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吉林省吉林市2013届高三三模数学理试题


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吉林市普通高中 2012—2013 学年度高中毕业班下学期期末复习检测

数学(理科)
本试卷分第 ? 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22 题~第 24 题为选考 题,其他题为必考题。考生作答时将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 注意事项

: 1、答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条 形码上的准考证号,并将条形码粘贴在答题卡指定的位置上。 2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非 选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4、保持卡面清洁,不折叠、不破损。

第 I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。

?3?i ? 1. 复数 ? ? ? ? 1? i ?
2

A. 3-4i

B. -3 ? 4i

C. -3-4i

D. 3 ? 4i

2 2 x ?x 2. 给出下列函数① y ? x cos x ② y ? sin x ③ y ? x ? x ④ y ? e ? e ,其中是奇函数的是

A. ①②

B. ①④

C. ②④

D. ③④

1 ? ? 2 3. 集合 P ? ? x | x ? ? 2, x ? Z ? ,集合 Q ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 P ? C R Q ? x ? ?

?

?

A. ? 3,? - 0 C. ? 3 , 2 , 1,, - - - 0 1?

B. ? 3 , 2 , 1 ? - - - D. ? 3 , 2 , 1, - - - 1?

?x ? 2 ? 0 ? 4. 已知点 P ? x, y ? 在不等式组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域上运动, z ? x ? y 的取值范围是 则 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
A.

1 ??2 ,? ?

B.

1 ??2 , ?

C.

??1, 2 ?

D.

?1 , 2 ?
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5. 若程序框图如下图所示,则该程序运行后输出 k 的值是 A. 5
开始 n=5,k=0

B. 6

C. 7

D. 8



n 为偶数

否 n=3n+1

2

2

n?

n 2

2

2

k=k+1 否

2

n =1? 是 输出 k 结束

2
6 题图

6.某几何体的三视图如图所示,其正视图,侧视图,俯视图均为全等的正方形,则该几何体的体 积为 A.

4 3

B.

8 3

C.

6

D. 2 6

7.若直线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a, b ? 0) 始终平分圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 8 ? 0 的周长,则 最小值为 A.

1 1 ? 的 2a b

1 2

B.

5 2
?
6

C. 3 2

D.

3? 2 2 2

8. 为了得到函数 y ? sin( 2 x ?

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象

? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
A.向右平移

? 个单位长度 3 ? D. 向左平移 个单位长度 3
B. 向右平移

9. 中心为 (0,0) , 一个焦点为 F (0,5 2 ) 的椭圆 , 截直线 y ? 3x ? 2 所得弦中点的横坐标为 则该椭圆方程是 A.
2x 2 2 y 2 ? ?1 75 25

1 , 2

B.

x2 y2 ? ?1 75 25

C.

x2 y2 ? ?1 25 75

D.

2x 2 2 y 2 ? ?1 25 75

10.下列说法错误的是 ..
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A. xy ? 10 是 x ? 5 或 y ? 2 的充分不必要条件
2 2 B.若命题 p : ?x ? R,x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R,x ? x ? 1 ? 0

C. 已知随机变量 X ~ N (2,? 2 ) ,且 P( X ? 4) ? 0.84 ,则 P( X ? 0) ? 0.16 D. 相关指数 R 越接近 1,表示残差平方和越大.
3 11. 已知 f ( x) ? x ? 3x ,并设:
2

p : ?c ? R , f ( f ( x)) ? c 至少有 3 个实根; q : 当 c ? (?2,2) 时,方程 f ( f ( x)) ? c 有 9 个实根;

r : 当 c ? 2 时,方程 f ( f ( x)) ? c 有 5 个实根。
则下列命题为真命题的是 A. ? p ? ? r B.

?q ? r

C. 仅有 r

D. p?q

12. 设圆 O1 和圆 O2 是两个定圆,动圆 P 与这两个定圆都相切,则圆 P 的圆心轨迹可能是

① A.①③⑤

② B.②④⑤

③ C.①②④

④ D.①②③



第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分, 13 题~第 21 题为必考题, 22 题~第 24 题为选考题, 第 第 考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 若 ? x ? a ? 的展开式中 x3 的系数为 160 ,则
6

?1 x dx 的值为____________.
a

a

14. 在一次考试中,5 名学生的数学和物理成绩如下表:(已知学生的数学和物理成绩具有线性相 关关系) 学生的编号 i 数学成绩 x 物理成绩 y 1 80 70
?

