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2014高考数学查缺补漏集中营 导数的简单应用及定积分


2014 高考数学查缺补漏集中营:

导数的简单应用及定积分

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.已知函数 f(x)=ax2+3x-2 在点(2,f(2))处的切线斜率为 7,则实数 a 的值为 ( ). A.-1 B.1 C.±1 D.-2

2. ( A. ).

(x-sin x)

dx 等于

π2 π2 π2 π2 -1 B. -1 C. D. +1 4 8 8 8

3.函数 f(x)=x2-2ln x 的单调递减区间是 ( ). A.(0,1] B.[1,+∞) C.(-∞,-1]∪(0,1] D.[-1,0)∪(0,1] 4.函数 f(x)=ex+e-x(e 为自然对数的底数)在(0,+∞)上( ). A.有极大值 B.有极小值 C.是增函数 D.是减函数 5.已知函数 f(x)=-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值,若 m,n∈[-1,1],则 f(m)+f′(n) 的最小值是 ( ). A.-13 B.-15 C.10 D.15 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.已知函数 f(x)=xex,则 f′(x)=________;函数 f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方 程为________. x2,x∈[0,1] ? ? 7.设 f(x)=?1 ,x∈?1,e] ? ?x

(e 为自然对数的底数),则?ef(x)dx 的值为________. ?0

1 8.函数 f(x)= x3-x2-3x-1 的图象与 x 轴的交点个数是________. 3 三、解答题(本题共 3 小题,共 35 分) 9.(11 分)设 f(x)=x3+ax2+bx+1 的导数 f′(x)满足 f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中常 数 a,b∈R. (1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)设 g(x)=f′(x)e-x,求函数 g(x)的极值. a 10.(12 分)已知函数 f(x)=ln x- . x (1)当 a>0 时,判断 f(x)在定义域上的单调性; 3 (2)若 f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求 a 的值. 2 11.(12 分)已知函数 f(x)=(a+1)ln x+ax2+1. (1)讨论函数 f(x)的单调性;

-1-

(2)设 a≤-2,证明:对任意 x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.

-2-

参考答案 1.B [因为 f′(x)=2ax+3,所以由题意得 2a×2+3=7,解得 a=1.故选 B.]

2.B 选 B.]

[

?1 (x-sin x)dx=? x2+cos ?2

x? ?

?

π π2 ?π ? ×? ?2+cos -cos 0= -1,故 2 8 ?2?

2 2?x2-1? 3.A [函数 f(x)的定义域为(0,+∞),∵f′(x)=2x- = ,由 f′(x)≤0,得 x x 0<x≤1.] 4.C [依题意知,当 x>0 时,f′ (x)=ex-e-x>e0-e0=0,因此 f(x)在(0,+∞)上是 增函数,选 C.] 5.A [求导得 f′(x)=-3x2+2ax,由 f(x)在 x=2 处取得极值知 f′(2)=0,即-3×4+ 2a×2=0,∴a=3.由此可得 f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x.由此可得 f(x)在(- 1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,∴当 m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.又 f′(x) =-3x2+6x 的图象开口向下,且对称轴为 x=1,∴当 n∈[-1,1]时,f′(n)min=f′(-1) =-9.于是,f(m)+f′(n)的最小值为-13.故选 A.] 6.解析 依题意得 f′(x)=1·ex+x·ex=(1+x)ex;f′(0)=(1+0)e0=1,f(0)=0·e0 =0,因此函数 f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程是 y-0=x-0,即 y=x. 答案 (1+x)ex y=x 1 7.解析 依题意得,?ef(x)dx=?1x2dx+?e dx ?0 ?0 ?1x 1 ? ? 4 x3?1 0+ln x?1 e= . 3 ? ? 3 4 3



