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有杆抽油系统的数学建模及诊断


第43卷第15期 2013年8月

数学的实践与认识
MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY

V01.43,No.15 Aug.,2013

有杆抽油系统的数学建模及诊断
杨鲤铭?,朱种?,王星?,文杰2
(1.南京航空航天大学航空宇航学院,江苏南京21001

6)
(2.南京航空航天大学理学院,江苏南京210016)

摘要:基于经典的Gibbs模型,可以将悬点示功图转化为井下泵功图.然而,由于 Gibbs模型在模型建立时忽略了抽油杆重力和浮力的影响,并将其作为集中力直接 作用于悬点处,导致变形的计算不准确,并最终影响泵功图的计算精度.鉴于此,通 过微元分析法,考虑抽油杆的重力和浮力后,重新建立了相应的抽油系统模型,并给 出了相应的解法.同时根据获得的泵功图,还建立了油井产量计算模型和泵故障分
析诊断模型来对泵功图进行详细的研究. 关键词:有杆抽油系统;Gibbs模型;有效冲程法;面积法;灰色理论与网格法

目前,原油开采广泛使用的是有杆抽油系统.通过将电机旋转运动转化为抽油杆上下往 返的周期运动,并带动连接在杆下端的泵的两个阀相继开闭,从而将地下上千米深处蕴藏的
原油抽到地面上来.

抽油杆上端点称为悬点,下端点与泵相连接.在泵的一个冲程内,测量仪器以固定的时间 间隔测得悬点处的一系列位移数据和荷载数据,并据此建立悬点示功图.通过悬点示功图可 以初步诊断该井的工作状况,如产液量、气体影响、阀门漏液、沙堵等等.然而,要精确诊断 油井的工作状况,最好是采用泵功图.由于泵在地下深处,使用仪器测试其示功数据实现困难 大、成本高.因此,借助于动力学建模仿真,把悬点示功图转化为抽油杆上任意点的示功图并 最终确定泵功图,以准确诊断油井的工作状况是非常有意义的.


Gibbs模型
Gibbs模型是将悬挂在悬点下的细长抽油杆的振动视为一个由悬点上下往复运动引起的

受迫振动模型[1-2】.该模型中忽略了杆重,浮力和杆弯曲等参数的影响,最终的模型方程为 齐次的波动方程,即
02u 202u Ou

丽●矿孬一c瓦

【1J



式中,n为应力波在抽油杆柱中的传播速度,o= ̄/面7万,E为抽油杆柱的杨氏模量,如为抽
油杆柱的密度,c为阻尼系数.由于测试数据所给悬点载荷L(t)中包含了抽油杆的重力wj 和抽油杆在油水混合液中所受的浮力F0,所以在应用Gibbs模型计算泵载荷时,实际的悬点
收稿日期:2013-05.01 资助项目:基本科研业务费(NS2012118)

万方数据

数学的实践穹认识 载荷应为

43卷

D(t)=L(t)一%+Fo 抽油杆的重力%可以写为


(2)

%=pgAL
假设抽油杆全部沉没于混合液中,则抽油杆在混合液中所受的浮力FD可以写为
FD=ptAL

(3)

(4)

式中,肌为混合液密度,表示为Pt=Po(1一厶)+阢凡,其中九为含水率,P。为水的密度,P。 为油的密度.A为抽油杆横截面积,L为抽油杆长度. Gibbs波动方程可以采用分离变量法求解.其边界条件是将悬点位移U(t)和悬点载荷 D(t)展开成如下Fourier级数

u(t)=了vo+∑(v.cos(nwt)+(In sin(nwt)) D@)=可ao+E(靠c。8(佗伽£)+%sin(nwt))
和时间函数T(t)的乘积,即乱(z,t)=X(。)T(t),并将其带入方程(1)有
.。j E‘

(5) (6)

式中,Fourier系数可以利用三角函数的正交性求得.将位移函数u(茁,t)分离为坐标函数X(z)

端a2T寸端aT t=裂X叫:
(亡)! () (。) 让(z,t)=Rek(27,t)]

nn

(7)



求解上式,可得方程(1)的一般解为

.z(≥,t)=0/27+毒(+∑(妒osi9(入。z)+‰cI∞(A。27))e‘n伽。
方程缸)的物理解应为‘,(8)式的实部,即

(8)

(9)

任意时刻z截面处杆的载荷可采用胡克定律计算,表示为

脚)=鼬[EA掣]

(10)

代入(5)式和(6)式的边界条件可求Gibbs方程的解析解为

u(z,t)=南z+百vo+∑(on(z)c。s(删)+R(z)sin(删))
F(x,t)=百Oro+EA

(11) (12)

