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【解析】湖南省株洲二中2014-2015学年高二(下)第一次月考数学试卷(理科)


湖南省株洲二中 2014-2015 学年高二(下)第一次月考数学试卷 (理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.若 z 是复数,且(3+z)i=1(i 为虚数单位) ,则 z 的值为( A. ﹣3+i B.﹣3﹣i 考点:复数代数形式的混合运算. 专题:计算题. 分析:由(3+z)i=1,可得 z= 解答: 解:∵(3+z)i=1,∴z

= ,再利用两个复数代数形式的除法法则,运算求出 z 的值. =﹣3﹣i, ) C. 3+i D. 3﹣i

故选 B. 点评:本题主要考查复数代数形式的混合运算,属于基础题. 2.已知命题 p:?x∈R,sinx≤ ,则( A. sinx> C. sinx ¬p:?x∈R,sinx D. ¬p:?x∈R,

) ¬p:?x∈R,sinx B. ¬p:?x∈R,

考点:命题的否定. 专题:简易逻辑. 分析:根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可. 解答: 解:命题是全称命题,则命题的否定是特称命题, 故¬p:?x∈R,sinx> , 故选:B. 点评:本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.

3.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=5x+y 的最大值为(



A.

2

B.

3

C.

4

D. 5

考点:简单线性规划的应用. 专题:计算题.

分析:本题主要考查线性规划的基本知识, 先画出约束条件

的可行域,再求出可行

域中各角点的坐标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后易得目标函数 Z=5x+y 的最小 值.

解答: 解:满足约束条件

的可行域如图,

由图象可知: 目标函数 z=5x+y 过点 A(1,0)时 z 取得最大值,zmax=5, 故选 D.

点评:在解决线性规划的问题时,我们常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可行域 ?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证,求出最优解. 4.函数 f(x)= A. 1,2) +ln(x+1)的定义域为( (2,+∞) D. ) B.(﹣1,2)∪(2,+∞) (﹣1,2] C. (﹣

考点:对数函数的定义域. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据二次根式的性质结合对数函数的性质得到不等式组,解出即可. 解答: 解:由题意得: ,解得:﹣1<x<2,

故选:C. 点评:本题考查了二次根式的性质,考查了对数函数的性质,是一道基础题. 5.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为( )

A.

B.

C.

D. 考点:简单空间图形的三视图. 专题:作图题. 分析:由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体,是由一个三棱锥和被轴截面 截开的半个圆锥组成,根据组合体的结构特征,得到组合体的侧视图. 解答: 解:由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体, 是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成, ∴侧视图是一个中间有分界线的三角形, 故选 D. 点评:本题考查简单空间图形的三视图,考查由三视图看出原几何图形,再得到余下的三视 图,本题是一个基础题. 6. (x +2) ( A.
2

﹣1) 的展开式的常数项是( 2 B.

5

) 3 C. ﹣2 D. ﹣3

考点:二项式系数的性质. 专题:计算题;二项式定理. 分析:(x +2) (
2

﹣1) 的展开式的常数项是第一个因式取 x ,第二个因式取
5

5

2

;第一个

因式取 2,第二个因式取(﹣1) ,故可得结论. 解答: 解:第一个因式取 x ,第二个因式取
5 2

,可得
5

=5;

第一个因式取 2,第二个因式取(﹣1) ,可得 2×(﹣1) =﹣2 ∴(x +2) (
2

﹣1) 的展开式的常数项是 5+(﹣2)=3

5

故选 B. 点评:本题考查二项式定理的运用,解题的关键是确定展开式的常数项得到的途径. 7.奇函数 f(x)在(0,+∞)上的表达式为 f(x)=x+ 表达式为 f(x)=( ) ,则在(﹣∞,0)上的 f(x)的

A. D.﹣x﹣

﹣x+

B.x﹣

C. ﹣x+

考点:函数奇偶性的性质. 专题:计算题. 分析:可将 x<0 转化为﹣x>0,利用奇函数 f(x)在(0,+∞)上的表达式为 f(x)=x+ 即可解决. 解答: 解:令 x<0,则﹣x>0,∵f(x)在(0,+∞)上的表达式为 f(x)=x+ , ∴f(﹣x)= ,又 f(x)为奇函数, ,f(x)= ,



∴f(﹣x)=﹣f(x) ,∴﹣f(x)=

故选 B. 点评:本题考查函数奇偶性的性质,关键在于将 x<0 转化为﹣x>0,再结合条件利用函数奇 偶性的性质解决问题,属于中档题. 8.阅读如图程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( )

A.

