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山东省临沂市兰山区2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


2014-2015 学年山东省临沂市兰山区高一(上)期中数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题的 4 个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1. (5 分)设 A={a},则下列各式中正确的是() A.0∈A B.a∈A C.a?A D.a=A 2. (5 分)下列函数中,与函数 A.f(x)=lnx B.
2

有相同定义域的是() C.f(x)=x
3

D.f(x)=e

x

3. (5 分)已知函数 f(x)=x +1,那么 f(a+1)的值为() 2 2 2 A.a +a+2 B.a +1 C.a +2a+2

D.a +2a+1

2

4. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是() 3 2 A.y=x B.y=|x|+1 C.y=﹣x +1 D.y= 5. (5 分)下列四组函数中,表示相等函数的一组是() A.f(x)=|x|, B. ,

C.

,g(x)=x+1

D.



6. (5 分)幂函数 y=x (α 是常数)的图象() A.一定经过点(0,0) B. 一定经过点(1,1) C. 一定经过点(﹣1,1) D.一定经过点(1,﹣1) 7. (5 分)已知 0<a<1,则在同一坐标系中,函数 y=a
﹣x

a

与 y=logax 的图象是()

A.
x

B.

C.

D.

8. (5 分)方程 2 =2﹣x 的根所在区间是() A.(﹣1,0) B.(2,3) C.(1,2) 9. (5 分)三个数 a=0.3 ,b=log20.3,c=2
2 0.3

D.(0,1)

之间的大小关系是()

A.a<c<b

B.a<b<c

C.b<a<c , a?b=

D.b<c<a , 则函数

10. (5 分) 定义两种运算: a⊕b= 为() A.奇函数 C. 奇函数且为偶函数

B. 偶函数 D.非奇函数且非偶函数

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,将答案填在题中横线上。 11. (5 分)函数 y=a
x﹣3

+1(a>0 且 a≠1)的图象必经过点.
2

12. (5 分)已知函数 f(x)=log0.5(﹣x +4x+5) ,则 f(3)与 f(4)的大小关系为.

13. (5 分)已知函数 f(x)=

的值为.

14. (5 分)已知 f(x)=(x+1)?|x﹣1|,若关于 x 的方程 f(x)=x+m 有三个不同的实数解, 则实数 m 的取值范围. 15. (5 分)设正△ ABC 边长为 2a,点 M 是边 AB 上自左至右的一个动点,过点 M 的直线 l 垂直与 AB,设 AM=x,△ ABC 内位于直线 l 左侧的阴影面积为 y,y 表示成 x 的函数表达式 为.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (12 分)已知集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|5﹣a<x<a}. (1)求 A∪B, (?RA)∩B; (2)若 C?(A∪B) ,求 a 的取值范围.

17. (12 分) (1)求值: (2)计算

﹣ .

+

+



18. (12 分)若关于 x 的二次函数 f(x)=﹣x +bx+c 对一切实数 x 都有:f(2+x)=f(2﹣x) 恒成立. (1)求实数 b 的值; (2)当 a∈R 时,判断 f( )与 f(﹣a ﹣a+1)的大小,并说明理由.
2

2

19. (12 分)设函数 f(x)=log3(9x)?log3(3x) ,且 ≤x≤9. (1)求 f(3)的值; (2)若令 t=log3x,求实数 t 的取值范围; (3)将 y=f(x)表示成以 t(t=log3x)为自变量的函数,并由此求函数 y=f(x)的最大值与 最小值及与之对应的 x 的值. 20. (13 分)某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.若 每辆车的月租金每增加 50 元,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 4000 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是多少? 21. (14 分)已知函数 f(x)=x+ . (1)判断函数 f(x)的奇偶性,并画出函数 f(x)的简图; (2)求出函数 f(x)的单调区间; (3)求函数 g(x)=x+ (x≥2)的最小值.