E(o二(z)c。s(nwt)+群(x)sin(nwt))

计算泵功图时,还需要确定方程中粘滞阻尼系数c.张琪譬人【3】提出了用摩擦功确立粘
滞阻尼系数的方法如下

c=筹{而1+瓦1(B,+1)[B,+丽瓣2

cos(wL/a)]}

(?3)

式中,m=DI/D,,B1=(m2—1)/2Inm一1,B2=m4—1一(m2—1)。lnm.其中,Dt和D,
分别为泵径和抽油杆直径,“为液体粘度. 万方数据

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在油田的实际生产过程中,一般采用多级杆,所以对抽油杆柱的动载荷需要分级计算,逐 级消除抽油杆柱动载荷.首先计算第一级杆柱末端载荷与位移,然后以第一级杆柱末端为第 二级杆柱初始及边界条件,划分第二级抽油杆,再计算其末端载荷与位移.以此类推,直至求 出最后一级杆柱末端的载荷与位移,得出最终的泵功图.

2改进模型
井下示功图直接反应了泵的工作状态,泵功图的求解不仅有利于对泵况进行准确的分析 及故障判断,还可以求出泵的有效排量,从而准确的求出油井产液量.因此,准确进行井下示 功图的转换非常重要.Gibbs模型建立时,忽略了微元的重力和浮力,从而获得简单的齐次波 动方程.然而在实际计算中,由于抽油杆重力和浮力的影响必须考虑,Gibbs模型只能将抽油 杆的重力和浮力视为悬点处的集中力.很显然,抽油杆的重力和浮力属于分布力,将其等效为. 集中力并且作用在非质心处的悬点时将导致变形的计算不准确,并最终影响泵功图的计算精 度.鉴于此,通过微元分析法,考虑抽油杆的重力和浮力后,本文建立了更精确的动力学方程 来描述抽油杆的位移函数.











图2.1抽油杆柱微元受力示意

考虑重力和浮力影响的抽油杆柱微元受力如图2.1所示.这里假设以悬点为原点,沿井 深方向为位移方向,沿杆柱纵向截取一点z和另一点z+Az.抽油杆柱密度均匀为内,截面 积恒为A Fd为微元所受阻尼力,其方向与位移方向相反,R为微元在z处的张力,R为微 元在茁+Ax处的张力,w;为微元的重力,Fo为微元所受到的浮力.混合液密度均匀为胁, 阻尼系数设为常数c,重力加速度g.依据牛顿第二定律有

Fb-Ft—fb+W9一B=pgAA。丽OZu
式中
Fb=EAOduz

(14)

f。+缸,R=EA赛l。,R=印gAAxS--爱,%=pgAAxg,Fo=内A△z9(?5)
一2 一O:u=。2丽02u—c面Ouot2 o丽一c面+。
+g’

将(15)式代入(14)式有 (16) 【16)

万方数据

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式中

gr:旦[卫9
∥g

(17)

方程(16)即为考虑重力和浮力影响之后的抽油杆柱微元的受迫振动方程,该方程为非 齐次的波动方程.

假设抽油杆材质均匀,油水混合均匀,97实际上为常数,方程(16)的求解与Gibbs方程 类似.仅考虑方程(16)的齐次部分时,其一般解与Gibbs方程一致,即

乏(z,£)=∈叩z+∈e+∑(‰sin(A。z)+‰cos(A。z))einWt
n=1

(18)

方程(16)的特解可取为

名+(z,t)=一南z2
综合方程(18)和(19),可得到方程(16)的一般解为
z(z,t)=乏(z,t)+名+(。,t)

(19)

(20)

由于初始时刻位移X=0,重力和浮力项对初始条件无影响.代入初始条件可知方程(18) 的所有系数与Gibbs方程解的系数完全一致.因此方程(16)的最终解为

u(z,£)=南z+百VO+∑(o。(z)c。s(删)+R(z)sin(删))一景z2
F(z,£)=iGO+EA∑(o:(z)c。s(佗伽t)+群(∞)sin(佗伽t))一EA暑z
3泵功图计算结果及分析

(21)
(22)

本文对某抽油系统进行分析,分别使用Gibbs模型和本文建立的模型进行计算.图3.1
给出了悬点示功图、由Gibbs模型计算的泵功图和由本文模型计算的泵功图的结果比较.结 果比较可以发现,采用本文模型计算的泵载荷与Gibbs模型计算的结果基本一致,但是泵位 移比Gibbs模型计算的结果要大些.如图3.1所示,下死点处Gibbs模型计算的泵位移为

Ala=o.048711m,采用本文模型计算的泵位移为AIN=o.158016m.下面将通过初步的理论 分析来说明本文模型的计算结果更为合理. 首先,将抽油杆等效为如图3.2所示的杆件模型.