2 75 66
?

3 70 68

4 65 64

5 60 62

现已知其线性回归方程为 y ? 0.36x ? a ,则根据此线性回归方程估计数学

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得 90 分的同学的物理成绩为 15. 下列命题中正确的是

.(四舍五入到整数) .(填上你认为所有正确的选项)

① 空间中三个平面 ? , ? , ? ,若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ∥ ? ; ② 若 a , b , c 为三条两两异面的直线,则存在无数条直线与 a , b , c 都相交;

③ 球 O 与棱长为 a 正四面体各面都相切,则该球的表面积为

?
6

a2 ;

④ 三棱锥 P? ABC 中, PA ? BC , PB ? AC 则 PC ? AB . 16. 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c 满足 b
2

? c 2 ? a 2 ? bc ,

AB ? BC ? 0 , a ?

3 ,则 b ? c 的取值范围是 2

.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 设等比数列{ an }的前 n 项和为 S n , 已知对任意的 n ? N ? , (n, Sn ) , 点 均在函数 y ? 2x ? r 的 图像上. (Ⅰ)求 r 的值; (Ⅱ)记 bn

? log2 2a1 ? log2 2a2 ? ?? log2 2an 求数列 ? 1 ? 的前 n 项和 T n .
? bn ?

?

?

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18. (本小题 12 分) 某班同学在“十八大”期间进行社会实践活动,对[25,55]岁的人群随机抽取 n 人进行了一次当前 投资生活方式----“房地产投资”的调查,得到如下统计和各年龄段人数频率分布直方图: ....... (Ⅰ)求 n,a,p 的值; (Ⅱ) 从年龄在[40,50)岁的“房地产投资”人群中采取分层抽样法抽取 9 人参加投资管理学习活动, 其中选取 3 人作为代表发言,记选取的 3 名代表中年龄在[40,45)岁的人数为 X ,求 X 的 分布列和期望 EX . 房地产 投资的 人数 120 195 100 占本 组的 频率 0.6

频率/组距

组数 第一组 第二组 第三组
年龄(岁)

分组 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55]

0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 25 30 35 40 45 50 55

p
0.5 0.4 0.3 0.3

第四组 第五组 第六组

a
30 15

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19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD ,四边形 ABCD 是直角梯形, AB ⊥ BC , AB ∥ CD , AB ? 2 BC ? 2CD ? 2 . P (Ⅰ)求证:平面 PBC ⊥平面 PAB; (Ⅱ) 若二面角 B ? PC ? D 的余弦值为 ?

2 , PA . 求 3

B C D

A

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20. (本小题满分 12 分) 设 F 为抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )的焦点, R, S , T 为该抛物线上三点,若
2

FR ? FS ? FT ? 0 ,且 FR ? FS ? FT ? 6
(Ⅰ)求抛物线 y 2

? 2 px 的方程;

(Ⅱ)M 点的坐标为( m , 0 )其中 m ? 0 , 过点 F 作斜率为 k 1 的直线与抛物线交于 A 、B 两点,

A 、 B 两点的横坐标均不为 m ,连结 AM 、 BM 并延长交抛物线于 C 、 D 两点,设直
线 CD 的斜率为 k 2 .若

k1 ? 4 ,求 m 的值. k2

21. (本小题满分 12 分)

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已知定义在 ( ?

? ?

, ) 的函数 f ( x) ? eax tan x (a ? 0) ,在 x ? ? 处的切线斜率 2 2 4



6e ?
(Ⅰ)求 a 及

f (x) 的单调区间;

(Ⅱ)当 x ? [0,

? ) 时, f ( x) ? m x 恒成立,求 m 的取值范围. 2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.如图,设 AB,CD 为⊙O 的两直径,过 B 作 PB 垂直于 AB,并与 CD 延长线相交于点 P,过 P 作直线与⊙O 分别交于 E,F 两点,连结 AE,AF 分别与 CD 交于 G,H (Ⅰ)设 EF 中点为 C1 ,求证:O、 C1 、B、P 四点共圆. P

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http://zy.zgxzw.com D

H A

F B

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(Ⅱ)求证:OG =OH.

23.极坐标系中椭圆 C 的方程为

?2 ?

