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【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理):《空间向量及其运算》


空间向量及其运算
分层训练 A 级 基础达标演练 (时间:30 分钟 满分:60 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1.给出下列四个命题: ①若 p=xa+yb,则 p 与 a,b 共 面; ②若 p 与 a,b 共面,则 p=xa+yb. → → → ③若MP=xMA+yMB,则 P,M,A、B 共面; → → → ④若 P,M,A,B 共面,则MP=

xMA+yMB. 其中真命题的序号是________. 解析 其中①③为正确命题. 答案 ①③ 2. 如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 A1C1 与 B1D1 → → → → 的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则BM用 a,b,c 表示为 ________. 解析

BM=BB1+B1M=AA1+ (AD-AB)=c+ (b-a)=- a









1 → 2



1 2

1 2

1 + b+c. 2 1 1 答案 - a+ b+c 2 2 3.(2011·苏州期末)已知 a=(λ +1,0,2),b=(6,2μ -1,2λ ),若 a∥b,则 λ 与 μ 的 值是________. λ +1 2 ? ? = , 2λ 解析 由题意知:? 6 ? ?2μ -1=0, 1 1 答案 2, 或-3, 2 2 4.已知 a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为________. 解析 b-a=(1+t,2t-1,0), ∴|b-a| = +t
2

λ =2, ? ? 解得? 1 μ = ? 2 ?

λ =-3, ? ? 或? 1 μ = . ? 2 ?



t-

2



? 1?2 9 5?t- ? + , ? 5? 5

1 3 5 ∴当 t= 时,|b-a|取得最小值为 . 5 5 答案 3 5 5

[来源:Zxxk.Com]

π 5. 如图,已知空间四边形 OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC= ,则 3 → → cos〈OA,BC〉的值为________. → → → 解析 设OA=a,OB=b,OC=c π 由已知条件〈a,b〉=〈a,c〉= ,且|b|=|c|, 3 →

OA·BC=a·(c-b)=a·c-a·b
1 1 → → = |a||c|- |a| |b|=0, ∴cos〈OA,BC〉=0. 2 2 答案 0
[来源:学§科§网]



6.已知 a+3b 与 7a-5b 垂直,且 a-4b 与 7a-2b 垂直,则 〈a,b〉=________. 解析 由条件知(a+3b)·(7a-5b) =7|a| +16a·b-15|b| =0, 及(a-4b)·(7a-2b)=7|a| +8|b| -30a·b=0. 1 2 2 两式相减,得 46a·b=23|b| ,∴a·b= |b| . 2 代入上面两个式子中任 意一个,即可得到|a|=|b|. 1 2 |b | a·b 2 1 ∴cos〈a,b〉= = 2 = . |a||b| |b| 2 ∵〈a,b〉∈[0°,180°],∴〈a,b〉=60°. 答案 60° 二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 7.若 a=(1,5,-1),b=(-2,3,5). (1)若(ka+b)∥(a-3b),求 k; (2)若(ka+b)⊥(a- 3b),求 k. 解 ka+b=(k-2,5k+3,-k+5),
2 2
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

2

2

a-3b=(1+3×2,5-3×3,-1-3×5)
=(7,-4,-16). (1)∵(ka+b)∥(a-3b),



k-2 5k+3 -k+5
7 = -4 =

1 ,解得 k=- . -16 3

(2)∵(ka+b)⊥(a-3b), ∴(k-2)×7+(5k+3)×(-4)+(-k+5)×(-16)=0. 106 解得 k= . 3 8. 如图,已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a, 点 M、N 分别是 AB、CD 的中点. (1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD; (2)求 MN 的长. 解 (1)设 A B =p,A C =q,A D =r. 由题意可知:|p|=|q|=|r|=a,且 p、q、r 三向量两两夹角均为 60°.







→ → → 1 → → 1 → M N =A N -A M = (A C +A D )- A B
2 2 1 = (q+r-p), 2

→ → 1 ∴M N ·A B = (q+r-p)·p 2
1 2 = (q·p+r·p-p ) 2 1 2 2 2 = (a ·cos 60°+a ·cos 60°-a )=0. 2 ∴MN⊥AB,同理可证 MN⊥CD. 1 (2)由(1)可知,MN= (q+r-p). 2

→2 →2 1 2 ∴|M N |=MN = (q+r-p) 4
1 2 2 2 = [q +r +p +2(q·r-p·q-r·p)] 4 1? 2 a ?a a a ?? 1 2 2 2 = ?a +a +a +2? - - ??= ×2a = . 4? 2 ? 2 2 2 ?? 4 ∴|M N |=
2 2 2 2



2 2 a,∴MN 的长为 a. 2 2 分层训练 B 级 创新能力提升

→ 1→ 1.(2011·常州月考)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在 AC1 上且AM= MC1,N 为 B1B 2 → 的中点,则|MN|为________.

