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高考数学(人教a版,理科)题库:数学归纳法(含答案)


第3讲
一、选择题

数学归纳法

1. 利用数学归纳法证明“1+a+a2+?+an+1= 证 n=1 成立时,左边应该是( A 1 C 1+a+a2 解析 答案 )

1-an+2 (a≠1, n∈N*)”时,在验 1-a

B 1+a D 1+a+a2+a3

当 n=1 时,左边=1+a+a2,故选 C. C

2.用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”,在第二 步时,正确的证法是 A.假设 n=k(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 B.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+1 命题成立 C.假设 n=2k+1(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 D.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+2 命题成立 解析 A、B、C 中,k+1 不一定表示奇数,只有 D 中 k 为奇数,k+2 为奇 数. 答案 D 1 1 1 3.用数学归纳法证明 1-2+3-4+?+ 1 1 1 1 1 -2n= + +?+2n,则 2n-1 n+1 n+2 ( ). ( ).

当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上 1 A. 2k+2 1 1 C. - 2k+1 2k+2 B.- D. 1 2k+2

1 1 + 2k+1 2k+2

1 1 1 1 1 解析 ∵当 n=k 时,左侧=1-2+3-4+?+ -2k,当 n=k+1 时, 2k-1 1 1 1 1 1 1 1 左侧=1-2+3-4+?+ -2k+ - . 2k-1 2k+1 2k+2 答案 C

4.对于不等式 n2+n<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法的证明过程如下: (1)当 n=1 时, 12+1<1+1,不等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*且 k≥1)时,不等式成立,即 k2+k<k+1,则当 n=k+ 1 时, ?k+1?2+?k+1?= k2+3k+2< ?k2+3k+2?+?k+2?= ?k+2?2=(k+ 1)+1, 所以当 n=k+1 时,不等式成立,则上述证法 A.过程全部正确 B.n=1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 解析 在 n=k+1 时,没有应用 n=k 时的假设,故推理错误. 答案 D 5.下列代数式(其中 k∈N*)能被 9 整除的是( A.6+6·7k C.2(2+7k+1) ) B.2+7k-1 D.3(2+7k) ( ).

解析 (1)当 k=1 时,显然只有 3(2+7k)能被 9 整除. (2)假设当 k=n(n∈N*)时,命题成立,即 3(2+7n)能被 9 整除, 那么 3(2+7n+1)=21(2+7n)-36. 这就是说,k=n+1 时命题也成立. 由(1)(2)可知,命题对任何 k∈N*都成立. 答案 D

6.已知 1+2×3+3×32+4+33+?+n×3n-1=3n(na-b)+c 对一切 n∈N*都成 立,则 a、b、c 的值为 1 1 A.a=2,b=c=4 1 C.a=0,b=c=4 解析 1 B.a=b=c=4 D.不存在这样的 a、b、c ( ).

∵ 等 式 对 一 切 n ∈ N* 均 成 立 , ∴ n = 1,2,3 时 等 式 成 立 , 即

c, ?1=3?a-b?+ ?1+2×3=32?2a-b?+c, ?1+2×3+3×32=33?3a-b?+c,

?3a-3b+c=1, 整理得?18a-9b+c=7, ?81a-27b+c=34,
1 1 解得 a=2,b=c=4. 答案 A 二、填空题 7.用数学归纳法证明不等式 1 1 1 13 + +?+ >24的过程中,由 n=k 推导 n+1 n+2 n+n

n=k+1 时,不等式的左边增加的式子是________. 解析 填 不等式的左边增加的式子是 1 1 1 1 + - = ,故 2k+1 2k+2 k+1 ?2k+1??2k+2?

1 . ?2k+1??2k+2? 1 ?2k+1??2k+2?

答案

8. 用数学归纳法证明: 12 22 n2 n(n+1) + +?+ = ;当推证当 n=k+1 等式也成 1×3 3×5 (2n-1)(2n+1) 2(2n+1) 立时,用上归纳假设后需要证明的等式是 解析 当 n=k+1 时, 12 22 k2 (k+1)2 + +?+ + 1×3 3×5 (2k-1)(2k+1) (2k+1)(2k+3) = k(k+1) (k+1)2 + 2(2k+1) (2k+1)(2k+3) .

k(k+1) (k+1)2 故只需证明 + 2(2k+1) (2k+1)(2k+3) = (k+1)(k+2) 即可. 2(2k+3)

答案

k(k+1) (k+1) (k+1)(k+2) + = 2(2k+1) (2k+1)(2k+3) 2(2k+3)

2

9.已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3), (3,2),(4,1),(1,5),(2,4),?,则第 60 个数对是________. 解析 本题规律:2=1+1;3=1+2=2+1; 4=1+3=2+2=3+1; 5=1+4=2+3=3+2=4+1; ?; 一个整数 n 所拥有数对为(n-1)对. 设 1+2+3+?+(n-1)=60,∴ ?n-1?n 2 =60,

∴n=11 时还多 5 对数,且这 5 对数和都为 12, 12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7, ∴第 60 个数对为(5,7). 答案 (5,7) 1 10.在数列{an}中,a1= 且 Sn=n(2n-1)an,通过计算 a2,a3,a4,猜想 an 的表 3 达式是________. 解析 1 1 当 n=2 时,a1+a2=6a2,即 a2= a1= ; 5 15

当 n=3 时,a1+a2+a3=15a3, 即 a3= 1 1 (a1+a2)= ; 14 35

当 n=4 时,a1+a2+a3+a4=28a4, 即 a4= 1 1 (a1+a2+a3)= . 27 63

1 1 1 1 1 1 1 ∴a1= = ,a2= = ,a3= = ,a4= , 3 1×3 15 3×5 35 5×7 7×9 故猜想 an= 答案 1

n-
1

n+ n+

.

