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【创新设计】2015高考数学(苏教理)一轮题组训练:15-1几何证明选讲]


第1讲

几何证明选讲

1. (2014· 常州市期末考试)如图,圆 O 是△ABC 的外接圆,延长 BC 边上的高 AD 交圆 O 于点 E,H 为△ABC 的垂心.求证:DH=DE.

证明

连结 CE,CH.因为 H 为△ABC 的垂心,所以∠ECD=∠BAD=90° -

/>∠ABC, ∠HCD=90° -∠ABC,所以∠ECD=∠HCD. 又因为 CD⊥HE,CD 为公共边, 所以△HDC≌△EDC,所以 DH=DE. 2. (2013· 常州一中期中)如图,从圆 O 外一点 P 作圆 O 的两条切线,切点分别为 A、B,AB 与 OP 交于点 M,设 CD 为过点 M 且不过圆心 O 的一条弦,求证: O、C、P、D 四点共圆.

证明

∵PA、PB 为圆 O 的两条切线,

∴OP 垂直平分弦 AB,∴AM=BM. 在 Rt△OAP 中,OM· MP=AM2, 在圆 O 中,AM· BM=CM· DM, ∴OM· MP=CM· DM, 又弦 CD 不过圆心 O, ∴O、C、P、D 四点共圆.

3. (2012· 镇江调研)如图,△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E.

(1)证明:△ABE∽△ADC; 1 (2)若△ABC 的面积 S=2AD· AE, 求∠BAC 的大小. (1)证明 由已知条件,可得∠BAE=∠CAD.

因为∠AEB 与∠ACB 是同弧所对的圆周角, 所以∠AEB=∠ACD.故△ABE∽△ADC. (2)解 AB AD 因为△ABE∽△ADC,所以AE= AC,

即 AB· AC=AD· AE. 1 1 又 S=2AB· ACsin∠BAC,且 S=2AD· AE, 故 AB· ACsin∠BAC=AD· AE,则 sin∠BAC=1. 又∠BAC 为△ABC 的内角,所以∠BAC=90° . 4. (2011· 江苏卷)如图,圆 O1 与 O2 内切于点 A,其半径分别为 r1 与 r2(r1>r2).圆 O1 的弦 AB 交圆 O2 于点 C(O1 不在 AB 上).

求证:AB∶AC 为定值. 证明 如图,连接 AO1,并延长分别交两圆于点 E 和点 D,连接 BD、CE.

∵圆 O1 与圆 O2 内切于点 A,

∴点 O2 在 AD 上,故 AD、AE 分别为圆 O1,圆 O2 的直径. 从而∠ABD=∠ACE=90° . AB AD 2r1 r1 ∴BD∥CE,于是AC= AE =2r =r ,
2 2

∴AB∶AC 为定值. 5. 如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90° ,CD⊥AB 于 D,E 是 AC 的中点, ED 的延长线与 CB 的延长线交于点 F.

求证:FD2=FB· FC. 证明 ∵E 是 Rt△ACD 斜边 AC 的中点,

∴DE=EA,∴∠A=∠2. 又∵∠1=∠2,∴∠1=∠A. ∵∠FDC=∠CDB+∠1=90° +∠1, ∠FBD=∠ACB+∠A=90° +∠A,∴∠FDC=∠FBD. FB FD 又∵∠F 是公共角,∴△FBD∽△FDC,∴FD=FC , ∴FD2=FB· FC. 6. (2012· 苏州市调研(一))如图,在△ABC 中,CM 是∠ACB 的平分线,△AMC 的 1 外接圆 O 交 BC 于点 N.若 AC=2AB,求证:BN=2AM.

证明

连结 MN.因为 CM 是∠ACB 的平分线,

所以∠ACM=∠NCM,所以 AM=MN. 因为∠B=∠B,∠BMN=∠A, BN AB 所以△BMN∽△BCA,所以MN=AC=2, 即 BN=2MN=2AM. 7. 如图,梯形 ABCD 内接于⊙O,AD∥BC,过点 C 作⊙O 的切线,交 BD 的延 长线于点 P,交 AD 的延长线于点 E.

(1)求证:AB2=DE· BC; (2)若 BD=9,AB=6,BC=9,求切线 PC 的长. (1)证明 ∵AD∥BC,∴ .∴AB=CD,

∠EDC=∠BCD.又 PC 与⊙O 相切,∴∠ECD=∠DBC. DC DE ∴△CDE∽△BCD.∴ BC =DC. ∴CD2=DE· BC,即 AB2=DE· BC. (2)解 AB2 62 由(1)知,DE= BC = 9 =4,

∵AD∥BC,∴△PDE∽△PBC, PD DE 4 36 81 ∴ PB =BC =9.又∵PB-PD=9,∴PD= 5 ,PB= 5 . 36 81 542 54 ∴PC =PD· PB= 5 · 5 = 52 .∴PC= 5 .
2

8. 如图所示,已知⊙O1 和⊙O2 相交于 A,B 两点,过 A 点作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C,过点 B 作两圆的割线,分别交⊙O1,⊙O2 于点 D,E,DE 与 AC 相 交于点 P.