7

B.

9

C.

10 D. 11

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:算法的功能是求 S=0+lg +lg +lg +…+lg 的值,根据条件确定跳出循环的 i 值. 的值,

解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 S=0+lg +lg +lg +…+lg ∵S=lg +lg +…+lg =lg >﹣1,而 S=lg +lg +…+lg =lg <﹣1,

∴跳出循环的 i 值为 9,∴输出 i=9. 故选:B. 点评:本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.

9.在△ ABC 中,∠A=120°, A. B.

=﹣1,则|

|的最小值是( 2 C.

) D. 6

考点:平面向量数量积的运算.

专题:计算题;平面向量及应用. 分析:设
2 2 2

,则根据数量积的定义算出
2 2 2 2 2

=2,即

bc=2.由余弦定理得 a =b +c +bc,结合基本不等式 b +c ≥2bc 可得 a =b +c +bc≥3bc=6,可得 a 的最小值为 ,即得| |的最小值. =﹣1, =2

解答: 解:∵∠A=120°, ∴ 设
2 2 2

=﹣1,解之得 ,则 bc=2
2 2

由余弦定理,得 a =b +c ﹣2bccos120°=b +c +bc 2 2 ∵b +c ≥2bc 2 2 2 ∴a =b +c +bc≥3bc=6,可得 a 的最小值为 即| |的最小值为

故选:C 点评:本题给出△ ABC 两边 b、c 的夹角,且在已知 =﹣1 的情况下求边 a 的最小值,

着重考查了向量数量积的公式、余弦定理和用基本不等式求最值等知识,属于中档题. 10.设集合 I={1,2,3,4,5}.选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中 最大的数,则不同的选择方法共有( ) A. 50 种 B.49 种 C. 48 种 D. 47 种 考点:组合及组合数公式. 专题:压轴题;分类讨论. 分析: 解法一,根据题意,按 A、B 的元素数目不同,分 9 种情况讨论,分别计算其选法种 数,进而相加可得答案; 解法二,根据题意,B 中最小的数大于 A 中最大的数,则集合 A、B 中没有相同的元素,且 都不是空集,按 A、B 中元素数目这和的情况,分 4 种情况讨论,分别计算其选法种数,进而 相加可得答案. 解答: 解: 解法一,若集合 A、B 中分别有一个元素,则选法种数有 C5 =10 种; 3 若集合 A 中有一个元素,集合 B 中有两个元素,则选法种数有 C5 =10 种; 4 若集合 A 中有一个元素,集合 B 中有三个元素,则选法种数有 C5 =5 种; 5 若集合 A 中有一个元素,集合 B 中有四个元素,则选法种数有 C5 =1 种; 3 若集合 A 中有两个元素,集合 B 中有一个元素,则选法种数有 C5 =10 种; 4 若集合 A 中有两个元素,集合 B 中有两个元素,则选法种数有 C5 =5 种; 5 若集合 A 中有两个元素,集合 B 中有三个元素,则选法种数有 C5 =1 种; 4 若集合 A 中有三个元素,集合 B 中有一个元素,则选法种数有 C5 =5 种; 5 若集合 A 中有三个元素,集合 B 中有两个元素,则选法种数有 C5 =1 种;
2