2014-2015 学年山东省临沂市兰山区高一(上)期中数学 试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题的 4 个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1. (5 分)设 A={a},则下列各式中正确的是() A.0∈A B.a∈A C.a?A D.a=A 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: 正确利用集合与元素的关系,恰当利用. 解答: 解:因为 A={a}, 所以 a 是集合 A 的元素,

用“∈”表示. 故选 B. 点评: 本题考查了元素与集合,集合与集合的关系,属于基础题. 2. (5 分)下列函数中,与函数 A.f(x)=lnx B. 有相同定义域的是() C.f(x)=x
3

D.f(x)=e

x

考点: 函数的定义域及其求法. 分析: 已知函数 解答: 解:∵函数 的定义域为 x>0,再对选项 A、B、C、D 进行一一验证; ,

∴x>0, A、∵f(x)=lnx,∴x>0,故 A 正确; B、∵
3

,∴x≠0,故 B 错误;

C、f(x)=x ,其定义域为 R,故 C 错误; x D、f(x)=e ,其定义域为 R,故 D 错误; 故选 A. 点评: 此题主要考查函数的定义域及其简单求法,此题是一道基础题. 3. (5 分)已知函数 f(x)=x +1,那么 f(a+1)的值为() 2 2 2 A.a +a+2 B.a +1 C.a +2a+2
2

D.a +2a+1

2

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 由已知得 f(a+1)=(a+1) +1,由此能求出结果. 2 解答: 解:∵函数 f(x)=x +1, 2 2 ∴f(a+1)=(a+1) +1=a +2a+2. 故选:C. 点评: 本题考查函数值的求法,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 4. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是() A.y=x
3

B.y=|x|+1

C.y=﹣x +1

2

D.y=

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 对于四个选项,首先从定义域判断是否关于原点对称,然后再利用定义判断 f(﹣x) 与 f(x)的关系. 解答: 解:对于选项 A 是奇函数; 对于选项 B,定义域是 R,并且 f(﹣x)=|﹣x|+1=|x|+1=f(x) ,是偶函数;并且在(0,+∞) 单调递增的函数;

对于选项 C,是偶函数,但是在(0,+∞)是单调递减的函数; 对于选项 D,定义域是[0,+∞) ,关于原点不对称,是非奇非偶的函数. 故选:B 点评: 本题考查了函数奇偶性的判定;①判断函数的定义域是否关于原点对称;②如果不 对称是非奇非偶的函数;如果对称,再利用定义判断 f(﹣x)与 f(x)的关系. 5. (5 分)下列四组函数中,表示相等函数的一组是() A.f(x)=|x|, B. ,

C.

,g(x)=x+1

D.



考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分别判断两个函数定义域和对应法则是否一致即可. 解答: 解:A.函数 g(x)= B.函数 f(x)= =|x|,两个函数的对应法则和定义域相同,是相等函数.

=|x|,g(x)=x,两个函数的对应法则和定义域不相同,不是相等函数.

C.函数 f(x)=x+1 的定义域为{x|x≠1},两个函数的定义域不相同,不是相等函数. D.由
2

,解得 x≥1,即函数 f(x)的定义域为{x|x≥1},

由 x ﹣1≥0,解得 x≥1 或 x≤﹣1,即 g(x)的定义域为{x|x≥1 或 x≤﹣1},两个函数的定义域不 相同,不是相等函数. 故选:A. 点评: 本题主要考查判断两个函数是否为相等函数,判断的标准是判断两个函数的定义域 和对应法则是否完全相同. 6. (5 分)幂函数 y=x (α 是常数)的图象() A.一定经过点(0,0) B. 一定经过点(1,1) C. 一定经过点(﹣1,1) D.一定经过点(1,﹣1) 考点: 幂函数的图像. 专题: 函数的性质及应用. α 分析: 利用幂函数的图象与性质及 1 =1 即可得出. α a 解答: 解:取 x=1,则 y=1 =1,因此幂函数 y=x (α 是常数)的图象一定经过(1,1)点. 故选 B. α 点评: 熟练掌握幂函数的图象与性质及 1 =1 是解题的关键. 7. (5 分)已知 0<a<1,则在同一坐标系中,函数 y=a
﹣x

a

与 y=logax 的图象是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 数形结合;函数的性质及应用. 分析: 已知 0<a<1,讨论函数 y=a 即可得到答案.
﹣x ﹣x

与 y=logax 单调性,再和题目中的四个图象进行比照,

解答: 解:当 0<a<1 时,y=a 为增函数,y=logax 为减函数,此时 C 图象符合要求. 故选:C. 点评: 本题考查的知识是对数函数的图象与性质,指数函数的图象与性质,熟练掌握底数 与指数(对数)函数单调性的关系是解答本题的关键,属于基础题. 8. (5 分)方程 2 =2﹣x 的根所在区间是() A.(﹣1,0) B.(2,3) C.(1,2)
x

D.(0,1)