答案

8.解析 f′(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3),函数在(-∞,-1)和(3,+∞)上是增函数, 2 在(-1,3)上是减函数,由 f(x)极小值=f(3)=-10<0,f(x)极大值=f(-1)= >0 知函数 3 f(x)的图象与 x 轴的交点个数为 3. 答案 3 9.解 (1)因 f(x)=x3+ax2+bx+1,故 f′(x)=3x2+2ax+b. 令 x=1,得 f′(1)=3+2a+b,由已知 f′(1)=2a,因此 3+2a+b=2a,解得 b=-3.又令 3 x=2,得 f′(2)=12+4a+b,由已知 f′(2)=-b,因此 12+4a+b=-b,解得 a=- . 2 3 5 因此 f(x)=x3- x2-3x+1,从而 f(1)=- . 2 2

? 3? ? 5? 又因为 f′(1)=2×?- ?=-3,故曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-?- ?= ? 2? ? 2?
-3(x-1),即 6x+2y-1=0. (2)由(1)知 g(x)=(3x2-3x-3)e-x, 从而有 g′(x)=(-3x2+9x)e-x. 令 g′(x)=0,得-3x2+9x=0,解得 x1=0,x2=3,

-3-

当 x∈(-∞,0)时,g′(x)<0,故 g(x)在(-∞,0)上为减函数;当 x∈(0,3)时,g′(x) >0,故 g(x)在(0,3)上为增函数; 当 x∈(3,+∞)时,g′ (x)<0,故 g(x)在(3,+∞)上为减函数;从而函数 g(x)在 x1=0 处取得极小值 g(0)=-3,在 x2=3 处取得极大值 g(3)=15e-3. 10.解 (1)由题知 f(x)定义域为(0,+∞), 1 a x+a 且 f′(x)= + = . x x2 x2 ∵a>0,∴f′(x)>0, 故 f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数. x+a (2)由(1)知:f′(x)= . x2 ①若 a≥-1,则 x+a≥0, 即 f′(x)≥0 在[1,e]上恒成立, 此时 f(x)在[1,e]上为增函数, 3 ∴f(x)min=f(1)=-a= , 2 3 ∴a=- (舍去). 2 ②若 a≤-e,则 x+a≤0,即 f′(x)≤0 在[1,e]上恒成立, 此时 f(x)在[1,e]上为减函数, a 3 e ∴f(x)min=f(e)=1- = ?a=- (舍去). e 2 2 ③若-e<a<-1,令 f′(x)=0,得 x=-a, 当 1<x<-a 时,f′(x)<0, ∴f(x)在(1,-a)上为减函数; 当-a<x<e 时,f′(x)>0, ∴f(x)在(-a,e)上为增函数. 3 ∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1= ?a=- e. 2 综上可知,a=- e. 11.(1)解 由题知 f(x)的定义域为(0,+∞), a+1 2ax2+a+1 f′(x)= +2ax= . x x 当 a≥0 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上单调增加; 当 a≤-1 时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,+∞)上单调减少; 当-1<a<0 时,令 f′(x)=0,解得 x= 则当 x∈?0, x∈? a+1 - . 2a

? ?



a+1? ?时,f′(x)>0; 2a ?

? ?



a+1 ? ,+∞?时,f′(x)<0. 2a ? - a+1? ?上单调增加, 2a ?

故 f(x)在?0,

? ?

-4-

在?

? ?



a+1 ? ,+∞?上单调减少. 2a ?

(2)证明 不妨假设 x1≥x2. 由(1)知当 a≤-2 时,f(x)在(0,+∞)上单调减少, 所以|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等价于 f(x2)-f(x1)≥4x1-4x2,即 f(x2)+4x2≥f(x1)+ 4x1. a+1 2ax2+4x+a+1 令 g(x)=f(x)+4x,则 g′(x)= +2ax+4= . x x -4x2+4x-1 -?2x-1?2 于是 g′(x)≤ = ≤0. x x 从而 g(x)在(0,+∞)上单调减少,故 g(x1)≤g(x2), 即 f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2, 故对任意 x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.

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