若集合 A 中有四个元素,集合 B 中有一个元素,则选法种数有 C5 =1 种; 总计有 49 种,选 B. 解法二:集合 A、B 中没有相同的元素,且都不是空集, 2 从 5 个元素中选出 2 个元素,有 C5 =10 种选法,小的给 A 集合,大的给 B 集合; 3 从 5 个元素中选出 3 个元素,有 C5 =10 种选法,再分成 1、2 两组,较小元素的一组给 A 集 合,较大元素的一组的给 B 集合,共有 2×10=20 种方法; 从 5 个元素中选出 4 个元素,有 C5 =5 种选法,再分成 1、3;2、2;3、1 两组,较小元素的 一组给 A 集合,较大元素的一组的给 B 集合,共有 3×5=15 种方法; 5 从 5 个元素中选出 5 个元素,有 C5 =1 种选法,再分成 1、4;2、3;3、2;4、1 两组,较小 元素的一组给 A 集合,较大元素的一组的给 B 集合,共有 4×1=4 种方法; 总计为 10+20+15+4=49 种方法.选 B. 点评:本题考查组合数公式的运用,注意组合与排列的不同,进而区别运用. 11.有一容积为 1 立方单位的正方体容器 ABCD﹣A1B1C1D1,在棱 AB、BB1 及对角线 B1C 的中点各有一小孔 E、F、G,若此容器可以任意放置,则该容器可装水的最大容积是( )
4

5

A.

B.

C.

D.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:根据正方体的几何特征,我们选取过 E,B1,G 三点的平面去截正方体,根据棱锥的体 积公式, 易求出切下的小三棱锥的体积, 进而求出剩下的即容器可装水的容积, 进而得到答案. 解答: 解:以 E,B1,G 三点组成的平面去截正方体 截去一个三棱锥 其底面为△ EBB1,面积 S= a×1× = 高为 h=1 截去一个三棱锥体积为 V= S?h= ? ?1= 当 E,B1,G 三点在同一水平面时,F 点在水平面之上 E,F,G 三点都不漏水 其可装水最大容积 1﹣ =

故选 C. 点评:本题考查的知识点是棱锥的体积,其中根据正方体的几何特征确定出选取过 E,B1,G 三点的平面去截正方体时, 该容器可装水的容积最大是解答本题的关键, 本题易将该容器可装 水的容积最大时的情况错理解过水面过 EFG 三点,而错解为 B.

12.设离心率为 e 的双曲线 C:

的右焦点为 F,直线 l 过焦点 F, ) 2 2 C. e ﹣k >1

且斜率为 k,则直线 l 与双曲线 C 的左右两支都相交的充要条件是( 2 2 2 2 A. k ﹣e >1 B.k ﹣e <1 2 2 D.e ﹣k <1

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;双曲线的简单性质. 专题:计算题. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 分析:设直线方程为: y=k (x﹣c) 代入双曲线方程得: (b ﹣a k ) x +2a k cx﹣a k c ﹣a b =0, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 方程有两根,x1?x2=(﹣a k c ﹣a b )÷(b ﹣a k )<0,因﹣a k c ﹣a b 必定小于 0,故只 2 2 2 需:b ﹣a k >0 即可,由此能求出结果. 解答: 解:由题意可设直线方程为:y=k(x﹣c)代入双曲线方程得: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (b ﹣a k )x +2a k cx﹣a k c ﹣a b =0,方程有两根,可设为 x1>0,x2<0: 2 2 2 2 2 2 2 2 x1?x2=(﹣a k c ﹣a b )÷(b ﹣a k )<0, 2 2 2 2 2 2 2 2 因﹣a k c ﹣a b 必定小于 0,故只需:b ﹣a k >0 即可, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b ﹣a k =c ﹣a ﹣a k =a e ﹣a ﹣a k =a (e ﹣1﹣k )>0 2 2 e ﹣1﹣k >0, 2 2 e ﹣k >1. 故选 c. 点评:本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断和应用,解题时要认真审题,注意双 曲线的性质的灵活运用. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知向量 λ= ﹣ . 是两个不共线的向量,若 与 共线,则