考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数零点的判定定理即可判断出. x 解答: 解:令 f(x)=2 +x﹣2,则 f(0)=1﹣2=﹣1<0,f(1)=2+1﹣2=1>0,∴f(0)f (1)<0, ∴函数 f(x)在区间(0,1)上必有零点,① 又∵2 >0, ln2>0, ∴f( ′ x) =2 ln2+1>0, ∴函数 f (x) 在 R 上单调递增, 至多有一个零点. ② x 综上①②可知:函数 f(x)=2 +x﹣2 在 R 有且只有一个零点 x0,且 x0∈(0,1) . x 即方程 2 =2﹣x 的根所在区间是(0,1) . 故选 D. 点评: 熟练掌握函数零点的判定定理是解题的关键. 9. (5 分)三个数 a=0.3 ,b=log20.3,c=2 A.a<c<b B.a<b<c 考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 计算题. 分析: 将 a=0.3 ,c=2 分别抽象为指数函数 y=0.3 ,y=2 之间所对应的函数值,利用它们 的图象和性质比较,将 b=log20.3,抽象为对数函数 y=log2x,利用其图象可知小于零.最后三 者得到结论. 解答: 解:由对数函数的性质可知:b=log20.3<0, 由指数函数的性质可知:0<a<1,c>1 ∴b<a<c 故选 C 点评: 本题主要通过数的比较,来考查指数函数,对数函数的图象和性质.
2 0.3 x x 2 0.3 x x

之间的大小关系是() C.b<a<c D.b<c<a

10. (5 分) 定义两种运算: a⊕b= 为() A.奇函数 C. 奇函数且为偶函数

, a?b=

, 则函数

B. 偶函数 D.非奇函数且非偶函数

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 压轴题;新定义. 分析: 先利用新定义把 f(x)的表达式找出来,在利用函数的定义域把函数化简,最后看 f (x)与 f(﹣x)的关系得结论. 解答: 解:有定义知 f(x)=
2

=



由 4﹣x ≥0 且|x﹣2|﹣2≠0,得﹣2≤x<0 或 0<x≤2, 即函数 f(x)的定义域为{x|﹣2≤x<0 或 0<x≤2},关于原点对称; f(﹣x)= = =﹣ =﹣f(x) ,

故 f(x)是奇函数. 故选:A. 点评: 本题是对函数新定义与奇偶性的综合考查,关于新定义的题,关键在于理解新定义, 并会用新定义解题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,将答案填在题中横线上。 11. (5 分)函数 y=a
x﹣3

+1(a>0 且 a≠1)的图象必经过点(3,2) .

考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 0 分析: 根据 a =1 求解函数过定点. x﹣3 0 解答: 解:∵函数 y=a +1(a>0 且 a≠1) ,a =1 3﹣3 ∴a +1=2, ∴f(3)=2 ∴函数 y=a +1(a>0 且 a≠1)的图象必经过点(3,2) 故答案为: (3,2) 点评: 本题考查了指数函数的性质,属于容易题. 12. (5 分)已知函数 f(x)=log0.5(﹣x +4x+5) ,则 f(3)与 f(4)的大小关系为 f(3)<f (4) . 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数 f(x)=log0.5x 在 R 上单调递减即可得出. 解答: 解:∵函数 f(x)=log0.5x 在 R 上单调递减, f(3)=log0.58,f(4)=log0.55,
2 x﹣3

∴f(3)<f(4) . 故答案为:f(3)<f(4) . 点评: 本题考查了对数函数的单调性,属于基础题.

13. (5 分)已知函数 f(x)=

的值为 .

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 首先求出 f( )=﹣2,再求出 f(﹣2)的值即可. 解答: 解:∵ >0 ∴f( )=log3 =﹣2 ∵﹣2<0 ∴f(﹣2)=2 = 故答案为 . 点评: 本题考查了对数的运算性质,以及分段函数求值问题,分段函数要注意定义域,属 于基础题. 14. (5 分)已知 f(x)=(x+1)?|x﹣1|,若关于 x 的方程 f(x)=x+m 有三个不同的实数解, 则实数 m 的取值范围 .
﹣2

考点: 带绝对值的函数;根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题. 分析: 通过对 x﹣1≥0 与 x<0 的讨论,去掉 f(x)=(x+1)?|x﹣1|的绝对值符号,并作出 其图象,数形结合即可解决. 解答: 解:由 f(x)=(x+1)|x﹣1|= 得函数 y=f(x)的图象(如图) . 由 得 x +x+m﹣1=0,
2

∴△=1﹣4(m﹣1)=5﹣4m, 由△ =0,得 m= , ∴由其图象可知 f(x)=x+m 有三个不同的实数解,就是直线 y=x+m 与抛物线

f(x)=

有三个交点,由图可知﹣1<m< ,

∴实数 m 的取值范围是﹣1<m< . 故答案为:﹣1<m< .

