小题满分 13 分) 某超市进行促销活动,规定消费者消费每满 100 元可抽奖一次.抽奖规则: 从装有三种只有颜色不同的球的袋中随机摸出一球,记下颜色后放回,依 颜色分为一、二、三等奖,一等奖奖金 15 元,二等奖奖金 10 元,三等奖 奖金 5 元.活动以来,中奖结果统计如图所示:

消费者甲购买了 238 元的商品,准备参加抽奖.以频率作为概率,解答下列 各题. (Ⅰ)求甲恰有一次获得一等奖的概率; (Ⅱ)求甲获得 20 元奖金的概率; (Ⅲ)记甲获得奖金金额为 X,求 X 的分布列及期望 EX. (17) (本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB= 2 ,∠BAD=90o,∠ BCD=45o, E 为对角线 BD 的中点.现将△ABD 沿 BD 折起到△PBD 的位 置, 使平面 PBD⊥平面 BCD,如图 2. (Ⅰ)求证直线 PE⊥平面 BCD; (Ⅱ)求异面直线 BD 和 PC 所成角的余弦值; (Ⅲ) 已知空间存在一点 Q 到点 P,B,C,D 的距离相等,写出这个距离的值 (不用说明理由).
A E E B 图1 C B 图2 C D P D

(18) (本小题满分 13 分)
1 已知函数 f ( x) ? xe x ? a( x 2 ? x) (e=2.718---). 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)求函数在区间[-1,1]上的最小值. (19) (本小题满分 13 分) 已知椭圆 E: 点. (Ⅰ)若直线 l 椭圆的左焦点,且 k=1,求△ABC 的面积; (Ⅱ)若 OA ? OB ,且直线 l 与圆 O: x 2 ? y 2 ? r 2 相切,求圆 O 的半径 r

x2 y2 ? ? 1 与直线 l : y ? kx ? m 交于 A,B 两点,O 为坐标原 8 4

的值. (20) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) 的定义域为 D, 若它的值域是 D 的子集, 则称 f ( x) 在 D 上封 闭. (Ⅰ)试判断 f ( x) ? 2x , g ( x) ? log2 x 是否在 ?1, ?? ? 上封闭; (Ⅱ)设 f1 ( x) ? f ( x) , f n ( x) ? f ( f n?1 ( x))(n ? N*, n ? 2) , 若 f n ( x) ( n ? N* ) 的定义域均为 D,求证: f n ( x) 在 D 上封闭的充分必要条件是 f1 ( x) 在 D 上 封闭; (Ⅲ)若 a ? 0 ,求证: h( x) ? 值域为 ?0, a ? 时 a 的值.
2 ? x sin x ? x cos x ? 在 ?0, a? 上封闭,并指出 2


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