考点:平行向量与共线向量. 专题:平面向量及应用. 分析:由向量 是两个不共线的向量,以 、 为基底,把 、 用坐标表示,利用

共线的定义,求出 λ 的值. 解答: 解:∵向量 则 又∵ 、 共线, ∴2λ﹣(﹣1)×1=0; 解得 λ=﹣ . 是两个不共线的向量,不妨以 =(1,λ) ; 、 为基底,

=(2,﹣1) ,

故答案为:



点评:本题考查了平面向量的应用问题,解题时应利用平面向量的坐标表示进行解答,是基 础题. 14.集合 A={x|x +x﹣6=0},B={x|mx+1=0},若 B?A,则实数 m 的值 是. m .
2

考点:集合的包含关系判断及应用. 专题:集合. 分析:求出集合 A={2,﹣3},根据条件容易判断 m≠0,从而 B={x|x= 可得到 解答: 解:A={2,﹣3}; 若 m=0,则 B=?,则 B?A; ∴m≠0,此时 B={x|x= ∵B?A; ∴ ∴ 故答案为:m ,且 ; . . }; ,这样便可得出实数 m 的值. },根据 B?A 从而

点评:考查一元二次方程的解法,描述法表示集合,列举法表示集合,以及子集的概念,空 集和任何集合的关系. 15.若函数 y=lnx+2x﹣6 的零点为 x0,则满足 k≤x0 的最大整数 k= 2 . 考点:函数的零点. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用函数零点的判定定理即可得出. 解答: 解:∵f(2)=ln2﹣2<0,f(3)=ln3>0,∴函数 y=lnx+2x﹣6 的零点 x0∈(2,3) . ∴满足 k≤x0 的最大整数 k=2. 故答案为 2. 点评:熟练掌握函数零点的判定定理是解题的关键.

16.设定义域为 R 的函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 2f (x)﹣(2a+3)

2

f(x)+3a=0 有五个不同的实数解,则 a 的取值范围是

1<a< 或 <x<2 .

考点:函数的零点与方程根的关系. 专题:函数的性质及应用. 分析:作出 f(x)的图象,利用换元法结合一元二次函数的图象和性质即可. 解答: 解:作出 f(x)的图象如图:设 t=f(x) , 2 则方程等价为 2t ﹣(2a+3)t+3a=0, 由图象可知, 若关于 x 的方程 2f (x)﹣(2a+3)f(x)+3a=0 有五个不同的实数解, ∴即要求对应于 f(x)等于某个常数有 3 个不同实数解, ∴故先根据题意作出 f(x)的简图: 由图可知,只有当 f(x)=a 时,它有三个根. 所以有:1<a<2 ①. 再根据 2f (x)﹣(2a+3)f(x)+3a=0 有两个不等实根, 2 则判别式△ =(2a+3) ﹣4×2×3a>0, 解得 a≠ , 故 1<a< 或 <x<2, 故答案为:1<a< 或 <x<2
2 2

点评:本题主要考查函数和方程的应用,利用换元法结合一元二次函数的图象和性质,利用 数形结合是解决本题的关键. 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.在△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边长,已知△ ABC 的周长为 sinA+sinB= sinC,且△ ABC 的面积为 sinC.

+1,

(1)求边 AB 的长; (2)求 tan(A+B)的值. 考点:正弦定理;余弦定理. 专题:解三角形. 分析: (1)由三角形周长得到三边之和,已知等式利用正弦定理化简得到关系式,两式联 立求出 AB 的长即可;

(2)利用三角形面积公式列出关系式,把已知面积代入求出 BC?AC 的值,利用余弦定理表 示出 cosC, 利用完全平方公式变形后, 把各自的值代入求出 cosC 的值, 进而求出 sinC 与 tanC 的值,原式利用诱导公式化简,把 tanC 的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (1)∵△ABC 的周长为 +1,∴AB+BC+AC= +1, 又 sinA+sinB= sinC,∴由正弦定理得:BC+AC= AB, 两式相减,得 AB=1; (2)由△ ABC 的面积 BC?ACsinC= sinC,得 BC?AC= ,

由余弦定理得 cosC=

=

=

= ,

又 C 为三角形内角,∴sinC=

=

,即 tanC=2



则 tan(A+B)=﹣tanC=﹣2 . 点评:此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形的面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题 的关键. 18.如图,ABCD 是正方形,DE⊥平面 ABCD,AF∥DE,DE=DA=3AF. (Ⅰ) 求证:AC⊥BE; (Ⅱ) 求面 FBE 和面 DBE 所形成的锐二面角的余弦值.