点评: 本题考查带绝对值的函数,难点在于作 f(x)=(x+1)?|x﹣1|与 y=x+m 的图象,突 出转化思想与数形结合思想的考查,属于中档题. 15. (5 分)设正△ ABC 边长为 2a,点 M 是边 AB 上自左至右的一个动点,过点 M 的直线 l 垂直与 AB,设 AM=x,△ ABC 内位于直线 l 左侧的阴影面积为 y,y 表示成 x 的函数表达式





考点: 分段函数的应用. 分析: 由于△ ABC 位于直线 x=l 左侧的图形的形状在 x 取不同值时,形状不同,故可以分 当 0<x≤1 时 (此时满足条件的图形为三角形) 和当 1<x≤2 时 (此时满足条件的图形为四边形) 二种情况进行分类讨论,最后综合讨论结果,即可得到函数 f(x)的表达式. 解答: 解:当直线 l 平移过程中,分过 AB 中点前、后两段建立 y 与 x 的函数表达式. (1)当 0<x≤a 时, 此时满足条件图形为以 x 为底,以 x 为高的三角形 y= x? x= x;
2

(2)当 a<x≤2a 时,此时满足条件图形为△ OAB 减一个以(2a﹣x)为底,以 为高的三角形所得的四边形 y= ?2a? a﹣ (2a﹣x)? (2a﹣x)=﹣ x +2
2

(2a﹣x)

ax﹣

a.

2

所以,

点评: 本题考查的知识点是分段函数的求法,其中根据已知中的图形,合理的设置分类标 准是解答本题的关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (12 分)已知集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|5﹣a<x<a}. (1)求 A∪B, (?RA)∩B; (2)若 C?(A∪B) ,求 a 的取值范围. 考点: 子集与交集、并集运算的转换. 专题: 计算题;数形结合;分类讨论. 分析: (1)把集合 A 和 B 用数轴表示出来,由图和运算定义求出并集、补集和交集; (2)因集合 C 含有参数故需要考虑 C=?和 C≠?两种情况,再由子集的定义求出 a 的范围,最 后要把结果并在一起. 解答: 解: (1)由题意用数轴表示集合 A 和 B 如图:

由图得,A∪B={x|2<x<10},?RA={x|x<3 或 x≥7}, ∴(?RA)∩B={x|2<x<3 或 7≤x<10}(6 分) (2)由(1)知 A∪B={x|2<x<10}, ①当 C=?时,满足 C?(A∪B) ,此时 5﹣a≥a,得 ; (8 分)

②当 C≠?时,要 C?(A∪B) ,则

,解得

; (12 分)

由①②得,a≤3. 点评: 本题考查了集合的混合运算和子集的定义应用,对于集合含有参数一定注意集合为 空集时,故需要进行分类求解,当集合用不等式表示时,借助于数轴来求交集、并集和补集, 更直观、准确,考查了数形结合和分类讨论思想.

17. (12 分) (1)求值: (2)计算

﹣ .

+

+



考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用指数幂的运算法则即可得出; (2)利用对数的运算法则即可得出. 解答: 解: (1)原式= = ﹣1+2+ =4. ﹣1+ +

(2)原式=

=

= .

点评: 本题考查了指数幂与对数的运算法则,属于基础题. 18. (12 分)若关于 x 的二次函数 f(x)=﹣x +bx+c 对一切实数 x 都有:f(2+x)=f(2﹣x) 恒成立. (1)求实数 b 的值; (2)当 a∈R 时,判断 f( )与 f(﹣a ﹣a+1)的大小,并说明理由.
2 2

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 由题意求得函数 f(x)在(﹣∞,2)上是减函数,再根据﹣a ﹣a+1=﹣ ,可得 f( )<f(﹣a ﹣a+1) . 解答: 解: (1)关于 x 的二次函数 f(x)=﹣x +bx+c 对一切实数 x 都有:f(2+x)=f(2﹣ x)恒成立, 故二次函数的对称轴方程为 x=2= , ∴b=4, 2 (2)由(1)知 f(x)=﹣x +4x+c,显然函数在(﹣∞,2)上是减函数. 由于﹣a ﹣a+1═﹣ ∴f( )<f(﹣a ﹣a+1) . 点评: 本题主要考查二次函数的性质的应用,属于基础题.
2 2 2 2



19. (12 分)设函数 f(x)=log3(9x)?log3(3x) ,且 ≤x≤9. (1)求 f(3)的值; (2)若令 t=log3x,求实数 t 的取值范围; (3)将 y=f(x)表示成以 t(t=log3x)为自变量的函数,并由此求函数 y=f(x)的最大值与 最小值及与之对应的 x 的值.