2 cos ? ? 2 sin 2 ?
2

以极点为原点,极轴为 x 轴非负半轴,建立平面直角坐标系, 且两坐标系取相同的单位长度. (Ⅰ)求该椭圆的直角标方程,若椭圆上任一点坐标为 P ( x, y ) , 求x?

2 y 的取值范围;

(Ⅱ)若椭圆的两条弦 AB, CD 交于点 Q ,且直线 AB 与 CD 的倾斜角互补, 求证: QA ? QB ? QC ? QD .

24. 设 f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 4 | . (Ⅰ)求函数 g ( x) ?

2 ? f ( x) 的定义域;

(Ⅱ)若存在实数 x 满足 f ( x) ? ax ? 1 ,试求实数 a 的取值范围.

命题、校对:董博、凌志永、纪丽、王玉梅、孙长青

吉林市普通中学 2012—2013 学年度高中毕业班下学期期末教学质量检测

数学(理科)参考答案
一、选择题.CBDCA 二、填空题. 13. 三、解答题: 17. 解:(Ⅰ)依题 Sn ? 2n ? r
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ADBCD AD

? 3 3? 7 , ? ;14.73;15.②③④;16. ? ? 2 2?. 3 ? ?

………………………………1 分
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当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 21 ? r , 当 n ? 2 时, an ? S n ? Sn?1 ? 2 ? 2
n n?1

………………………………2 分

? 2n?1 ,………………………………4 分
…………………………………5 分 …………………………………6 分

又因为{ an }为等比数列, 2 ? r ? 2 所以 r ? ?1 . (Ⅰ)另解: S n ? 2 ? r
n

1?1

?1

………………………………1 分 …………………………………2 分
n n?1

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ? r ,
1

当 n ? 2 时, an ? S n ? Sn?1 ? 2 ? 2 ∴

? 2n?1 .…………………………………4 分

a2 ? 2, a3 ? 4
a2 ? a1 ? a3 ,解得 r ? ?1 ………………………6 分
2

∵ { an }是等比数列,∴ (Ⅱ)由(Ⅰ) an

? 2 n?1

……………………………………7 分

∴ bn ? log 2 2a1 ? log 2 2a2 ? ? ? log 2 2an ? 1 ? 2 ? ? ? n ?

n(n ? 1) 2

…9 分



1 2 2 ? ? . bn n n ? 1
1 1 1 1 1 2n ? ? ??? ? )? ……………………12 分 2 2 3 n n ?1 n ?1

所以 Tn ? 2(1 ?

18.解:年龄在[25,30)的总人数为

120 ? 200 , …………………………1 分 0 .6 200 ? 1000 人 根据频率分布直方图,总人数为 ………………2 分 5 ? 0.04
年龄在[40,45)的人数为 1000 ? 5 ? 0.03 ? 150 人 所以 a ? 150 ? 0.4 ? 60 …………………………………4 分 所以

因为年龄在[30,35)的人数的频率为 1 ? 5 ? (0.04 ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? 0.01) ? 0.3 年龄在[30,35)的人数为 1000 ? 0.3 ? 300 人 所以 p ?

195 ? 0.065 , 300

………………………………………6 分

依题抽取年龄在[40,45) 之间 6 人, 抽取年龄在[45,50)之间 3 人,…………………………………7 分

X ? 0、 2、 1、 3
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……………………………………………8 分

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P( X ? 0) ?

3 C3 1 C 1C 2 18 ? , P( X ? 1) ? 6 3 3 ? , 3 84 C9 84 C9
2 1 C6 C3 45 C 3 20 , P( X ? 3) ? 6 ? ? 3 3 84 C9 C9 84

P( X ? 2) ?

……………………………11 分

所以 EX ? 0 ?

1 18 45 20 ? 1? ? 2? ? 3? ?2 84 84 84 84

…………………………12 分

19.解: (Ⅰ)∵PA⊥平面 ABCD, BC?平面 ABCD,∴PA⊥BC, 又 AB⊥BC,PA∩ AB=A, ∴BC⊥平面 PAB, ∵BC?平面 PBC, ∴平面 PBC⊥平面 PAB.…5 分 (Ⅱ)以 A 为原点,AB 为 x 轴、AP 为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 A—xyz. 则 B (2,0,0),C (2,1,0),D (1,1,0). z 设 P (0,0,a)(a>0) , 则→=(0,1,0),→=(2,1,-a), BC PC →=(1,0,0) DC ………………8 分
B x C D y P

设 n1=(x1,y1,z1)为面 BPC 的一个法向量, → → 则 n1·BC =n1·PC =0,
?y1=0, 即? ?2x1+y1-az1=0, A

取 x1=a,y1=0,z1=2,得 n1=(a,0,2). 同理,n2=(0,a,1)为面 DPC 的一个法向量.