考点:二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)通过 DE⊥平面 ABCD,证明 DE⊥AC,推出 AC⊥平面 BDE,然后证明 AC⊥BE. (Ⅱ)以 DA,DC,DE 为坐标轴,建立空间直角坐标系 D﹣xyz,设 AD=3,求出相关点的坐 标,平面 BEF 的法向量,平面 BDE 的法向量,通过向量的数量积求解面 FBE 和面 DBE 所形 成的锐二面角的余弦值. 解答: (Ⅰ)证明:因为 DE⊥平面 ABCD, 所以 DE⊥AC.…(1 分) 因为 ABCD 是正方形, 所以 AC⊥BD, 所以 AC⊥平面 BDE,…(3 分) 从而 AC⊥BE.…(4 分) (Ⅱ)解:因为 DA,DC,DE 两两垂直, 所以建立空间直角坐标系 D﹣xyz 如图所示.…(5 分) 设 AD=3,可知 DE=3,AF=1.…(6 分)

则 D(0,0,0) ,A(3,0,0) ,F(3,0,1) ,E(0,0,3) ,B(3,3,0) ,C(0,3,0) , 所以 , ,…(7 分)

设平面 BEF 的法向量为 =(x,y,z) ,则

,即



令 z=3,则 =(2,1,3) .…(10 分) 因为 AC⊥平面 BDE,所以 为平面 BDE 的法向量, ,

所以 cos

=

=

…(12 分)

所以面 FBE 和面 DBE 所形成的锐二面角的余弦值为

.…(13 分)

点评:本题考查直线与平面垂直的判断与性质,二面角的平面角的求法,考查空间想象能力 以及计算能力. 19.某地区举行环保知识大赛,比赛分初赛和决赛两部分,初赛采用选用选一题答一题的方 式进行,每位选手最多有 5 次选题答题的机会,选手累计答对 3 题或答错 3 题即终止其初赛 的比赛,答对 3 题直接进入决赛,答错 3 次者则被淘汰,已知选手甲连续两次答错的概率为 (已知甲回答每个问题的正确率相同,且相互之间没有影响) (I)求甲选手回答一个问题的正确率; (II)求选手甲进入决赛的概率; (III)设选手甲在初赛中的答题的个数为 ξ,试求 ξ 的分布列,并求出 ξ 的数学期望. 考点:离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式. 专题:综合题;分类讨论. 分析: (I)甲答对一个问题的正确率为 P1 由题意, ,解方程求出正答率

(II)由题意进入决赛至少答对三道题,故进行决赛分为三类事件,答对三题入决赛,四题入 决赛,五题入决赛,分别算出这三个事件的概率,求其和即可;

(III)ξ 的取值为 3,4,5,对应的事件分别是前三个题全部答对,前四个题答对了三个,其 中第四题一定对, 前五个题答对了三个, 第五个一定答对, 分别求出它们的概率, 列出分布列, 求出期望. 解答: 解: (I)设甲答对一个问题的正确率为 P1 由题意: 所以,甲答对一个问题的正确率为 …(3 分) (II)甲答了 3 道题进入决赛的概率为 甲答了 4 道题进入决赛的概率为 甲答了 5 道题进入决赛的概率为 故选手甲进入决赛的概率为 所以,选手甲进入决赛的概率为 (III)ξ 的取值为 3,4,5,其中 .…(7 分)

所以,ξ 的分布列为 其数学期望为 点评:本题考查离散型随机变量的分布列与期望,解题的关键是根据概率公式求出分布列, 再由求期望的公式求出期望.