E+甜

6.E+04 5 E十04 4 E+04

=3

E+04

萋Z E埘
l'E+04 n E+00 一1.E+04 —2 E+04

万方数据

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杨鲤铭,等:有杆抽油系统的数学建模及诊断

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图3.2中,F1为悬点处载荷,F2为抽油杆下端载荷,可以近似取为泵载荷,q为抽油杆所

受的均布载荷,包含重力,浮力和摩擦阻力等.由图3.1的计算结果可知,家位手下死点处时,
F1=24538N,F2=6582.1N,由此等效均布载荷为
F1一F2 24538—6582.1

=22.66N/m

(23)

。利用上述数据,同时注意到杆的杨氏模量E=2.1木1011pa,杆直径Dt=0.022m,可以求
得抽油杆下端的理论变形为

出=二E=D2.厶(El—qz)妇=二E=D2一卜扣2)‘0J545m


,L









(24)

采用Gibbs模型计算的下死点处抽油杆下端变形的误差为

采用本文模型计算的下死点处抽油杆下端变形的误差为

似=掣×100%=—10.15百45-矿0.0487111×100%=68.47%(25)

由此可见,本文模型计算的结果与理论分析结果更为接近,从而验证了本文模型计算泵 位移的精度要高于Gibbs模型.


似=掣×lO %=面10.1545-0.158016I×10 %=2.28%
● ● “

(26)

4泵功图应用——油井日产液量计算
通过泵功图,可以求得油井的日产液量,本文主要采用了有效冲程法和面积法. 4.1有效冲程法 通过分析抽油泵的工作原理、观察理论泵功图的几何特征可知,泵功图上阀开闭点处曲 率变化最大,且固定阀的开闭点在上冲程的高载荷段,而游动阀的开闭点在下冲程的低载荷 段.根据这一思路,通过寻找泵功图高、低载荷段曲率变化最大的点即可确定阀的开闭点,进 而计算柱塞的有效冲程,并最终求得油井的日产液量.利用有效冲程法计算油井日产液量的
公式如下 Q=,Tv 1440SpENsAppi。


(27)

式中,w为混合液体体积系数,SeE为柱塞有效冲程,Ns为抽油机的冲次,AP为柱塞横截 面积,p{为混合液密度. 由(27)式可以看出,准确计算泵功图中曲率变化最大点的位置是本方法的关键.本文中, 分别采用了三点曲率法和五点曲率法来计算泵功图的曲率.三点曲率法和五点曲率法分别是 根据相邻的三个点或者五个点计算获得中心点的曲率,它们都能够消除和降低高频部分引起 的曲率变动,提高曲率的计算精度.有效冲程法的具体计算流程图如图4.1所示.
4.2.面积法

通过理论分析可知,实际产液量Q与理论产液量Qth的比值等于理论泵功图中曲线包 围的面积Ath与实际泵功图中曲线包围的面积A。J的比值【41.利用这个关系,可以得到实际 产液量的另一种计算方法为

Q=孚×Q,h
.一tth


(28)

该方法的关键在于计算理论泵功图中曲线包围的面积Ath与实际泵功图中曲线包围的 面积A。f,以及理论产液量Q加具体计算流程图如图4.2所示. 万方数据

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、、

数学的实践与认识

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泵功圈原 始数据

计算油井 日产液量

油井相关数据

累功豳




裁需摊l
计算各点的 曲率变化量


理论示功翻中 蠡境叙曩的面积
实际泵功翻中

求各点的曲宰值l

I确定有效冲程

I”“8“”4

I黢产姚I

曲竣包墨的漩积

根据监率变化量 ,确定阀开闭点

I J

实际产藏量l
图4.2面积法计算日产液量流程图

图4.1有效冲程法计算日产液量流程图

4.3油井日产液量计算结果比较及分析 采用有效冲程法与面积法求得的某油井的产液量如表4.1所示,其中有效冲程法在具体 实现上分为三点曲率法、五点曲率法两种方法.面积法、三点曲率的有效冲程法、五点曲率 的有效冲程法求得的油井日产液量对于同一油井都比较接近,从而相互验证了三种模型的正 确性和可靠性.
表4.1采用有效冲程法和面积法计算的油井日产液量比较 计算方法
有效冲程法 面积法 三点曲率 五点曲率