(1)求证:AD∥EC; (2)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长. (1)证明 连接 AB,如图所示

∵AC 是⊙O1 的切线, ∴∠BAC=∠D. 又∵∠BAC=∠E, ∴∠D=∠E.∴AD∥EC. (2)解 设 BP=x,PE=y,∵PA=6,PC=2,

∴xy=12.① ∵根据(1),可得△ADP∽△CEP, 9+x 6 DP AP ∴ EP =CP,即 y =2,② ?x=3, ?x=-12, 由①②,可得? 或? (负值舍去), ?y=4 ?y=-1 ∴DE=9+x+y=16.∵AD 是⊙O2 的切线, ∴AD2=DB· DE=9×16.∴AD=12. 9. (2014· 泰州调研一)已知 AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线,交 BC 的延长线 于点 D,延长 DA 交△ABC 的外接圆于点 F,连接 FB、FC.

(1)求证:FB=FC; (2)若 AB 是△ABC 外接圆的直径,∠EAC=120° ,BC=3 3,求 AD 的长. (1)证明 ∵AD 平分∠EAC,

∴∠EAD=∠DAC. ∵四边形 AFBC 内接于圆, ∴∠DAC=∠FBC. ∵∠EAD=∠FAB=∠FCB, ∴∠FBC=∠FCB,∴FB=FC. (2)解 ∵AB 是圆的直径,∴∠ACD=90° .

1 ∵∠EAC=120° ,∠DAC=2∠EAC=60° ,∠D=30° . 在 Rt△ACB 中,∵BC=3 3,∠BAC=60° ,∴AC=3, 又在 Rt△ACD 中,∠D=30° ,AC=3,∴AD=6. 10. (2013· 宿迁联考)如图,⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC,M 为 AO 上一点,BM 的延长线交⊙O 于 N,过点 N 的切线交 CA 的延长线于 P.

(1)求证:PM2=PA· PC; (2)若⊙O 的半径为 2 3,OA= 3OM,求 MN 的长. (1)证明 连结 ON.因为 PN 切⊙O 于 N,

所以∠ONP=90° . 所以∠ONB+∠BNP=90° . 因为 OB=ON,所以∠OBN=∠ONB. 因为 BO⊥AC 于 O,所以∠OBN+∠BMO=90° . 所以∠BNP=∠BMO=∠PMN.所以 PM=PN. 所以 PM2=PN2=PA· PC. (2)解 OM=2,BO=2 3,BM=4.

因为 BM· MN=CM· MA=(2 3+2)(2 3-2)=8,

所以 MN=2. 11. (2013· 新课标全国Ⅰ卷)如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上, ∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于点 D.

(1)证明:DB=DC; (2)设圆的半径为 1,BC= 3,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半 径. (1)证明 如图,连接 DE,交 BC 于点 G.

由弦切角定理,得∠ABE=∠BCE, 而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,所以 BE=CE. 又因为 DB⊥BE,所以 DE 为圆的直径,∠DCE=90° . 由勾股定理可得 DB=DC. (2)解 由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,

3 故 DG 是 BC 边的中垂线,所以 BG= 2 . 设 DE 的中点为 O,连接 BO,则∠BOG=60° ,从而∠ABE=∠BCE=∠CBE =30° , 3 所以 CF⊥BF,故 Rt△BCF 外接圆的半径为 2 . 12. (2013· 南京模拟)如图, 设 AB 为⊙O 的任一条不与直线 l 垂直的直径,点 P 是 ⊙O 与 l 的公共点,AC⊥l,BD⊥l,垂足分别为 C、D,且 PC=PD,求证:

(1)l 是⊙O 的切线; (2)PB 平分∠ABD. 证明 如图(1)连结 OP,

因为 AC⊥l,BD⊥l,所以 AC∥BD. 又 OA=OB,PC=PD, 所以 OP∥BD.从而 OP⊥l. 因为点 P 在⊙O 上,所以 l 是⊙O 的切线. (2)连结 AP,因为 l 是⊙O 的切线, 所以∠BPD=∠BAP. 又∠BPD+∠PBD=90° ,∠BAP+∠PBA=90° , 所以∠PBA=∠PBD,即 PB 平分∠ABD.


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