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第1课时 等差数列


§2 等差数列
2.1 等差数列
第1课时 等差数列

在过去的三百多年里, 人们分别在下列时间里

观测到了哈雷彗星:

相差76

(1)1682,1758,1834,1910,1986,( 2062 ) 你能预测出下一次的大致时间吗?

通常情况下,从

地面到 10千米的高空,气温随 高度的变化而变化符合 一定的规律,请你根据 下表估计一下珠穆朗玛 峰峰顶的温度.
高度 (km) 温度 (℃) 1 28 2 21.5 3 15 4 8.5 5 2

8844.43米

? 6.5 减少 ?

9 -24

(2) 28,

21.5,

15,

8.5,

2,

?,

-24.

前面两个实例给出了两个数列
(1)1682,1758,1834,1910,1986, 2062

(2) 28,

21.5,

15,

8.5,

2,

?,

-24.

你能总结这两个数列的共同特性吗?通过学 习你就能掌握本节课的重点——等差数列,好好 学习吧.

1.通过实例,理解等差数列的概念.(重点)

2.掌握等差数列的判定方法. (难点)
3.掌握等差数列的通项公式的求法及通项公式的简单 应用.(重点)

探究点1 等差数列的概念
结合下面几个例子,思考数列的共同特征.

(1)一个剧场设置了20排座位,这个剧场从第1排
起各排的座位数组成数列:

38,40,42,44,46,?
这个剧场座位安排有何规律?



提示:从第2项起,每一项与前一项的差都是2;

(2)全国统一鞋号中,成年女鞋的各种尺码(表示 以cm为单位的鞋底的长度)由大至小可排列为 25,24.5,24,23.5,23,22.5,22,21.5,21, 这种尺码的排列有何规律? 提示:从第2项起,每一项与前一项的差都是-0.5; ②

(3)蓝白两种颜色的正六边形地面砖,按下图的 规律拼成若干个图案,前3个图案中白色地面砖的 块数依次为多少?有何规律?

6

10

14



提示:从第2项起,每一项与前一项的差都是4.

思考1:上述三个数列有什么共同特征?我们可得 到什么?

提示:从第2项起,每一项与前一项的差是同一个
常数.我们称这样的数列为等差数列,称这个常数 为等差数列的公差,通常用字母d表示.

由此定义可知,对等差数列{an } ,有

a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? d .
因此,数列①的公差d=2;数列②的公差d=-0.5; 数列③的公差d=4.

思考2:当公差d=0时,{an}是什么数列?

提示:仍是等差数列.
思考3:将有穷等差数列{an}的所有项倒序排列,所 成数列仍是等差数列吗?如果是,公差是什么?如果 不是,请说明理由.

提示:是等差数列,公差与原数列的公差互为相反数.

思考4:如果说“一个数列从第2项起,相邻两项的差

是同一个常数”,那么这个数列是等差数列吗?
提示:这个数列不一定是等差数列,等差数列中的

“差”是有顺序的,必须是“从第2项起,每一项与前
一项的差”.而“相邻两项的差”,这里的“相邻”可

能是后一项减去前一项,也可能是前一项减去后一项,
如数列2,1,2,3,4,5相邻两项的差是同一个常数1,但

此数列不是等差数列.

例1.判断下面数列是否为等差数列.

( 1)an ? 2n ? 1;

(2)an ? (?1) .
n

解:(1)由通项知,该数列为

1,3,5,7,?
由a n ? 2n ? 1,n ? N? , 知a n ?1 ? 2(n ? 1) ? 1, 于是

an?1 ? an ? [2(n ? 1) ? 1] ? (2n ? 1) ? 2.
由n的任意性知,这个数列是等差数列.

n (2)由通项an ? (? 1) , 可知该数列为

-1,1,-1,1,?

a2 ? a1 ? 1 ? (?1) ? 2,
a3 ? a2 ? ?1 ? 1 ? ?2. 由于a2 ? a1 ? a3 ? a2 , 所以这个数列不是等差数列.
注意:可见判断一个数列是否为等差数列可以利

用定义,即判断an+1-an是否始终是同一常数.

【变式练习】

4 (n ? 1). 已知数列{an}满足a1=4, an ? 4 ? an ?1


1 bn ? ,判断数列{bn}是否是等差数 an ? 2

列,并说明理由.

1 1 1 1 解:由b n ?1 ? b n ? ? ? ? a n ?1 ? 2 a n ? 2 (4 ? 4 ) ? 2 a n ? 2 an an an ? 2 1 1 ? ? ? ? , 2(a n ? 2) a n ? 2 2(a n ? 2) 2
1 1 所以数列{bn}是首项为 ,公差为 的等差数列. 2 2

【提升总结】等差数列的判定方法

(1)判定一个数列为等差数列的常用方法有:
①定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N+)?{an}为等差数

列.
②通项法:an为n的一次函数?{an}为等差数列.

(2)判定一个数列不是等差数列只须证明存在p ∈N+,
使得2ap≠ap-1+ap+1.

探究点2 等差数列的通项公式

例2. 已知等差数列?a n ? ,a1 ? 1,d ? 2, 求通项a n .
解:根据等差数列的定义,我们知道,这个数列开头 几项应该是:

a1 ? 1, a2 ? a1 ? 2 ? 1 ? 2 , a3 ? a2 ? 2 ? (1 ? 2 ) ? 2 ? 1 ? 2 2 , a4 ? a3 ? 2 ? (1 ? 2 2 ) ? 2 ? 1 ? 3 2 , ?

