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数学人教A版必修5第三章3.3.2简单的线性规划问题(第2课时)


第 2 课时

线性规划的实际应用

1.复习巩固线性规划问题. 2.能利用线性规划解决实际应用问题.

解线性规划问题的一般步 骤 (1)画:在直角坐标平面上画出可行域和直线 ax+by=0(目标函数为 z=ax+by); (2)移:平行移动直线 ax+by=0,确定使 z=ax+by 取得最大值或最小值的点; (3)

求:求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值; (4)答:给出正确答案. 一般地,对目标函数 z=ax+by,若 b>0,则纵截距与 z 同号,因此,纵截距最大时, z 也最大;若 b<0,则纵截距与 z 异号,因此,纵截距最大时,z 反而最小. 【做一做 1-1】 完成一项装修工程,请木工需付工资每人 50 元,请瓦工需付工资每 人 40 元.现 有工人工资预算 2 000 元,设木工 x 人,瓦工 y 人,则完 成这项工程的线性约 束条件是( ) ?50x+40y=2 000, ?50x+40y≤2 000, ? ? A.? B.? ?x∈ ?x∈ N,y∈ N N,y∈ N ? ?
? ? ?50x+40y≥2 000, ?40x+50y≤2 000, C.? D.? ?x∈ ?x∈ N,y∈ N N,y∈ N ? ? 【做一做 1-2】 有 5 辆载重 6 吨的汽车,4 辆载重 4 吨的汽车,要运送一批货物,设 需载重 6 吨的汽车 x 辆, 载重 4 吨的汽车 y 辆, 则完成这项运输任务的线性目标函数为( ) A.z=6x+4y B.z=5x+4y C.z=x+y D.z=4x+5y
[来源:学。科。网]

0≤x≤1, ? ? 【做一做 1-3】 设 z=2y-2x,其中 x,y 满足条件?0≤y≤2, ? ?2y-x≥1, __________. 答案: 【做一做 1-1】 B 【做一做 1-2】 A 【做一做 1-3】 0

则 z 的最小值为

解答线性规划应用题应注意的问题 剖析:(1)在线性规划问题的应用中,常常是题中的条件较多,因此认真审题非常重要; (2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断; (3)结合实际 问题,分析未知数 x,y 等是否有限制,如 x,y 为正整数、非负数等; (4)分清线性约束条件和线性目标函数,线性约束条件一般是不等式,而线性目标函数 却是一个等式; (5)作图对解决线性规划问题至关重要,其关键步骤基本上都是在图上完成的,所以作 图应尽可能地准确,图上操作尽可能规范.但作图中必然会有误差,假如图上的最优点不容 易看出时,需将几个有可能是最优点的坐标都求出来,然后逐一检查,以确定最优解.

题型一 线性规划的实际应用 【例题 1】 某工厂有甲、乙两种产品,计划每天各产品生产量不少于 15 t.已知生产甲 产品 1 t 需煤 9 t,电力 4 kW· h,劳力 3 个;生产乙产品 1 t 需煤 4 t,电力 5 kW· h,劳力 10 个;甲产品每 1 t 利润 7 万元,乙产品每 1 t 利润 12 万元;但每天用煤不超过 300 t,电力不 超过 200 kW· h,劳力只有 300 个.问每天各生产甲、乙两种产品多少,能使利润总额达到 最大? 分析:将已知数据列成表,如下表所示:

设出未知量,根据资源限额建立约束条件,由利润关系建立目标函数. 反思:本题是线性规划的实际问题,基本类型为:给定一定数量的人力、物力资源,问 怎样安排运用这些资源,能使完成的任务量最大,收到的效益最大.解决这类问题的一般方 法是:首先根据题意列出线性约束条件,建立目标函数;然后由约束条件画出可行域;最后 在一组平行直线中,找 出在可行域内到原点距离最远的直线,即可得到最优解. 题型二 易错辨析 【例题 2】 某实验室需购某种化工原料 106 kg,现在市场上该原料有两种包装:一种 是每袋 35 kg,价格为 140 元;另一种是每袋 24 kg,价格为 120 元.在满足需要的条件下, 最少要花费多少元. 错解:设分别购买两种原料 x 袋,y 袋, 35x+24y≥106, ? ? 由题意可得?x≥0, ? ?y≥0. 花费 z=140x+120y,画出可行域如图所示.

106 ? 106 画出直线 140x+120y=0 并平移可得点 A 为最优解.解得 A? ? 35 ,0?,故当 x= 35 ,y =0 时, 106 zmin=140× +120× 0=424(元). 35 错因分析:由于所求为购买物品的袋数,则 x,y 均为整数,故上述解法不正确. 反思:当求到的最优解不是整点最优解时,就需要对最优解进行调整,调整的基本思路

就是:先求非整点最优解,再借助不定方程的知识调整最优解,最后筛选出整点最优解.确 定整点最优解的方法有三种:平移直线法、特值验证法、调整优值法. (1)平 移直线法:先在可行域内打网络,描整点,平移直线 l,最先经过或最后经过的整 点坐标便是整点最优解. (2)特值验证法:当可行域内整点个数较少时,也可将整点坐标逐一代入目标函数求值, 经比较得到最优解. (3)调整优值法:先求非整点最优解及最优值,再借助不定方程的知识调整最优值,最 后筛选出最优解. 一般地,先考虑平移直线法和特值验证法,如果这两种方法都有困难时,再用 调整优 值法. 答案: 【例题 1】 解:设每天生产甲、乙两种产品分别为 x t,y t, 利润总额为 z 万元,那么

? ?4x+5y≤200, x+10y≤300, ?x3≥ 15, ? ?y≥15,
9x+4y≤300,

目标函数为 z=7x+12y.