20.已知椭圆 Ω:

+

=1(a>b>0)的焦距为 2

,且经过点(1,

) .

(Ⅰ)求椭圆 Ω 的方程;

(Ⅱ)A 是椭圆 Ω 与 y 轴正半轴的交点,椭圆 Ω 上是否存在两点 M、N,使得△ AMN 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由. 考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质. 专题:计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)由椭圆的 a,b,c 的关系和已知点在椭圆上,解方程即可得到 a,b,进而得 到椭圆方程; (Ⅱ)由题意可知,直角边 AM,AN 不可能垂直或平行于 x 轴,故可设 AM 所在直线的方程 为 y=kx+1,不妨设 k>0,联立直线方程和椭圆方程,消去 y,解方程求得 M 的坐标,同样求 得 N 的坐标,由 AM=AN,求得 k,讨论 k,即可判断符合条件的三角形的个数.
2 2

解答: 解: (Ⅰ)由题意可得,

解得 a =4,b =1,

所以椭圆 Ω 的方程为



(Ⅱ)由题意可知,直角边 AM,AN 不可能垂直或平行于 x 轴, 故可设 AM 所在直线的方程为 y=kx+1,不妨设 k>0, 则直线 AM 所在的方程为 .
2 2

联立方程

,消去 y,整理得(1+4k )x +8kx=0, ,

解得



,代入 y=kx+1 可得,



故点



所以



同理可得
3 2

,由|AM|=|AN|,得 k(4+k )=1+4k ,
2

2

2

所以 k ﹣4k +4k﹣1=0,则(k﹣1) (k ﹣3k+1)=0,解得 k=1 或 当 AM 斜率 k=1 时,AN 斜率﹣1;当 AM 斜率 当 AM 斜率 时,AN 斜率 . 时,AN 斜率

. ;

综上所述,符合条件的三角形有 3 个.

点评:本题考查椭圆的方程和性质,考查直线方程和椭圆方程联立,解交点,考查两直线垂 直的条件,考查运算能力,属于中档题.

21.设函数 (Ⅰ)当 a=1 时,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a>1 时,讨论函数 f(x)的单调性. (Ⅲ) 若对任意 a∈ (3, 4) 及任意 x1, x2∈, 恒有 成立,求实数 m 的取值范围.



考点:导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:综合题;压轴题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)确定函数的定义域,利用导数的正负,确定函数的单调性,从而可求函数的 极值;

(Ⅱ)求导函数 f′(x)=

,分类讨论,利用导数的正负,

确定函数的单调性; (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a∈(3,4)时,f(x)在上单调递减,从而可得 对任意 a∈(3,4) ,恒有

,等价于 m> 论. 解答: 解: (Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞) 当 a=1 时,f(x)=x﹣lnx,则 f′(x)= 令 f′(x)>0,可得 x<0 或 x>1,∵x>0,∴x>1; 令 f′(x)<0,可得 0<x<1,∵x>0,∴0<x<1; ∴x=1 时,函数 f(x)取得极小值为 1; (Ⅱ)f′(x)=

,求出右边函数的值域,即可求得结

当 当 当

,即 a=2 时, , 即 a>2 时, 令 f( ′ x) <0, 得

,f(x)在(0,+∞)上是减函数; 或 x>1; 令 f( ′ x) >0, 得 ; 令f ( ′ x) >0, 得

, 即 1<a<2 时, 令f ( ′ x) <0, 得 0<x<1 或 x>

综上,当 a=2 时,f(x)在定义域上是减函数;

当 a>2 时,f(x)在(0,

)和(1,+∞)上单调递减,在(

,1)上单调递增; )上单调递增;

当 1<a<2 时,f(x)在(0,1)和(

,+∞)上单调递减,在(1,

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a∈(3,4)时,f(x)在上单调递减 ∴当 x=1 时,f(x)有最大值,当 x=2 时,f(x)有最小值 ∴

∴对任意 a∈(3,4) ,恒有

∴m>

构造函数

,则

∵a∈(3,4) ,∴

∴函数

在(3,4)上单调增

∴g(a)∈(0, ∴m≥ .