……………………………10 分

|n1· 2| n 2 2 依题意, |cos ?n1,n2?|=|n ||n |= =3 , 2 2 1 2 (a +4)(a +1) 解得 a2=2,或 a2=-7(舍去),所以 PA = 2. 20.解:(Ⅰ)设 R( xR , yR ) , S ( xS , yS ) , T ( xT , yT ) 则 FR ? FS ? FT ? ( xR ? ……………………12 分

p p p p p p ? xS ? ? xT ? , y R ? ? yS ? ? yT ? ) ? (0,0) …2 分 2 2 2 2 2 2
所以 x R ? xS ? xT ?

xR ?

p p p ? xS ? ? xT ? ? 0 , 2 2 2

3 p . 2

FR ? FS ? FT ? xR ?
所以

p p p ? xS ? ? xT ? ? 3 p ? 6 …………………………4 分 2 2 2
……………………… 5 分

p ? 2 ,所以 y 2 ? 4 x 为所求.

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 )

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则 k1

?

y1 ? y2 y1 ? y2 4 4 ? 2 ? ,同理 k 2 ? ……………………7 分 2 x1 ? x2 y1 ? y2 y1 ? y2 y3 ? y 4 4
1 ( y3 ? y 4 ) 4

所以

y1 ? y2 ?

设 AC 所在直线方程为 x ? ty ? m , 联立

y 2 ? 4 x 得, y 2 ? 4ty ? 4m ? 0 ,所以 y1 y3 ? ?4m ,…………………9 分
1 ? 4m ? 4m ? ) y2 y4 ? ?4m , y1 ? y2 ? ( 4 y1 y2
y1 y2 ? ?m


同理

所以

……………………………………11 分

设 AB 所在直线方程为 x ? ty ? 1 ,联立 所以 m ? 4 21 解:
' ax

y 2 ? 4 x 得, y 2 ? 4ty ? 4 ? 0 , y1 y2 ? ?4
……………………………………12 分

2 2 sin x a sin x cos x ? 1 ax sin x ? cos x ?e ? e ax ( ) (Ⅰ) f ( x) ? ae 2 cos x cos x cos2 x

……2 分

由题可知 f ( ) ? e 4 (a ? 2) ? 6e ,易知 a
'

?

?

a

?

4

? 4 ,……………………………3 分
?
a

?

令 t (a) ? e 4 (a ? 2) ,则 t (a) ?
'

a

?
4

?

e 4 (a ? 2) ? e 4 ? 0 ,则 t (a) ? e 4 (a ? 2) 为增函数所以

a

?

a

a ? 4 为 e 4 (a ? 2) ? 6e? 的唯一解. ………………………………………4 分
令 f ( x) ? e (4
' 4x

?

a

sin x 1 sin x 1 2 sin 2 x ? 1 ? ) ? e 4 x (4 ? ) ? e4 x ?0 2 2 cos x cos x cos x cos x cos 2 x

可知

f (x) 的减区间为( ?

5? ? ,? ) 12 12
……………………………………6 分

同理增区间为( ? (Ⅱ)令 g ( x) ?

?
2

,?

5? ? ? , ) )( ? , 12 12 2
sin x ? mx cos x

f ( x) ? mx ? e 4 x

g ' ( x) ? f ' ( x) ? m ? e 4 x
'

2 sin 2 x ? 1 1 ? m ? e4 x ? m ? e4 x ? m ? 1 ? m 2 2 cos x cos x

注:此过程为求 g ( x) 最小值过程,方法不唯一,只要论述合理就给分,

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若 1 ? m ? 0 则 g ' ( x ) ? 0 , g ( x) ? 则 g ( x) ?

? f ( x) ? mx 在 (0, ) 为增函数, 2

g (0) ? 0 满足题意;…………………………………………………9 分
2 sin 0 ? 1 ? m ? 1? m ? 0 cos 2 0

' ' 0 若 1 ? m ? 0 则 g (0) ? f (0) ? m ? e

g ' ( x) ? f ' ( x) ? m ? e 4 x
因为 x ? [0,

?
2

2 sin 2 x ? 1 ? m ? 4e 4 x tan x ? m ? 4 tan x ? m cos 2 x

) , tan x ? [0,??)