油井日产液量(qd)
20.476 19.384 22.983

5泵功图应用二——泵故障诊断
采用灰色理论与网格法相结合的方法,可以用于泵故障诊断.根据泵功图的特点,通过提 取泵功图归一化无因次灰度统计特征:灰度均值、灰度方差、灰度偏度、灰度峰值、灰度能 量、灰度熵,。可以构成分类特征向量.同样,典型的正常泵功图和充气泵功图也可以转化为对 应的特征向量.通过计算实际泵功图的特征向量与典型泵功图的特征向量之间的灰关联度, 可以判断泵处于正常工作状态还是充气状态. 5.1泵功图的网格化 在泵功图识别的过程中,只有泵功图的形状是最重要的,而液体的载荷和柱塞的冲程对 识别是无关的.为了便于比较油井各种工况,消除泵功图量纲对数据的影响,首先将得到的泵 功图归一化,得到与量纲无关的归一化泵功图.然后将归一化的泵功图放到一个长方形网格 中,并确保泵功图与长方形的四边相切,从而获得网格化的泵功图.图5.1即为某油井的网格
化泵功图.

5.2灰度矩阵的形成 将长方形网格以矩阵表示,记为M(13,26).首先,将泵功图轮廓曲线通过的网格灰度赋 万方数据

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杨鲤铭,等:有杆抽油系统的数学建模及诊断

“1”,其余网格赋…0’,这样就形成了一个以0和1组成的边界矩阵.接着,将边界矩阵转化为 灰度矩阵.边界内部每远离边界一格,其灰度值增加一级,边界外部每远离边界一格,其灰度
值减少一级.最终获得的网格示功图的灰度矩阵,如图5.2所示.




图5.1网格化泵功图



图5.2泵功图灰度矩阵

5.3灰关联度计算

用泵功图来识别泵的工作状况,是通过比较实际工况泵功图与前面建立的参考典型工况
泵功图的统计特征向量的相似性而得出结论.根据灰色系统理论,灰关联度分析能够较真实

地揭示比较序列和参考序列间曲线几何形状的接近程度,几何形状越接近,变化趋势就越接 近,关联度就越大【5】.以此来判断实际工况泵功图更接近正常泵功图还是充气泵功图,进而 得出泵内是否充气的结论.依据数理统计原理,取灰度矩阵的6个统计特征:灰度均值^、灰 度方差,2、灰度偏度,3、灰度峰值^、灰度能量,5和灰度熵,6,并以此{,,,止,f3,,4,^,,6)
构成特征向量昂,记为待检验泵功图的统计特征【6】.

根据典型的正常泵功图和充气泵功图,提取相应的6个灰度统计特征(表5.1),作为参考 泵功图统计特征,记为R.R={^1,^2,^3,fi4,^5,^6),i=1,2.待检验泵功图特征向量F0 与参考典型泵功图特征向量R的关联系数为 rainⅡjin I,(k)一^(k)『+Pmaxmax f,(k)一^(k)I

鼠(惫)=』啼蠢Fi两再面面高i责万习矿(29)
竹:去妻洲 铲瓦备矗∽J
(30) (3叫

式中,i=1,2,k=1,2,…,6.Aik=I.厂(k)一^(南)I称为F0与R在第k特征处的信息差异.
P称为分辨系数,是0与1之间的数,一般取P=o.5.综合各特征点的关联系数,则F0与R 的关联度按下式计算

万方数据

数学的实践与认识

43卷

式中,%是待检验实际泵功图特征向量与参考特征向量的灰关联度,是几何接近程度的定量 描述.最大关联度识别故障原则为:m值越大,则昂与只的关系越密切,即相似度越大,可 认为Fo为属于只的工况种类.


衰5.1典型的正常泵功图和充气泵功囝的统计特征

5.4泵故障诊断结果及分析 使用灰色理论与网格法相结合的方法对油井泵内是否充气判断的结果如表5.2所示.判

断结果为油井泵内未充气.计算结果表叽采用灰色理论与网格法相结合通过泵功图的特征
向量来判断相似性的方法是非常稳定的,但其准确性要依赖于参考的典型泵功图的统计特征 向量.如果给定的典型泵功图的统计特征向量准确,则按灰色理论与网格法相结合的方法能 够准确地判断出泵功图的工作状态.
衰5.2油井是否充气判断结果