作出以上不等式组的可行域,如图中的阴影部分所示.

目标函数为 z=7x+12y, 7 z 整理得 y=- x+ , 12 12 7 z 得到斜率为- ,在 y 轴上截距为 ,且随 z 变化的一组平行直线. 12 12 z 由图可以得到,当直线经过可行域上点 A 时,截距 最大,即 z 最大,解方程组 12 ?4x+5y=200, ?
? ?3x+10y=300, ?

得点 A 的坐标为(20,24), 所以 zmax=7×20+12×24=428(万元), 即生产甲、乙两种产品分别为 20 t,24 t 时,利润总额最大. 【例题 2】 正解:设分别购买两种原料 x 袋,y 袋, 35x+24y≥106, ? ? 由题意得?x≥0, ? ?y≥0, 花费 z=140x+120y,画出可行域如图中的阴影部分所示.

106 ? 画出直线 140x+120y=0 并平移,先经过可行域内 A? ? 35 ,0?. 106 ? 由于 x,y 均为整数,则 A? ? 35 ,0?不是最优解. 在可行域内,点 A 附近的整数点有 B(4,0),C(3,1),D(2,2),E(1,3),将其分别代入线性 目标函数 z=140x+120y,可得 zB=560,zC=540,zD=520,zE=500, 故 当 x=1,y=3 时,zmin=500. 因此购买 35 kg 包装的 1 袋,24 kg 包装的 3 袋,可使花费最少,最少花费为 500 元.

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? y ≤ x, ? 1 ( 2011· 山东济南二模)已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 1, 则 z=3x+2y 的最大值 ? y ≥ ?1, ?
为( ) A.-3 B.

5 2

C.-5

D.4

2(2011· 北京丰台二模)已知签字笔 2 元一支,练习本 1 元一本.某学生欲购买的签字笔 不少于 3 支,练习本不少于 5 本,但买签字笔和练习本的总数量不超过 10,则支出的钱数 最多是__________元. 3 某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件 和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天 的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元.现该公司至少要生产 A 类产品 50 件, B 类产品 140 件,所需租赁费最少为__________元. 4 某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对 项目乙投资的

2 倍,且对每个项目的投资不能低于 5 万元.对项目甲每投资 1 万元可获得 3

0.4 万元的利润,对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润,该公 司正确规划投资后, 在这两个项目上共可获得的最大利润是多少? 5 有一批同规格的钢条,每根钢条有两种切割方式,可截成长度为 a 的钢条 2 根,长度 为 b 的钢条 1 根;或截成长度为 a 的钢条 1 根,长度为 b 的钢条 3 根.现长度为 a 的钢条至 少需要 15 根,长度为 b 的钢条至少需要 27 根.问:如何切割可使钢条用量最省? 答案:1.D 2.15 3.2 300 4.解:设投资项目甲 x 万元,投资项目乙 y 万元,可获得利润为 z 万元,

? x ? y ≤ 60, ? 2 ? ? x ≥ y, 则? 目标函数为 z=0.4x+0. 6y. 3 ? x ≥ 5, ? ? ? y ≥ 5,
由?

?3x ? 2 y ? 0, 得 A(24,36). ? x ? y ? 60,

由图知,目标函数 z=0.4x+0.6y 在 A 点取得最大值. 故 ymax=0.4×24+0.6×36=31.2(万元), 即获得的最大利润为 31.2 万元. 5.解:设按第一种切割方式需钢条 x 根,按第二种切割方式需钢条 y 根,

?2 x ? y ≥ 15, ? x ? 3 y ≥ 27, ? 根据题意,得约束条件 ? ? x ? 0, x ? N, ? ? y ? 0, y ? N,
目标函数是 z=x+y. 画出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示.
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由?

?2 x ? y ? 15, ? x ? 3.6, 解得 ? ? x ? 3 y ? 27, ? y ? 7.8.

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此时 z=11.4,但 x,y,z 都应当为正整数, 所以点(3.6,7.8)不是最优解. 经过可行域内的整点且使 z 最小的直线是 y=-x+12, 即 z=12,此时满足该约束条件的(x,y)有两个:(4,8)或(3,9),它们都是最优解.即满足 条件的切割方式有两种,按第一种方式切割钢条 4 根,按第二种方式切割钢条 8 根;或按第 一种方式切割钢条 3 根,按第二种方式切割钢条 9 根,可满足要求.
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