an=

n-

三、解答题 1 1 1 n 11.已知 Sn=1+2+3+?+n(n>1,n∈N*),求证:S2n>1+2(n≥2,n∈N*). 1 1 1 25 2 证明 (1)当 n=2 时,S2n=S4=1+2+3+4=12>1+2,即 n=2 时命题成立; 1 1 1 k (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即 S2k=1+2+3+?+2k>1+2, 1 1 1 1 1 k 1 则当 n=k+1 时,S2k+1=1+2+3+?+2k+ k +?+ k+1>1+2+ k + 2 +1 2 2 +1 k+1 1 1 k 2k k 1 + ? + >1 + + , k k+1 k k=1+ + =1+ 2 2 +2 2 2 2 2 +2 2 故当 n=k+1 时,命题成立. n 由(1)和(2)可知,对 n≥2,n∈N*.不等式 S2n>1+2都成立. 12.已知数列{an}:a1=1,a2=2,a3=r,an+3=an+2(n∈N*),与数列{bn}:b1 =1,b2=0,b3=-1,b4=0,bn+4=bn(n∈N*).记 Tn=b1a1+b2a2+b3a3+? +bnan. (1)若 a1+a2+a3+?+a12=64,求 r 的值; (2)求证:T12n=-4n(n∈N*). (1)解 a1 + a2 + a3+?+a12 =1 +2+r + 3+ 4+ (r + 2)+5 +6 +(r+ 4)+ 7 + 8

+(r+6)=48+4r. ∵48+4r=64,∴r=4. (2)证明 用数学归纳法证明:当 n∈N*时,T12n=-4n.

①当 n=1 时,T12=a1-a3+a5-a7+a9-a11=-4,故等式成立. ②假设 n=k 时等式成立,即 T12k=-4k,那么当 n=k+1 时, T12(k+1)=T12k+a12k+1-a12k+3+a12k+5-a12k+7+a12k+9-a12k+11=-4k+(8k+1) -(8k+r)+(8k+4)-(8k+5)+(8k+r+4)-(8k+8)=-4k-4=-4(k+1),等 式也成立. 根据①和②可以断定:当 n∈N*时,T12n=-4n.
2 13.设数列{an}满足 a1=3,an+1=an -2nan+2,n=1,2,3,?

(1)求 a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式(不需证明); (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,试求使得 Sn<2n 成立的最小正整数 n,并给出

证明. 解 (1)a2=5,a3=7,a4=9,猜想 an=2n+1. (2)Sn= n?3+2n+1? =n2+2n,使得 Sn<2n 成立的最小正整数 n=6. 2

下证:n≥6(n∈N*)时都有 2n>n2+2n. ①n=6 时,26>62+2×6,即 64>48 成立; ②假设 n=k(k≥6,k∈N*)时,2k>k2+2k 成立,那么 2k+1=2· 2k>2(k2+2k)=k2 +2k+k2+2k>k2+2k+3+2k=(k+1)2+2(k+1), 即 n=k+1 时, 不等式成立; 由①、②可得,对于所有的 n≥6(n∈N*) 都有 2n>n2+2n 成立.
* 14.数列{xn}满足 x1=0,xn+1=-x2 n+xn+c(n∈N ).

(1)证明:{xn}是递减数列的充分必要条件是 c<0; (2)求 c 的取值范围,使{xn}是递增数列. (1)证明 先证充分性,若 c<0,由于 xn+1=-x2 n+xn+c≤xn+c<xn,故{xn}是

递减数列; 再证必要性,若{xn}是递减数列,则由 x2<x1 可得 c<0. (2)解 ①假设{xn}是递增数列.

由 x1=0,得 x2=c,x3=-c2+2c. 由 x1<x2<x3,得 0<c<1. 由 xn<xn+1=-x2 n+xn+c 知,对任意 n≥1 都有 xn< c, 注意到
2 c-xn+1=xn -xn-c+ c=(1- c-xn)( c-xn),

① ②

由①式和②式可得 1- c-xn>0,即 xn<1- c. 由②式和 xn≥0 还可得,对任意 n≥1 都有 c-xn+1≤(1- c)( c-xn).③ 反复运用③式,得 c-xn≤(1- c)n-1( c-x1)<(1- c)n-1, xn<1- c和 c-xn<(1- c)n-1 两式相加,知

2 c-1<(1- c)n-1 对任意 n≥1 成立. 根据指数函数 y=(1- c)n 的性质,得 1 1 2 c-1≤0,c≤4,故 0<c≤4.

1 ②若 0<c≤4,要证数列{xn}为递增数列,
2 即 xn+1-xn=-xn +c>0,即证 xn< c对任意 n≥1 成立.

1 下面用数学归纳法证明当 0<c≤4时,xn< c对任意 n≥1 成立. 1 (i)当 n=1 时,x1=0< c≤2,结论成立. (ii)假设当 n=k(k∈N*)时,结论成立,即 xn< c. 1? ? 因为函数 f(x)=-x2+x+c 在区间?-∞,2?内单调递增, 所以 xk+1=f(xk)<f( c) ? ? = c,这就是说当 n=k+1 时,结论也成立. 故 xn< c对任意 n≥1 成立.
2 因此,xn+1=xn-xn +c>xn,即{xn}是递增数列.

1? ? 由①②知,使得数列{xn}单调递增的 c 的范围是?0,4?. ? ?


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