点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,考查分类讨论的数学思想,考 查恒成立问题,分离参数是关键. 四、选考解答题(本大题共 3 小题,任选一题作答,共 10 分,解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤.注意,如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时在答题卡上所选题号 下方打√) 22.如图,⊙O 是△ ABC 的外接圆,D 是
2

的中点,BD 交 AC 于 E.

(Ⅰ)求证:DC =DE?DB; (Ⅱ)若 CD=2 ,O 到 AC 的距离为 1,求⊙O 的半径 r.

考点:与圆有关的比例线段;相似三角形的判定;相似三角形的性质. 专题:选作题. 分析: (I)先证明△ BCD∽△CED,可得 (II)OD⊥AC,设垂足为 F,求出 CF= ,从而问题得证; ,利用 DC =CF +DF ,建立方程,即可求得
2 2 2

⊙O 的半径. 解答: (I)证明:连接 OD,OC,由已知 D 是弧 AC 的中点,可得∠ABD=∠CBD ∵∠ABD=∠ECD ∴∠CBD=∠ECD ∵∠BDC=∠EDC ∴△BCD∽△CED ∴ ∴CD =DE?DB. (II)解:设⊙O 的半径为 R ∵D 是弧 AC 的中点 ∴OD⊥AC,设垂足为 F 在直角△ CFO 中,OF=1,OC=R,CF= 在直角△ CFD 中,DC =CF +DF ∴ ∴R ﹣R﹣6=0 ∴(R﹣3) (R+2)=0 ∴R=3
2 2 2 2 2

点评:本题是选考题,考查几何证明选讲,考查三角形的相似与圆的性质,属于基础题. 23. (2014?福建模拟)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半

轴建立平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .

(1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; (2)设曲线 C 与直线 l 相交于 P、Q 两点,以 PQ 为一条边作曲线 C 的内接矩形,求该矩形 的面积. 考点:参数方程化成普通方程;点的极坐标和直角坐标的互化.

专题:直线与圆. 分析: (1)利用公式 x=ρcosθ,y=ρsinθ 即可把曲线 C 的极坐标方程化为普通方程;消去参 数 t 即可得到直线 l 的方程; (2) 利用弦长|PQ|=2 的面积. 解答: 解: (1)对于 C:由 ρ=4cosθ,得 ρ =4ρcosθ,进而 x +y =4x;
2 2 2

和圆的内接矩形,得对角线是圆的直径即可求出圆的内接矩形

对于 l:由

(t 为参数) ,



,即

. (5 分)

(2)由(1)可知 C 为圆,且圆心为(2,0) ,半径为 2, 则弦心距 ,

弦长



因此以 PQ 为边的圆 C 的内接矩形面积 . (10 分) 点评:本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程向直角坐标方 程转化,参数方程向普通方程转化,以及圆内几何图形的性质等. 24. (2015?河南二模)设函数 f(x)=| x+1|+|x|(x∈R)的最小值为 a. (I)求 a; (Ⅱ)已知两个正数 m,n 满足 m +n =a,求 + 的最小值.
2 2

考点:绝对值三角不等式;基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (I)化简函数的解析式,再利用函数的单调性求得函数的最小值,再根据函数的最 小值为 a,求得 a 的值. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 m +n =1,利用基本不等式求得 值.
2 2

≥2,再利用基本不等式求得 + 的最小

解答: 解: (I)函数 f(x)=| x+1|+|x|=



当 x∈(﹣∞,0]时,f(x)单调递减;当 x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增, 所以当 x=0 时,f(x)的最小值 a=1.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 m +n =1,由 m +n ≥2mn,得 mn≤ ,∴ 故有 + ≥2 ≥2 ,当且仅当 m=n= . 时取等号.

2

2

2

2

≥2

所以 + 的最小值为 2

点评:本题主要考查带有绝对值的函数,利用函数的单调性求函数的最值,基本不等式的应 用,属于中档题.


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