( 则对于任意 m ? 1 , 必存在 k ? 0, ) , 2
必 存 在 x0 ? (0, k ) 使 得 g ' ( x0 ) ? 0 则 为负数,

?

使得 g ' (k ) ? 0

g ' ( x ) 在 (0, x0 )

g (x) 在 (0, x0 ) 为 减 函 数 , 则
盾, …………………………………11 分 注: 此过程为论述当 m ? 1 时 g (x) 存在 唯一,只要论述合理就给分; 综上所述 m ? 1 注:若有同学论述 f (x) 在 (0, 扣 3 分. 22.证明:(Ⅰ) 易知 ?OC1 P ? ?PBO ? 90 , 所以 O,P,C1,B 四点共圆. ………3 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) ?OPC1 ? ?OBC1 过 F 作 FE1 ? AE 于 E1 ,交 AB 于 D1 连结 D1C1、BC1、BF 由 D1 F ∥ DC , ?OPC1 ? ?D1 FC1 所以 ?OBC1 ? ?D1 FC1 所以 B, F , C1 , D1 四点共圆.……………6 分
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?

g(

x0 )?0 2



减区间,方法不

…………………………………12 分

?
2

) 为增函数,并求 f (0) ? 1 ,所以 m ? 1 ,相当于利用图象解题
'

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所以 ?FBA ? ?FC1 D1 ? ?FEA ,由此 D1C1 ∥ AE ,………………………8 分

C1 是 FE 的中点, D1 是 FE1 的中点,所以

OG AO OH ,所以 OG =OH…10 分 23. (Ⅰ) ? ? D1 E1 AD1 D1 F

x2 ? y 2 ? 1 ,…………………………………………2 分 该椭圆的直角标方程为 2
设x?

2 cos? , y ? 2 sin ?

x ? 2 y ? 2 cos ? ? 2 sin ? ? 2 sin(? ?
所以 x ? 2 y 的取值范围是 [?2,2] (Ⅱ)设直线

?
4

)
………………………………………4 分

AB

的倾斜角为 ? ,直线 CD 的倾斜角为 ? ? ? , Q( x0 , y0 )

则直线 AB 的参数方程为 ? 代入 x
2

? x ? x0 ? t cos? ( t 为参数)(5 分) , ? x ? y0 ? t sin ?

? 2 y 2 ? 2 得: ( x0 ? t cos? )2 ? 2( y0 ? t sin ? )2 ? 2 ? 0
2 2 2 ? ? 2 sin 2 ? )t 2 ? (2x0 cos? ? 4 y0 sin ? )t ? ( x0 ? 2 y0 ? 2) ? 0

即 (cos

…7 分

设 A、B 对应参数分别为 t1、t 2 ,则 QA ? QB ? t1t 2 ?

2 2 x0 ? 2 y0 ? 2 ,……8 分 cos2 ? ? 2 sin 2 ?

同理 QC ? QD ?

2 2 2 2 x0 ? 2 y0 ? 2 x0 ? 2 y0 ? 2 ? cos2 (? ? ? ) ? 2 sin 2 (? ? ? ) cos2 ? ? 2 sin 2 ?

……………9 分

所以 QA ? QB ? QC ? QD (10 分)

?7-2x,x<3, ? 3≤x≤4, ………………………………2 分 24.解: (Ⅰ)f (x)=|x-3|+|x-4|=?1, ? ?2x-7,x>4.
5 9 作函数 y=f (x)的图象,它与直线 y=2 交点的横坐标为 2 和 2 ,由图象知 5 9 不等式 g ( x) ? 2 ? f ( x) 的定义域为[ 2 , 2 ]. …………………………5 分
y a=-2 y=2 y=f (x) y=ax-1 1 a= 2 y=ax-1 O -1 5 3 4 9 2 2 x

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(Ⅱ)函数 y=ax-1 的图象是过点(0,-1)的直线. 当且仅当函数 y=f (x)与直线 y=ax-1 有公共点时,存在题设的 x. 1 由图象知,a 取值范围为(-∞,-2)∪[ 2 ,+∞). …………………………10 分

()

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