6结论
Gibbs模型在建立时,忽略了微元的重力和浮力的影响,从而获得简单的齐次波动方程. 然而在实际计算中,由于抽油杆重力和浮力的影响必须考虑,Gibbs模型只能将抽油杆的重 力和浮力视为悬点处的集中力.很显然,抽油杆的重力和浮力属于分布力,将其等效为集中力 并且作用在非质心处的悬点将导致变形的计算不准确,并最终影响泵功图的计算精度. 鉴于Gibbs模型存在的这些缺陷,本文考虑了重力和浮力影响之后,提出了非齐次的波 动方程模型.对于材质均匀的抽油杆,如果油水混合液也是均匀的,新模型方程中的非齐次项 变为常数.对于非齐次项为常数的波动方程,利用理论推导可以求得其解析解.通过与Gibbs 模型计算结果比较发现,新模型的位移计算精度比Gibbs模型高. 为了计算油井日产液量,本文采用了有效冲程法和面积法两种方法.其中为了消除泵功 图中高频部分对曲率计算的影响,有效冲程法又分为三点曲率法与五点曲率法两种具体的实 现方式.从计算结果来看,有效冲程法与面积法都能够根据泵功图快速地计算出油井的日产 液量,且两个模型的计算结果基本一致,从而相互验证了两个模型的正确性. 为了快速诊断油井故障,本文使用了灰色理论与网格法相结合的方法.该方法通过计算 实际泵功图与典型泵功图特征向量的灰关联度来判断相似性,进而获得实际泵功图对应的工 作状态.灰色理论与网格法相结合的方法的计算精度依赖于所用参考的典型泵功图的统计特 万方数据

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征向量,只要给定的典型泵功图的统计特征向量准确,该方法就能够非常精准地判断出泵的 工作状态. 参考文献
[1】Gibbs S 【2】Gibbs
1967. S G,Neely A B.Computer diagnosis of downhole condition in sucker rod pumping

wells[J].

J Pet Tbch.1966.

G.Method

of determining sucker rod pump

performance[J].United

States Patent Office,

【3】王鸿勋,张琪.采油工艺原理【M】.北京:石油行业出版社,1985. 【4】王淑梅.用泵的示功图法计算抽油机井的产量【J】.油田地面工程,1990,9(1):19-20. 【5]邓聚龙.灰预测与灰决策【M】.武汉:华中科技大学出版社,2000. 【6】樊滢.基于灰色理论的抽油井泵示功图诊断技术研究【J】.微电子学与计算机,2005,22(3):77-80.

Mathematical Modeling


and Diagnosis of Sucker--Rod


Pumping System 一
YANG Li-min91,ZHU

Chon91,WANG:Kin91,WEN

Jie2

(1.College of Aerospace Engineoring Nanjing University of Aeronautics&Astronautics,Nanjing 210016,China) (2.College of Sciene Nanjing University of Aeronautics&Astronautics,Nanjing 210016,China)

Abstract:Based
into pump

on

classical Gibbs model,the ground dynamometer card card.However,in the Gibbs model the effects of

Can be

transformed
gravity

dynamometer
are

sucker-rod’S

and buoyancy

ignored,and

used them鹪a concentrated force directly into the suspension

point,SO the calculation of deformation will be inaccurate,which will affect the calculation
accuracy of pump

dynamometer

card.、In view of thi8,b妒means of micro-element

analysis,and

considering the effects of gravity

and buoyancy and

of the sucker rod,a new Sucker-rod pumping

model is present in the paper.According to the pump established the models of output of oil well

dynamometer

card,this paper has well
study.

fault diagnosis for

detailed

Keywords.'sucker-rod pumping system;gibbs model;available stroke length method;缸ea method;Fay theory and grid method

万方数据

有杆抽油系统的数学建模及诊断
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 杨鲤铭, 朱翀, 王星, 文杰, YANG Li-ming, ZHU Chong, WANG Xing, WEN Jie 杨鲤铭,朱翀,王星,YANG Li-ming,ZHU Chong,WANG Xing(南京航空航天大学航空宇航学院,江 苏南京,210016), 文杰,WEN Jie(南京航空航天大学理学院,江苏南京,210016) 数学的实践与认识 Mathematics in Practice and Theory 2013,43(15)

参考文献(6条) 1.Gibbs S G;Neely A B Computer diagnosis of downhole condition in sucker rod pumping wells 1966 2.Gibbs S G Method of determining sucker rod pump performance 1967 3.王鸿勋;张琪 采油工艺原理 1985 4.王淑梅 用泵的示功图法计算抽油机井的产量[期刊论文]-油田地面工程 1990(01) 5.邓聚龙 灰预测与灰决策 2000 6.樊滢 基于灰色理论的抽油井泵示功图诊断技术研究[期刊论文]-微电子学与计算机 2005(03)

引用本文格式:杨鲤铭.朱翀.王星.文杰.YANG Li-ming.ZHU Chong.WANG Xing.WEN Jie 有杆抽油系统的数学建模及 诊断[期刊论文]-数学的实践与认识 2013(15)


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