因此,我们就可以归纳出一个规律:第n项 等于第1项加上公差的(n-1)倍(n≥2),即

an ? 1 ? (n ? 1) 2.
当n ? 1时,有a1 ? 1 ? 1 ? (1 ? 1) 2. 所以,这个公式对n ? 1也成立.
因此,它就是所求的通项公式.

思考1:如果等差数列{an}的首项是a1,公差是d,那 么等差数列的通项公式是什么? 提示:根据等差数列的定义得到

a1 ? a1 , a2 ? a1 ? d , a3 ? a2 ? d ? (a1 ? d ) ? d ? a1 ? 2d , a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d ? a1 ? 3d , ? 由此得到
a n ? a1 ? (n ? 1)d.

当n=1时,a1=a1+(1-1)d,所以,这个公式对于n=1时
也成立.

这就是说:若首项是a1,公差是d,则这个等差数列
的通项公式是

an ? a1 ? (n ? 1)d .

思考2:是否还有其他推导等差数列通项公式an的方
法.

提示:累加法;因为{an}是等差数列,
所以an-an-1=d an-1-an-2=d an-2-an-3=d ??

a3 - a2 = d

a2 - a1 = d

以上各式相加得an-a1=(n-1)d,

所以an=a1+(n-1)d.

【提升总结】 等差数列通项公式的关注点
(1)已知等差数列的首项和公差可以求得这个数列的

任何一项.
(2)在等差数列中,已知四个量中的三个可以求得另

一个.

例3.(1)求等差数列9,5,1,?的第10项;
(2)已知等差数列{an},an=4n-3,求首项a1和公差d.

解:(1)由a1 ? 9, d ? 5 ? 9 ? ?4, 得 a n ? 9 ? (n ? 1)(?4) ? 13 ? 4n.
当n ? 10时, a10 ? 13 ? 4 ?10 ? ?27.

(2)由an ? 4n ? 3知,
a1 ? 4 ?1 ? 3 ? 1, 且 d ? a2 ? a1 ? (4 ? 2 ? 3) ? 1 ? 4.

所以等差数列{an}的首项a1=1,公差d=4.

例4.已知在等差数列{an}中, a5=-20, a20=-35,试 求出数列的通项公式.

由a 5 ? a1 ? 4d ? ?20, a 20 ? a1 ? 19d ? ?35,

解:设{a n }的通项公式是a n ? a1 ? (n ? 1)d (n ? N ? ),

可得一个以a1和d为未知数的二元一次方程组,解

这个方程组得

a1 ? ?16, d ? ?1.

故数列{an} 的通项公式为

an ? ?16 ? (n ? 1)(?1) ? ?15 ? n.

思考3:若数列通项an=pn+q(p,q为常数),问{an}是 否一定是等差数列?如果是,其首项和公差是什么? 提示:是

an?1 ? an ? p(n ? 1) ? q ? pn ? q ? p ? d .
当n ? 1时,a1 ? p ?1 ? q ? p ? q.

【变式练习】在数列{an}中,a1=3,a10=21,且 通项公式是项数的一次函数. (1)求数列{an}的通项公式,并求a2011.

(2)若bn=a2n,求数列{bn}的通项公式.
解: (1)设 an= An+B(A≠ 0), A= 2, B= 1. A+B= 3, 由已知得 解得 10A+B= 21, 所以 an= 2n+ 1. a2011= 2×2011+1= 4023. (2)bn=a2n= 2× (2n)+1= 4n+1.

1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6,-3a-5,-

10a-1,则a等于( A )
A. 1 B. -1 C. ?
1 3
5 D.11

提示:(-3a-5)-(a-6)=(-10a-1)-(-3a-5 ).

2.已知{an}为等差数列, a1+a3+a5=105,a2+a4+ a6=99,则a20等于( B )

A.-1
C.3

B.1
D.7
? ?3a1+6d=105, 由题意可得? ? ?3a1+9d=99,

【解析】

? ?a1=39 解得? , 所以 an=39-2(n-1)=41-2n, ? ?d=-2

故 a20=41-2×20=1,故选 B.

-35 . 3. 在数列{an}中,a1=1,an= an+1+4,则a10=__ 提示:由已知可得d=an+1-an=-4,从而求出数 列的通项公式an=a1+(n-1)×(-4)=-4n+5, 所以a10=-4×10+5=-35.

4.(2013·广东高考)在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则3a5+a7=

20

.

【解析】设公差为d,则a3+a8=2a1+9d=10,
3a5+a7=4a1+18d=2(2a1+9d)=20.

5.在等差数列{an}中,a1=83,a4=98,则这个数列 有多少项在300到500之间? 解析:由题意知a4=a1+(4-1)d 即98=83+3d 故d=5 所以an=a1+(n-1)d=83+(n-1)×5 300< 83+5×(n-1)<500 2 2 ? 44 ? n ? 84 5 5 n=45,46,…,84 所以共有40项在300到500之间.

1.等差数列的概念:从第2项起,每一项与前一 项的差是同一常数. 2.等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,知道其中 三个字母变量,可用列方程的方法,求余下的一 个变量. 3.等差数列通项公式an的推导方法(归纳法,迭 代法,累加法)及简单应用.

最困难的事情就是认识自己.
——希腊


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