考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)根据解析式求解, (2)根据对数函数的单调性求解. (3)转化二次函数求解, 2 g(t)=t +3t+2,﹣2≤t≤2, 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=log3(9x)?log3(3x) ,且 ≤x≤9. ∴f(3)=log3(9×3)?log3(3×3)=3×2=6, (2)令 t=log3x, ∵f(x)=log3(9x)?log3(3x) ,且 ≤x≤9. ∴ ≤t(x)≤log39,

∴实数 t 的取值范围:﹣2≤t≤2, 2 (3)g(t)=t +3t+2,﹣2≤t≤2, 对称轴 t=﹣ ,根据二次函数的性质可得: g( )= ﹣ , ,x= ,

g(2)=12,log3x=2,x=9 故函数 y=f(x)的最大值 12,x=9,最小值 ,x= ,

点评: 本题考查了二次函数的性质,对数函数的性质,属于中档题. 20. (13 分)某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.若 每辆车的月租金每增加 50 元,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 4000 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是多少? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由题意,每辆车的月租金每增加 50 元,未租出的车将会增加一辆,则租出的 车有 100﹣ 辆;

(2)设当每辆车的月租金定为 x(x≥3000)元时,租赁公司的月收益为 y 元,得出函数表达 式,由配方法求最大值. 解答: 解: (1)当每辆车的月租金定为 4000 元时, 能租出的车有:100﹣ =80 辆;

(2)设当每辆车的月租金定为 x(x≥3000)元时,租赁公司的月收益为 y 元,则 y=x(100﹣ )﹣150×(100﹣ )﹣50×

=﹣

(x﹣4050) +

2



则当月租金为 4050 元时,租赁公司的月收益最大, 最大月收益是 =307050 元.

点评: 本题考查了实际问题转化为数学问题的能力,属于中档题.

21. (14 分)已知函数 f(x)=x+ . (1)判断函数 f(x)的奇偶性,并画出函数 f(x)的简图; (2)求出函数 f(x)的单调区间; (3)求函数 g(x)=x+ (x≥2)的最小值.

考点: 函数奇偶性的判断;函数的单调性及单调区间;函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数奇偶性的定义即可判断 f(x)为奇函数,然后通过 x 取几个值,并求 出对应的 f(x)值,通过描点、连线画出 f(x)在(0,+∞)的简图,再根据 f(x)图象根 据原点对称,画出它在(﹣∞,0)的图象; (2)通过函数 f(x)图象即可得到 f(x)的单调区间; (3)令 y=g(x) ,x+1=t,t≥3,原函数变成 y=t+ ,根据(2)判断函数 t+ 在[3,+∞) 的最小值,即求出 g(x)

的单调性,根据单调性即可求出该函数的最小值,从而求出 t+ 的最小值.

解答: 解: (1)函数 f(x)的定义域为{x|x≠0},f(﹣x)=﹣x﹣ =﹣(x+ )=﹣f(x) ; ∴函数 f(x)是奇函数,则 f(x)的图象关于原点对称; x= 时,对应的 f(x)= ,通过描点连线即可画出 f(x)

在(0,+∞)上的图象,并根据 f(x)图象关于原点对称,作出 f(x)在(﹣∞,0)的图象, 如下图所示: (2)由图象可看出 f(x)的单调增区间为: (﹣∞,﹣1) , (1,+∞) ,单调减区间为: (0,1], [﹣1,0) ; (3)令 y=g(x) ,x+1=t,t≥3,则: y= ∴ ,由(2)知 取最小值 ; 在[3,+∞)上单调递增,所以 t=3 时, 取最小值 ;

∴g(x)的最小值为 .

点评: 考查奇函数的定义,画函数简图的方法,根据图象找函数的单调区间,以及根据函 数单调性求函数的最值.


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山东省临沂市兰山区2014-2015学年高一物理上学期期中试题
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山东省潍坊市2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Wor...
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山东省临沂市兰山区2014-2015学年高二数学上学期期中试题
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山东省临沂市兰山区2014-2015学年高一化学上学期期中试题
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