解析 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz, 则 A(a,0,0),C1(0,a,a),N?a,a, ?. 2? ? 设 M(x,y,z), → 1→ ∵点 M 在 AC1 上且AM= MC1, 2 1 ∴(x-a,y,z)= (-x,a-y,a-z), 2 2 a a ?2a a a? ∴x= a,y= ,z= .得 M? , , ?, 3 3 3 ? 3 3 3? → ∴|MN|= 答案 21 a 6
[来源:Z*xx*k.Com]

?

a?

?a-2a?2+?a-a?2+?a-a?2= 21a. ? 3 ? ? 3? ?2 3? 6 ? ? ? ? ? ?
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

2.在下列条件中,使 M 与 A、B、C 一定共面的是________. → → → → → 1→ 1→ 1→ ①OM=2OA-OB-OC;②OM= OA+ OB+ OC; 5 3 2 → → → → → → → ③MA+MB+MC=0;④OM+OA+OB+OC=0; → → → → → → → → → 解析 ∵MA+MB+MC=0,∴MA=-MB-MC,则MA、MB、MC为共面向量,即 M、A、B、C 四点共面. 答案 ③ 3.已知 a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以 a,b 为邻边的平行四边形的面积为________. 解析 |a|= 2 + -
2 2

+2 =3,|b|= 2 +2 +1 =3,

2

2

2

2

a·b 4 65 a·b=2×2+(-1)×2+2×1=4,∴cos〈a,b〉= = ,sin〈a,b〉= ,S |a||b| 9 9
平行四边形

=|a||b|sin〈a,b〉= 65. 65

答案

4.已知 ABCD-A1B1C1D1 为正方体,给出下列四个命题: → → → 2 → → → → → 2 ①(A1A+A1D1+A1B1) =3A1B1 ; ②A1C·(A1B1-A1A)=0; ③向量AD1与向量A1B的夹角是 60°;

→ → → ④正方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为|A B ·AA1·A D |.其中正确命题的序号是________.
→ → → 2 →2 → → 解析 设正方体的棱长为 1, ①中(A1A+A1D1+A1B1) =3A1B1 =3, 故①正确; ②中A1B1-A1A → → → =AB1,由于 AB1⊥A1C,故②正确;③中 A1B 与 AD1 两异面直线所成角为 60°,但AD1与A1B → → → 的夹角为 120°, 故③不正确;④中|AB·AA1·AD|=0.故④也不正确. 答案 ①②

→ → → 5.已知非零向量 e1,e2 不共线,如果AB=e1+e2,AC=2e1+8e2,AD=3e1-3e2,求证:A、B、

C、D 共面.
证明 令 λ (e1+e2)+μ (2e1+8e2)+v(3 e1-3e2)=0. 则(λ +2μ +3v)e1+(λ +8μ -3v)e2=0.
? ?λ +2μ +3v=0 ∵e1,e2 不共线,∴ ? ?λ +8μ -3v=0 ?

.

λ =-5 ? ? 易知?μ =1 ? ?v=1

→ → → 是其中一组解,则-5AB+AC+AD=0.

∴A、B、C、D 共面. 6. 如图所示, 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1, 点 E,F,G 分别是 AB、AD、CD 的中点,计算: → → (1)EF·BA; (3)EG 的长; (4)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值. → → → 解 设AB=a,AC=b,AD=c. 则|a|=|b|=|c|=1 , 〈a,b〉=〈b,c〉 =〈c,a〉=60°, → → → (2)EF·DC;

EF= BD= c- a,BA=-a,DC=b-c,
1 ? → → ?1 (1)EF·BA=? c- a?·(-a) ?2 2 ? 1 2 1 1 = a - a·c= , 2 2 4 → → 1 (2)EF·DC= (c-a)·(b-c) 2 1 1 2 = (b·c-a·b-c +a·c)=- ; 2 4 1 1 → → → → 1 (3)EG=EB+BC+CG= a+b-a+ c- b 2 2 2 1 1 1 =- a+ b+ c, 2 2 2 1 1 → 2 1 2 1 2 1 2 1 |EG| = a + b + c - a·b+ b·c- c·a 4 4 4 2 2 2 1 2 → = ,则|EG|= . 2 2

1→ 1 2 2

1 2





1 → 1 1 → → → (4)AG= b+ c,CE=CA+AE=-b+ a, 2 2 2 → → AG·CE 2 → → cos〈AG,CE〉= =- , → → 3 |AG||CE|

? π? 由于异面直线所成角的范围是?0, ?, 2? ?
2 所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为 . 3


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